北京市昌平区2025-2026学年高二上学期期末质量抽测数学样卷试题

北京市昌平区2025-2026学年高二上学期期末质量抽测数学样卷试题 2026.1 本样卷含第一卷和第二卷．第一卷共137分，第二卷共13分，共150分．考试时长120分钟．第一卷共4页，第二卷共1页．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一卷 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 在空间直角坐标系中，已知点，且A，B，C三点共线，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 5. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 从4名志愿者中选派3人在星期六、星期日参加公益活动，要求每人只参加一天，且星期六需要有两人参加，星期日需要有一人参加，则不同的选派方法共有（ ） A. 12种 B. 20种 C. 24种 D. 36种 7. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，是该抛物线上的一点．若，，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 8. 已知直线，则“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知A，B是圆上的两点，是直线上一点．若存在点A、B、P，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为2的正方体中，是正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则下列结论中错误的是（ ） A. B. 点的轨迹长度为 C. 点到直线的最短距离为 D. 可能为锐角 第二部分（非选择题 共97分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知直线与垂直，则__________． 12. 已知，则__________；__________． 13. 某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为__________． 14. 已知双曲线，其渐近线方程为__________；若是双曲线右支上的一个动点，且到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为__________． 15. 在平面直角坐标系中，给定一个圆系，其中．给出下列四个结论： ①圆与圆的公共弦长为4； ②该圆系中所有圆的圆心都在某条抛物线上； ③对于任意的，圆与圆都外切； ④存在直线与所有圆都相切． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 某学生参加研学活动，需依次前往3个打卡点，且每个打卡点遇到排队的概率均为，若遇到排队，则每次排队均需额外耗时20分钟．假设在各打卡点是否遇到排队相互独立． （1）求该生首次遇到排队发生在第3个打卡点的概率； （2）设该生在上述3个打卡点排队的额外总耗时为（单位：分钟），求的分布列及数学期望. 18. 如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为4 （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于A、B两点，点为坐标原点．若，求直线的方程． 20. 已知椭圆过点，离心率为．过点且不与轴重合的直线，该直线与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆的方程； （2）当点是椭圆上的动点时，求的最小值； （3）设是异于的定点，记与的面积分别为．若对任意的直线，均有成立，求定点的坐标． 北京市昌平区2025-2026学年高二上学期期末质量抽测数学样卷试题 2026.1 本样卷含第一卷和第二卷．第一卷共137分，第二卷共13分，共150分．考试时长120分钟．第一卷共4页，第二卷共1页．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一卷 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题 共97分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ## 【15题答案】 【答案】①②③ 三、解答题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） 因为平面，又因为平面， 所以. 在正方形中，易知， 又因为，平面， 因此平面. （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 15 【18题答案】 【答案】（1） 连接,连接， 四边形为正方形，为中点，为BC的中点，， 平面，平面，平面； （2） （3） 假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设， ，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 则点到平面的距离为， 解得，或（舍）， 在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $