专题02 平面向量9类综合题型（热点专练）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题02 平面向量 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：本节是高考中的热点问题，常以填空题的形式出现，难度偏简单，其中向量数量积的最值与范围问题是高频考点． 预测2026年：预计2026年高考仍然以填空题的形式出现，难度中等偏上，主要考查向量数量积、模长、夹角、系数的最值与范围，不排除与其他知识(如三角函数、几何图形)结合。 平面向量的线性运算 题型01向量的线性运算 题型02根据向量线性运算求参数 题型03共线向量定理的应用 平面向量的数量积 题型04向量的垂直 题型05向量的模 题型06向量的夹角 平面向量的综合应用 题型07平面向量的实际应用 题型08平面向量在几何中的应用 题型09与平面向量有关的最值（范围）问题 题型01向量的线性运算 解｜题｜策｜略 平面向量的线性运算的求解策略 1．如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【答案】 【解析】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 2．（25-26高二上·上海嘉定·月考）中，为边中点，，则 (用表示) 【答案】 【解析】由已知， . 3.如图，是圆的一条直径，，是半圆弧的两个三等分点，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，是半圆弧的两个三等分点， 所以，且，所以. 题型02根据向量线性运算求参数 解｜题｜策｜略 解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程（组）即可求得相关参数的值. 4.在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，则 . 【答案】 【解析】如图，在平行四边形中， 因为为边上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以，即. 5.（2025·湖北武汉·一模）已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则 . 【答案】 【解析】如图所示： 因为在梯形中，，若为边上靠近的三等分点， 所以, ， 所以. 又因为，则. 6.（2025·湖南株洲·三模）在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，所以．故选D． 题型03共线向量定理的应用 解｜题｜策｜略 7.设、是平面内不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，则实数 ． 【答案】 【解析】,,则， 若A、B、D三点共线，则存在唯一，使得. 即，即，解得. 8．（24-25高一下·上海宝山·期中）设 是平面上两个不共线的向量， ，若 三点共线，则 的值为 【答案】/ 【解析】由三点共线，可得， 即， 则代入已知条件得： 整理得：， 因为 是平面上两个不共线的向量， 根据平面向量基本定理可得：， 解得，， 9.（2025·江苏盐城一模）在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，则， 而三点共线，由结论，所以.故选 10.（2025·四川绵阳期末）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【解析】， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，故选D． 题型04向量的垂直 解｜题｜策｜略 有关向量垂直的两类题型 11．已知，，若，则实数 . 【答案】或 【解析】因为，所以， 解得或， 12．已知，则实数 【答案】 【解析】，， 由于，，解得． 13．已知向量、满足，，与的夹角为，若，则 . 【答案】/ 【解析】因为，，与的夹角为， 所以. 因为， 所以， 解得. 14.（2025·江西·三模）已知平面单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由，则，即， 则，故选A． 题型05向量的模 解｜题｜策｜略 求平面向量的模的两种方法 15.（2025·全国二卷T12）已知平面向量若，则 【答案】 【解析】，因为，则， 则，解得.则，则. 16．已知则 ． 【答案】10 【解析】因为，所以， 所以，故， ， 17．已知，，，则 ． 【答案】 【解析】根据题意， . 18．已知向量，若，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以，① 又因为，， 所以，② 由①②解得；或， 所以或， 题型06向量的夹角 解｜题｜策｜略 求平面向量的夹角的方法 19．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设向量满足，，且，则 ． 【答案】 【解析】由，可得，又，所以， 所以，又， . 20．（2025·上海·三模）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为 . 【答案】 【解析】因为，所以，解得， ， 由于，得到. 21．（25-26高一下·上海杨浦·期末）若，，则 . 【答案】 【解析】因为向量，， 所以. 因为，所以. 22．（25-26高一下·上海宝山·期中）向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】夹角为钝角，且， 解得：且，的取值范围为. 23.（2025·江苏盐城·模拟）已知向量、满足，，，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，所以， 故，所以，即、的夹角为，故选A. 题型7平面向量的实际应用 解｜题｜策｜略 用向量方法解决实际问题的步骤 24.两个粒子、从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为，，此时粒子相对于粒子的位移在方向上的投影为 . 【答案】 【解析】粒子相对于粒子的位移， 所以，在方向上的投影为. 25．（23-24高一下·上海·期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是 ． 【答案】70 【解析】由题意得，所以， 两边同时平方得， ，所以， 26．（2020高一·全国·专题练习）一物体在力的共同作用下从点移动到点．则在这个过程中三个力的合力所做的功为 J． 【答案】 【解析】由，得合力， 而位移，所以合力所做的功为（）. 27.物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，又，，所以， 故，故选A. 28.（2025·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】A 【解析】  设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去），故选A 题型08平面向量在几何中的应用 解｜题｜策｜略 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题. 29.在四边形中，若，且，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【解析】四边形中，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以，即，所以平行四边形为矩形. 故选：C 30.已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 【答案】C 【解析】由动点满足，且， 所以三点共线， 又因为为的中点，所以为的边的中线， 所以点的轨迹一定过的重心. 故选：C. 31.在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】，则四边形为平行四边形， 设都是单位向量，，则，，，则，所以， 因此由知，且是的平分线， 因此四边形是菱形，而， ∴，故选D. 32.（2025·山东济南·期末）已知非零向量，满足，且，则为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】，， ，，为等腰三角形， 又，， ，又，所以， 为等边三角形，故选D. 题型09与平面向量有关的最值（范围）问题 解｜题｜策｜略 求向量数量积的最值（范围）问题的关键 （1）会计算向量的数量积，有关向量数量积的计算通常有两种方法：数量积的定义及坐标运算； （2）会求目标代数式，通过引入参数求出向量的数量积，转化为关于参数的函数，此时，常利用函数的单调性、配方法、基本不等式等方法求出向量数量积的最值（范围）. 33.已知向量，，，则面积的最大值是 . 【答案】/ 【解析】因为向量，，， 由三角形面积计算的叉积公式，得. 34．已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图，由数量积几何意义，当C为G或F时，数量积最大， 此时； 当C为D或E时，数量积最小， 此时. 35.点P是直线上一动点，线段AB是圆的一条动直径，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】圆的圆心到直线的距离， 圆的半径， 因此， 所以的最小值为16. 36..已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设为向量与的夹角， 关于的方程有实根，则有， 又，则有，得， 又，所以．故选B. 37.（2025北京卷T10）已知平面直角坐标系中，，，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即，故选：D. （建议用时：40分钟） 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知等腰中，分别为的中点，若，则 ． 【答案】 【解析】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，在等腰中，， 且分别为的中点， 则，， 由平面向量的减法法则可得， 而， 则，所以解得. 2．（25-26高三上·上海松江·期中）已知且，若向量满足，则的最大值是 . 【答案】 【解析】由且，得， 当时，成立； 当时，由，得， 则，当且仅当与同向时取等号， 因此，即的最大值是. 3．（25-26高三上·上海·期中）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，若，则 ； 【答案】 【解析】连接CE，因为正八边形的每一个内角都是，且， 所以, 由正八边形的对称性知，且，所以， 则， 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以，． 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得, 又，即，所以的取值范围是. 5．（2025·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为 【答案】/ 【解析】如图所示：为的外心，以O为原点，平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 因等边的高为，则， 因圆，则设， 则， 所以，所以当时，的最大值为. 6．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，又， 所以中一定有两个1，一个0， 不妨设， 则，， 根据， 不妨设，，， 则，所以， 又， 所以， 因为，所以， 所以 所以 所以 7．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知为坐标原点，､是双曲线的右支上任意两点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设所在直线斜率存在时直线方程为，与双曲线右支交于两点，， 将直线代入得：， ， 直线与右支交于不同两点，则且， 由韦达定理： 又 代入韦达定理： 则 ，所以， 化简得：， 又双曲线渐近线方程为，直线与双曲线右支存在两个交点时需满足， 故，. 斜率不存在时，设直线， 与右支交于两点，其中，此时： 所以当关于轴对称时，数量积正好等于， 综上的取值范围是. 8．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合是平面直角坐标系内的点集，为坐标原点.若任取，，均存在不全为0的实数，，使得，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】存在不全为0的实数，，使得，即与共线， 设，选项中的点为点，则的充分条件，即与不共线， A：，与共线； B：，与共线； C：，与不共线； D：，与共线； 故选：C． 9．（24-25高一下·上海·期末）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，点是以为直径的半圆弧的中点，则集合中的，元素个数（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【解析】根据向量积的定义可知， 所以集合中的，元素个数4个. 故选：B. 10．（2025·上海黄浦·一模）已知点，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则. 因为，所以. 所以. 所以. 所以. 其中当与同时取最大值时，即与时，取得最大值，最大值为.此时，点重合，坐标为或. 当与同时取最小值时，即与时，取得最小值，最小值为.此时，点的坐标分别为或. 所以的取值范围是. 故选：B. 11．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，若对任意模为2的向量，均有， 则， ， 平方得到，即，即， 同时， ，即， 平方得到，即，即， 综上，即， 向量的夹角的取值范围. 故选：B. 12．（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，则， 设则， 则， 整理得：，不妨设，，则. 因点、分别为、的中点， 则，， 同理可得， 故 ， 将，代入上式， 可得： ， 其中是锐角，且，故的最大值为.故选：A. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：本节是高考中的热点问题，常以填空题的形式出现，难度偏简单，其中向量数量积的最值与范围问题是高频考点． 预测2026年：预计2026年高考仍然以填空题的形式出现，难度中等偏上，主要考查向量数量积、模长、夹角、系数的最值与范围，不排除与其他知识(如三角函数、几何图形)结合。 平面向量的线性运算 题型01向量的线性运算 题型02根据向量线性运算求参数 题型03共线向量定理的应用 平面向量的数量积 题型04向量的垂直 题型05向量的模 题型06向量的夹角 平面向量的综合应用 题型07平面向量的实际应用 题型08平面向量在几何中的应用 题型09与平面向量有关的最值（范围）问题 题型01向量的线性运算 解｜题｜策｜略 平面向量的线性运算的求解策略 1．如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【答案】 【解析】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 2．（25-26高二上·上海嘉定·月考）中，为边中点，，则 (用表示) 【答案】 【解析】由已知， . 3.如图，是圆的一条直径，，是半圆弧的两个三等分点，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，是半圆弧的两个三等分点， 所以，且，所以. 题型02根据向量线性运算求参数 解｜题｜策｜略 解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程（组）即可求得相关参数的值. 4.在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，则 . 【答案】 【解析】如图，在平行四边形中， 因为为边上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以，即. 5.（2025·湖北武汉·一模）已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则 . 【答案】 【解析】如图所示： 因为在梯形中，，若为边上靠近的三等分点， 所以, ， 所以. 又因为，则. 6.（2025·湖南株洲·三模）在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，所以．故选D． 题型03共线向量定理的应用 解｜题｜策｜略 7.设、是平面内不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，则实数 ． 【答案】 【解析】,,则， 若A、B、D三点共线，则存在唯一，使得. 即，即，解得. 8．（24-25高一下·上海宝山·期中）设 是平面上两个不共线的向量， ，若 三点共线，则 的值为 【答案】/ 【解析】由三点共线，可得， 即， 则代入已知条件得： 整理得：， 因为 是平面上两个不共线的向量， 根据平面向量基本定理可得：， 解得，， 9.（2025·江苏盐城一模）在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，则， 而三点共线，由结论，所以.故选 10.（2025·四川绵阳期末）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【解析】， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，故选D． 题型04向量的垂直 解｜题｜策｜略 有关向量垂直的两类题型 11．已知，，若，则实数 . 【答案】或 【解析】因为，所以， 解得或， 12．已知，则实数 【答案】 【解析】，， 由于，，解得． 13．已知向量、满足，，与的夹角为，若，则 . 【答案】/ 【解析】因为，，与的夹角为， 所以. 因为， 所以， 解得. 14.（2025·江西·三模）已知平面单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由，则，即， 则，故选A． 题型05向量的模 解｜题｜策｜略 求平面向量的模的两种方法 15.（2025·全国二卷T12）已知平面向量若，则 【答案】 【解析】，因为，则， 则，解得.则，则. 16．已知则 ． 【答案】10 【解析】因为，所以， 所以，故， ， 17．已知，，，则 ． 【答案】 【解析】根据题意， . 18．已知向量，若，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以，① 又因为，， 所以，② 由①②解得；或， 所以或， 题型06向量的夹角 解｜题｜策｜略 求平面向量的夹角的方法 19．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设向量满足，，且，则 ． 【答案】 【解析】由，可得，又，所以， 所以，又， . 20．（2025·上海·三模）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为 . 【答案】 【解析】因为，所以，解得， ， 由于，得到. 21．（25-26高一下·上海杨浦·期末）若，，则 . 【答案】 【解析】因为向量，， 所以. 因为，所以. 22．（25-26高一下·上海宝山·期中）向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】夹角为钝角，且， 解得：且，的取值范围为. 23.（2025·江苏盐城·模拟）已知向量、满足，，，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，所以， 故，所以，即、的夹角为，故选A. 题型7平面向量的实际应用 解｜题｜策｜略 用向量方法解决实际问题的步骤 24.两个粒子、从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为，，此时粒子相对于粒子的位移在方向上的投影为 . 【答案】 【解析】粒子相对于粒子的位移， 所以，在方向上的投影为. 25．（23-24高一下·上海·期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是 ． 【答案】70 【解析】由题意得，所以， 两边同时平方得， ，所以， 26．（2020高一·全国·专题练习）一物体在力的共同作用下从点移动到点．则在这个过程中三个力的合力所做的功为 J． 【答案】 【解析】由，得合力， 而位移，所以合力所做的功为（）. 27.物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，又，，所以， 故，故选A. 28.（2025·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】A 【解析】  设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去），故选A 题型08平面向量在几何中的应用 解｜题｜策｜略 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题. 29.在四边形中，若，且，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【解析】四边形中，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以，即，所以平行四边形为矩形. 故选：C 30.已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 【答案】C 【解析】由动点满足，且， 所以三点共线， 又因为为的中点，所以为的边的中线， 所以点的轨迹一定过的重心. 故选：C. 31.在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】，则四边形为平行四边形， 设都是单位向量，，则，，，则，所以， 因此由知，且是的平分线， 因此四边形是菱形，而， ∴，故选D. 32.（2025·山东济南·期末）已知非零向量，满足，且，则为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】，， ，，为等腰三角形， 又，， ，又，所以， 为等边三角形，故选D. 题型09与平面向量有关的最值（范围）问题 解｜题｜策｜略 求向量数量积的最值（范围）问题的关键 （1）会计算向量的数量积，有关向量数量积的计算通常有两种方法：数量积的定义及坐标运算； （2）会求目标代数式，通过引入参数求出向量的数量积，转化为关于参数的函数，此时，常利用函数的单调性、配方法、基本不等式等方法求出向量数量积的最值（范围）. 33.已知向量，，，则面积的最大值是 . 【答案】/ 【解析】因为向量，，， 由三角形面积计算的叉积公式，得. 34．已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图，由数量积几何意义，当C为G或F时，数量积最大， 此时； 当C为D或E时，数量积最小， 此时. 35.点P是直线上一动点，线段AB是圆的一条动直径，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】圆的圆心到直线的距离， 圆的半径， 因此， 所以的最小值为16. 36..已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设为向量与的夹角， 关于的方程有实根，则有， 又，则有，得， 又，所以．故选B. 37.（2025北京卷T10）已知平面直角坐标系中，，，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即，故选：D. （建议用时：40分钟） 1．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知等腰中，分别为的中点，若，则 ． 【答案】 【解析】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，在等腰中，， 且分别为的中点， 则，， 由平面向量的减法法则可得， 而， 则，所以解得. 2．（25-26高三上·上海松江·期中）已知且，若向量满足，则的最大值是 . 【答案】 【解析】由且，得， 当时，成立； 当时，由，得， 则，当且仅当与同向时取等号， 因此，即的最大值是. 3．（25-26高三上·上海·期中）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，若，则 ； 【答案】 【解析】连接CE，因为正八边形的每一个内角都是，且， 所以, 由正八边形的对称性知，且，所以， 则， 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以，． 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得, 又，即，所以的取值范围是. 5．（2025·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为 【答案】/ 【解析】如图所示：为的外心，以O为原点，平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 因等边的高为，则， 因圆，则设， 则， 所以，所以当时，的最大值为. 6．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，又， 所以中一定有两个1，一个0， 不妨设， 则，， 根据， 不妨设，，， 则，所以， 又， 所以， 因为，所以， 所以 所以 所以 7．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知为坐标原点，､是双曲线的右支上任意两点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设所在直线斜率存在时直线方程为，与双曲线右支交于两点，， 将直线代入得：， ， 直线与右支交于不同两点，则且， 由韦达定理： 又 代入韦达定理： 则 ，所以， 化简得：， 又双曲线渐近线方程为，直线与双曲线右支存在两个交点时需满足， 故，. 斜率不存在时，设直线， 与右支交于两点，其中，此时： 所以当关于轴对称时，数量积正好等于， 综上的取值范围是. 8．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合是平面直角坐标系内的点集，为坐标原点.若任取，，均存在不全为0的实数，，使得，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】存在不全为0的实数，，使得，即与共线， 设，选项中的点为点，则的充分条件，即与不共线， A：，与共线； B：，与共线； C：，与不共线； D：，与共线； 故选：C． 9．（24-25高一下·上海·期末）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，点是以为直径的半圆弧的中点，则集合中的，元素个数（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【解析】根据向量积的定义可知， 所以集合中的，元素个数4个. 故选：B. 10．（2025·上海黄浦·一模）已知点，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则. 因为，所以. 所以. 所以. 所以. 其中当与同时取最大值时，即与时，取得最大值，最大值为.此时，点重合，坐标为或. 当与同时取最小值时，即与时，取得最小值，最小值为.此时，点的坐标分别为或. 所以的取值范围是. 故选：B. 11．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，若对任意模为2的向量，均有， 则， ， 平方得到，即，即， 同时， ，即， 平方得到，即，即， 综上，即， 向量的夹角的取值范围. 故选：B. 12．（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，则， 设则， 则， 整理得：，不妨设，，则. 因点、分别为、的中点， 则，， 同理可得， 故 ， 将，代入上式， 可得： ， 其中是锐角，且，故的最大值为.故选：A. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $