5.4 数列的应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦“数列的应用”，通过分期付款、垃圾处理等实际问题导入，衔接等差与等比数列知识，以典型例题解析和通性通法总结为支架，帮助学生构建从概念到应用的知识脉络。 其特色在于以生活案例为载体，通过数学建模培养“用数学眼光观察现实世界”，通过推导公式、分析问题发展“用数学思维思考现实世界”，用数列表达式和方程“用数学语言表达现实世界”。分层训练设计助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

5.4　数列的应用 新课程标准解读 核心素养 掌握数列在实际生活中的应用 数学建模 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 分期还款在数列中的应用 【例1】　随着经济的发展，我国的房价持续上涨，分期付款成了当 今大学生毕业买房的首选方式.大学生李华准备贷款500 000元买一套 100平方米的房子.采用“等额本金还款法”分20年进行还款，贷款的 年利率为5%.设第n年李华的还款金额为an元.求an的表达式，并说明 数列{an}的特征.　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：因为每期所还本金为 ＝25 000（元）， 因此第n年以前已还本金总额为25 000（n－1）元. 从而有an＝25 000＋[500 000－25 000（n－1）]×5%＝－1 250n＋51 250. 可以看出{an}是一个递减的等差数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 　　“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一 期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还 款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利 率.因此：每期还款金额＝ ＋（贷款本金－已还本金总额） ×利率. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 刚大学毕业的小李准备向银行贷款10万元购买一辆轿车，小李与银行 约定，每个月还一次款12个月还清所有欠款，且每个月还款的钱数都 相等.贷款的月利率为0.5%，试求出小李每个月所要还款的钱数？ 解：设小李每个月还款x元，则x[（1＋0.5%）11＋（1＋0.5%）10 ＋…＋（1＋0.5%）1＋1]＝100 000（1＋0.5%）12， ∴x＝ ≈8 607（元）. 即小李每个月应还款约8 607元. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型二 “乘数”效应与数列 【例2】　去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填 埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递 增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定 处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃 圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾 总量（精确到0.1万吨）. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}， 每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内 通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则 an＝20（1＋5%）n， bn＝6＋1.5n， Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋…＋（an－bn） ＝（a1＋a2＋…＋an）－（b1＋b2＋…＋bn） ＝（20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n）－（7.5＋9＋…＋6＋ 1.5n） 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ＝ － （7.5＋6＋1.5n） ＝420×1.05n－ n2－ n－420. 当n＝5时，S5≈63.5. 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 　　在解决与“乘数”效应有关的实际问题时，要注意数列项数的确 定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份，同时要注意正 确区分是求第n项，还是求前n项的和. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的 20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为 （lg 2≈0.301 0）（　　） A. 5 B. 10 C. 14 D. 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　设原杂质数为1，由题意，得各次过滤杂质数成等比数列， 且a1＝1，公比q＝1－20%，故an＋1＝（1－20%）n.由题意可知（1－ 20%）n＜5%，即0.8n＜0.05.两边取对数，得nlg 0.8＜lg 0.05，因 为lg 0.8＜0，所以n＞ ，即n＞ ＝ ＝ ≈ ≈13.41，故取n＝14. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型三 数列在实际生活中的应用 【例3】　若某地区2017年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政 策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2018年开始到2027年年底 每年人口比上一年增加0.5万人，从2028年开始到2037年年底每年人 口为上一年的99%. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （1）求实施新政策后该地区第n年的人口总数an的表达式（注：2018 年为第1年）； 解：当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5 的等差数列， ∴an＝45.5＋0.5×（n－1）＝45＋0.5n， 当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，又∵a10 ＝50，∴an＝50×0.99n－10. 因此，实施新政策后第n年的人口总数an的表达式为an＝ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若实施新政策后，从2018年到2037年年底平均每年的人口总数 超过49万，则需调整政策，否则无需调整.试判断到2037年年底 后是否需要调整政策.（附：0.9910≈0.9） 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：设Sn为数列{an}的前n项和，结合（1）知， S20＝S10＋（a11＋a12＋…＋a20）＝10×45.5＋ ×0.5＋ ＝477.5＋4 950×（1－0.9910） ≈972.5， ∵ ＝48.625＜49， 故到2037年年底后不需要调整政策. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 解决数列应用题需注意的三点 （1）分清该数列是等差数列还是等比数列； （2）首项是多少、公差（公比）是多少、项数是多少、是求an还是 Sn； （3）如果数列给出的是递推公式，如何由递推公式求出通项公式. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有 资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以 后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开 始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设 第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （1）用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； 解：由题意得a1＝2 000×（1＋50%）－d＝3 000－d，a2 ＝a1（1＋50%）－d＝ a1－d＝4 500－ d， an＋1＝an（1＋50%）－d＝ an－d. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4 000万元， 试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）. 解：由（1）得an＝ an－1－d＝ －d＝ ·an－2－ d－d＝…＝ a1－d ， 整理得an＝ （3 000－d）－2d ＝ ·（3 000－3d）＋2d. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 由题意知am＝4 000，所以 （3 000－3d）＋2d＝4 000， 解得d＝ ＝ . 故该企业每年上缴资金d的值为 万元时，经过 m（m≥3）年企业的剩余资金为4 000万元. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋， 尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天，张扬帮助他的父 亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货 单上标记了两个缺货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸 是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一 个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677 码.则另外一个缺货尺寸是（　　） A. 28码 B. 29.5码 C. 32.5码 D. 34码 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　设第一个尺码为a1，公差为d，则a1＝25，d＝0.5，则 an＝25＋（n－1）×0.5＝0.5n＋24.5，当an＝0.5n＋24.5＝ 36.5时，n＝24，故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为S24＝ ＝738码，所有缺货尺寸的和为738－677＝61码，又 因为缺货的一个尺寸为28.5码，则另外一个缺货尺寸为61－28.5＝ 32.5码，故选C. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 某林场现在的森林木材存量是1 800万立方米，木材以每年25%的增 长率生长，而每年要砍伐固定的木材量为x万立方米，为达到经两 次砍伐后木材存量增加50%的目标，则x的值是（　　） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 解析：　经过一次砍伐后，木材存量为1 800（1＋25%）－x＝2 250－x；经过两次砍伐后，木材存量为（2 250－x）×（1＋ 25%）－x＝2 812.5－2.25x.由题意应有2 812.5－2.25x＝1 800×（1＋50%），解得x＝50. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 某市2012年为解决低收入家庭的住房问题，决定新建住房400万平 方米，其中有250万平方米是中低价房.计划在今后的若干年内，该 市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房 中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米. （1）到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2012年 为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是 等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋ ×50＝25n2＋225n. 令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数， 所以n≥10. 故到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不 少于4 750万平方米. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）到哪一年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面 积的比例首次大于85%？ 解：设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1， 由题意可知an＞0.85bn，即250＋（n－1）×50＞ 400×1.08n－1×0.85.解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6. 故到2017年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住 房面积的比例首次大于85%. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 某钢厂的年产值由2010年的40万吨，增加到2020年的50万吨，经历 了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2030年的年产值将 接近（　　） A. 60万吨 B. 61万吨 C. 63万吨 D. 64万吨 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　设年增长率为x，则2020年为：40（1＋x）10＝50，则 （1＋x）10＝ .2030年为：40（1＋x）20＝40×[（1＋x）10]2＝ 40× × ＝62.5≈63（万吨）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距 的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，….我国宋 元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中 的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图 所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一 “落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为（　　） A. 55 B. 220 C. 285 D. 385 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　“三角形数”的通项公式an＝ ，前n项和公式 为Sn＝1＋3＋6＋…＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，当n＝10时，S10＝ ＋ ＝220.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度 的 再落下，设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2 时，下面说法正确的是（　　） A. Sn＜500 B. Sn≤500 C. Sn的最小值为100 D. Sn的最大值为400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　由题意可知，弹性小球每次着地后又跳回原来高度的 再落下，其每次触地至下一次触地前所经过的路程可看成等比数 列，公比q＝ ，首项为 ，所以该数列前n项和为 · ， 所以总路程Sn＝100＋ · ，n≥2，化简可得Sn＝500－ 400× ，因为400 ＞0，所以Sn＜500. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三 角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1，4，9，16，… 这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 （　　） A. 289 B. 1 024 C. 1 225 D. 1 378 解析：　三角形数组成的数列的通项公式an＝ ，正方形 数组成的数列的通项公式bn＝n2，验证知C项符合条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下 问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今 三十织迄，问织几何.”其大意为：“有个女子不善于织布，每天 比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十 天织完，问三十天共织布多少尺.”那么答案是（　　） A. 30尺 B. 90尺 C. 150尺 D. 180尺 解析：　由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列{an}， 其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝ ＝90，即共织布90尺. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它 对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作 中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其 中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共 年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题 中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于（　　） A. 35 B. 32 C. 23 D. 38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数 列，且九项之和为207.故S9＝9a1＋ d＝9a1－108＝207，解得a1 ＝35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分 钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机 后 　45 　分钟，该病毒占据内存64 MB（1 MB＝210 KB）. 解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列， 令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解 得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45（分钟）. 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多 写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一 天多写 个大字. 解析：由题意知，此人每天写的字数构成等差数列{an}，其中a1＝ 4，a3＝12，设公差为d，则d＝ ＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 9. 有n台型号相同的联合收割机，现收割一片土地上的小麦，若同时 投入工作，则收割完毕需要24小时.现在这些收割机每隔相同的时 间依次投入工作，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕. 如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收 割完这片土地上的小麦需要 小时. 解析：设这n台收割机工作的时间（单位：小时）依次为a1， a2，…，an，依题意，{an}是一个等差数列，且 40　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 由②得 ＝24n，所以a1＋an＝48.　　③ 将①③联立，解得a1＝40.故用这种方法收割完这片土地上的小麦 需要40小时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 某人从1月起，每月第一天存入1 000元，到12月最后一天取出全 部本金及其利息，已知月利率是0.35%，应纳税率是20%，那么 实际取出多少钱？ 解：1月存入款的利息：1 000×12×0.35%， 2月存入款的利息：1 000×11×0.35%， … 11月存入款的利息：1 000×2×0.35%， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 12月存入款的利息：1 000×1×0.35%， 于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和 S12＝1 000×12×0.35%＋1 000×11×0.35%＋…＋1 000×2×0.35%＋1 000×1×0.35%＝1 000×0.35%×（1＋2＋3 ＋…＋12）＝1 000×0.35%× ＝273（元）. 应纳税273×20%＝54.6（元）. 实际取出1 000×12＋273－54.6＝12 218.4（元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 11. 《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是 按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.现有38 石粮食，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知甲分得18石粮 食，则“衰分比”为（　　） A. B. C. D. 解析：　设“衰分比”为q，则18＋18q＋18q2＝38，解得q＝ 或q＝－ （舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 12. 甲、乙两企业，2018年的销售量均为p（2018年为第一年），根 据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为 （n2－n＋2）， 乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多 . （1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：设甲企业前n年的总销售量为Sn，第n年的销售量 为an，乙企业第n年的销售量为bn，根据题意， 得Sn＝ （n2－n＋2），bn－bn－1＝ （n≥2）. ∴a1＝S1＝p. 当n≥2时，∵an＝Sn－Sn－1＝p（n－1）， ∴an＝ ∵bn＝b1＋（b2－b1）＋（b3－b2）＋…＋（bn－bn－1）， ∴bn＝p＋ ＋…＋ ＝ p. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售 量不足另一企业的年销售量的20%，则该企业将被另一企业 收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出 现？试说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：∵an≥p，bn≥p，∴an＞ bn＞ bn， 故甲企业不可能被乙企业收购， 当n＝1时，a1＝b1＝p，乙企业不可能被甲企业收购， 当n≥2时，∵ an＞bn⇔ p（n－1）＞ p， ∴n＞11－ ， 则当n＝2，3时，经验证，n＜11－ ， 当4≤n≤10且n∈N＋时，有11－ ＞10， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ∴n＜11－ ， 当n≥11且n∈N＋时，11－ ＜11， ∴必有n≥11，则n＞11－ ， 故当n＝11时，即2028年乙企业将被甲企业收购. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月 份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每 天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采 取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k＋1（9≤k≤29， k∈N＋）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若k＝9，求11月1日至11月10日新感染者总人数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30）， 则数列{an}（1≤n≤9）是等差数列，a1＝30，公差为50， 所以a9＝30＋50×（9－1）＝430，a10＝430－20＝410， 则11月1日至11月10日新感染者总人数为（a1＋a2＋…＋ a9）＋a10＝ ＋410＝2 480（人）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11 940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天 的新感染者人数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30）， 11月k日新感染者人数最多，当1≤n≤k时，an＝50n－20. 当k＋1≤n≤30时，an＝（50k－20）－20（n－k）＝－ 20n＋70k－20， 因为这30天内的新感染者总人数为11 940人，所以 ＋ ＝11 940， 得－35k2＋2 135k－ 9 900＝11 940，即k2－61k＋624＝0， 解得k＝13或k＝48（舍）， 此时a13＝50×13－20＝630. 所以11月13日新感染者人数最多为630人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 14. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累 积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn＝ （21n－n2－5）（n＝ 1，2，…，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的 月份是（　　） A. 5月、6月 B. 6月、7月 C. 7月、8月 D. 8月、9月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　第n月的家用商品需求量为Sn－Sn－1＝ （21n－n2－ 5）－ [21（n－1）－（n－1）2－5]＝ ；令 ＞1.5，即n2－15n＋54＜0，解得6＜n＜9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 15. 如图，将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大 堆成塔状，平放在桌面上.上面一个正方体积木下底面的四个顶点 正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不 断堆放.如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木 露在外面的面积之和为Sn，求Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：最底层正方体的棱长为1， 则该正方体除底面外的表面积为5×12＝5； 倒数第2个正方体的棱长为1× ＝ ， 它的侧面积为4× ＝4× ， 倒数第3个正方体的棱长为 × ＝ . 它的侧面积为4× ＝4× ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 倒数第n个小正方体的棱长为 ， 它的侧面积为4× ＝4× ， 则Sn＝5＋4×［ ＋ ＋ ＋…＋ ］＝5＋ 4× ＝9－ ＝9－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） $