第七章 相交线与平行线（章节复习）课件-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

第七章 相交线与平行线 人教版（新教材）数学七年级下册章节复习培优精讲练 01 知识梳理精讲 02 重难点考点讲练 03 中考真题演练 目录 CONTENTS 04 难度分层训练 010203目录CONTENTS知识点梳理高频考点演练 知识点梳理 Part 01 知识点梳理01：相交线 （1） 相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 （2）对顶角的定义 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 （3） 邻补角的定义 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 图1 图2 图3 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 知识点梳理02：垂线 1.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 2.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 图4 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 知识点梳理03：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 知识点梳理03：平行线的定义及画法 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 原理：同位角相等，两直线平行。 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 知识点梳理04：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 知识点梳理05：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 知识点梳理06：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 知识点梳理06：平行线判定 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 知识点梳理06：平行线判定 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 知识点梳理07：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 知识点梳理08：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点讲练 Part 02 重难点考点1：利用邻补角互补求角度 典例精讲 （24-25七年级下·广东清远·期末）如图所示，直线，相交于点O，若，则的大小为（　　） A．20° B． C． D． 解：∵直线相交于点O，， ∴． 故选：D． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点1：利用邻补角互补求角度 变式训练 （24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，直线，相交于点O，将分成两部分．   (1)图中的对顶角为 ，的补角为 ； (2)若，且，求的度数． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点1：利用邻补角互补求角度 变式训练 （1）解：图中的对顶角为，的补角为， 故答案为：，． （2）∵， ∴， 又， ∴， ∴． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点2：垂线段最短 典例精讲 （24-25七年级下·全国·课后作业）体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 解：跳远成绩是测量运动员落地点到起跳线的垂直距离， ∵从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短， ∴测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点2：垂线段最短 变式训练 （23-24七年级下·湖北黄石·期中）如图，计划把河水引到水池A中，先作，垂足为B，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 ． 解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点3：同位角、内错角、同旁内角 典例精讲 （24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中，与不是同位角的是（    ） 解：A：与为同位角，故A不符合题意； B：与为同位角，故B不符合题意； C：与没有公共边，不为同位角，故C符合题意； D：与为同位角，故D不符合题意； 故选：C． A． B． C． D． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点3：同位角、内错角、同旁内角 变式训练 （24-25七年级下·四川泸州·月考）如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ）   A．个 B．个 C．个 D．个 解：与是同位角，此选项正确；与是内错角，并不是同旁内角,此选项错误； 与是内错角，此选项正确；与是内错角，此选项正确； 与是同位角，此选项正确； 故正确的有个．故选：D. 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点4：用直尺、三角板画平行线 典例精讲 （24-25七年级下·全国·期中）如图，在三角形中，P是边上一点．过点P分别画，的平行线． 解：如图所示，，，直线即为所求． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点4：用直尺、三角板画平行线 变式训练 （24-25七年级下·江西新余·期末）如图，在正方形网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，三角形中，点，，都为格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图： (1)图（1）中画出的邻补角； (2)图（2）中画射线使． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点4：用直尺、三角板画平行线 变式训练 （1）解：作图如下： 即为所求； （2）取格点，作射线，作图如下： 射线即为所求． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点5：根据平行线的性质求角的度数 典例精讲 （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，．求的度数． 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵. 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点5：根据平行线的性质求角的度数 变式训练 （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线．求的度数． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点6：平行线的性质在生活中的应用 典例精讲 （24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点6：平行线的性质在生活中的应用 典例精讲 解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点6：平行线的性质在生活中的应用 变式训练 （24-25七年级下·山东日照·期末）如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，与垂直，当发光的灯管恰好与平行时，，，则的度数为 ． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点6：平行线的性质在生活中的应用 变式训练 解：如图：过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点7：根据平行线判定与性质求角度 典例精讲 （24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点7：根据平行线判定与性质求角度 典例精讲 解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点7：根据平行线判定与性质求角度 变式训练 （23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)当，，时，求点到直线的距离． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点7：根据平行线判定与性质求角度 变式训练 （1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ， ， ， 故点到直线的距离为． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点8：根据平行线判定与性质证明 典例精讲 （24-25七年级下·全国·周测）如图，点B在AC上，，．试说明：． 思路一：利用同位角相等说明． 思路二：利用同旁内角互补说明． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点8：根据平行线判定与性质证明 典例精讲 解：思路一：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 思路二：∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点8：根据平行线判定与性质证明 变式训练 （24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，，． (1)判定与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点8：根据平行线判定与性质证明 变式训练 （1）证明：，理由如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． （2）解：∵，， ∴； ∵是的平分线， ∴； ∵， ∴． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点9：利用平移的性质求解 典例精讲 （24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点9：利用平移的性质求解 典例精讲 （1）解：平移到的位置， ∴ ， 与互余， ； （2）解：，分别平移到和的位置，且 ，， ， ， ， 即， ． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点9：利用平移的性质求解 变式训练 （25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，将沿着射线方向平移，得，若，，，则阴影部分的周长为 ． 由平移可知：，， ， ， 阴影部分的周长为； 故答案是． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点10：平移(作图) 典例精讲 （24-25七年级下·甘肃武威·期中）作图题： 是由平移后得到的，中任意一点经过平移后对应点为，请在坐标系中画出三角形并求出，，的坐标． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点10：平移(作图) 典例精讲 解：如图所示，、、 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点10：平移(作图) 变式训练 （24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 重难点考点10：平移(作图) 变式训练 （1）解：如图，即为所求， （2）图中与既平行又相等的线段有，图中与相等的角有． 故答案为：； （3）由平移可知，， ∴， ∴， ∴， 由平移可知，， ∴， ∴ 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 中考真题演练 Part 03 中考真题 1．（2024·全国·中考真题）下列说法正确的有（   ） 如果，那么、、互为补角； ，那么是的余角； 互为补角的两个角的平分线互相垂直； 有公共顶点且相等的角是对顶角； 如果两个角相等，那么它们的余角也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 中考真题 解：和为的两个角互为补角，故原说法不正确； ，那么是的补角，故原说法不正确； 互为补角的两个角的平分线不一定互相垂直，故原说法不正确； 有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故原说法不正确； 等角的余角相等，故原说法正确； ∴说法正确的有个． 故选：A． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 中考真题 2．（2024·陕西咸阳·中考真题）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 中考真题 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 中考真题 解：过点作，过点作，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 难度分层训练 Part 04 基础夯实 1．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：， ， ， ， 故选：D． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 基础夯实 2．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 基础夯实 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，．如果，那么．请将下面的说理过程补充完整． （已知）， ( )， ( )． （已知）， ( )． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 基础夯实 证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）．      故答案为：，两直线平行同位角相等，，两直线平行内错角相等，等量代换． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 培优拔高 1．（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）如图，给出下列条件：①；②；③，且；④；其中能推出的条件有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 培优拔高 解：①能推出，故①不符合题意； ②能推出，故②符合题意； ③由得出，结合可得，故能推出，故③符合题意； ④能推出，故④符合题意； 综上所述，能推出的条件有②③④， 故选：D． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 培优拔高 2．（23-24七年级下·山东济南·开学考试）老师在上课时不小心将一副含的三角板掉落在地上，直角顶点刚好落在瓷砖的边线上，如图 ，，则 ． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 培优拔高 解：过三角板的角的顶点A作直线．  由题意可得, ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 培优拔高 3．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点表示村庄，，是两条互相垂直的公路，是河流，点和点处各有一座小桥． (1)量出点到的图上距离． (2)量出点到的图上距离． (3)如果此图是按的比例画出的，计算（1）和（2）中的实际距离． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 培优拔高 （1）解：由题意和图可得， 点到的图上距离即线段的长度， 测量可得，点到的图上距离是厘米． （2）解：如图， 过点作于点， 点到的图上距离即线段的长度， 测量可得，点到的图上距离是厘米． （3）解：由题意得， （厘米），厘米千米； （厘米），厘米千米． 答：（1）中的实际距离为千米，（2）中的实际距离为千米． 如图1所示，直线<em>AB</em>与直线<em>CD</em>相交于点<em>O</em>。相交线示例相交线的定义 谢谢大家 202X主讲人：时间：谢谢大家Leo_阿回2026.01 $