第一章 反比例函数 期末复习题 2025--2026学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第一章反比例函数期末复习题 一、单选题 1．下列各点中，在双曲线上的是（　　） A． B． C． D． 2．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 3．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C． D． 4．小小气球也蕴含着大学问，已知某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数．其图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．与之间的关系式为 B．当时， C．当越来越大时，也越来越大 D．当时， 5．关于反比例函数下列说法不正确的是（   ） A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上 6．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（   ） A．10 B．3 C． D．5 7．若函数是反比例函数，则的值为（） A． B． C． D． 8．如图，这是一盏可调节亮度的台灯．图呈现的是通过该台灯的电流（单位：）随其电阻（单位：）变化的反比例函数图像，该图像经过点．根据图像可知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与的函数关系式是 C．当时， D．当时，的取值范围是 9．如图，矩形的顶点在双曲线的图象上，顶点在y轴上，顶点在轴上，，分别与反比例函数的图象相交于点，，若四边形的面积，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 11．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A．B．C． D． 12．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 二、填空题 13．下列各y关于x的函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是 填所有正确的序号． 14．如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点、，连接，已知的值为8，则的面积为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，在函数的图象上有一点，过作轴，交x轴于点为点关于轴的对称点，若的面积为7，则 ． 16．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，则线段的长为 ． 三、解答题 17．某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．如图，楼道里的饮水机上午8:00接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温与时间的关系如图所示．         (1)分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式． (2)求在一个循环内水温高于的时间． (3)若饮水机早上已加满水，开机温度是，为了使下课时水温达到及以上，并节约能源，请通过计算写出饮水机在上午什么时候接通电源比较合适． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，，求的周长． 19．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)连接并延长交反比例函数图象于点，求的面积． 20．在函数的学习中，我们经历了“函数表达式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： … 0 1 3 4 5 6 … … 4 2 1 … 其中______； (2)在所给平面直角坐标系中描点并连线，请画出函数的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而______；（填“增大”或“减小”） ②图象关于点______中心对称；（填点的坐标） ③的图象是由的图象向______平移______个单位长度而得到的． (4)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是______． 21．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)当时，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数的图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键． 根据双曲线得到，只要具备等于6就能判断此点在图象上，反之就不在图象上，代入判断即可． 【详解】解：双曲线， ， A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，与不等式的关系，解题的关键是正确运用数形结合的思想． 的解集即为直线在双曲线上方时对应交点的横坐标的取值范围，据此结合图象即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，当时，则或， 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，以及相反数的定义，解题的关键是掌握它们的性质． 根据题意得，当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限；当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，据此选择即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， 当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限，无此选项； 当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，反比例函数图象的性质， 先根据图象经过点求出关系式，判断A；再将代入关系式可判断B；观察图象结合反比例函数图象的性质解答C；最后求出当时，，结合图像的性质解答D即可． 【详解】解：设反比例函数的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴反比例函数的关系式为； 当时，； 根据图象可知，当越来越大时，p也越来越小； 当时，， 观察图象可知， 当时，， 所以A，B正确，C不正确，D正确． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用． 根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】解：反比例函数，， 图象位于第一、三象限， A选项是正确的，不符合题意； 根据反比例函数的图象可知，图象与坐标轴无交点， C选项是正确的，不符合题意； 对于B：当时，， 增大，减小， 随的增大而减小，故B是错误的，符合题意； 对于D：若点在图象上，则，代入点，有， ，成立，故D是正确的，不符合题意． 故选：B． 6．D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵， 观察图象得：， ∴k的值可能是5． 故选：D 7．B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式为，其中是解题的关键． 根据反比例函数的定义列式方程计算即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得：． 故选B． 8．D 【分析】此题主要考查了实际问题与反比例函数，利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质逐一分析即可，正确得出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：、由图像可知：当时，，该选项错误，不符合题意； 、设与的函数关系式是， 把代入得：，解得：， ∴与的函数关系式是，该选项错误，不符合题意； 、由图像可知：当时，，该选项错误，不符合题意； 、由上得与的函数关系式是， 当时，；当时，， ∴当时，的取值范围是，该选项正确，符合题意； 故选：． 9．B 【分析】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，熟练掌握其性质是做题的关键．根据反比例函数系数的几何意义，得出，，再根据，列方程求解即可． 【详解】解：矩形的顶点在双曲线的图象上， ． 点和点都在反比例函数的图象上， ． ，且， ， 解得，． 故选：B． 10．A 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，根据反比例函数k的几何意义可知：，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∴， ∵点A为反比例函数图象上的一点，点B为反比例函数图象上的一点， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 11．B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 12．A 【分析】本题考查了反比例函数，一元二次方程根的判别式的意义．根据反比例函数图象的位置确定的符号，再计算判别式判断根的情况． 【详解】解：∵反比例函数()的图象位于第二、四象限， ∴． 对于方程， 判别式． ∵， ∴， ∴， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 13． 【分析】本题考查反比例函数的定义，判断函数是否为反比例函数，需满足形式（k为常数且），或等价形式如．需逐一分析每个函数是否符合条件，注意分母是否为的一次式，以及是否存在其他变形导致不符合定义的情况． 【详解】解：，未明确说明的取值范围，可能为0，因此不符合题意； ，由于（无论为何实数），分母为，分子为常数且不为零，故符合反比例函数的定义； ，可化简为，分子为常数且，符合定义，故是反比例函数； ，分母为，不符合分类函数的形式，不属于反比例函数，故不符合； ，此为正比例函数，与反比例函数形式不同，故不符合； ，为反比例函数与常数的组合，不符合纯反比例函数的定义，故不符合； ，该函数可化为，自变量的指数是，不等于，不符合反比例函数的定义，故不符合； ，即，显然符合反比例函数的定义，故是反比例函数； ，变形为，即，符合反比例函数的定义，故是反比例函数． 综上，符合条件的函数为． 故答案为：． 14．4 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，根据，，即可求解． 【详解】解：由题意知， ， ， 故答案为：4． 15．7 【分析】本题考查反比例函数中比例系数k的几何意义，轴对称的性质．设点，则， 连接，由点B与点A关于y轴对称得到，从而，因此，再根据点在函数的图象上可得． 【详解】解：设点， ∴， 连接， ∵点B与点A关于y轴对称， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：7． 16． 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数与几何的综合、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则有，然后可得，设，则有，由题意易得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可设，则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴（负根舍去）， ∴， ∴； 故答案为． 17．(1)水温上升：关于的函数关系式为；水温下降：关于的函数关系式为； (2)在一个循环内水温高于的时间为分钟； (3)开机接通电源比较合适． 【分析】此题主要考查了实际问题与反比例函数，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据函数图像分为当时和当时，分别求出函数关系式即可； （）分别求出当时，，解得；，解得；然后相减即可； （）由题意可得，当时，，解得：，从而求解． 【详解】（1）解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图像可得：，解得：， ∴关于的函数关系式为； 水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图像可得：，解得：， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，，解得； ，解得； ∴在一个循环内水温高于的时间为（分钟）； （3）解：由题意可得，当时，，解得：， ∴，即开机接通电源比较合适． 18．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式求出，从而即可求出，再利用待定系数法计算即可得解； （2）结合函数图象即可得出结果； （3）根据勾股定理分别求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数的解析式可得， ∴， ∴， 将，代入一次函数的解析式可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）根据图象，不等式的解集为或 （3）由（1）知点A，B的坐标分别为，， ，， 19．(1)； (2) 【分析】本题考查待定系数法求解析式、一次函数与反比例函数图像的交点问题； （1）待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式； （2）连接，根据的面积的面积的面积，进而根据双曲线的对称性和三角形中线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴反比例函数表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴点A坐标是； ∵点和点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）如图，连接，设交轴于点 对于， 当时，，，点， ∴的面积的面积的面积， 由双曲线的对称性知， ∴的面积的面积， ∴的面积 20．(1) (2)图见解析 (3)①减小；②；③右，2 (4)或 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解分式方程，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，把代入即可求值； （2）先描点，再用平滑的曲线连接各点即可； （3）根据图象和题意即可得出答案； （4）先根据题意得，解方程得，再根据图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，把代入得， ， 即． 故答案为：． （2）解：如图所示， （3）解：根据图象和题意可得， ①当时，随的增大而减小； ②图象关于点中心对称； ③的图象是由的图象向右平移2个单位长度而得到的． 故答案为：①减小；②；③右，2． （4）解：当时，即， 解得，， 经检验，是原方程的解且符合题意． 根据题意和图象可知，函数图象关于点中心对称， 故当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 21．(1) (2)不在 (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把代入函数解析式求出的值即可判断求解； （）求出和时的值，再根据反比例函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个函数的图象上； （3）解：当时，；当时，， ∵， ∴在每个象限内，的值随着的增大而增大， ∴当时，的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $