5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的性质及应用，通过典型例题导入，从具体问题（如已知前n项和、前2n项和求前3n项和）出发，逐步总结通性通法，搭建从实例到方法的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以问题驱动培养数学思维，通过一题多解（如例2用公式法与邻项变号法求最值）发展推理能力，结合{|an|}分段求和等实例强化数学语言表达，帮助学生形成严谨思维，教师可利用分层训练提升教学效率。

第二课时 等差数列前n项和的性质及应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 等差数列的前n项和性质的应用 【例1】　（1）等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它 的前3n项的和为（　C　） A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 解析：根据等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列.所以Sn＋（S3n－S2n）＝2（S2n－Sn），即30＋（S3n－100）＝2×（100－30），解得S3n＝210. C 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且 ＝ ，则 ＝ 　 　. 解析：由等差数列的性质知， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 等差数列的前n项和常用的性质 （1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公 差为k2d的等差数列； （2）数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn（a，b为常数）⇔数列 为等差数列； （3）设等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则 ＝ ； （4）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d： 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd， ＝ ； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an， ＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋ a13＋a14＝（　　） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 解析：　设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12， （a5＋a6＋a7＋a8）－S4＝16d，解得d＝ ，a11＋a12＋a13＋a14 ＝S4＋40d＝18. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（n＋ 3）Sn＝（2n＋70）Tn，则使得 为整数的正整数n的个数 是 ⁠. 解析：由等差数列前n项和的性质，得 ＝ .由条件可得 ＝ ，则 ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝2＋ .要使 为整数，则 必为整数，即n＋1为32的约数. 又n为正整数，所以n的取值为1，3，7，15，31，共5个. 5　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型二 等差数列的前n项和最值问题 【例2】　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最 大值. 解：设公差为d，由S17＝S9且a1＝25，得 25×17＋ d＝25×9＋ d， 解得d＝－2. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 法一（公式法）　Sn＝25n＋ ×（－2）＝－（n－13）2＋ 169. 由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 法二（邻项变号法）　∵a1＝25＞0， 由 得即12 ≤n≤13 . 又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值，最大值为25×13＋ × （－2）＝169. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【母题探究】 1. （变设问）本例条件不变，试求 的前n项和Tn. 解：由本例知Sn＝－n2＋26n， 令bn＝ ＝－n＋26， ∴{bn}是以25为首项，公差为－1的等差数列， ∴Tn＝25n＋ ×（－1）＝－ n2＋ n. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. （变条件）若本例中的条件“a1＝25，S17＝S9”换为“a1＋a4＋a7 ＝99，a2＋a5＋a8＝93”，试求Sn的最大值. 解：因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝ 31，故公差d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝41－2n， 所以a1＝39，Sn＝39n＋ ×（－2）＝40n－n2. 当Sn取得最大值时，满足 即19 ≤n≤20 . 因为n∈N＋，所以当n＝20时，Sn有最大值S20＝400. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 （1）将Sn＝na1＋ d＝ n2＋ n配方，转化为求二次 函数的最值问题，借助函数单调性来解决； 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）邻项变号法： 当a1＞0，d＜0时，满足的项数n使Sn取最大值； 当a1＜0，d＞0时，满足的项数n使Sn取最小值. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当 Sn取最小值时，n等于（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析：　设等差数列的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6， ∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.∴Sn＝－11n ＋ ×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，故当n＝6时，Sn取得最 小值，故选A. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型三 求数列{｜an｜}的前n项和 【例3】　在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a1a3＝ （2a2＋2）2. （1）求d，an； 解：因为5a1a3＝（2a2＋2）2，a1＝10， 所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4. 故an＝－n＋11或an＝4n＋6. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若d＜0，求｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜. 解：因为d＜0，所以由（1）得d＝－1，an＝－n＋11. 设数列{an}的前n项和为Sn， 当n≤11时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝Sn＝－ n2＋ n； 当n≥12时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝－Sn＋ 2S11＝ n2－ n＋110. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 求数列{｜an｜}前n项和的方法 　　给出数列{an}，要求数列{｜an｜}的前n项和，关键是分清n取 什么值时an＞0（an＜0）. 　　一般地，如果数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝｜ a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，那么有： （1）若a1＞0，d＜0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1＜0，从而有 Tn＝ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若a1＜0，d＞0，则存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1＞0，从而有 Tn＝ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　 在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{｜an｜}的前n 项和. 解：设等差数列{an}的公差为d，则 d＝ ＝ ＝3， 所以an＝a1＋（n－1）d＝－60＋3（n－1）＝3n－63. 又因为an＜0时，3n－63＜0，即n＜21， 所以等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 设Sn和Sn'分别表示数列{an}和{｜an｜}的前n项和. 当0＜n≤20时，Sn'＝－Sn＝－［－60n＋ ］＝－ n2＋ n； 当n＞20时， Sn'＝－S20＋（Sn－S20）＝Sn－2S20 ＝－60n＋ －2× ＝ n2－ n＋1 260. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 所以数列{｜an｜}的前n项和为 Sn'＝ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18 ＝（　　） A. 36 B. 18 C. 72 D. 9 解析：　由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋ （S6－S3）＋（S9－S6）＋…＋（S18－S15）＝ ＝36. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差 为5°，那么这个多边形的边数n等于（　　） A. 12 B. 16 C. 9 D. 16或9 解析：　设凸多边形的内角组成的等差数列为{an}，则an＝120 ＋5（n－1）＝5n＋115，由an＜180，得n＜13且n∈N＋.由n边形 内角和定理得，（n－2）×180＝n×120＋ ×5.解得n＝ 16或n＝9.因为n＜13，所以n＝9. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－35，则当 Sn取得最小值时，n的值是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析：　∵数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－ 35，∴数列{an}是等差数列，公差d＝an＋1－an＝2，5a1＋10d＝ －35，解得a1＝－11.∴Sn＝－11n＋ ×2＝n2－12n＝ （n－6）2－36，∴当Sn取得最小值时，n的值是6. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. （多选）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下 列四个命题正确的是（　　） A. d＜0 B. S11＞0 C. S12＜0 D. 数列{Sn}中的最大项为S11 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞ 0，∴d＜0，A正确；又∵S11＝ （a1＋a11）＝11a6＞0，B正 确；S12＝ （a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最 大项为S6，D不正确. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则 这个数列的中间项是 ，项数是 ⁠. 解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1 ＝ ＝（n＋1）an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋ a2n＝ ＝nan＋1，所以 ＝ ＝ ，解得n＝3，所 以项数为2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求 中间项. 11　 7　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数 项的和为150，则n等于（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 解析：　∵ ＝ ，∴ ＝ .∴n＝10，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋ λ，则λ的值是（　　） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝a1 ＋a200 ，且 A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（　　） A. 100 B. 101 C. 200 D. 201 解析：　由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1， ∴S200＝ （a1＋a200）＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 已知等差数列{an}的前n项的为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－ ＝0，S2m－1＝38，则m＝（　　） A. 38 B. 20 C. 10 D. 9 解析：　根据等差数列的性质可得am－1＋am＋1＝2am.∵am－1＋ am＋1－ ＝0，∴am＝0或am＝2.若am＝0，显然S2m－1＝（2m－ 1）am＝38不成立，∴am＝2.∴S2m－1＝（2m－1）am＝38，解得 m＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝S10，S6＝Sk，则k的值 是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析：　∵等差数列{an}的前n项和Sn＝ n2＋ n可看作 是关于n的二次函数且S3＝S10，∴对称轴方程为n＝ ＝ .又 ∵S6＝Sk，∴ ＝ ，解得k＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 6. （多选）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1.若a1＋3a5＝ S7，则以下结论一定正确的是（　　） A. a5＝1 B. Sn的最小值为S3 C. S1＝S6 D. Sn存在最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　因为a1＋3a5＝S7，所以a1＋3（a1＋4d）＝7a1＋ d，又因为d＝1，解得a1＝－3.对选项A，a5＝a1＋4d＝1，故A正 确；对选项B，an＝－3＋n－1＝n－4，因为a1＝－3＜0，a3＝－1 ＜0，a4＝0，a5＝1＞0，所以Sn的最小值为S3或S4，故B错误；对 选项C，S6－S1＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4，又因为a4＝0，所以 S6－S1＝0，即S1＝S6，故C正确；对选项D，因为a1＝－3＜0，d ＝1＞0，所以Sn无最大值，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6 ＝7，则S9－S6＝ ⁠. 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4 ＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a2＋a8＝6，S5＝－5，则 a6＝ ，Sn的最小值为 ⁠. 解析：依题意得：解得所以a6＝－ 5＋10＝5，Sn＝－5n＋ ×2＝n2－6n，当n＝3时，Sn的 最小值为－9. 5　 －9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 9. 若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜ 0，则使前n项和Sn＜0的最大自然数n是 　405 　. 解析：由a203＋a204＞0知a1＋a406＞0，即S406＞0，又由a1＜0且 a203·a204＜0，知a203＜0，a204＞0，所以公差d＞0，则数列{an}的 前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0，所以使 前n项和Sn＜0的最大自然数n＝405. 405 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝｜a1｜＋｜a2｜ ＋…＋｜an｜，求Tn. 解：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n. 当n≤4时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜ ＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋ d ＝13n＋ ×（－4）＝15n－2n2； 当n≥5时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜ ＝（a1＋a2＋a3＋a4）－（a5＋a6＋…＋an） ＝S4－（Sn－S4）＝2S4－Sn ＝2× －（15n－2n2）＝2n2－15n＋56. ∴Tn＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 11. 在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那 么此数列前20项的和为（　　） A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 解析：　法一　设数列{an}的公差为d，由题意得 解得故S20＝ 20a1＋ ×d＝180. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 法二　由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝ 3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10（a1＋a20）＝10（a2＋a19）＝ 10×（－8＋26）＝180. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 12. （多选）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝ 12，S12＞0，a7＜0，则（　　） A. a6＞0 B. － ＜d＜－3 C. Sn＜0时，n的最小值为14 D. 数列 中最小项为第7项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　依题意得a3＝a1＋2d＝12，a1＝12－2d，S12＝ ×12＝6（a6＋a7）.而a7＜0，所以a6＞0，a1＞0，d＜ 0，A选项正确.且解得－ ＜d＜－3，B选项正确.由于S13＝ ×13＝13a7＜0，而S12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ＞0，所以Sn＜0时，n的最小值为13，C选项错误.由上述分析可 知，n∈[1，6]时，an＞0，n≥7时，an＜0；当n∈[1，12]时， Sn＞0，当n≥13时，Sn＜0.所以当n∈[7，12]时，an＜0，Sn＞ 0， ＜0，且当n∈[7，12]时，｜an｜为递增数列，Sn为正数且 为递减数列，所以数列 中最小项为第7项，D选项正确.故选 A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 在等差数列{an}中，3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和. （1）若a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值； 解：法一　设{an}的公差为d， 由3a5＝5a8，得3（a1＋4d）＝5（a1＋7d）， ∴d＝－ a1. ∴Sn＝na1＋ × ＝－ a1n2＋ a1n＝－ a1（n－12）2＋ a1. ∵a1＞0，∴当n＝12时，Sn取得最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 法二　由3a5＝5a8得9a5＝15a8，∴S9＝S15.由Sn对应的二次函数图象 的对称性可知，当n＝ ＝12时，Sn取得最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若a1＝－46，记bn＝ ，求bn的最小值. 解：由（1）及a1＝－46，得d＝－ ×（－46）＝4， ∴an＝－46＋（n－1）×4＝4n－50， Sn＝－46n＋ ×4＝2n2－48n. ∴bn＝ ＝ ＝2n＋ －52≥2 －52＝－32， 当且仅当2n＝ ，即n＝5时，等号成立. 故bn的最小值为－32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 14. 已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依 次构成公差为d2的等差数列（其中d1，d2为整数），且对任意 n∈N＋，都有an＜an＋1，若a1＝1，a2＝2，且数列{an}的前10项 和S10＝75，则d1＝ ，a8＝ ⁠. 3　 11　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：由题意知，S10＝5×1＋ d1＋5×2＋ d2＝75，故d1＋ d2＝6.∵对任意n∈N＋，都有an＜an＋1，∴a2k－1＜a2k＜a2k＋1 （k∈N＋），即1＋（k－1）d1＜2＋（k－1）d2＜1＋kd1，取k ＝2时，可得1＋d1＜2＋d2＜1＋2d1，结合d1＋d2＝6可解得 ＜d1 ＜ ， ＜d2＜ ，又d1，d2为整数，∴d1＝3＝d2.∴a8＝a2＋3d2 ＝2＋3×3＝11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 15. 在①a5＝6，a1＋S3＝50；②S12＞S9，a2＋a21＜0；③S9＞0，S10 ＜0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题. 问题：设等差数列{an}的前n项和为Sn， 　　，判断Sn是否存 在最大值，若存在，求出Sn取最大值时n的值；若不存在，说 明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：选①：设数列{an}的公差为d，a5＝6，a1＋S3＝50， 则解得a1＝14，d＝－2，即an＝14－2（n－ 1）＝16－2n， 当an≥0时，有16－2n≥0，得n≤8， ∴当n≤7时，an＞0；n＝8时，an＝0；n≥9时，an＜0， ∴n＝7或n＝8时，Sn取最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 选②：设数列{an}的公差为d，由S12－S9＞0，得a12＋a11＋a10 ＞0，由等差中项的性质有3a11＞0，即a11＞0， 由a2＋a21＜0，得a2＋a21＝a11＋a12＜0， ∴a12＜0，故d＝a12－a11＜0， ∴当n≤11时，an＞0，n≥12时，an＜0，故n＝11时，Sn取最 大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 选③：设数列{an}的公差为d，由S9＞0，得S9＝ ＝ ＞0，可得a5＞0，由S10＜0，得S10＝ ＝ ＜0，可得a5＋a6＜0，∴a6＜0，故d＝a6－a5＜0， ∴当n≤5时，an＞0，n≥6时，an＜0，故n＝5时，Sn取最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） $