17.2 一元二次方程的解法 第2课时课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

17.2 一元二次方程的解法 第17章 一元二次方程及其应用 沪科版 八年级下册 第2课时 公式法 1、我们已经学过了几种解一元二次方程的方法？ ① 直接开平方法 ② 配方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. ① 直接开平方法 将方程化成 或 的形式，再求解. x2=a (a≥0) ② 配方法 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 复习回顾 化：二次项系数化为 1 ； 移：将常数项移到等号右边； 配：配方，使等号左边成为完全平方式； 开：等号两边开平方； 解：求出方程的解. 用配方法可以解所有一元二次方程吗？ 每次求解都要配方，很麻烦，有简单方法吗？ 用配方法解方程的步骤 复习回顾 用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）. 新知引入 因为a≠0，所以把方程的两边都除以a，得 . 移项，得x²+x=. 配方，得x²+x+()²=-+()²， 则 . 因为a≠0，所以4a2＞0.当b2 -4ac≥0时，≥0. 将方程 两边开平方， 因为a≠0，所以4a2>0。当b2-4ac≥0时，是一个非负数。 用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）。 得x+=±， 化简、整理，得x=±， 因此，x=. 这就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b²-4ac≥0）的求根公式. 新知引入 知识讲解 知识点 用公式法解一元二次方程 对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)，当b2－4ac≥0时，它的根是，即 x1=,x2=. 这种解法叫作公式法。 (1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 2.公式法 (2)用求根公式解一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定a，b，c的值； ③求出b2－4ac的值； ④若b2－4ac≥0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解，若b2－4ac＜0，则方程无实数解。 知识讲解 特别提醒： 1.公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2.只有当方程ax2+bx+c=0中的a≠0，b2－4ac≥0时，才能使用求根公式. 知识讲解 解：a=2，b=7，c=-4， b2－4ac =72－4×2×(-4)=81＞0. 代入求根公式，得x = ， 所以原方程的根是x1=，x2=-4. 用公式法解下列方程。 (1)2x2+7x-4=0； 例 教材例题 解题秘方： 按照用求根公式解一元 二次方程的步骤求解. 解：将原方程化为一般形式，得 a=1，b=，c=3， b2－4ac =()2－4×1×3=0. 代入求根公式，得x = ， 所以原方程的根是x1=x2=. 用公式法解下列方程。 (2)x2+3=2； 例 教材例题 解：a=2，b=－7，c=4， b2－4ac =(－7)2－4×2×4=17＞0. 方程有两个不等的实数根x = ， 即x1=，x2= . 用公式法解下列方程。 (1)2x2－7x+4=0； 例 求b2-4ac的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号。 例题解读 解：a=1，b=－2，c=3， b2－4ac=(－2)2－4×1×3=－8<0。 所以方程无实数根。 (2)x2－2x+3=0； 例题解读 解：方程可化为3x2－2 x+1=0。 a=3，b=－2 ，c=1， b2－4ac=(－2 )2－4×3×1=0。 方程有两个相等的实数根x1=x2=－ = 。 (3)3x2－2 x=－1； 首先化为一般形式。 例题解读 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式） 二定（系数值） 三求（求 b2 - 4ac 的值） 四判（方程根的情况） 五代（代求根公式计算） 务必将方程化为一般形式 1. （2025·安庆四中期中）用公式法求一元二次方程的根时， 首先要确定a，b，c的值.对于方程－4x2＋3＝5x，下列叙述 正确的是（　B　） A. a＝－4，b＝5，c＝3 B. a＝－4，b＝－5，c＝3 C. a＝4，b＝5，c＝3 D. a＝4，b＝－5，c＝－3 B 随堂练习 2. （2025·合肥四校联考）若用公式法解关于x的一元二次方程 2x2＋3x－4＝0，则其根为（　C　） A. x＝ B. x＝ C. x＝ D. x＝ C [变式] 若关于x的一元二次方程的根为x＝ ，则这个方程是（　D　） A. x2＋4x－3＝0 B. x2－4x－1＝0 C. x2＋4x－5＝0 D. x2－4x－2＝0 D 3. 用公式法解一元二次方程时，一般要先计算b2－4ac的值. 用公式法解一元二次方程－2x2＋5x－6＝0时，b2－4ac的值为 ，则此方程根的情况是 ⁠. －23　 没有实数根　 4. （教材P27例3变式）用公式法解方程5x2－2x－1＝0的结果 为（　B　） A. x＝ B. x＝ C. x＝ D. x＝ B 5. 【新考法·过程性学习】小明在解方程x2－5x＝1时出现了错 误，他的解答过程如下： 解：∵a＝1，b＝－5，c＝1， （第一步） ∴b2－4ac＝（－5）2－4×1×1＝21， （第二步） ∴x＝ ， （第三步） ∴x1＝ ，x2＝ . （第四步） （1）小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原 因是 ⁠； 一　 原方程没有化为一般形式　 （2）请写出此题正确的解答过程. 解：（2）将方程化为一般形式，得x2－5x－1＝0. ∵a＝1，b＝－5，c＝－1， ∴b2－4ac＝（－5）2－4×1×（－1）＝29， ∴x＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . 6. 用公式法解下列方程： （1）x2－x－2＝0； 解：∵a＝1，b＝－1，c＝－2， ∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－2）＝9＞0. 代入求根公式，得x＝ ＝ ， ∴x1＝－1，x2＝2. （2）2x2－3x＋1＝0； 解：∵a＝2，b＝－3，c＝1， ∴b2－4ac＝（－3）2－4×2×1＝1＞0. 代入求根公式，得x＝ ＝ ， ∴x1＝1，x2＝ . （3）2x2＋x＝6； 解：将方程化为一般形式，得2x2＋x－6＝0. ∵a＝2，b＝1，c＝－6， ∴b2－4ac＝12－4×2×（－6）＝49＞0. 代入求根公式，得x＝ ＝ ， ∴x1＝ ，x2＝－2. （4）3x2＋5（2x＋4）＝0； 解：将方程化为一般形式，得3x2＋10x＋20＝0. ∵a＝3，b＝10，c＝20， ∴b2－4ac＝102－4×3×20＝－140＜0， ∴原方程没有实数根. （5）2x2＋3＝2 x. 解：将方程化为一般形式，得2x2－2 x＋3＝0. ∵a＝2，b＝－2 ，c＝3， ∴b2－4ac＝（－2 ）2－4×2×3＝0. 代入求根公式，得x＝ ＝ ， ∴x1＝x2＝ . 7. 若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根 是m（m≠0），则b＋ ＝（　D　） A. m B. －m C. 2m D. －2m D 8. 用求根公式解一元二次方程3x2＋bx＋c＝0（b，c为整 数）时，已知方程的一个根x1＝ ，则方程的另一个根x2 ＝ ⁠. 　 9. （2025·安庆期末）已知关于x的方程kx2－x－ ＝0，若该 方程的两个实数根都是整数，则整数k的值为 ⁠. ±1　 10. 【新考法·新定义】规定： ＝ad－bc.例如， ＝1×4－2×（－3）＝10.若 ＝0，求x 的值. 解：根据题意可得，（2x2－3）×1－6x＝0， 整理，得2x2－6x－3＝0， ∴b2－4ac＝（－6）2－4×2×（－3）＝60. 代入求根公式，得x＝ ＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . 11. 【数形结合思想】将如图1所示的正方形剪成四块，恰能拼 成如图2所示的长方形. （1）图2中长方形的长为 ，宽为 ；（用含 a，b的式子表示） 解：（1）根据题意，得长方形 的长为a＋b＋b＝a＋2b，宽 为b.故答案为a＋2b；b. a＋2b　 b　 11. 【数形结合思想】将如图1所示的正方形剪成四块， 恰能拼成如图2所示的长方形. （2）求 的值. 解：（2）∵正方形的边长为a＋b， ∴（a＋b）2＝b（a＋2b）， 即a2－b2＋ab＝0. ∵ab≠0，∴（ ）2＋ －1＝0， 将其看作关于 的方程， 解得 ＝ . ∵ ＞0，∴ ＝ $