5.5 数学归纳法-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，通过“公鸡归纳法”故事导入，对比不完全归纳的局限，衔接数列等与自然数有关的命题证明，以情境、自我诊断、分层例题构建学习支架。 其亮点在于以逻辑推理为核心，分题型（等式、不等式、整除、归纳-猜想-证明）详解证明步骤，提炼通性通法，如例4通过归纳猜想培养数学思维，帮助学生建立严谨推理习惯，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

5.5　数学归纳法 新课程标准解读 核心素养 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数 列中的一些简单命题 逻辑推理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908～1996）给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生 把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”. 【问题】　“公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点　数学归纳法 一个与自然数有关的命题，如果 （1）当n＝n0时，命题成立； （2）在假设n＝k（其中k≥n0）时命题成立的前提下，能够推出n ＝k＋1时命题也成立. 那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立，这种证明 方法称为数学归纳法. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－2）π”时，归纳 奠基中n0的取值应为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ （a≠1）”.当 验证n＝1时，上式左端计算所得为 ⁠. 1＋a＋a2　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　题型一 用数学归纳法证明等式 【例1】　求证：1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ （n∈N＋）. 证明：（1）当n＝1时，左边＝1－ ＝ ，右边＝ ＝ . 左边＝右边，等式成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）假设当n＝k（k≥1）时，等式成立，即1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ ，则 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＋ . 即当n＝k＋1时，等式也成立. 综合（1）和（2）可知，对一切正整数n等式都成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 　　用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时，关键在于 “看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的 多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多 少项，增加了怎样的项. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n （n＋1）2（其中n∈N＋）. 证明：（1）当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右 边，等式成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）假设当n＝k（k∈N＋）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10 ＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2. 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k ＋1）·[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝ （k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2，即当n＝k＋1 时等式也成立. 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＋都成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例2】　求证： ＋ ＋…＋ ＞ （n≥2，n∈N＋）. 证明：（1）当n＝2时， 左边＝ ＋ ＋ ＋ ＞ ，不等式成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时不等式成立，即 ＋ ＋…＋ ＞ ， 则当n＝k＋1时， ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋ ＝ ， 所以当n＝k＋1时不等式也成立. 由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 　　对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法证明比较困 难，此时可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二 个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式 证明的其他方法（如拆、添、并、放、缩），对所要证明的不等式加 以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　用数学归纳法证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ （n≥2，n∈N ＋）. 证明：（1）当n＝2时，左边＝ ＝ ，右边＝1－ ＝ ， ∵ ＜ ，∴不等式成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时，不等式成立， 即 ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ . 则当n＝k＋1时， ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＜1－ ＋ ＝1－ ＝1－ ＜1－ ＝1－ . ∴当n＝k＋1时，不等式也成立. 根据（1）和（2）知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型三 用数学归纳法证明整除问题 【例3】　用数学归纳法证明：（3n＋1）·7n－1（n∈N＋）能被9 整除. 证明：（1）当n＝1，原式＝4×7－1＝27能被9整除. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）假设当n＝k（k∈N＋），即（3k＋1）·7k－1能被9整除，则当 n＝k＋1时，[3（k＋1）＋1]·7k＋1－1 ＝[（3k＋1）＋3]（1＋6）·7k－1 ＝（3k＋1）·7k－1＋（3k＋1）·6·7k＋21·7k ＝[（3k＋1）·7k－1]＋18k·7k＋27·7k. ∴n＝k＋1时也能被9整除. 由（1）（2）可知，对任何n∈N＋，（3n＋1）·7n－1都能被9整除. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 　　证明整除性问题的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和 因式分解等手段凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得到 证明. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　求证：an＋1＋（a＋1）2n－1能被a2＋a＋1整除（n∈N＋）. 证明：（1）当n＝1时，a1＋1＋（a＋1）2×1－1＝a2＋a＋1，命题显 然成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）假设当n＝k（k∈N＋）时，ak＋1＋（a＋1）2k－1能被a2＋a＋1 整除，则当n＝k＋1时， ak＋2＋（a＋1）2k＋1＝a·ak＋1＋（a＋1）2·（a＋1）2k－1 ＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a＋1）2（a＋1）2k－1－a（a＋1）2k －1 ＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a2＋a＋1）（a＋1）2k－1. 显然，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除， 故n＝k＋1时命题成立. 根据（1）（2）可知，对n∈N＋，原命题成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型四 归纳——猜想——证明 【例4】　已知数列 ， ， ，…， ，…，设Sn 为数列前n项和，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表 达式，并用数学归纳法证明. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：S1＝ ＝ ， S2＝ ＋ ＝ ， S3＝ ＋ ＝ ， S4＝ ＋ ＝ ， 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用 项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝ . 下面用数学归纳法证明： 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （1）显然当n＝1时，S1＝ ＝ ，猜想成立. （2）假设当n＝k（k∈N＋）时，等式成立，即Sk＝ . 则当n＝k＋1时， Sk＋1＝Sk＋ ＝ ＋ ＝ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ＝ ＝ ， 即当n＝k＋1时，猜想也成立. 根据（1）和（2）可知，猜想对任何n∈N＋都成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 “归纳—猜想—证明”模式的解题方法 （1）观察：由已知条件写出前几项； （2）归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系； （3）猜想：猜想一般项的表达式； （4）证明：用数学归纳法证明猜想的结论. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　若不等式 ＋ ＋ ＋…＋ ＞ 对一切正整数n都成立. （1）猜想正整数a的最大值； 解：当n＝1时， ＋ ＋ ＝ ＝ ，则 ＞ ， 所以a＜26，而a是正整数，所以猜想a的最大值为25. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）用数学归纳法证明你的猜想. 解：下面用数学归纳法证明 ＋ ＋ ＋…＋ ＞ . ①当n＝1时，已证. ②假设当n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＞ . 那么当n＝k＋1时， 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋ ＝ ＋ ＞ ＋ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ＝ ＋ ＝ ， 即当n＝k＋1时，不等式也成立. 根据①和②，可知对任何n∈N＋，都有 ＋ ＋ ＋…＋ ＞ . 所以正整数a的最大值为25. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 设f（n）＝1＋ ＋ ＋…＋ （n∈N＋），那么f（n＋1）－f （n）等于（　　） A. B. ＋ C. ＋ D. ＋ ＋ 解析：　要注意末项与首项，因为f（n＋1）＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ，所以f（n＋1）－f（n） ＝ ＋ ＋ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设 当n＝k（k≥1且k∈N＋）时命题成立的基础上，证明了当n＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于（　　） A. 一切正整数命题成立 B. 一切正奇数命题成立 C. 一切正偶数命题成立 D. 以上都不对 解析：　本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命 题对一切正奇数成立. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 证明1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＞ （n∈N＋），假设n＝k时成立， 当n＝k＋1时，左端增加的项数是（　　） A. 1项 B. k－1项 C. k项 D. 2k项 解析：　当n＝k时，不等式左端为1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ；当 n＝k＋1时，不等式左端为1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋…＋ ，增加了 ＋…＋ 项，共（2k＋1－1）－2k＋1＝2k项. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1 时，对式子（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为 ⁠ ⁠. 解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，（k＋1）3＋5（k＋ 1）＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6. （k3＋5k）＋3k （k＋1）＋6　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公 式是Sn＝na1＋ d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝ （　　） A. a1＋（k－1）d B. C. ka1＋ d D. （k＋1）a1＋ d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即 可，即Sk＝ka1＋ d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 用数学归纳法证明不等式1＋ ＋ ＋…＋ ＜2－ （n≥2， n∈N＋）时，第一步应验证不等式（　　） A. 1＋ ＜2－ B. 1＋ ＋ ＜2－ C. 1＋ ＜2－ D. 1＋ ＋ ＜2－ 解析：　因为n≥2，所以第一步应验证当n＝2时，1＋ ＜2－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 用数学归纳法证明n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝ （2n－1）2（n∈N＋）时，若记f（n）＝n＋（n＋1）＋（n＋ 2）＋…＋（3n－2），则f（k＋1）－f（k）等于（　　） A. 3k－1 B. 3k＋1 C. 8k D. 9k 解析：　因为f（k）＝k＋（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－ 2），f（k＋1）＝（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2）＋（3k －1）＋3k＋（3k＋1），则f（k＋1）－f（k）＝3k－1＋3k＋ 3k＋1－k＝8k. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 若k（k≥3，k∈N＋）棱柱有f（k）个对角面，则k＋1棱柱的对 角面个数f（k＋1）为（　　） A. f（k）＋k－1 B. f（k）＋k＋1 C. f（k）＋k D. f（k）＋k－2 解析：　三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面（0＋2＝0＋ （3－1））；五棱柱有5个对角面（2＋3＝2＋（4－1））；六棱柱 有9个对角面；（5＋4＝5＋（5－1））.猜想：若k棱柱有f（k） 个对角面，则k＋1棱柱有f（k）＋k－1个对角面.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 用数学归纳法证明“ ＋ ＋…＋ ＞ ”时，由k到k＋1， 不等式左边的变化是（　　） A. 增加 一项 B. 增加 和 两项 C. 增加 和 两项，同时减少 一项 D. 以上结论都不正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　当n＝k时，左边＝ ＋ ＋…＋ ，当n＝k＋1 时，左边＝ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ，故不等式左边的变化是增加 和 两 项，同时减少 一项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 6. 已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n（na－b）＋c对 一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值为（　　） A. a＝ ，b＝c＝ B. a＝b＝c＝ C. a＝0，b＝c＝ D. 不存在这样的a，b，c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　令n＝1，2，3， 得 即 解得a＝ ，b＝ ，c＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当 第二步假设n＝2k－1（k∈N＋）命题为真时，进而需证n＝ ⁠ 时，命题亦真. 解析：∵n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1，∴需 证n＝2k＋1时，命题成立. 2k ＋1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1 是31的倍数”时，当n＝1时，原式为 ，从n ＝k到n＝k＋1时需增添的项是 ⁠ ⁠. 解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋ 23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25（k＋1）－1. 1＋2＋22＋23＋24　 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋ 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 9. 用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f （n）部分，则f（n）＝1＋ .”证明第二步归纳递推 时，用到f（k＋1）＝f（k）＋ ⁠. 解析：f（k）＝1＋ ，f（k＋1）＝1＋ ， ∴f（k＋1）－f（k）＝ － ＝k ＋1，∴f（k＋1）＝f（k）＋（k＋1）. k＋1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 设f（n）＝1＋ ＋ ＋…＋ （n∈N＋）.求证：f（1）＋f（2） ＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）. 证明：（1）当n＝2时，左边＝f（1）＝1， 右边＝2× ＝1，左边＝右边，等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）假设n＝k（k≥2，k∈N＋）时，等式成立， 即f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＝k[f（k）－1]， 那么，当n＝k＋1时， f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＋f（k） ＝k[f（k）－1]＋f（k） ＝（k＋1）f（k）－k ＝（k＋1） －k ＝（k＋1）f（k＋1）－（k＋1） ＝（k＋1）[f（k＋1）－1]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ∴当n＝k＋1时等式仍然成立. 由（1）（2）可知，f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f （n）－1]（n≥2，n∈N＋）成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 11. 如图所示，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC是边长为1的 正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A，B，C为圆心， AC，BA1，CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一 圈.然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈，则 所得螺旋线的长度Ln为（　　） A. （3n2＋n）π B. （3n2－n＋1）π C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　由条件知 ， ， ，…， 对应的 圆心角都是 ，且半径依次为1，2，3，4，…， 故弧长依次为 ， ×2， ×3，…. 据题意，第1圈长度为 （1＋2＋3）， 第2圈长度为 （4＋5＋6）， …… 第n圈长度为 [（3n－2）＋（3n－1）＋3n]， 故Ln＝ （1＋2＋3＋…＋3n）＝ · ＝（3n2＋n）π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 12. 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ （n∈N＋）. （1）计算a2，a3，a4； 解：a1＝1，a2＝ ＝ ， a3＝ ＝ ，a4＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明. 解：由（1）的计算猜想an＝ . 下面用数学归纳法进行证明. ①当n＝1时，a1＝1，猜想成立. ②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝ ， 那么ak＋1＝ ＝ ＝ ， 即当n＝k＋1时，猜想也成立. 根据①②可知，对任意n∈N＋都有an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 已知f（n）＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ，g（n）＝ － ， n∈N＋. （1）当n＝1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小； 解：当n＝1时，f（1）＝1，g（1）＝1，所以f（1）＝g（1）； 当n＝2时，f（2）＝ ，g（2）＝ ， 所以f（2）＜g（2）； 当n＝3时，f（3）＝ ，g（3）＝ ， 所以f（3）＜g（3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明. 解：由（1）猜想f（n）≤g（n）. 下面用数学归纳法给出证明： ①当n＝1，2，3时，不等式显然成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ②假设当n＝k（k≥3，k∈N＋）时，不等式成立， 即1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＜ － . 那么，当n＝k＋1时， f（k＋1）＝f（k）＋ ＜ － ＋ . 因为f（k＋1）－g（k＋1）＜ － ＋ － ＝ － ＝ － ＝ ＜0，所以f（k＋1）＜g（k＋1）. 由①②可知，对一切n∈N＋，都有f（n）≤g（n）成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 14. 对任意n∈N＋，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝ ⁠. 解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5； 当a＝3且 n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 15. 已知点Pn（an，bn）满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝ （n∈N ＋）且点P1的坐标为（1，－1）. （1）求过点P1，P2的直线l的方程； 解：由P1的坐标为（1，－1）知，a1＝1，b1＝－1， ∴b2＝ ＝ ，a2＝a1·b2＝ ， ∴点P2的坐标为 ，故直线l的方程为2x＋y＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）试用数学归纳法证明：对任意的n∈N＋，点Pn都在（1）中 的直线l上. 解：证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋（－1）＝1，命题成立. ②假设当n＝k（k∈N＋）时，2ak＋bk＝1成立，则当n＝k ＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝ （2ak＋1）＝ ＝ ＝1，故当n＝k＋1时，命题也成立. 由①和②知，对任意的n∈N＋，都有2an＋bn＝1成立，即 点Pn都在直线l上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） $