第一章反比例函数训练题2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第一章反比例函数训练题 一、单选题 1．下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 2．在函数①；②；③；④中，反比例函数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列各点不在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积是（   ） A． B．2 C．3 D．6 7．已知函数的图象如图所示，有以下结论：①；②在图象所在的每个象限内随的增大而减小；③若点、点在图象上，则；④若点在图象上，则点也在图象上．其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．已知函数，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，随的增大而减小；③若、两点在该图象上，且，则．其中说法正确的是（   ） A．①③ B．② C．③ D．①② 9．如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 10．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．图象经过点 C．当时，随的增大而减小 D．若点，都在图象上，且，则 11．已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 12．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点P在上，轴于点A，交于点B，连接OB，OP，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 13．如图，点A、B是反比例函数图像上的任意两点，且轴于点C，轴于点D，连接OA、OB，若与的面积之和为8，则的值是（   ） A． B． C．8 D．16 14．已知函数的图象经过点，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象只在第一象限 B．随的增大而增大 C．点不在此函数的图象上 D．当时，必有 15．一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能为（    ） A． B． C． D． 16．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为4，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 17．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 18．点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 19．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    20．如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是 ． 21．如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则 ． 22．如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，连接．若，则k的值为 ． 三、解答题 23．已知函数． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若是关于的反比例函数，求的值． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 25．已知反比例函数为的图象经过点． (1)求k的值． (2)若点也在该函数图象上，求m的值． (3)若点也在反比例函数的图象上，求当时，函数值y的取值范围． 26．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度与时间的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： (1)求降温阶段y与x的函数表达式； (2)求温度从降到室温所需要的时间． 27．已知反比例函数（k常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，求k的值； (2)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若，试写出当时x的取值范围． 28．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 2．D 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，逐项分析判断即可．解析式符合的形式为反比例函数． 【详解】解：①函数中，y是x正比例函数； ②函数中，y是x反比例函数； ③函数中，y是x反比例函数； ④函数中，y是x的反比例函数． 综上所述，是反比例函数的有②③④，共计3个． 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解． 【详解】解：A、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； D、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 【详解】解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 6．A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形， 点与点关于原点对称， ， 在和中， ， ， ， ∴， 轴， ， ， ∴， 是的中点， ∴， ， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键．根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可． 【详解】解：①由图象可以看到，函数图象位于第一、三象限， ∴根据反比例函数图象的性质，可得，因此结论①是正确的； ②由结论①可知， ∴在图象所在的每个象限内，随的增大而减小，结论②是正确的； ③因为点、点都在反比例函数的图象上，且， 又∵在第一象限内随的增大而减小，(由结论②可知) ∴当的值越小，对应的值越大，即，结论③是正确的； ④已知点在反比例函数的图象上， 得：， 两边同时乘以，得到， ∵点也在反比例函数的图象上， 得：， 把代入右边，可得， ∴左边等于右边， ∴说明点也在该反比例函数的图象上，所以结论④是正确的； 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：， ， 该函数的图象在第一、二象限， 且该函数的图象关于轴对称， ①说法错误， ， 当时，随着的增大而减小， 又图象关于轴对称， 当时，随着的增大而增大， ②说法错误， 当时，、两点关于轴对称， ， ③说法正确， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了反比例函数的定义．反比例函数的形式为，因此需满足指数为且系数非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴ ∴ 解得， 故选：C 10．C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数（）的性质逐一分析选项． 【详解】解：对于反比例函数，． A选项：图象应分布在第一、三象限，此选项不符合题意； B选项：当时，，图象经过，此选项不符合题意； C选项：当时，在第一象限，随的增大而减小，此选项符合题意； D选项：若但不在同一象限，如，，则，，，此选项不符合题意． 故选：C． 11．B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由于反比例函数可知图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解， 熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数可知，图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵点、均在函数的图象上，且， ∴点、不在同一象限，则点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． 12．A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解并掌握系数k的几何意义是解决本题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴， ∴ ． 故选A． 13．C 【分析】此题主要考查反比例函数中值的含义，正确理解值的含义是解题关键． 设出点A、B的坐标，表示出，，，的长度，进而表示面积，根据题意建立关系求解． 【详解】解：设，，其中，， 轴，轴， ，， ，， ， ， 又与的面积之和为8， ， ． 故选：C． 14．D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，函数图象上的点符合函数解析式．将点代入得到m的值，再根据反比例函数的性质进行判断． 【详解】解：将点代入得，，函数解析式为； A、因为，所以函数图象在一、三象限，故本选项错误； B、因为，所以函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误； C、因为，所以点在此函数图象上，故本选项错误； D、因为，所以函数图象在一、三象限，时，，故本选项正确． 故选：D． 15．B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象．根据m，n的符号讨论一次函数与反比例函数的图象所在的象限，再找出符合的选项即可． 【详解】解：当，时，，，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限； 当，时，，，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，B选项符合； 当，时，，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限； 当，时，，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限． 故选：B． 16．B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．首先求出点的横坐标为，然后根据图象求解即可． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4， 点的横坐标为． 根据函数图象可知：当时，的取值范围是或． 故选：B． 17． 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，关于坐标轴对称的点的特征，一次函数和反比例函数的交点问题， 先求出点关于y轴对称的点的坐标，再将坐标代入一次函数关系式求出a，然后将点P的坐标代入关系式求出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． ∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴点． 将点代入反比例函数关系式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 19．12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 20．16 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【详解】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 21． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 22． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，反比例函数系数的几何意义，利用条件构造三角形相似是解题的关键．过作轴于点，过作轴于点，由条件证得，从而得出，即可得到，解方程求得的值． 【详解】解：， ， ， 可设， ， ， 过作轴于点，过作轴于点， ；， ， ， ，且， ， ， ， 解得， 故答案为：． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握正比例函数，反比例函数是关键． （1）根据正比例函数的定义，可得且，进而即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x的正比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得，， ∴． （2）解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得， ∴． 24．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)16 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再把点和点的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者的交点处的自变量的取值范围即可得到答案； 【详解】（1）把点代入， ， 反比例函数解析式为， 在上， ， ， ， 把，代入一次函数解析式中， ， ， ； （2）由（1）可得，一次函数解析式为， 令，则， ， ， ； （3）由函数图象可知，当或时，， 当时，的取值范围为或． 25．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （3）由，随值增大而增大，进而即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数过点， ； （2）解：由（1）函数解析式为， ∵点也在该函数图象上， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴当时，随值增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴当时，． 26．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点得到与的函数关系式是； （2）将代入得到，根据，于是得到结论． 【详解】（1）解：设反比例函数表达式为， 把代入得，， 解得， 所以所求函数表达式为； （2）把代入得，， ， 答：所需要的时间为． 27．(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数解析式； （1）把点A的坐标代入关系式即可求出k的值； （2）由反比例函数的增减性可知，y随x的增大而增大，则，即可求出k的范围； （3）当时，确定函数关系式，求出当和时相应的x的值，根据反比例函数的图象和性质，确定x的取值范围. 【详解】（1）解：把点代入反比例函数得：， ∴ 因此k的值为4. （2）解：反比例函数每一支上，y都随x的增大而增大， ∴， ∴. （3）解：当时，反比例函数的关系式为，此时在每个象限内，y随x的增大而减小，如图所示，当时图象都在第三象限， 当时，解得， 当时，解得， ∴x的取值范围为． 28．(1)，4 (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点、的坐标代入反比例函数解析式，即可得出、的值，从而得出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析会，计算出直线与轴、轴的交点坐标为、，再由三角形的面积公式即可得解； （2）由，，再结合函数图象即可得解； （3）由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， 将与坐标代入反比例解析式得：，， 、， 代入一次函数解析式得： ， 解得：，， 则一次函数的解析式为， 当时，，当时，则， 解得， ∴直线与轴、轴的交点坐标为、， ∴； （2）解：∵，， ∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或； （3）解：∵， ∴， 设，即， ， ∴， 解得：或， ∴，， 同理可得：，， 综上所述，点的坐标为，，，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $