精品解析：天津市红桥区2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

高三数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分！答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 2. 在中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 4. 已知函数满足且， （ ） A. 682 B. 684 C. 686 D. 688 5. 如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润营业额支出），根据折线图，下列说法中错误的是 A. 该超市这五个月中的营业额一直在增长； B. 该超市这五个月的利润一直在增长； C. 该超市这五个月中五月份的利润最高； D. 该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关. 6. 已知 则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，是函数的零点， 则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 函数的图象关于直线对称，则下列命题正确的是（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B. 点为图象的一个对称中心 C. D. 在区间上单调递减 9. 已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于A，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 已知i是虚数单位，若复数 则 __________ 11. 的展开式中常数项为_____. 12. 等比数列的前n项和为 ， 已知成等差数列，则 的公比为________________. 13. 已知一个体积为27的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内.则该半球体的体积为____________. 14. 在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点， 设，试用a，b表示为_____________; 的面积为，则的最小值为______________. 15. 函数 若在区间内恰有5个零点，则实数的取值范围是___________. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.(16) (本小题满分14分) 16. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知 （1）求b的值; （2）求 sin C的值; （3）求 的值. 17. 如图， 多面体中， 面为矩形， ， ， （1）求证:平面 ; （2）求 与所成角的余弦值； （3）求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 过 的直线交椭圆C于点M，N， 的周长为8，过点Q(4，0)的直线m交椭圆C于不同的两点A，B. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若D为线段AB 的中点，在x轴上存在一点E，使 成立，求 的取值范围. 19. 已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足. （1）求数列、的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）设，求证：. 20. 已知函数 . （1）若，求函数的单调区间； （2）对任意实数 不等式 恒成立，求实数b的取值范围； （3）若是的两个不同的极值点， 且 求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分！答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解. 【详解】全集，由，得，而， 所以. 故选：C 2. 在中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化及“大角对大边”及“大边对大角”性质可得. 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得：，即，. 充分性验证： 若，由大角对大边得，即，所以充分性成立. 必要性验证：若，则，即，由大边对大角得，所以必要性成立. 因此“”是“” 的充要条件. 3. 对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义逐项判断得解. 【详解】设等比数列的公比为， A，当时，，不成等比数列，A错误； B，对于任意公比，，成等比数列，B正确. C，当时，，不成等比数列，C错误； D，当时，，不成等比数列，D错误. 故选：B 4. 已知函数满足且， （ ） A. 682 B. 684 C. 686 D. 688 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，依次求出，再求出和即可. 【详解】由函数满足且，得， ， 所以. 故选：A 5. 如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润营业额支出），根据折线图，下列说法中错误的是 A. 该超市这五个月中的营业额一直在增长； B. 该超市这五个月的利润一直在增长； C. 该超市这五个月中五月份的利润最高； D. 该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题设中的折线图中的数据，准确计算每个月的利润，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得： 1月份的利润为万元；2月份的利润为万元； 3月份的利润为万元；4月份的利润为万元； 5月份的利润为万元， 所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，故选B． 【点睛】本题主要考查了折线图的应用，其中解答中认真审题，根据数据的折线图的数据，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 6. 已知 则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由对数函数的单调性得到即可判断A；根据对数函数的性质结合即可分析判断B；利用幂函数和指数函数的单调性即可分析判断C；由指数函数的性质即可分析判断D. 【详解】因为函数在 上单调递增，所以， 所以，故A错误； 由得，当时，，故B错误； 因为函数单调递减，所以， 当时，幂函数在上单调递增，所以， 所以，故C正确； 因为函数单调递增且，所以，故D错误. 故选：C. 7. 已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，是函数的零点， 则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得的值. 【详解】函数在 上单调递增， ，， 所以零点满足 ，所以， 故选：C. 8. 函数的图象关于直线对称，则下列命题正确的是（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B. 点为图象的一个对称中心 C. D. 在区间上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数对称轴求出，再结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】由函数的图象关于直线对称，得， 而，则，， 对于A，将的图象向右平移个单位长度后得， 函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，A错误； 对于B，，点是图象的对称中心，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增， 则函数在区间上单调递增，D错误. 故选：B 9. 已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于A，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用离心率求得，然后由抛物线准线方程和双曲线渐近线方程联立可得A、B坐标，结合三角形面积可得p，再由面积公式可得. 【详解】由，可得， 所以双曲线的渐近线方程为 由得，由得， ∴，解得， ∴，，则的三边长分别为，，． 设的内切圆半径为，由，解得. 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 已知i是虚数单位，若复数 则 __________ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简,再利用共轭复数的定义即可求得结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 11. 的展开式中常数项为_____. 【答案】14 【解析】 【分析】求出展开式的通项公式，进而求出常数项. 【详解】的展开式的通项公式为， 由，得，所以所求常数项为. 故答案为：14 12. 等比数列的前n项和为 ， 已知成等差数列，则 的公比为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据为等差数列，可得，结合等比数列的前n项和公式可得公比. 【详解】因为已知成等差数列，所以； 即，化简得到； 所以或（舍去）. 故答案为：. 13. 已知一个体积为27的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内.则该半球体的体积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合几何体的结构特征求出半球的半径，进而求出其体积. 【详解】半球球心是正方体下底面正方形中心，过该正方体的对角面作截面，截半球得半圆，如图， 设正方体棱长为，则，半球半径， 由正方体的体积为27，得，所以该半球体的体积. 故答案为： 14. 在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点， 设，试用a，b表示为_____________; 的面积为，则的最小值为______________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求出；利用三角形面积公式及数量积的运算律，结合基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，则， 因此，， 由的面积为，得，则， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 15. 函数 若在区间内恰有5个零点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，分在区间有3个零点且在区间有2个零点，在区间有4个零点且在区间有1个零点，和在区间有5个零点且在区间没有零点，三种情况求解即可. 【详解】作出函数的图像，左侧是正弦型函数，右侧是开口向上，可以上下平移对称轴为的二次函数. 当时，，得到， （1）当在区间有3个零点且在区间有2个零点时， 满足 ，得到； （2）当在区间有4个零点且在区间有1个零点时， 满足或 ，得到； （3）当在区间有5个零点且在区间没有零点时， 满足 ，无解； 综上所述，实数的取值范围为：. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.(16) (本小题满分14分) 16. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知 （1）求b的值; （2）求 sin C的值; （3）求 的值. 【答案】（1） （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出得到，再利用余弦定理即可求解. （2）利用正弦定理即可计算求解. （3）先由倍角公式求出、，即可由两角差的余弦公式求. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理，得到； 所以. 【小问2详解】 因为，所以； 由正弦定理，得到. 【小问3详解】 因为， ； 所以； 17. 如图， 多面体中， 面为矩形， ， ， （1）求证:平面 ; （2）求 与所成角的余弦值； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 因为为矩形，所以, 又，则， 又平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明直线垂直平面内的两条相交直线 即可由线面垂直判定定理求证； （2）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （3）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，再由二面角的定义结合空间角向量法公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可以D为原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系： 则 所以， 则与所成角的余弦值. 【小问3详解】 向量，设平面 的一个法向量为， 则，令 得； 向量，设平面 的一个法向量为， 则，令得. 设二面角的平面角为， 则由图可得. 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 过 的直线交椭圆C于点M，N， 的周长为8，过点Q(4，0)的直线m交椭圆C于不同的两点A，B. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若D为线段AB 的中点，在x轴上存在一点E，使 成立，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程求出 的值，即可得到椭圆的方程； （2）设方程为，联立方程利用韦达定理得到 ，由，得到，所以直线方程 ，得.所以. 【小问1详解】 因为左、右焦点分别为 ，所以 ， 的周长为， 所以 ，所以 ， 所以椭圆方程. 【小问2详解】 设过点 的直线 m 方程为（斜率不存在时无交点，舍去）， 联立椭圆方程：，得. 设，中点， 则；由得到； ；所以， 由，化简得到，所以， 所以直线方程，令， 得. 所以，因为， 令，所以 ，函数， 因为，所以在上单调递增， ，； 所以. 19. 已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足. （1）求数列、的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）设，求证：. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的求和公式与通项公式列式求出首项和公差，可得数列的通项公式；根据可求出数列的通项公式； （2）根据进行裂项求和可求出； （3）根据基本不等式进行放缩得，再根据错位相减法求和可证不等式成立. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，设公差为， 由，得，即，解得， 所以， 由得，得， 当时，， 所以， 所以，即， 又，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以. 综上所述：数列、的通项公式分别是：，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以 . 【小问3详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 所以， 设， 则， 所以， 所以， 所以， 所以. 20. 已知函数 . （1）若，求函数的单调区间； （2）对任意实数 不等式 恒成立，求实数b的取值范围； （3）若是的两个不同的极值点， 且 求实数a的取值范围. 【答案】（1） 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性，从而求得单调区间； （2）分离参数，并构造函数，再利用导数判断的单调性，并求得其在上的最大值，即可求得参数的范围； （3）依题可得函数有两个不同的零点，结合判别式和韦达定理，由题干条件等价转化，推得，从而得到关于的不等关系，求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 由可得或，由可得. 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 即， 设， 由题意知，对任意的恒成立. 则 ， 因为时，恒成立， 故当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则有，故的取值范围为. 【小问3详解】 由，可得， 因是的两个不同的极值点，则方程有两异根， 则有（*），故. 而， 即， 也即，即， 将（*）代入上式，可得，解得. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $