17.2 一元二次方程的解法 第3课时课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

17.2 一元二次方程的解法 第17章 一元二次方程及其应用 沪科版 八年级下册 第3课时 因式分解法 1、一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？ ① 直接开平方法 ② 配方法 ③ 公式法 将方程化成 或 的形式，再求解. x2=a (a≥0) 当一元二次方程的二次项系数是 1 时，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方. （a≠0，b2 - 4ac ≥0） ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0 ) 复习回顾 2、把下列各式因式分解： 一提 二套 三分组 平方差公式： 多项式因式分解的一般步骤： (1) 2x3-32x (2) x2+14x+49 知识回顾 a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式： a2±2ab+b2=(a±b)2 十字相乘法 : x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b) 复习回顾 2、把下列各式因式分解： 2x(x2-16) =2x(x+4)(x-4). 解：原式= =2x(x2-42) 解：原式= (x+7)2. (1) 2x3-32x； (2) x2+14x+49. 知识讲解 知识点 用因式分解法解一元二次方程 对于一些特殊的一元二次方程， 一个一元二次方程用公式法总可以求解. 如解一元二次方程： x2＝9. 问：除了用直接开平方法，你还能用其他方法解吗？ 还可以有别的解法吗. 解：开平方，得 x=±3. ∴ x1=3， x2=-3. 至少有一个等于0 ; 如解一元二次方程： x2＝9. 除了用直接开平方法外，还可以把它变形为 x2-9＝0. 再将方程左边因式分解，得 (x-3)(x+3)＝0. 那么它们的积就等于 0. 如果两个因式的积等于0， 那么这两个因式中 反过来， 如果两个因式中有一个等于0， 即 ab=0 a=0 或 b=0 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法. 要点归纳 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. 简记歌诀： 右化零，左分解； 两因式，各求解. 例1 解方程：x2-2x=0. 解：提取公因式，得x(x-2)=0. 因此，有x=0或x-2=0. 所以原方程的根是x1＝0，x2＝2. 教材例题 例2 解方程： 解：将原方程化为一般形式，得. 把方程左边分解因式，得(x+5)(x－2)＝0. 因此，有x+5＝0或x－2＝0. 所以原方程的根是x1＝-5，x2＝2. 教材例题 例3 解方程： 解：移项、提取公因式，得. 因此，有x＝0或x－1＝0. 所以原方程的根是x1＝0，x2＝1. 方程两边可以同除以x吗？ 不可以，这样忽略了x=0的情况. 教材例题 例 解下列方程： (1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2. 解：(1)原方程可变形为 5x2－4x＝0， x(5x－4)＝0. x＝0或5x－4＝0. ∴x1＝0，x2＝ (2)原方程可变形为 x(x－2)－(x－2)＝0， (x－2)(x－1)＝0. x－2＝0或x－1＝0. ∴x1＝2，x2＝1. 例题解读 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a·b=0，那么a=0或b=0 原理 将方程左边因式分解，右边=0 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2±2ab+b2=(a±b)2； a2-b2=(a+b)(a-b) 课堂小结 1. 方程x（x－1）＝0的解是（　C　） A. x＝0 B. x＝1 C. x1＝0，x2＝1 D. x1＝0，x2＝－1 C 随堂练习 2. 一元二次方程（x－1）（x＋3）＝0的解是 ⁠ ⁠. x1＝1，x2＝ －3　 3. （2024·合肥瑶海区期中）一元二次方程x2＝2x的解为 （　C　） A. x＝0 B. x＝2 C. x1＝0，x2＝2 D. x1＝0，x2＝－2 C 4. （2025·滁州天长期末）一元二次方程x（x＋4）－5（x＋ 4）＝0的根是（　C　） A. x＝5 B. x＝－4 C. x1＝5，x2＝－4 D. x1＝－5，x2＝－4 C 5. 用因式分解法解下列方程： （1）3y2＋y＝0； 解：把方程左边分解因式，得y（3y＋1）＝0， ∴y＝0或3y＋1＝0，∴y1＝0，y2＝－ . （2）（x＋1）2＝3（x＋1）； 解：原方程可化为（x＋1）2－3（x＋1）＝0. 把方程左边分解因式，得（x＋1）（x＋1－3）＝0， ∴x＋1＝0或x＋1－3＝0， ∴x1＝－1，x2＝2. （3）（2025·合肥蜀山区期末）x2－3x＝x－3. 解：原方程可化为x（x－3）－（x－3）＝0. 把方程左边分解因式，得（x－1）（x－3）＝0， ∴x－1＝0或x－3＝0， ∴x1＝1，x2＝3. 6. 方程x2＋4x＋3＝0的两个根为（　D　） A. x1＝1，x2＝3 B. x1＝－1，x2＝3 C. x1＝1，x2＝－3 D. x1＝－1，x2＝－3 D 7. 关于x的一元二次方程x2－（p＋q）x＋pq＝0的解为 ⁠ ⁠. x1＝p，x2＝q 8. 用因式分解法解下列方程： （1）x2－5x＋6＝0； 解：把方程左边分解因式，得（x－2）（x－3）＝0， ∴x－2＝0或x－3＝0， ∴x1＝2，x2＝3. （2）x2＋2x－3＝0； 解：把方程左边分解因式，得（x－1）（x＋3）＝0， ∴x－1＝0或x＋3＝0， ∴x1＝1，x2＝－3. （3）（2025·合肥肥西期末） x2－ x－1＝0； 解：原方程可化为x2－2x－8＝0. 把方程左边分解因式，得（x－4）（x＋2）＝0， ∴x－4＝0或x＋2＝0， ∴x1＝4，x2＝－2. （4）（2025·合肥四十二中期末）（x－1）（x－3）＝8. 解：去括号、移项，得x2－3x－x＋3－8＝0. 合并同类项，得x2－4x－5＝0. 把方程左边分解因式，得（x＋1）（x－5）＝0， ∴x＋1＝0或x－5＝0， ∴x1＝－1，x2＝5. 9. 【整体思想】若（x＋2y）2＋3（x＋2y）－4＝0，则x＋ 2y的值为（　C　） A. 1 B. －4 C. 1或－4 D. －1或3 C 10. 用因式分解法解方程x2－mx－6＝0.若将方程左边分解因 式后有一个因式是x－3，则m的值是（　B　） A. 0 B. 1 C. －1 D. 2 B 11. 用因式分解法解下列方程： （1）x2－10x＋25＝2（x－5）； 解：整理，得（x－5）2－2（x－5）＝0. 把方程左边分解因式，得（x－5）（x－5－2）＝0， ∴x－5＝0或x－5－2＝0， ∴x1＝5，x2＝7. （2）（2t－5）（t＋3）＝15－6t. 解：整理，得（2t－5）（t＋3）＋3（2t－5）＝0. 把方程左边分解因式，得（2t－5）（t＋6）＝0， ∴2t－5＝0或t＋6＝0， ∴t1＝2.5，t2＝－6. 12. （教材P30习题T6变式）当x取何值时，代数式3x2＋6x－8 的值与1－2x2的值互为相反数？ 解：根据题意，得3x2＋6x－8＋1－2x2＝0. 整理，得x2＋6x－7＝0. 把方程左边分解因式，得（x－1）（x＋7）＝0， ∴x1＝1，x2＝－7. ∴当x取1或－7时，代数式3x2＋6x－8的值与1－2x2的值互为 相反数. 13. 【新考法·阅读理解】把二次三项式ax2＋bx＋c（a≠0） 的二次项的系数a分解成两个数字之积，即a＝a1a2，常数项c 分解成两个数字之积，即c＝c1c2，并把a，a2，c1，c2按如图 1所示的方式排列，按斜线交叉相乘再相加，就得到a1c2＋ a2c1.若a1c2＋a2c1＝b，则ax2＋bx＋c可以分解为（a1x＋c1） （a2x＋c2）. 这种借助画十字交叉图分解系数，把二次三项式分解因式的方 法，叫做“十字相乘法”. 例如，解一元二次方程3x2－7x－6＝0. 将式子3x2－7x－6分解因式的过程如图2所示. ∵3×（－3）＋1×2＝－7， ∴3x2－7x－6就可以分解为（3x＋2）（x－3）， ∴方程3x2－7x－6＝0可以转化为（3x＋2）（x－3）＝0， ∴3x＋2＝0或x－3＝0， ∴x1＝－ ，x2＝3. 这种解方程的方法就叫做“十字相乘法分解因式解一元二次方 程”. 利用十字相乘法分解因式解下列一元二次方程： （1）3x2－5x＋2＝0； 解：（1）把方程左边分解因式，得 （3x－2）（x－1）＝0， ∴3x－2＝0或x－1＝0， ∴x1＝ ，x2＝1. （2）6x2＋11x－10＝0； 解：（2）把方程左边分解因式，得 （2x＋5）（3x－2）＝0， ∴2x＋5＝0或3x－2＝0， ∴x1＝－ ，x2＝ . （3）2x2－7ax＋6a2＝0.（a为常数） 解：（3）把方程左边分解因式，得 （2x－3a）（x－2a）＝0， ∴2x－3a＝0或x－3a＝0， ∴x1＝ a，x2＝2a. $