6.1.3 基本初等函数的导数-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数，系统梳理常数函数、幂函数等导数公式及应用。通过情境导入提出求导简化问题，衔接导数定义法的旧知，搭建从复杂运算到公式应用的学习支架。 其亮点在于分模块整合知识，题型分类配通性通法总结，如切线方程求解的两种情况。结合数学运算与数学思维，通过质点运动、切线问题等实例，培养学生推理与应用能力。助力学生巩固知识，教师教学更系统高效。

6.1.3　基本初等函数的导数 新课程标准解读 核心素养 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y ＝x3，y＝ ，y＝ 的导数 数学运算 2.会使用导数公式表 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　求f（t） 的导数，根据导数的定义，就是求当Δt→0时， 所趋 近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y＝ sin x，y＝ln x 等很难运用定义求导数. 【问题】　（1）是否有更简便的求导数的方法呢？ （2）基本初等函数的导数公式可否直接应用？ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点一　常数函数与幂函数的导数 1. 导函数的概念 （1）定义：如果函数y＝f（x）在其定义域内的每一点x都可导， 则称f（x）可导.此时，对定义域内的每一个值 ，都对 应一个确定的导数f'（x）.于是，在f（x）的定义域内，f' （x）是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f（x）的导函 数，也简称为导数； x　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）记法：函数y＝f（x）的导函数记作f'（x）（或y'，y'x）， 即f'（x）＝y'＝y'x＝ ⁠. 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 常数函数与幂函数的导数 函数 导数 文字叙述 f（x）＝C（C为 常数） f'（x）＝C'＝0 函数f（x）＝C的导数为f' （x）＝0 f（x）＝x f'（x）＝x'＝1 函数f（x）＝x的导数为f' （x）＝1 f（x）＝x3 f'（x）＝ （x3）'＝3x2 函数f（x）＝x3的导数为f' （x）＝3x2 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 函数 导数 文字叙述 f（x）＝ f'（x）＝ ' ＝－ 函数f（x）＝ 的导数为f' （x）＝－ f（x）＝ （x＞ 0） f'（x）＝ （ ）'＝ 函数f（x）＝ （x＞0）的 导数为f'（x）＝ f（x）＝xα f'（x）＝αxα －1 函数f（x）＝xα的导数为f' （x）＝αxα－1 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【想一想】 1. 常数函数的导数为0说明了什么？ 提示：说明常数函数f（x）＝C图象上每一点处的切线的斜率都为 0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴. 2. 奇（偶）函数的导函数有什么规律？ 提示：奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. （多选）下列结论正确的是（　　） A. 若y＝0，则y'＝0 B. 若y＝5x，则y'＝5 C. 若y＝x－1，则y'＝－x－2 D. 若y＝ ，则y'＝ 解析： 　由导数定义及常数函数与幂函数的导数公式可知， A、B、C三项正确. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 已知f（x）＝x2，则f'（3）＝（　　） A. 0 B. 2x C. 6 D. 9 解析：　∵f（x）＝x2，∴f'（x）＝2x，∴f'（3）＝6. 3. 曲线y＝xα在x＝2处的导数为12，则α＝ ⁠. 解析：因为y'＝αxα－1，所以α·2α－1＝12，解得α＝3. 3　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点二　导数公式表 原函数 导函数 f（x）＝C（C为常数） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝xα f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ sin x f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ cos x f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ex f'（x）＝ ⁠ f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ln x f'（x）＝ ⁠ 0　 αxα－1　 cos x　 － sin x　 axln a　 ex　 　 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【想一想】 　对于公式“若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1”，α＝0时，公式 是否仍然成立？ 提示：公式对任意不为0的实数α都成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若y＝ ，则y'＝ ×2＝1. （　×　） （2）若f'（x）＝ sin x，则f（x）＝ cos x. （　×　） （3）f（x）＝ ，则f'（x）＝－ . （　√　） × × √ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ④若f（x）＝ ，则f'（x）＝ . A. ① B. ①② C. ③ D. ①②③④ 解析：　①当f（x）＝ sin x＋1时，f'（x）＝ cos x；②当f （x）＝2时，f'（x）＝0；④若f（x）＝ ，则f'（x）＝－ . 2. 下列命题中正确的是（　　） ①若f'（x）＝ cos x，则f（x）＝ sin x； ②若f'（x）＝0，则f（x）＝1； ③若f（x）＝ sin x，则f'（x）＝ cos x； 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 若f（x）＝ex，则f'（0）等于（　　） A. e B. 1 C. －1 D. －e 解析：　因为f'（x）＝ex，所以f'（0）＝e0＝1. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 已知f（x）＝x2，g（x）＝ln x，且f'（x）＜g'（x），则 （　　） A. x＜ B. x＞ C. 0＜x＜ D. x＜ 解析：　由题意可知x＞0，因为f'（x）＝2x，g'（x）＝ ，所 以f'（x）＜g'（x），即2x＜ ，解得0＜x＜ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用导数公式求函数的导数 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝x12；（2）y＝ ；（3）y＝ ；（4）y＝3x；（5）y＝ log5x. 解：（1）y'＝（x12）'＝12x11. （2）y'＝ '＝（x－4）'＝－4x－5＝－ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （3）y'＝（ ）'＝（ ）'＝ . （4）y'＝（3x）'＝3xln 3. （5）y'＝（log5x）'＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 求简单函数导函数的两种基本方法 （1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂； （2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根 据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适 的求导公式. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝ ；（2）y＝x ；（3）y＝lo x. 解：（1）y'＝ '＝ ln ＝－ ln 2. （2）y'＝（x ）'＝（ ）'＝ ＝ . （3）y'＝ '＝ ＝－ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型二 利用导数公式求切线方程 【例2】　已知函数f（x）＝ ，而l是曲线y＝f（x）的切线，且l 经过点Q（1，0）. （1）判断点Q是否在曲线y＝f（x）上； 解：因为f（1）＝ ＝1≠0，所以点Q（1，0）不是曲线y ＝f（x）上的点. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）求l的方程. 解：设过点Q（1，0）的切线的切点为A ， 那么该切线斜率为k＝f'（a）＝－ . 则切线方程为y－ ＝－ （x－a）. ① 将Q（1，0）代入方程0－ ＝－ （1－a）， 得a＝ ，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【母题探究】 1. （变设问）本例条件不变，求函数f（x）＝ 在点P（1，1）处的 切线方程. 解：因为f（x）＝ ，所以f'（x）＝－ . 显然P（1，1）是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函 数f（x）＝ 在点P（1，1）处的导数，即k＝f'（1）＝－1. 所以曲线在P（1，1）处的切线方程为y－1＝－（x－1），即为x ＋y－2＝0. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. （变条件，变设问）本例中的条件“f（x）＝ ”若换为“f （x）＝ sin x”，试求f（x）在点P（π， sin π）处的切线方程. 解：因为f'（x）＝（ sin x）'＝ cos x， 所以所求切线的斜率k＝ cos π＝－1. 又因为 sin π＝0，所以所求切线方程为y－0＝－（x－π），即x＋ y－π＝0. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 求切线方程的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜 率公式进行求解. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 若直线l与曲线y＝ 和圆x2＋y2＝ 都相切，则l的方程为 （　　） A. y＝2x＋1 B. y＝2x＋ C. y＝ x＋1 D. y＝ x＋ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 则 ＝ 　①，设直线l与曲线y＝ 的切点坐标为（x0， ）（x0＞0），则y ＝ ＝k　②， ＝kx0＋b　③， 由②③可得b＝ ，将b＝ ，k＝ 代入①得x0＝1或 x0＝－ （舍去），所以k＝b＝ ，故直线l的方程为y＝ x＋ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 曲线f（x）＝2x在点（0，1）处的切线方程为 ⁠. 解析：∵f（x）＝2x，∴f'（x）＝2xln 2，∴f'（0）＝ln 2.故所求 切线方程为y－1＝（x－0）ln 2，即y＝xln 2＋1. y＝xln 2＋1　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型三 导数的简单应用 【例3】　（1）质点的运动方程是S（t）＝ sin t，则质点在t＝ 时 的速度为 ，质点运动的加速度为 ⁠； 　 － sin t　 解析：v（t）＝S'（t）＝ cos t，∴v ＝ cos ＝ ，即质点 在t＝ 时的速度为 ，∵v（t）＝ cos t，∴加速度a（t）＝v' （t）＝（ cos t）'＝－ sin t. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）已知两条曲线y＝ sin x，y＝ cos x，是否存在这两条曲线的 一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并 说明理由. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：由于y＝ sin x，y＝ cos x，设这两条曲线的一个公共 点为P（x0，y0）.∴两条曲线在P（x0，y0）处的斜率分别为k1 ＝ cos x0，k2＝－ sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须 cos x0·（－ sin x0）＝－1， 即 sin x0· cos x0＝1，也就是 sin 2x0＝2，这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互 相垂直. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 导数应用的解题技巧 （1）导数的几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综 合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线 的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这往往是解决问题 的关键所在； （2）导数作为重要的数学工具，常与函数、数列、解析几何、不等 式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的 最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离. 解：如图，由题意得，平行于直线y＝x的直线与曲 线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离 最近的点.设P（x0，y0）， ∵y'＝（ex）'＝ex，∴ ＝1， ∴x0＝0，代入y＝ex得y0＝1，∴P（0，1）. 由点到直线的距离公式得，点P到直线y＝x的距离为 . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. （多选）下列函数求导运算正确的有（　　） A. （3x）'＝3xlog3e B. （log2x）'＝ C. ＝x D. 若f（x）＝ ，则f'（3）＝－ 解析：　在A中（3x）'＝3xln 3，错误；由运算法则可知B、 C、D均正确. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 已知函数f（x）＝ sin x，其导函数为f'（x），则f' ＝（　　） A. － B. C. D. － 解析：　∵f（x）＝ sin x，∴f'（x）＝ cos x，∴f' ＝ cos ＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 已知函数f1（x）＝ sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），则f2 025 ＝ （　　） A. － B. － C. D. 解析：　f1（x）＝ sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），故f2（x）＝ cos x，f3（x）＝－ sin x，f4（x）＝－ cos x，f5（x）＝ sin x，周 期为4，故f2 025（x）＝f1（x）＝ sin x，f2 025 ＝ sin ＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 设函数f（x）＝logax，f'（1）＝－1，则a＝ ⁠. 解析：∵f'（x）＝ ，∴f'（1）＝ ＝－1.∴ln a＝－1，即a ＝ . 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 求与曲线y＝f（x）＝ 在点P（8，4）处的切线垂直，且过点 （4，8）的直线方程. 解：因为f（x）＝ ，所以f'（x）＝（ ）'＝（ ）'＝ ， 所以f'（8）＝ × ＝ ，即曲线在点P（8，4）处的切线的斜率 为 ，所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3 （x－4），即3x＋y－20＝0. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知f（x）＝ ，则f'（16）＝（　　） A. － B. C. －4 D. 4 解析：　∵f'（x）＝ ，∴f'（16）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 对任意的x，有f'（x）＝4x3，f（1）＝－1，则函数f（x）的解析 式为（　　） A. f（x）＝x3 B. f（x）＝x4－2 C. f（x）＝x3＋1 D. f（x）＝x4－1 解析：　由f'（x）＝4x3知f（x）中含有x4项，然后将x＝1代入 选项中验证可得f（x）＝x4－2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 曲线y＝f（x）＝ sin x在x＝0处的切线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 解析：　由题意知，f'（x）＝ cos x，∴f'（0）＝ cos 0＝1.设此 切线的倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0，π），∴α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝ ，则质点在t＝4 时的瞬时速度为（　　） A. B. C. D. 解析：　∵s'＝ ，∴当t＝4时，s'＝ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 函数y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为 （　　） A. e2 B. 2e2 C. e2 D. 解析：　因为当x＝2时，y'＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2（x －2）.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围 成三角形的面积为 ×｜－e2｜×1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 6. （多选）在曲线f（x）＝ 上切线的倾斜角为 π的点的坐标为 （　　） A. （1，1） B. （－1，－1） C. D. 解析：　因为f（x）＝ ，所以f'（x）＝－ ，因为切线的倾 斜角为 π，所以切线斜率为－1，即f'（x）＝－ ＝－1，所以x ＝±1，则当x＝1时，f（1）＝1；当x＝－1时，f（1）＝－1，则 点的坐标为（1，1）或（－1，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 若函数f（x）在R上可导，且f（x）·f'（x）为单调函数.写出满 足上述条件的一个函数 ⁠. 解析：设f（x）＝x2，则f'（x）＝2x，所以f（x）·f'（x）＝2x3 在R上为单调递增，满足条件.所以f（x）＝x2满足条件. f（x）＝x2（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 曲线y＝f（x）＝ln x在点M（e，1）处的切线的斜率是 ，切 线方程为 ⁠. 解析：∵f'（x）＝（ln x）'＝ ，∴f'（e）＝ .∴切线方程为y－1 ＝ （x－e），即x－ey＝0. 　 x－ey＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 9. 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A 处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的 坐标是 ⁠. （e，1）　 解析：因为y＝ln x，所以y'＝ （x＞0），设A（x0，ln x0），则 在点A处的切线方程为y－ln x0＝ （x－x0），化简为y＝ x＋ln x0－1，因为切线过点（－e，－1），所以－1＝ （－e）＋ln x0－ 1，所以ln x0－ ＝0，所以x0＝e时方程成立，又因为y＝ln x－ 递 增（x＞0），所以方程有唯一解x0＝e，A（e，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 过点P（－1，0）作直线l与曲线C1：y＝ 和曲线C2：y＝x2＋ x＋c都相切，求c的值. 解：设直线l与曲线C1：y＝ 相切于点M（x0，y0），则 ＝ ，又y0＝ ，解得x0＝1，y0＝1，所以切点为（1，1）， 切线l的方程为y＝ （x＋1），因为直线l与曲线C2：y＝x2＋x ＋c相切，所以由方程组消元整理得x2＋ x＋c － ＝0，所以判别式Δ＝ －4 ＝0，所以c＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 11. （多选）若f（x）＝x2，g（x）＝x3，则能满足g'（x）－f' （x）＞0的区间有（　　） A. （－∞，0） B. C. D. 解析： 　因为g'（x）＝3x2，f'（x）＝2x，由g'（x）－f' （x）＞0，得3x2－2x＞0，得x＞ 或x＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 12. 若曲线y＝ 在点P（a， ）处的切线与两坐标轴围成的三角 形的面积为2，则实数a的值是 ⁠. 解析：∵y'＝ ，∴切线方程为y－ ＝ （x－a），令x＝ 0，得y＝ ，令y＝0，得x＝－a，由题意知 · ·a＝2，∴a＝ 4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 已知曲线方程为y＝f（x）＝x2，求过点B（3，5）且与曲线相 切的直线方程. 解：设切点P的坐标为（x0， ）. ∵y＝x2，∴y'＝2x， ∴k＝2x0， ∴切线方程为y－ ＝2x0（x－x0）. 将点B（3，5）代入上式，得5－ ＝2x0（3－x0）， 即 －6x0＋5＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ∴（x0－1）（x0－5）＝0， ∴x0＝1或x0＝5， ∴切点坐标为（1，1）或（5，25）， 故所求切线方程为y－1＝2（x－1）或y－25＝10（x－5）， 即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 14. 设曲线y＝ （n∈N＋）在点（1，1）处的切线与x轴的交点 的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为（　　） A. B. C. D. 1 解析：　对y＝ （n∈N＋）求导得y'＝（n＋1）xn.令x＝ 1，得在点（1，1）处的切线的斜率k＝n＋1，所以在点（1，1） 处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1）.令y＝0，得xn＝ ，所以x1·x2·…·xn＝ × × ×…× × ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 15. 求证：曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积 为常数. 证明：由xy＝1，得y＝ ，所以y'＝－ . 在曲线xy＝1上任取一点P ， 则过点P的切线的斜率k＝－ ， 切线方程为y－ ＝－ （x－x0）， 即y＝－ x＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则A（2x0，0），B . 故S△OAB＝ ｜OA｜·｜OB｜＝ ·｜2x0｜· ＝2. 所以曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 常数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） $