精品解析：天津市河北区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

河北区2025－2026学年度第一学期期末八年级学业水平质量调查 数学 本试卷满分100分．考试时间90分钟． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面几个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断选项，即可. 【详解】解：“中”可以看做是轴对称图形，其他选项都不能看作轴对称图形， 故选C. 【点睛】本题主要考查轴对称图形，掌握“沿一条直线对折，能够完全重合的图形是轴对称图形”，是解题的关键. 2. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】A．2+5<8，不能组成三角形，故此选项符合题意； B．2+4＞5，能组成三角形，故此选项不符合题意； C．3+4＞5，，能组成三角形，故此选项不符合题意； D．8+7＞14，，能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：0.000000203米用科学记数法表示为米， 故选：C． 4. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：A． 5. 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解的概念：把一个多项式在一个范围内分解，化为几个整式乘积的形式，这种式子变形叫做因式分解，据此逐一进行分析判断即可. 【详解】A. ，整式乘法，故不符合题意； B. ，不是因式分解，故不符合题意； C. ，是因式分解，符合题意； D. ，故不符合题意， 故选C. 6. 计算的结果等于（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算，解题的关键是掌握分式的减法运算法则．根据分母相同，则分母不变，分子相减，计算即可． 详解】解：， 故选：A． 7. 若，则a、b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键．先按照多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用多项式的恒等进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故选：B． 8. 下列分式中，是最简分式的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义．最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，要判断哪个分式是最简分式，需依次分析每个选项的分子与分母是否有公因式，若没有公因式则为最简分式． 【详解】、，不是最简分式，不符合题意； 、是最简分式，符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 故选：． 9. 若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变． a，b都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 10. 已知，如图，∠A＝70°，∠B＝40°，CD平分∠ACE，则∠ACD＝（　　） A. 55° B. 70° C. 40° D. 110° 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形外角的性质求解∠ACE的度数，再利用角平分线的定义可求解∠ACD的度数． 【详解】解：∵∠ACE是△ABC的外角，∠A＝70°，∠B＝40°， ∴∠ACE＝∠A+∠B＝110°， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠ACE＝55°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，求解∠ACE的度数是解题的关键． 11. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点、，再分别以点与点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键掌握三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的性质，根据题意，求出，由作图可得，平分，且，根据三线合一，可得，根据三角形的内角和，即可求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由作图可得：平分，且， ∴（三线合一）， ∴， ∴． 故选：B． 12. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可知， 解得：， 则点P坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的运算，直接根据单项式乘以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若分式的值为零，则x的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，明确分式的值为0时，分子为0，分母不为0是解题的关键； 根据分式的值为0时，分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：； 故答案：1． 15. 计算的结果等于______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算、平方差公式，利用平方差公式进行计算是解题的关键．先利用平方差公式化简，再利用二次根式的性质计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：1． 16. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，再把代入所求式子中化简即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是 _____． 【答案】20 【解析】 【详解】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，先根据正方形的面积得出a2﹣b2＝40，再利用正方形的性质、三角形的面积公式可得阴影部分的面积表达式，然后化简求值即可． 【分析】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵大正方形与小正方形的面积之差是40， ∴a2﹣b2＝40， 由正方形的性质得：BC⊥AB，BD⊥AB，BC＝AB＝a，BD＝BE＝b， ∴AE＝AB﹣BE＝a﹣b， ∴阴影部分的面积＝S△ACE+S△AED ＝AE•BC+AE•BD ＝AE•（BC+BD） ＝（a﹣b）（a+b） ＝（a2﹣b2） ＝×40 ＝20， 即阴影部分的面积是20． 故答案为：20 【点睛】本题考查了正方形的性质、平方差公式等知识点，利用正方形的性质、三角形的面积公式正确列出阴影部分的面积表达式是解题关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上， （1）面积为__________； （2）点分别是线段上动点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点的位置，使得最短，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】 ①. 9 ②. 取格点H、S，连接分别交于点P，点N，则点P和点N即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了网格中求三角形的面积，轴对称最短路径问题，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和三角形面积公式求解即可； （2）取格点H、S，连接分别交于点P，点N，则点P和点N即为所求；可证明，则可证明，由点M和点H关于对称得到，则当三点共线，且时最短． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：9； （2）如图所示，取格点H、S，连接分别交于点P，点N，则点P和点N即为所求． 故答案为：取格点H、S，连接分别交于点P，点N，则点P和点N即为所求． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）化简：； （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式，分解因式，积的乘方和单项式与单项式的乘除法运算，正确计算是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可； （2）先根据乘法公式去括号，然后合并同类项即可； （3）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把两个分式的分子，分母分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【详解】解： 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 22. 如图，在四边形中，点在边上，已知，，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理和等边对等角是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案； （3）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，由平角的定义求出的度数，再由全等三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 某公司购买A，B两种哪吒主题文创产品作为“公司评星”活动的奖品，A种文创产品的单价比B种贵40元，现用2000元资金采购，其中600元购买A种文创产品，剩余资金购买B种文创产品，且A种文创产品的购买数量是B种的．设B种文创产品的单价为元． 花费金额（元） 单价（元） 购买数量（件） A种文创产品 600 ______________ ______________ B种文创产品 ______________ ______________ （1）请根据信息填表（用含有式子表示）； （2）根据题意列出关于的分式方程，并求出A，B两种文创产品的单价． 【答案】（1）见解析 （2）分式方程为，A种文创产品单价为96元，B种文创产品单价为56元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据A种文创产品的单价比B种贵40元可求出A种文创产品的单价，根据总资金为2000元可求出用于购买B的资金，再根据数量等于购买资金除以单价可确定对应的购买数量； （2）根据A种文创产品的购买数量是B种的可列出方程，再解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设B种文创产品的单价为元，则A种文创产品的单价为元 由题意得，购买B种文创产品的资金为元， ∴A种文创产品的购买数量为件，B种文创产品的购买数量为件， 填表如下： 花费金额（元） 单价（元） 购买数量（件） A种文创产品 600 B种文创产品 1400 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴A种文创产品单价为96元，B种文创产品单价为56元． 24. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，且，过点作于点，为轴上点右侧的动点，以为腰作等腰，使，，直线交轴于点． （1）求点的坐标，并证明； （2）求证：； （3）当点运动时，点在轴上的位置是否发生改变，为什么？ 【答案】（1），，，证明见解析 （2）见解析 （3）不变，见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，算术平方根的非负性，全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）先根据非负数的性质求出a、b的值，即可求解点的坐标，作于点E，由定理得出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先根据，得出，再由定理即可得出结论； （3）设，由全等三角形的性质可得出，故为定值，再由可知的长度不变，故可得出结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵，，， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，即． 在与中， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：点在轴上的位置不发生改变．理由： 设． ∵， ∴． 由（2）知，， ∴． ∵，为定值，， ∴形状、大小确定， ∴长度不变， ∴点在轴上的位置不发生改变． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2025－2026学年度第一学期期末八年级学业水平质量调查 数学 本试卷满分100分．考试时间90分钟． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面几个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 2. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 3. 某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式由左边到右边变形中，属于分解因式的是（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果等于（　　） A B. 1 C. D. 7. 若，则a、b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 下列分式中，是最简分式的是 （ ） A. B. C. D. 9. 若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 10. 已知，如图，∠A＝70°，∠B＝40°，CD平分∠ACE，则∠ACD＝（　　） A. 55° B. 70° C. 40° D. 110° 11. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点、，再分别以点与点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 12. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：___________． 14. 若分式的值为零，则x的值为______． 15. 计算结果等于______． 16. 若，则的值为___________． 17. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是 _____． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上， （1）面积为__________； （2）点分别是线段上的动点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点的位置，使得最短，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）化简：； （3）分解因式：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解方程：． 22. 如图，在四边形中，点在边上，已知，，． （1）求证：； （2）求度数； （3）若，求的度数． 23. 某公司购买A，B两种哪吒主题文创产品作为“公司评星”活动的奖品，A种文创产品的单价比B种贵40元，现用2000元资金采购，其中600元购买A种文创产品，剩余资金购买B种文创产品，且A种文创产品的购买数量是B种的．设B种文创产品的单价为元． 花费金额（元） 单价（元） 购买数量（件） A种文创产品 600 ______________ ______________ B种文创产品 ______________ ______________ （1）请根据信息填表（用含有的式子表示）； （2）根据题意列出关于的分式方程，并求出A，B两种文创产品的单价． 24. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，且，过点作于点，为轴上点右侧的动点，以为腰作等腰，使，，直线交轴于点． （1）求点的坐标，并证明； （2）求证：； （3）当点运动时，点在轴上的位置是否发生改变，为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $