5.1.2 数列中的递推-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦数列的递推关系与前n项和，通过剧场座位情境导入，引导学生从具体问题中抽象出递推公式，衔接数列基本概念，为后续累加法、累乘法求通项及Sn与an关系学习搭建支架。 其亮点在于以数学抽象和数学运算为核心，通过情境问题、分题型例题（如累加法、累乘法）及通性通法总结，培养学生逻辑推理能力。分层练习（A级巩固、C级拓展）适配不同学情，助力学生掌握递推应用，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

5.1.2　数列中的递推 新课程标准解读 核心素养 1.了解数列的递推公式，会用数列的递推公式求 前几项 数学运算、数学 抽象 2.理解数列的前n项和的定义，会利用数列的前n 项和公式求通项an 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　某剧场有30排座位，第一排有7个座位，从第二排起，后一排都 比前一排多2个座位（如图）. 【问题】　（1）写出前五排座位数； （2）第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点一　数列的递推关系 　如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上 的关系都可以用 来表示，则称这个公式为数列的递推关 系（也称为递推公式或递归公式）. 一个公式　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 提醒　对数列递推公式的再理解：①并不是所有的数列都有递推公 式.例如 精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列 数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式；②递推公式也是给 出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的 恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各 项；③递推公式通过赋值逐项求出数列的项. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 符合递推关系式a1＝1，an＝ an－1的数列是（　　） A. 1，2，3，4，… B. 1， ，2，2 ，… C. ，2， ，2，… D. 0， ，2，2 ，… 解析：　B中相邻的两项，后一项是前一项的 倍，符合递推公 式an＝ an－1. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝（　　） A. －3 B. －11 C. －5 D. 19 解析：　由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，则a3＝a1＋a2 ＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原 子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化 学键（　　） A. 6n个 B. （4n＋2）个 C. （5n－1）个 D. （5n＋1）个 解析：　由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6 ＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋ 3×5，…，于是第n个图形有（5n＋1）个化学键.故选D. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 已知a1＝1，an＝1＋ （n≥2），则a5＝ 　 　. 解析：由a1＝1，an＝1＋ ，得a2＝2，a3＝ ，a4＝ ，a5＝ . 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点二　数列的前n项和 1. 定义：给定数列{an}，称Sn＝ 为数列{an} 的前n项和. 2. 数列的前n项和Sn与通项an的关系 a1＋a2＋a3＋…＋an　 （1）当 时，a1＝S1； （2）当 时，an＝Sn－Sn－1. 综上所述：an＝ n＝1　 n≥2且n∈N＋　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 提醒　应用数列前n项和公式的易错点：在应用数列的前n项 和公式求通项时，往往容易忽略验证n＝1时的情况，而是直 接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用 于n≥2的情形. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 　已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2＋n，则an＝ ⁠. 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2（n－1）2－（n－1） ＝4n－1.当n＝1时，a1＝S1＝2×1＋1＝3＝4×1－1，满足上式， ∴an＝4n－1（n∈N＋）. 4n－1　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 由递推公式求数列的项 【例1】　数列{an}中，a1＝1，a2＝3， －anan＋2＝（－1）n， 求{an}的前5项. 解：由 －anan＋2＝（－1）n，得an＋2＝ ，又∵a1＝ 1，a2＝3，∴a3＝ ＝ ＝10，a4＝ ＝ ＝ 33，a5＝ ＝ ＝109，∴数列{an}的前5项为1，3，10， 33，109. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 由递推公式求数列的项的方法 （1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分 的关系，依次代入计算即可； （2）若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面 的项的形式； （3）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面 的项的形式. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ ，n∈N＋，求a2 025. 解：由题意得， a2＝ ＝ ＝－3， a3＝ ＝ ＝－ ， a4＝ ＝ ＝ ， 目录 数学·选择性必修第三册（B版） a5＝ ＝ ＝2＝a1， ∴{an}是周期为4的数列， ∴a2 025＝a4×506＋1＝a1＝2. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型二 由递推公式求通项公式 角度1　累加法求通项公式 【例2】　已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋ ，n∈N ＋，求数列的通项公式an. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：∵an＋1－an＝ ， ∴a2－a1＝ ，a3－a2＝ ，a4－a3＝ ，…，an－an－1＝ ， 以上各式累加得，an－a1＝ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝1－ . ∵a1＝－1，∴an＋1＝1－ ， 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ∴an＝－ （n≥2）. 又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式， ∴an＝－ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 角度2　累乘法求通项公式 【例3】　设数列{an}中，a1＝1，an＝ an－1（n≥2），求数 列的通项公式an. 解：∵a1＝1，an＝ an－1（n≥2）， ∴ ＝ ， an＝ × × ×…× × ×a1 ＝ × × ×…× × ×1＝ . 又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 　　由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f （n）或an＋1＝g（n）·an，则可以分别通过累加法或累乘法求得通 项公式，即： （1）累加法：当an＝an－1＋f（n）时，常用an＝（an－an－1）＋ （an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1求通项公式； （2）累乘法：当 ＝g（n）时，常用an＝ · ·…· ·a1求通 项公式. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3 项，则这个数列的一个通项公式为 ⁠. an＝4n＋2　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：我们把图案按如下规律分解：这三个图案中白色正六边形的个数依次为6，6＋4，6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4（n－1）＝4n＋2. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 已知数列{an}中a1＝ ，an＝ an－1（n≥2），求数列{an}的通 项公式. 解：因为an＝ an－1（n≥2）， 所以当n≥2时， ＝ ， 所以 ＝ ， ＝ ，…， ＝ ， ＝ ， 以上n－1个式子相乘得 · ·…· · ＝ · ·…· · ， 即 ＝ × ×2×1，又a1＝ ，所以an＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 当n＝1时，a1＝ ＝ ，与已知a1＝ 相符， 所以数列{an}的通项公式为an＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型三 根据数列的前n项和公式求通项 【例4】　已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式. （1）Sn＝2n2－3n； 解：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2－3n）－[2（n－1）2－3（n －1）]＝4n－5， 由于a1也适合此式， 所以an＝4n－5. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）Sn＝3n＋b. 解：当n＝1时，a1＝S1＝3＋b； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋b）－（3n－1＋b）＝2·3n－1. 当b＝－1时，a1适合此式. 当b≠－1时，a1不适合此式. 所以当b＝－1时，an＝2·3n－1； 当b≠－1时，an＝ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【母题探究】 　（变条件）本例条件变为“Sn＝ 且a4＝54”问题不变. 解：因为a4＝S4－S3＝ － ＝ （81－27）＝ 27a1＝54，所以a1＝2，所以Sn＝3n－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－（3n－1－1）＝2×3n－1. 而2×31－1＝2＝a1， 故数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 已知Sn求an的步骤 （1）先利用a1＝S1求出a1； （2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1 （n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式； （3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式.如 果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该 分n＝1与n≥2两段来写. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　 已知数列{an}的前n项和为Sn. （1）若Sn＝（－1）n＋1·n，求a5＋a6及an； 解：a5＋a6＝S6－S4＝（－6）－（－4）＝－2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（－1）n＋1·n－（－1）n·（n－1） ＝（－1）n＋1·[n＋（n－1）]＝（－1）n＋1·（2n－1）， 又因为a1也适合此式， 所以an＝（－1）n＋1·（2n－1）. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若Sn＝3n＋2n＋1，求an. 解：因为当n＝1时，a1＝S1＝6； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2n＋1）－[3n－1＋2（n－ 1）＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式， 所以an＝ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型四 数列的最大（小）项问题 【例5】　已知数列{an}的通项公式是an＝ · ，试问该数 列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说 明理由. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：法一　an＋1－an＝（n＋2） －（n＋1）· ＝ ， 当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an. 则a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10× . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 法二　根据题意，令（n＞1）， 即（n＞1）， 解得9≤n≤10. 又n∈N＋，则n＝9或n＝10. 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10× . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 1. 由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数 列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的 定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}这一条件. 2. 可以利用不等式组（n＞1）找到数列的最大项；利 用不等式组（n＞1）找到数列的最小项. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　数列{an}满足an＝ ，若ap最大，aq最小，则p＋q ＝ ⁠. 解析：an＝ ＝1＋ .由于44＜ ＜45，则当 n≤44时，an＝1－ ＜1且数列{an}递减；当n≥45时，an ＝1＋ ＞1且数列{an}递减.所以a44最小，a45最大，即p ＝45，q＝44，故p＋q＝45＋44＝89. 89　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝ an＋ ，则此数列 的第4项是（　　） A. 1 B. C. D. 解析：　由a1＝1，∴a2＝ a1＋ ＝1，依此类推，a4＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则 a3＋a5＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由题意a1a2＝22，a1a2a3＝32，a1a2a3a4＝42， a1a2a3a4a5＝52，则a3＝ ＝ ，a5＝ ＝ .故a3＋a5＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝1＋ ，且a5＝0，则a的值为 （　　） A. － B. － C. － D. － 解析：　由a5＝0倒推可求得a4＝－1，再求a3＝－ ，a2＝－ ， 从而可得a1＝－ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an ＝ .　 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋1）－（3n－1＋1）＝2×3n－1. 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1， 所以an＝ 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 设{an}是首项为1的正项数列，且（n＋1） －n ＋anan＋1＝ 0（n＝1，2，3，…），则通项公式an＝ ⁠. 解析：由（n＋1） －n ＋anan＋1＝[（n＋1）an＋1－ nan]·（an＋1＋an）＝0，可得 ＝ ，将 ＝ ， ＝ ，…， ＝ ，叠乘可得an＝ . 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5＝（　　） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 解析：　∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝2×1＋1 ＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2，则a8＝（　　） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 解析：　a8＝S8－S7＝82－72＝64－49＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 若数列{an}满足an＋1＝ （n∈N＋），且a1＝1，则a17＝ （　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 解析：　由an＋1＝ 得an＋1－an＝ ，a17＝a1＋（a2－a1）＋ （a3－a2）＋…＋（a17－a16）＝1＋ ×16＝13，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 已知数列{an}满足：a1＝ ，对于任意的n∈N＋，an＋1＝ an（1－ an），则a2 024－a2 025＝（　　） A. － B. C. － D. 解析：　a1＝ ，a2＝ × × ＝ ，a3＝ × × ＝ ，a4＝ × × ＝ ，…，归纳可知，当n＞1时，若n为奇数，an＝ ；若 n为偶数，an＝ ，所以a2 024－a2 025＝ － ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. （多选）数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是 （　　 ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 解析： 　an＝－n2＋11n＝－ ＋ ， ∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 6. （多选）若数列{an}满足an＋1＝a1＝ ， 则数列{an}中的项的值可能为（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　数列{an}满足an＋1＝a1＝ ，依次取n＝1，2，3，4，…，代入计算得，a2＝2a1－1＝ ，a3 ＝2a2＝ ，a4＝2a3＝ ，a5＝2a4－1＝ ＝a1，…，继续下去会循 环，数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为 ， ， ， .故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶数列的求和问题，如数 列 就是二阶数列.数列 （n∈N＋）的前3项和 是 ⁠. 解析：设an＝ ，前3项和S3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋6＝10. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 已知数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时， － ＝1，则an ＝ ⁠. 解析：当n≥2时，an－an－1＝2，则an－1－an－2＝2，…，a2－a1＝ 2，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋ a1＝2（n－1）＋1＝2n－1，又a1＝1符合上式，因此an＝2n－1. 2n－1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 9. 如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个 点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N ＋）的前12项，如表所示. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 … x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 按如此规律下去，a2 023＋a2 024＋a2 025＝ ⁠. 解析：将数列{an}的奇数项、偶数项分开看，奇数项为1，－1， 2，－2，…，发现a2n－1＋a2n＋1＝0，∴a2 023＋a2 025＝a2×1 012－1＋ a2×1 012＋1＝0；偶数项为1，2，3，…，∴a2n＝n，当2n＝2 024 时，a2 024＝1 012，∴a2 023＋a2 024＋a2 025＝1 012. 1 012　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－9n. （1）求an； 解：当n＝1时，a1＝S1＝1－9＝－8； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[（n－1）2－9（n－1）]＝2n－10. 注意到n＝1时也满足a1＝2×1－10＝－8， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若它的第k项满足5＜ak＜8，求k的值. 解：因为5＜ak＜8，即5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9. 又k∈N＋，所以k＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 11. 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2（n∈N＋），则当n≥2时，下 列不等式成立的是（　　） A. Sn＞na1＞nan B. Sn＞nan＞na1 C. na1＞Sn＞nan D. nan＞Sn＞na1 解析：　由an＝解得an＝5－4n，a1＝1， 所以na1＝n，所以nan＝5n－4n2，因为na1－Sn＝n－（3n－ 2n2）＝2n2－2n＝2n（n－1）＞0（当n≥2时）.Sn－nan＝3n －2n2－（5n－4n2）＝2n2－2n＞0（当n≥2时）.所以na1＞Sn ＞nan. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 12. 已知数列{an}中，a1＝2，nan＋1＝（n＋1）an＋1，若对于任意 的n∈N＋，不等式 ＜2t2－1恒成立，则实数t的取值范围 为 ⁠. ∪ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：由题意数列{an}中，nan＋1＝（n＋1）an＋1，即nan＋1－ （n＋1）an＝1，则有 － ＝ ＝ － ，则有 ＝ ＋ ＋（ － ）＋…＋ ＋ a1＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋2＝3－ ＜3，又对于任意的n∈N＋，不等式 ＜2t2－1恒成立，即 3≤2t2－1恒成立，解得t≤－ 或t≥ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 已知数列{an}满足a1＝ ，anan－1＝an－1－an（n≥2），且 an≠0，求数列{an}的通项公式. 解：∵anan－1＝an－1－an，且an≠0， ∴当n≥2时， － ＝1. ∴ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1. ∴ ＝n＋1，∴an＝ （n≥2）. 又∵n＝1时，a1＝ ，符合上式，∴an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 14. （多选）数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐 波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔 子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项 开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn， 则下列结论正确的是（　　） A. S5＝F7－1 B. S5＝S6－1 C. S2 023＝F2 025－1 D. S2 023＝F2 024－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2（n≥3），所以S3＝F1 ＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝ F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6 －1＝F7－1，…，所以S2 023＝F2 025－1.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 15. 已知首项为x1的数列{xn}满足xn＋1＝ （a为常数）. （1）若对于任意的x1≠－1，都有xn＋2＝xn（n∈N＋）成立，求 a的值； 解：∵xn＋2＝ ＝ ＝ ＝xn， ∴a2xn＝（a＋1） ＋xn，即（a2－1）xn＝（a＋1） . 令n＝1，得（a2－1）x1＝（a＋1） ， 要使该式对任意的x1≠－1都成立， 则有解得a＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）当a＝1时，若x1＞0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？ 请说明理由. 解：数列{xn}是递减数列. 理由如下：∵x1＞0，xn＋1＝ ， ∴xn＞0. 又∵xn＋1－xn＝ －xn＝－ ＜0， ∴数列{xn}是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） $