5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦等差中项定义及等差数列性质，通过“球的层数规律”情境导入，承接等差数列定义，结合课前预习、自我诊断及辨析题，搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于融入数学抽象、运算与建模素养，如通过金棰重量、利润问题等实例培养建模能力，典型例题分层设计并总结通性通法，分层练习满足不同需求。学生能提升逻辑思维与解题能力，教师可高效实施分层教学。

第二课时　等差数列的性质 新课程标准解读 核心素养 1.掌握等差中项的定义，会利用等差中项 解决相关的问题 数学抽象 2.理解并掌握等差数列的性质及数列在实 际问题中的应用 数学运算、数学建模 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球. 【问题】　（1）每隔一层的球数有什么规律？ （2）每隔二层呢？每隔三层呢？ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点一　等差中项 　如果x，A，y是等差数列，那么称 为x与y的等差中项，根 据等差中项与等差数列的定义可知，A＝ ⁠. A　 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【想一想】 1. 任何两个实数都有等差中项吗？ 提示：任何两个实数都有等差中项. 2. 若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列 吗？ 提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c 为等差数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1.645和897的等差中项为 ⁠. 解析： ＝771. 2. 已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差 中项为2，则公差d＝ ⁠. 解析：∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加 得a3－a1＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2， ∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4 －2，解得d＝1. 771　 1　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点二　等差数列的性质 1. 等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋（n－1）d （揭示首末两项的关系） an＝am＋（n－m）d （揭示任意两项之间的关系） 2. 等差数列的性质 （1）如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p ＋q，则as＋at＝ ⁠. ①特别地，当p＋q＝2s时，ap＋aq＝ ⁠； ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. ap＋aq　 2as　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}（c为任一常数）是公差为 的等差数列； ②{can}（c为任一常数）是公差为 的等差数列； ③{an＋an＋k}（k为常数，k∈N＋）是公差为 ⁠的等差 数列. d　 cd　 2d　 （3）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan ＋qbn}（p，q为常数）是公差为 的等差数列. pd1＋qd2　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【想一想】 　下列说法是否正确？并说明理由. （1）若{an}是等差数列，则{｜an｜}也是等差数列； 提示： 错误.如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对 值就不是等差数列. （2）若{｜an｜}是等差数列，则{an}也是等差数列； 提示： 错误.如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差 数列，但其本身不是等差数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （3）若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2； 提示： 正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋， 都有2an＋1＝an＋an＋2成立. （4）数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y ＝3x＋5的图象的斜率相等. 提示： 正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x ＋5的斜率也是3. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a4＋a9＝（　　） A. 32 B. 21 C. －33 D. 29 解析：　由等差数列的性质知a4＋a9＝a5＋a8＝21. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝ （　　） A. 90 B. 270 C. 180 D. 360 解析：　因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所 以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值 为 ⁠. 解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30. 30　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 等差中项的应用 【例1】　（1）在△ABC中，若角B是A与C的等差中项，则 cos B＝ （　　） A. B. － C. D. － 解析： 　∵角B是A与C的等差中项，∴2B＝A＋C， 又∵A＋C＋B＝π，∴3B＝π，即B＝ .∴ cos B＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若 是 与 的等差中项，求证： ， ， 成等差数 列. 证明：∵ 是 与 的等差中项， ∴ ＝ ＋ ，即2ac＝b（a＋c）. ∵ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴ 是 与 的等差中项， ∴ ， ， 成等差数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 　　a，b，c成等差数列的充要条件是b＝ （或2b＝a＋c）， 可利用此关系进行等差数列的判断或有关等差中项的计算.如若证 {an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋）. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的 等差中项是（　　） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 解析：　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的 等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋ n＝6.所以m和n的等差中项为 ＝3. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 若 ， ， 是等差数列，求证：b2是a2与c2的等差中项. 证明：由已知得 ＋ ＝ ，通分有 ＝ . 进一步变形有2（b＋c）（a＋b）＝（2b＋a＋c）（a＋c）， 整理得a2＋c2＝2b2，所以b2是a2与c2的等差中项. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型二 等差数列性质的应用 【例2】　（1）已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4 ＋a5＝（　　） A. 30 B. 15 C. 5 D. 10 解析：∵数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝6，∴a3 ＝3.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝ 100，则a37＋b37＝（　　） A. 0 B. 37 C. 100 D. －37 解析：设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也 是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100， ∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0，∴c37＝100，即a37＋b37＝100. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【母题探究】 1. （变条件）若本例（1）中的条件“a2＋a4＝6”变为“a1＋a5＝ 6”，其他条件不变，结论又如何呢？ 解：由等差数列的性质知， a1＋a5＝2a3，∴a3＝ ＝ ＝3， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（a1＋a5）＋（a2＋a4）＋a3＝2a3＋2a3 ＋a3＝5a3＝15. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. （变设问）若本例（2）条件不变，令cn＝an＋bn，求数列{cn}的 通项公式. 解：由等差数列的性质知{cn}也是等差数列， 且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100， ∴公差d＝c2－c1＝0，∴cn＝c1＋（n－1）d＝100. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 1. 本例（1）的求解主要用到了等差数列的性质：若s＋t＝p＋q， 则as＋at＝ap＋aq. 对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定 成立.例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1 ＋a21＝2a11. 2. 本例（2）应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则 {an＋bn}也是等差数列.灵活运用等差数列的某些性质，可以提高 我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的训练. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为 （　　） A. 10 B. －10 C. 15 D. －15 解析：　法一　设等差数列{an}的公差为d，则30＝（a1＋3d） ＋（a1＋6d）＋（a1＋9d）＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.a3－2a5 ＝（a1＋2d）－2（a1＋4d）＝－a1－6d＝－10. 法二　由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.a3－ 2a5＝a3－（a3＋a7）＝－a7＝－10. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8 ＝ ⁠. 解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴（a3＋a7）＋（a4＋a6）＋a5＝ 5a5＝450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180. 180　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型三 等差数列的实际应用 【例3】　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二 年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按 照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年 起，该公司经销这一产品将亏损？ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20（n∈N＋）， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）＝220－20n. 若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an＝220－20n＜0，得n＞11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 （1）解决等差数列实际应用问题的基本步骤：①将已知条件翻译成 数学语言，将实际问题转化成数学问题；②构建等差数列模 型，由条件确定a1，d，n，an（或其中两个）；③利用通项公 式或等差数列的性质求解等差数列问题；④将所求结果还原到 实际问题中. （2）在解决与等差数列有关的实际问题时，一定要弄清首项、项数 等关键点. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　现有一古题：“今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”大致意思是：“现有一根金棰，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，问中间三尺共重多少斤.”若从头到尾，该金棰每一尺的质量构成等差数列，则该问题的答案为（　　） A. 6斤 B. 7斤 C. 8斤 D. 9斤 解析： 　设每一尺的重量构成等差数列{an}，由题意知，a1＝4，a5 ＝2，∴2a3＝a1＋a5＝6，即a3＝3，∴a2＋a3＋a4＝3a3＝9. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. （多选）在等差数列{an}中，a2＝2，a8＝6，则a2与a8的等差中项 是（　　） A. a5 B. a4 C. 3 D. 4 解析： 　∵a2＋a8＝2a5，∴a5是a2与a8的等差中项.又∵a5＝ ＝4，∴a2与a8的等差中项为4. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 解析： 　因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（　　） A. 26 B. 29 C. 39 D. 52 解析： 　因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等 差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所 以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下 降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气 温是－17.5 ℃，则4 km高度的气温是 ℃. 解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝ 8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－ 6.5，∴an＝15－6.5n.∴a4＝－11. －11　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的 通项公式. 解：设公差为d，∵a1＋a7＝2a4， ∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15. ∴a4＝5. 又∵a2a4a6＝45， ∴a2a6＝9， 即（a4－2d）（a4＋2d）＝9，亦即（5－2d）（5＋2d）＝9， 解得d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋（n－4）d＝2n－3； 若d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝13－2n. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 等差数列{an}中a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝（　　） A. 35 B. 38 C. 45 D. 48 解析：　由等差数列的性质知a3＋a5＝a2＋a6＝38. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 已知等差数列{an}：1，0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0， 20，40，60，…，则数列{an＋bn}是（　　） A. 公差为－1的等差数列 B. 公差为20的等差数列 C. 公差为－20的等差数列 D. 公差为19的等差数列 解析：　（a2＋b2）－（a1＋b1）＝（a2－a1）＋（b2－b1）＝ －1＋20＝19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各 节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4 升，则第5节的容积为（　　） A. 1升 B. 升 C. 升 D. 升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有 即化简得 解得则a5＝a1＋4d＝ ，故第5节的容 积为 升. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 已知等差数列{an}满足a4＋a5＝24，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝ 48，则{an}的公差为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 解析： 　因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝48，所以3（a3＋a4）＝ 48，即a3＋a4＝16， ① 又因为a4＋a5＝24. ② ②－①得a5－a3＝8，故d＝ ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. （多选）设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则 a，b的关系正确的是（　　） A. a＝－b B. a＝3b C. a＝－3b D. a＝b 解析： 　由等差中项的定义知：x＝ ，x2＝ ，∴ ＝ ，即a2－2ab－3b2＝0. 故a＝－b或a＝3b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 6. （多选）等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（　　） A. 公差d＝－4 B. a2＝7 C. 数列{an}为递增数列 D. a3＋a4＋a5＝84 解析： 　∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7.∵a1＝3， ∴d＝4.∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.∴a3＋a4＋a5 ＝3a4＝45.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝ 32，若am＝8，则m＝ ⁠. 解析：因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4＝ ；a1＋a2 ＋…＋a7＝ ⁠. 解析：由a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4，a1＋a2＋…＋a7＝7a4 ＝28. 4　 28　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 9. 已知数列{an}满足①∀k∈N＋，ak＋1＞ak；②∀k∈N＋，｜ak＋1－ ak｜≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式 ⁠ （答案不唯一）. 解析：∀k∈N＋，ak＋1＞ak，说明数列是递增数列，由∀k∈N ＋，｜ak＋1－ak｜＜2，不妨设该数列为等差数列，公差为1，首项 为1，所以an＝n. an＝n（n∈N ＋）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有 销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单 价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20 元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销 售.某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少. 解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440 元，售价依台数n成等差数列.设该数列为{an}. an＝780＋（n－1）（－20）＝800－20n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18. 当购买台数小于等于18台时，每台售价为（800－20n）元，当台 数大于18台时，每台售价为440元. 到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600（元）. 作差（800－20n）n－600n＝20n（10－n）， 当n＜10时，600n＜（800－20n）n， 当n＝10时，600n＝（800－20n）n， 当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n， 当n＞18时，440n＜600n. 即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买 花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 11. （多选）在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k（k∈N＋） 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9 是数列{an}的项，则k的值可能为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　由题意得：插入k（k∈N＋）个数，则a1＝b1，a2 ＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，…，所以等差数列{an}中的项在 新的等差数列{bn}中间隔排列，且下角标是以1为首项，k＋1为 公差的等差数列，所以an＝b1＋（n－1）（k＋1），因为b9是数列{an} 的项，所以令1＋（n－1）（k＋1）＝9，n∈N＋，k∈N＋，当n ＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝ 1，故k的值可能为1，3，7，故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 12. 已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋… ＋a12＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝ ，若ak＝13，则k ＝ ⁠. 解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝ .∵a4＋a5＋…＋a14＝ 11a9＝77，∴a9＝7，∴a7＋a9＝ ，设公差为d，则d＝ .∴ak －a9＝（k－9）d，即13－7＝（k－9）× ，解得k＝18. 　 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 已知等差数列{an}的公差大于零，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝ 22. （1）求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22. 又a3·a4＝117，所以得 解得或又公差d＞0，所以a3＜a4， 所以所以解得 所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若数列{bn}满足bn＝ ，是否存在非零实数c，使数列 {bn}为等差数列？若存在，求出实数c的值；若不存在，请 说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解： 若bn＝ 为等差数列，则必有2b2＝b1＋b3， 又b1＝ ，b2＝ ，b3＝ ，其中c≠0， 所以 ×2＝ ＋ ，所以2c2＋c＝0，所以c＝－ 或c ＝0（舍去）.将c＝－ 代入bn＝ ，得bn＝2n，此时 {bn}为等差数列，即存在非零实数c＝－ ，使数列{bn}为 等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 14. 已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝ 80，则a11＋a12＋a13的值为（　　） A. 105 B. 120 C. 90 D. 75 解析：　由等差数列的性质得a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝ 5，又因为a1·a2·a3＝80，所以a1·a3＝16，所以（a2－d）·（a2＋ d）＝16，即（5－d）（5＋d）＝16，所以d2＝9，又因为d＞ 0，所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3（a2＋10d）＝3×（5 ＋10×3）＝105. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 15. 已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出 序号能被4除余3的项组成数列{bn}. （1）求b1和b2； 解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为 首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn} 也是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 因为a1＝3，d＝－5， 所以an＝3＋（n－1）×（－5）＝8－5n. 数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第 11项，…， 所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）求{bn}的通项公式； 解：设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am， 则m＝3＋4（n－1）＝4n－1， 所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×（4n－1）＝13－20n， 即{bn}的通项公式为bn＝13－20n（n∈N＋）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解： b503＝13－20×503＝－10 047， 设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m， 解得m＝2 011， 即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项. （3）{bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） $