章末检测（5） 数列-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦数列核心知识，涵盖等差数列、等比数列的通项公式、前n项和及递推关系，通过基础题（如等差中项求前11项和）导入，逐步过渡到综合应用（如等比数列乘积计算），构建从基础到复杂的学习支架。 其亮点在于题目类型多样，解析注重多法（如等比数列问题提供两种解法），结合实际情境（如汽车牌照发放模型），培养学生数学思维与应用意识。学生能提升运算推理能力，教师可借助系统题型与详细解析优化教学效率。

章末检测（五）　数列 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在等差数列{an}中，a3＋a9＝10，则该数列的前11项和S11＝ （　　） A. 58 B. 55 C. 44 D. 33 解析：　由题意得S11＝ ＝ ＝ ＝55. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 在数列{an}中，a1＝ ，an＝（－1）n·2an－1（n≥2），则a5＝ （　　） A. － B. C. － D. 解析：　∵a1＝ ，an＝（－1）n·2an－1（n≥2），∴a2＝（－ 1）2×2× ＝ ，a3＝（－1）3×2× ＝－ ，a4＝（－1） 4×2× ＝－ ，a5＝（－1）5×2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝ （　　） A. 3∶4 B. 2∶3 C. 1∶2 D. 1∶3 解析：　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…，成等 比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝ S5，得S15∶S5 ＝3∶4，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝ 230，那么a3·a6·…·a30＝（　　） A. 210 B. 215 C. 220 D. 216 解析：　法一　a1·a2·a3·…·a30＝ q1＋2＋3＋…＋29＝（ q145） 3，a3·a6·a9·…·a30＝ q2＋5＋8＋…＋29＝ q155，所以 a3·a6·a9·…·a30＝（a1·a2·a3·…·a30 q10＝（230 ·210＝220. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 法二　易知a1·a4·a7·…·a28，a2·a5·a8·…·a29，a3·a6·a9·…·a30成等比 数列，公比为210. 设a3·a6·a9·…·a30＝x，则有a1·a2·a3·…·a30＝ · ·x＝230.所以x3 ＝260，故a3·a6·a9·…·a30＝220. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则254是该 数列的（　　） A. 第8项 B. 第10项 C. 第12项 D. 第14项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正 偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依此类推得a4＝6，a5＝7，a6＝ 14，a7＝15，…，归纳可得数列{an}的通项公式an＝ 则 －2＝254，n＝14，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 6. 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且 ＋ ＋ ＝ ，则a2＝（　　） A. 2 B. C. 3 D. 解析：　∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3， ＋ ＋ ＝ ， a1a2a3＝15，∴ ＝ ＋ ＋ ＝ ，∴a2＝3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 设Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，S3＝ ，且S1， S2，S4成等比数列，则a10＝（　　） A. 15 B. 19 C. 21 D. 30 解析：　由S3＝ 得3a2＝ ，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成 等比数列可得 ＝S1·S4，又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋ 2d，故（2a2－d）2＝（a2－d）（4a2＋2d），化简得3d2＝ 2a2d，又d≠0，∴a2＝3，d＝2，a1＝1，∴an＝1＋2（n－1）＝ 2n－1，∴a10＝19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 已知数列{bn}是公比为q（q≠1）的正项等比数列，且ln b1 013＝ 0，若f（x）＝ ，则f（b1）＋f（b2）＋…＋f（b2 025）＝ （　　） A. 4 050 B. 2 025 C. 4 052 D. 2 026 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　由数列{bn}是公比为q（q≠1）的正项等比数列，故bn ＞0，因为ln b1 013＝0，故b1 013＝1，b1·b2 025＝ ＝1，即有 b1·b2 025＝b2·b2 024＝…＝b2 025·b1＝1，由f（x）＝ ，则当x＞0 时，有f（x）＋f（ ）＝ ＋ ＝ ＋ ＝4，设S ＝f（b1）＋f（b2）＋…＋f（b2 025），S＝f（b2 025）＋f（b2 024）＋…＋f（b1），则2S＝2 025×4，解得S＝4 050，故f（b1） ＋f（b2）＋…＋f（b2 025）＝4 050.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知等比数列{an}的公比q＝－ ，等差数列{bn}的首项b1＝12， 若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（　　） A. a9·a10＜0 B. a9＞a10 C. b10＞0 D. b9＞b10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　∵等比数列{an}的公比q＝－ ，∴a9和a10异号， ∴a9a10＝ ＜0，故A正确；但不能确定a9和a10的大小关 系，故B不正确；∵a9和a10异号，且a9＞b9且a10＞b10，∴b9和b10 中至少有一个数是负数，又∵b1＝12＞0，∴d＜0，∴b9＞b10，故 D正确；∴b10一定是负数，即b10＜0，故C不正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以 下结论正确的是（　　） A. a10＝0 B. S10最小 C. S7＝S12 D. S19＝0 解析： 　因为2a1＋3a3＝S6，所以2a1＋3a1＋6d＝6a1＋ 15d，所以a1＋9d＝0，即a10＝0，A正确；当d＜0时，Sn没有最 小值，B错误；S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，所以 S12＝S7，C正确；S19＝ ＝19a10＝0，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 11. 若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则 称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}（n∈N＋）， 其中是“差递减数列”的有（　　） A. an＝3n B. an＝n2＋1 C. an＝ D. an＝ln 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　对A，若an＝3n，则an＋1－an＝3（n＋1）－3n＝ 3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；对B，若an＝n2＋ 1，则an＋1－an＝（n＋1）2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递 增数列，故B错误；对C，若an＝ ，则an＋1－an＝ － ＝ ，所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；对D，若an ＝ln ，则an＋1－an＝ln －ln ＝ln · ＝ln ，由函数y＝ln 在（0，＋∞）递减，所以数列 {an＋1－an}为递减数列，故D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 已知数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝ log2an，且b1＋b2＋b3＝12，则a4＝ ⁠. 解析：因为数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝ log2an，且b1＋b2＋b3＝log2a1＋log2a2＋log2a3＝12，所以log2 （a1a2a3）＝12，即a1a2a3＝212，因为数列{an}为等比数列，所 以a1a2a3＝ ＝212，所以a2＝16，q＝4，则a4＝256. 256　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝则数 列{an}的通项公式为 ⁠. 解析：由题意知，当n＝1时，a1＝S1＝8；当n≥2，n∈N＋时， an＝Sn－Sn－1＝4n－4n－1＝3×4n－1，经检验，当n＝1时不符合上 式，所以an＝ an＝　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 14. 已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1－（n＋1）an＝1＋2＋3＋…＋ n，则 ＝ 　 ⁠. 解析：因为nan＋1－（n＋1）an＝1＋2＋3＋…＋n，所以nan＋1－ （n＋1）an＝ ，所以 － ＝ ，令bn＝ ，所以bn ＋1－bn＝ ，因为a1＝1，所以数列{bn}是以1为首项， 为公差的 等差数列，所以bn＝ n＋ ，所以b2 025＝ ＝1 013，所以a2 025＝1 013×2 025，同理a2 026＝ ×2 026，所以 ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0， S5＝－5. （1）求{an}的通项公式； 解：由题意得即 解得则{an}的通项公式为an＝1 －（n－1）＝2－n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）设bn＝2n，求Tn＝（b1－a1）＋（b2－a2）＋（b3－a3） ＋…＋（bn－an）. 解： Tn＝（b1－a1）＋（b2－a2）＋（b3－a3）＋…＋（bn－an）＝ － （1＋2－n）＝2n＋1＋ n2－ n－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 16. （本小题满分15分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋pn. （1）求数列{an}的通项公式； 解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋p， 又当n＝1时，a1＝S1＝1＋p，也满足an＝2n－1＋p， 故an＝2n－1＋p. （2）已知a4，a7，a12成等比数列，求p的值； 解：∵a4，a7，a12成等比数列，∴a4a12＝ ， ∴（7＋p）（23＋p）＝（13＋p）2，∴p＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （3）在（2）的条件下，若bn＝1＋ ，求数列{bn}的前n项 和Tn. 解：由（1）可得bn＝1＋ ＝1＋ ＝1＋ － . ∴Tn＝n＋（ － ＋ － ＋…＋ － ）＝n＋ － ＝n＋ . 又由（2）知p＝2，故Tn＝n＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 17. （本小题满分15分）设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满 足bn＝ .已知a1，3a2，9a3成等差数列. （1）求{an}和{bn}的通项公式； 解：设{an}的公比为q，则an＝qn－1. 因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得 q＝ ， 故an＝ ，bn＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明：Tn＜ . 解：证明：由（1）知Sn＝ ＝ ，Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ， ① Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ， ② ①－②得 Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 即 Tn＝ － ＝ － ， 整理得Tn＝ － ， 则2Tn－Sn＝2 － ＝－ ＜0，故Tn＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 18. （本小题满分17分）某市2024年发放汽车牌照12万张，其中燃油 型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张.为了节能减排和控制 汽车总量，从2024年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而 燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年 发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型的牌照的数量 维持在这一年的水平不变. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （1）记2024年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列 {an}，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{bn}，完成下 列表格，并写出这两个数列的通项公式. a1＝10 a2＝9.5 a3＝ ⁠ a4＝ ⁠ … b1＝2 b2＝ ⁠ b3＝ ⁠ b4＝ ⁠ … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解： a1＝10 a2＝9.5 a3＝ 　9 ⁠ a4＝ 　8.5 　⁠ … b1＝2 b2＝ 　3 　⁠ b3＝ 　4.5 　⁠ b4＝ 　6.75 ⁠ … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 当1≤n≤20且n∈N＋时，an＝10＋（n－1）×（－0.5） ＝－0.5n＋10.5； 当n≥21且n∈N＋时，an＝0. 所以an＝而a4＋b4＝ 15.25＞15， 所以bn＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）从2024年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过 200万张？ 解：当n＝4时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋b1＋b2＋b3＋ b4＝53.25. 当5≤n≤21时，Sn＝（a1＋a2＋a3＋…＋an）＋（b1＋b2 ＋b3＋b4＋b5＋…＋bn） ＝10n＋ · ＋ ＋ （n－4）＝－ n2 ＋17n－ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 由Sn≥200得－ n2＋17n－ ≥200， 即n2－68n＋843≤0，得34－ ≤n≤21. 所以结合实际情况，可知到2040年累计发放汽车牌照超过 200万张. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 19. （本小题满分17分）对任意正整数n，定义n的丰度指数I（n） ＝ ，其中S（n）为n的所有正因数的和. （1）若an＝I（2n），求数列{nan}的前n项和Tn； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解：因为2n共有n＋1个正因数，它们是1，2，22，…，2n， 所以an＝I（2n）＝ ＝1＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＝2－ ， 即an＝2－ ，所以nan＝2n－ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 所以Tn＝（2×1－ ）＋（2×2－ ）＋（2×3－ ） ＋…＋（2n－ ） ＝2（1＋2＋3＋…＋n）－（ ＋ ＋ ＋…＋ ）. 令An＝1＋2＋3＋…＋n，则An＝ ； 令Gn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ， 则 Gn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 两式相减，得 Gn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝ － ＝1－ ， 所以Gn＝2－ ， 所以Tn＝n2＋n－2＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）对互不相等的质数p，m，n，证明：I（p3mn）＝I（p3） I（m）I（n），并求I（2 024）的值. 证明：因为p，m，n为互不相等的质数，则p3的正因 数有4个，它们是1，p，p2，p3， m，n的正因数均有2个，分别为1，m和1，n； p3mn的正因数有4×2×2＝16个，分别为1，p，p2，p3， m，mp，mp2，mp3，n，np，np2，np3，mn，mnp， mnp2，mnp3. 所以I（p3）＝ ，I（m）＝ ，I（n）＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） I（p3mn）＝ ＝ ＝ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） ＝ · · ＝I（p3）I（m）I（n）. 因为2 024＝23×11×23，所以I（2 024）＝I （23×11×23）＝I（23）I（11）I（23） ＝ × × ＝ × × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） $