7.2.4诱导公式(二)（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

第4课时 诱导公式（二） 7.2 任意角的三角函数 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握角与的三角函数关系 . 能综合运用诱导公式①~⑧进行三角函数的求值、化简与证明 通过将任意角三角函数化为锐角三角函数的系列练习，掌握化归与转化的数学思想. 新课导入 在前面的课程中，我们学习了诱导公式①~④，你还记得吗？ 诱导公式① , . , 诱导公式② 诱导公式③ 诱导公式④ 新课导入 在 中，若，则。为什么？ A B C 因为 的邻边是 对的对边 , 所以 . 即, 成立. 若 这个关系还成立吗 ? 这一关系式对任意角度是否也成立呢?如何验证? A B C 下面我们将借助单位圆从角终边的关系来探究这一关系是否任意角都成. 新知探究 探究一：角与的三角函数值之间的关系 ①设点是角的终边与单位圆的交点，坐标为 几何推理 ②点是角的终边与单位圆的交点 则坐标为 由于两点关于直线对称，所以点的坐标是点坐标的横纵坐标互换， 即 ④得出结论： 知识小结 诱导公式⑤ 诱导公式⑤ 由于 和 的终边关于角的终边所在的直线对称可知， 的终边就在 上 主要用途：建立了余角（）的正弦、余弦值与角 余弦、正弦值之间的等价关系，使得正弦函数和余弦函数可以相互转换. 点击下面图标动态演示角与的终边关系 即时训练 1.已知,则 2.已知,则 【分析】已知,则,根据诱导公式 1.【 【分析】已知,则,结合诱导公式: 2.【 新知探究 探究一：其他一些三角函数值之间的关系 除了与 以外，还存在其他角的三角函数值的关系需要探索. 如角与 以及角与 . 以上角的三角函数值之间有什么关系？ 下面我们以为例进行推推导 （诱导公式⑤） （诱导公式②） 公式⑤是“基石”，其他公式可以借助已学公式和公式⑤推导出来. 新知探究 结合诱导公式②和⑤，我们还能得到推导. . 代数推导一 点击下面图标动态演示角与的终边关系 新知探究 由此可得： 对于 ，我们可以写成,再利用前面所学过的公式推导 代数推导二 新知探究 对于 ，可以借助刚刚推导的公式，将其写成 由此可得： 代数推导三 点击下面图标动态演示角与的终边关系 知识小结 诱导公式⑤、⑥、⑦ 诱导公式⑥ . 诱导公式⑦ 诱导公式⑧ 利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式. 例题讲解 例6 求下列各值. 【分析】根据角度关系 （如 + ,π- ) 选 择 合适的诱导 公式 . 提分笔记 三角函数化为锐角三角函数： 1.角度转化 2.选择公式 3.确 定 符 号 4.求 值 例题讲解 例7 解 【分析】核心技巧是统一角度。如：将cos54°化为sin36°,与-sin36°抵消 例题讲解 例8 解 【分析】综合运用多组诱导公式，将分子分母中的各个三角函数式先分别化简，再整体约分. 提分笔记 解决此类问题的核心思想是 “化归与转化”​ ，即将复杂的、非锐角的三角函数问题，转化为简单的、锐角的三角函数问题 巩固提升 重点题型一：给角求值 D 1计算.（    ） A． B． C． D． 【详解】 . 【分析】(1)“负化正”——用公式一或三来转化． (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值． 巩固提升 重点题型二：给值求值 C 2.若 , 则 =（ ） A. B. C. D. 【分析】求出.利用诱导公式化简题中所给式子再应用齐次式的解法计算. 【解析】若则 巩固提升 重点题型三：利用互补或互余关系求值 3.已知，且，则__________ 【分析】先找到题中两个角的关系，然后利用诱导公式化简，最后再利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【解析】由诱导公式，可得． 由，可得 因为，所以，所以 则． 巩固提升 重点题型三：利用诱导公式化简求值 4.已知是第二象限角，且.求的值； 【分析】利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解； 解：（1）由，是第二象限角， 可得，即 解得或 因为是第二象限角，所以. 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 角 α 与 π2 - α 的终边关系 高中数学 · 必修三 交互提示 拖动圆上的红点改变角度 实时数据监测 角 α 30° 终边交点 P(x, y) x = 0.866, y = 0.500 角 π2 - α 60° 终边交点 P'(x', y') x' = 0.500, y' = 0.866 几何结论 观察可知，点 P 与点 P' 关于直线 y = x 对称。 故 P' 的横坐标等于 P 的纵坐标，P' 的纵坐标等于 P 的横坐标。 x' = y    y' = x 角 α 与 π2 - α 的终边关系 高中数学 · 必修三 交互提示 拖动圆上的红点改变角度 实时数据监测 角 α 30° 终边交点 P(x, y) x = 0.866, y = 0.500 角 π2 - α 60° 终边交点 P'(x', y') x' = 0.500, y' = 0.866 几何结论 观察可知，点 P 与点 P' 关于直线 y = x 对称。 故 P' 的横坐标等于 P 的纵坐标，P' 的纵坐标等于 P 的横坐标。 x' = y    y' = x 诱导公式视听演示：α 与 3π/2 ± α 人教B版必修三 · 三角函数 ⚙️ 演示控制 选择公式类型： 3π/2 + α 3π/2 - α 旋转角 α 30° ▶ 自动旋转 重置 📐 坐标关系解析 α 终边 3π/2 ± α 终边 课堂小结 诱导公式 ⑤~⑧ 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 人教B版 · 必修三 知识点回顾 公式 ⑤ & ⑥：角 π2 ± α 的诱导公式 sin(π2 - α) = cosα cos(π2 - α) = sinα sin(π2 + α) = cosα cos(π2 + α) = -sinα 公式 ⑦ & ⑧：角 3π2 ± α 的诱导公式 sin(3π2 - α) = -cosα cos(3π2 - α) = -sinα sin(3π2 + α) = -cosα cos(3π2 + α) = sinα 💡 核心记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限 • 奇变偶不变：k · π2 ± α，当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦。 • 符号看象限：把 α 看作锐角时，原函数在对应象限的符号。 易错点警示 ⚠️ 陷阱一：符号判断失误 在使用“符号看象限”时，很多同学容易看错符号。 正确理解： 符号取决于 原函数 在相应象限的符号，而不是变形后的函数。 例如：cos(3π2 + α)，第四象限余弦为正，所以结果为正，即 sinα。 ⚠️ 陷阱二：忽视 α 的任意性 口诀中“把 α 看作锐角”只是一种判定方法，实际上 α 可以是任意角。 无论 α 是什么角（钝角、负角等），公式依然成立。但在判断符号时，始终假设 α 为锐角来推导。 解题技巧 🔄 化简求值“三步法” 负化正：利用奇偶性将负角转化为正角。 大化小：利用周期性将任意角转化为 0 ~ 2π 之间的角。 锐化：利用诱导公式将角转化为锐角。 📐 数形结合思想 利用单位圆的对称性来理解诱导公式。 • 角 α 与 π2 - α 的终边关于直线 y = x 对称。 • 角 α 与 π2 + α 的终边互相垂直。 📝 典型例题 化简：sin(π2 + α) · cos(π + α) 解： 原式 = (cosα) · (-cosα) = -cos2α $