5.1.1 数列的概念-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件围绕“数列的概念”展开，涵盖定义、分类、通项公式及与函数关系等核心知识。通过毕达哥拉斯“形数”实例导入，从三角形数、正方形数等生活现象抽象出数列概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实（如形数实例），“数学思维”分析问题（如通项公式推导、单调性判断通法），“数学语言”表达规律（如分段数列表示）。题型分层（基础到拓展）、通性通法总结（如作差法判断单调性），助力学生提升探究能力，为教师提供系统教学资源。

5.1.1　数列的概念 新课程标准解读 核心素养 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的 概念和表示方法（列表、图象、通项公 式），了解数列是一种特殊函数 数学运算、数学抽象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他 们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆 成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当 小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如 图①.他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数 时，小石子都能摆成正方形，如图②.他把这些数叫作正方形数，等 等.每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【问题】　（1）数列的有关概念是什么？ （2）数列可分为哪几类？ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点一　数列的概念及分类 1. 数列的概念 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 数列的分类 类别 含义 有穷数列 ⁠的数列 无穷数列 ⁠的数列 项数有限　 项数无限　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【想一想】 1.2，3，4，5和5，4，3，2是相同的数列吗？ 提示：不是. 2. 一列由小到大排序的偶数是否可以构成一个数列，这个数列是有穷 数列，还是无穷数列？ 提示：可以构成数列，且是无穷数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 下列有关数列的说法正确的是（　　） A. 同一数列的任意两项均不可能相同 B. 数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列 C. 数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} D. 数列中的每一项都与它的序号有关 解析：　A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的 各项都是3；B是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1中项的 顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，{1，3，5，7}是一个 集合；D是正确的. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 数列 ，2 ， ，3 ，…，则该数列的第6项是 　2 　. 解析：数列中每一项的被开方数均比前一项大5，故第6项为 ＝ 2 . 2 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点二　数列的通项公式 1. 数列的通项及表示 因为数列从首项起，每一项都与 对应，所以数列的一般 形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的 第 项（也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋）， 称为数列的通项，一般将整个数列简记为{an}. 正整数　 n　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 数列的通项公式 如果数列的第n项an与 之间的关系可以用an＝f（n）来表 示，其中f（n）是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关 系式为这个数列的一个通项公式. n　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【想一想】 1. 是否所有的数列都有通项公式？ 提示：并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似 值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…， 它没有通项公式. 2. 如果数列的每一项均为常数k，则数列的通项公式该如何表示？ 提示：an＝k. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 若数列{an}有通项公式，那么它的通项公式唯一吗？ 提示：一般不唯一.如数列1，－1，1，－1，…，的通项公式为an ＝或an＝ cos （n－1）π. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3＝ ⁠. 解析：由an＝得a2＝2，a3＝10， 所以a2·a3＝20. 20　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 若数列{an}的通项满足 ＝n－2，那么15是这个数列的第 ⁠ 项. 解析：由 ＝n－2可知，an＝n2－2n， 令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3（舍去）. 5　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知识点三　数列与函数 1. 数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就 是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项 公式也就是相应函数的解析式. 2. 数列的分类 类别 定义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【想一想】 1. 数列的表示方法有哪些？ 提示：数列的表示方法有解析法、列表法和图象法. 2. 作出一个数列的图象，其图象有什么特点？ 提示：其图象是一些离散的点. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 1. 下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　　） A. 1， ， ， ，… B. sin ， sin ， sin ， sin ，… C. －1，－ ，－ ，－ ，… D. 1，2，3，4，…，30 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　数列1， ， ， ，…是无穷数列，但它不是递增数 列，而是递减数列；数列 sin ， sin ， sin ， sin ，…是无 穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－ ，－ ，－ ，…是无穷数列，也是递增数列；数列1，2，3， 4，…，30是递增数列，但不是无穷数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 给出以下数列： ①1，－1，1，－1，…； ②2，4，6，8，…，1 000； ③8，8，8，8，…； ④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810. 其中，有穷数列为 ；无穷数列为 ；递增数列 为 ；递减数列为 ；常数列为 .（填序号） ②④　 ①③　 ②　 ④　 ③　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 数列的概念及分类 【例1】　已知下列数列： ①2 020，2 021，2 022，2 023，2 024，2 025； ②1， ， ，…， ，…； ③1，－ ， ，…， ，…； 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ④1，0，－1，…， sin ，…； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列 是 ，递减数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 ⁠ .（填序号） 解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无 穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数 列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列. ①⑥　 ②③④⑤　 ①⑤　 ②　 ⑥　 ③ ④　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 　　判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于 递增、递减、摆动和常数列要从项的变化趋势来分析，而有穷和无穷 数列则看项的个数是有限还是无限. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 给出下列数列： ①2017～2024年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列82， 93，105，119，129，130，132，135； ②无穷多个 构成数列 ， ， ， ，…； ③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8， 16，－32，…. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列 是 ，常数列是 ，摆动数列是 .（填序号） 解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为 常数列；③为摆动数列. ①　 ②③　 ①　 ②　 ③　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型二 数列的通项公式 角度1　由数列的前几项求通项公式 【例2】　（1）数列 ， ， ， ，…的一个通项公式是 ⁠ ⁠； ：an＝ 　 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：数列可写为 ， ， ， ，…， 分子满足3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…， 分母满足5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋ 2，…，因此它的一个通项公式为an＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ① ， ， ， ，…； ②－3，7，－15，31，…； ③2，6，2，6，…. （2）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式： 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因 数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2， 因此数列的一个通项公式为an＝ . ②正负相间，且负号在奇数项，故可用（－1）n来表示符号， 各项的绝对值恰是2的整数次幂减1， 因此数列的一个通项公式为an＝（－1）n（2n＋1－1）. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ③为摆动数列，一般求两数的平均数 ＝4， 而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用（－1）n来表示. 因此它的一个通项公式为an＝4＋（－1）n·2或an＝ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 由数列的前几项求通项公式的解题策略 （1）分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑 分子、分母的关系； （2）若n和n＋1项正负交错，那么符号用（－1）n或（－1）n＋1或 （－1）n－1来调控； 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （3）熟悉一些常见数列的通项公式； （4）对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发 现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成 若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行 归纳. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式为（　　） A. an＝ （10n－1） B. an＝ （10n－1） C. an＝ D. an＝ （10n－1） 解析：　因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为 1－ ，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上 面数列对应项的 .故通项公式为an＝ . 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 如图，星星的数量构成一个数列，则该数列的一个通项公式是 （　　） A. an＝n2－n＋1 B. an＝ C. an＝ D. an＝ 解析：　由图知前四项分别为1，3，6，10，…逐项验证可知C正 确.故选C. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 角度2　通项公式的应用 【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. （1）写出数列的第4项和第6项； 解： a4＝3×16－28×4＝－64， a6＝3×36－28×6＝－60. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数 列的一项呢？ 解： 令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝ （舍去）， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项. 令3n2－28n＝68，解得n＝ 或n＝－2. 因为 ∉N＋，－2∉N＋， 所以68不是该数列的项. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【母题探究】 1. （变设问）若本例条件不变，试探究数列{an}中有多少个负数项？ 解：an＝n（3n－28），令an＜0，又n∈N＋，解得n＝1，2，3， 4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. （变条件，变设问）若本例中的条件“an＝3n2－28n”变为“an ＝ ＋2n”，问253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第 几项？ 解：假设253是这个数列中的项，则253＝ ＋2n，解得n＝121. 所以253是这个数列的第121项. 假设153是这个数列中的项，则153＝ ＋2n，解得n＝72 ，这 与n是正整数矛盾，所以153不是这个数列中的项. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 求数列的项或判断某数是否为数列的项的方法 （1）如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就 可以写出数列中的指定项； （2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式 中，求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否 则该数不是数列的项. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 　已知两个数列的前5项如下： {an}：25，37，49，61，73，…； {bn}：1，4，9，16，25，…. （1）根据两个数列前5项的特征，分别写出它们的一个通项公式； 解：an＝12n＋13，bn＝n2. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）根据（1）的两个通项公式，判断这两个数列是否有序号与 项都相同的项.如果没有，请说明理由；如果有，指明它们是 第几项. 解：令an＝bn，得12n＋13＝n2，可解得n1＝13，n2＝－1（舍去）， 所以这两个数列存在序号与项都相同的项，它是第13项. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 题型三 数列单调性的判断及应用 【例4】　（1）已知函数f（x） ＝若数 列{an}满足an＝f（n），n∈N＋，且{an}是递增数列，则实数a的取 值范围是（　　） A. （1，3） B. （1，2] C. （2，3） D. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　由题意知an＝ 因为数列{an}是递增数列，所以 当n≤10时，3－a＞0，即a＜3； 当n＞10时，a＞1. 且a10＜a11，所以（3－a）×10－6＜a11－9， 即a2＋10a－24＞0， 即（a＋12）（a－2）＞0，所以a＜－12或a＞2. 综上可得a的取值范围为（2，3）. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ①求证：0＜an＜1； ②判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由. 解：①证明：因为n∈N＋，所以an＝ ＜ ＜ ＝1，所以0＜an＜1. ②因为an＋1－an＝ － ＝ ＝ . 又因为n∈N＋，且n≥1， （2）已知数列{an}的通项公式an＝ （n∈N＋）， 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 所以n＋ ≥ ， ≥ ，－ ≤－ . 故－ ＋ ≤－ ＋ ＝－1＜0， 所以an＋1－an＜0，即an＋1＜an，故该数列为递减数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 通性通法 1. 判断数列{an}单调性的常用方法 （1）图象法：利用数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋 势，从而判断数列的单调性； （2）作差法：将an＋1－an与0进行比较； （3）作商法：将 与1进行比较（在作商时，要注意an＜0还是 an＞0）. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 利用数列的单调性确定变量的取值范围 数列{an}递增⇔an＋1＞an（n∈N＋）； 数列{an}递减⇔an＋1＜an（n∈N＋）. 进而转化为不等式成立（恒成立），通过分离变量转化为代数式的 最值来解决；或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解 不等式（组）来确定变量的取值范围. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知数列{an}满足an＝n2＋λn（n∈N＋），且对任意n∈N＋，an ＜an＋1恒成立，则实数λ满足（　　） A. λ＞0 B. λ＜0 C. λ≥－2 D. λ＞－3 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　因为对任意n∈N＋，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是 递增数列.由an＝n2＋λn知（n，an）（n∈N＋）是函数f（x） ＝x2＋λx图象上的点，而函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝ － ，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an即可. 欲满足上述不等关系，需－ ＜ ，解得λ＞－3. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 已知数列{an}的通项公式为an＝ ，画出它的图象，并判断增 减性. 解：图象如图所示，该数列在{1， 2，3，4}上是递减的，在{5， 6，…}上也是递减的. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 　数列单调性的判断及应用 　　 　已知函数f（x）＝ ，设数列{an}的通项公式为an＝f（n），其 中n∈N＋. （1）求证：0≤an＜1； （2）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【问题探究】 函数的单调性在研究函数性质时有着重要的作用，而数列作为一种特 殊的函数，也具有单调性，且单调性是数列的一个重要性质.数列的 单调性在研究数列的最值、数列不等式以及在判断某一项是否为已知 数列中的项等问题时，都有重要的作用. 如何利用数列单调性定义去判断数列的单调性？ 提示：①作差法：即作差an＋1－an后与0进行比较. 若an＋1－an＞0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是递增数 列； 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 若an＋1－an＜0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是递减数 列； 若an＋1－an＝0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是常数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） ②作商法：即作商 （务必要确定an的符号）后与1进行比较. 对于任意n（n∈N＋），若an＞0，则当 ＞1时，数列{an}是递增 数列；当 ＜1时，数列{an}是递减数列. 对于任意n（n∈N＋），若an＜0，则当 ＜1时，数列{an}是递增 数列；当 ＞1时，数列{an}是递减数列. 对于任意n（n∈N＋），若an≠0，则当 ＝1时，数列{an}是常 数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 【迁移应用】 　已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n（n∈N＋），判断数列 {an}的单调性. 解：法一　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则an＋1－ an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0，即an＋1＞an （n∈N＋），故数列{an}是递增数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 法二　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则 ＝ ＝ · ＞1. 又因为an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列. （注：这里要确定an的符号，否则无法判断an＋1与an的大小） 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 法三　令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的拋物线，其对称轴 为直线x＝ ， ＜1，则函数y＝3x2－x在 上单调递增，故 数列{an}是递增数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 　　 1. 有下面四个结论： ①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上 的函数； ②数列的项数一定是无限的； ③数列的通项公式的形式是唯一的； ④数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式. 其中正确的是（　　） A. ① B. ①② C. ③④ D. ②④ 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列 的项数就是有限的，②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一， ③错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…的一个通项公 式为an＝④错误.故选A. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n，则下列各数中不是数列中 的项的是（　　） A. 2 B. 40 C. 56 D. 90 解析：　由题意令an＝n2－n＝2，可得n＝2为正整数，即2是 {an}的项；同理令an＝n2－n＝40，可得n不为正整数，即40不是 {an}的项；令an＝n2－n＝56，可得n＝8为正整数，即56是{an}的 项；令an＝n2－n＝90，可得n＝10是正整数，即90是{an}的项. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 下列四个选项中，正确的是（　　） A. 数列 ， ， ， ，…的一个通项公式是an＝ B. 数列的图象是一群孤立的点 C. 数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列 D. 数列 ， ，…， 是递增数列 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　对于A，当通项公式为an＝ 时，a1＝ ≠ ，不符 合题意，故选项A错误；对于B，由数列的通项公式以及n∈N＋ 可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；对于C，由 于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选 项C错误；对于D，数列 ， ，…， 是递减数列，故选项D错 误.故选B. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 已知数列{an}满足 －an－3＝0，则数列{an}是（　　） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 不能确定 解析：　由条件得 －an＝3＞0，可知 ＞an，所以数列 {an}是递增数列. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主 要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代 表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中 隐藏着的世界数学史上的第一道数列题.其前10项依次是0，2，4， 8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列的第20项为（　　） A. 212 B. 200 C. 186 D. 162 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶 数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第 20项为200. 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知数列 ， ， ，…， ，则0.96是该数列的（　　） A. 第20项 B. 第22项 C. 第24项 D. 第26项 解析：　由 ＝0.96，解得n＝24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 数列{an}中，若an＝ ，则a4＝（　　） A. B. C. 2 D. 8 解析：　因为数列{an}中，an＝ ，所以a4＝ ＝ ， 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 已知数列{an}的通项公式an＝log（n＋1）（n＋2），则它的前30项 之积是（　　） A. B. 5 C. 6 D. 解析：　a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝ log232＝log225＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 已知数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3＝ （　　） A. 70 B. 28 C. 20 D. 8 解析：　由an＝得a2＝2，a3＝10，所以 a2·a3＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 5. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. 数列a，a，a，…是无穷数列 B. 数列{f（n）}就是定义在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2， 3，…，n}上的函数值 C. 数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列 D. 已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　A、D显然正确；对于B，因为数列{f（n）}是定义 在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数an＝ f（n），当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值，所 以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所 以不一定是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 6. （多选）满足下列条件的数列{an}（n∈N＋）是递增数列的为 （　　） A. an＝ B. an＝n2＋n C. an＝1－2n D. an＝2n＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　A项，因为an＋1－an＝ － ＝－ ＜0，所 以是递减数列；B项，因为an＋1－an＝ －（n2 ＋n）＝2n＋2＞0，所以是递增数列；C项，因为an＋1－an＝[1－ 2（n＋1）]－（1－2n）＝－2＜0，所以是递减数列；D项，因为 an＋1－an＝（2n＋1＋1）－（2n＋1）＝2n＞0，所以是递增数列.故 选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 数列－1，1，－2，2，－3，3，…的一个通项公式为 ⁠ ⁠. 解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得 an＝ an＝ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an＞0成立的最大正整 数n的值为 ⁠. 解析：由an＝19－2n＞0，得n＜ .又因为n∈N＋，所以n≤9. 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 9. 如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的 前4项，则这个数列的一个通项公式为 ⁠. 解析：设第n幅图中着色的三角形个数为an，由图形可得a1＝1＝ 30，a2＝3＝31，a3＝9＝32，a4＝27＝33，据此可归纳得出该数列 的一个通项公式为an＝3n－1. an＝3n－1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来： （1）an＝（－1）n＋2； 解：a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）an＝ . 解：（a1＝2，a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ，a5＝ .图象如图②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 11. 设函数f（x）＝an＝f（n）（n∈N＋）， 若数列{an}是单调递减数列，则实数k的取值范围为（　　） A. （－∞，2） B. C. D. 解析：　因为数列{an}是单调递减数列，所以只需k－2＜0且a1 ＞a2，即k＜2且k＜ ，故实数k的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 12. 已知数列{an}的通项公式为an＝n－ ，则an的最小值 为 ⁠. 解析：因为an＝n－ ＝ ＝－ ，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为 a1，即最小值为1－ . 1－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 已知在数列{an}中，an＝1＋ （n∈N＋，a∈R且 a≠0）. （1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； 解：∵an＝1＋ （n∈N＋，a∈R且 a≠0），a＝－7， ∴an＝1＋ .结合函数f（x）＝1＋ 的单调性，可知 1＞a1＞a2＞a3＞a4；a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N＋）. ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围. 解：an＝1＋ ＝1＋ . 由对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立及函数f（x）＝1＋ 的单调性可得5＜ ＜6，∴－10＜a＜－8. 即实数a的取值范围为（－10，－8）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 14. 对任意的a1∈（0，1），由关系式 ＝f（an）得到的数列满 足 ＞an（n∈N＋），则函数y＝f（x）的图象是（　　） 解析：　据题意，由关系式 ＝f（an）得到的数列{an}满 足 ＞an（n∈N＋），即该函数y＝f（x）的图象上任一点 （x，y）都满足y＞x，结合图象，只有A满足，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） 15. 已知函数f（x）＝ （x≥1），构造数列an＝f（n）（n∈N ＋）. （1）求证：an＞－2； 解：证明：因为f（x）＝ ＝ ＝－2＋ ，所以an＝－2＋ .因为n∈N＋，所以an＞－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） （2）数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 解：数列{an}为递减数列. 因为an＝－2＋ ，所以an＋1－an＝ － ＝ － ＝ ＜0， 即an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·选择性必修第三册（B版） $