山东省临沂市兰山区2025-2026学年八年级上学期数学期末考前示范卷

山东省临沂市兰山区2025-2026学年八年级上学期数学期末考前示范卷 一、单选题 1．如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（　　） A． B． C． D． 2．智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在上，是圆的半径，连接．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 6．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（    ） A．12x2y＝3x•4xy B．x2＋6x﹣7＝x（x＋6）﹣7 C．（x﹣1）2＝x2﹣2x＋1 D．x3﹣5x2＝x2（x﹣5） 7．在括号内填上适当的单项式，使成为完全平方式应填（    ） A． B． C． D． 8．如果一个多边形的内角和是它外角和的倍，那么这个多边形的边数为（    ）． A． B． C． D． 9．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍；求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意上点，PDOA交OB于D，PE⊥OA于E，若OD=4，则PE的长为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．某商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．则下列判断正确的是（   ） A．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵 B．“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价便宜 C．“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价相同 D．无法判断“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价谁更便宜 12．如图，边长为4的等边，是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，，，给出如下结论：①；②；③；④的周长最小值为6；⑤当周长最小时，；⑥的大小随着点的移动而变化；上述结论中正确的有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 13．当 时，分式的值为0． 14．若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x= ，y= ．点A关于x轴的对称点的坐标是 ． 15．已知，，则的值为 ． 16．如图，在中，，，点D在边上，，垂足为F，与交于点E，则的长是 ． 三、解答题 17．（1）计算：； （2）解分式方程：． 18．知识储备： 我们知道，把完全平方公式适当变形，可解决很多数学问题．例如：若，，则的值为_____． 获得新知： 若，求的值． 解：设，，则，， ∴，即． 解决问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，一户人家有一块长方形土地，，，其内部有一条宽度为的型种植区域①，其余部分（长方形）为种植区域②，测量区域②的面积为；阿凡提有两块正方形的土地与，跟这户人家的种植区域②相邻，正方形土地的边长分别为与．这户人家对阿凡提的两块地垂涎已久，提出要将自己的土地与阿凡提交换，阿凡提有没有损失呢？请你运用所学的数学知识进行解释． 19．先化简，再求值：，其中a是的小数部分． 20．某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 21．如图，已知等边三角形，点与点关于射线对称，线段、分别交于点、． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)连接，求的度数； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 22．两个顶角相等的等腰三角形．如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，，△ADE中，，且，连接DB，EC，则可证得，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段． (1)如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且． ①图中线段AE的“友好”线段是______； ②连接AD，若，，，求AE的长； (2)如图3，△ABC是等腰直角三角形，，P是△ACB外一点，，，，求线段BP的长． 23．观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)猜想（的正整数） ； (2)计算：； (3)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省临沂市兰山区2025-2026学年八年级上学期数学期末考前示范卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C B D A D A B 题号 11 12 答案 A B 1．B 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2．B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了分式的性质，分式的乘方运算，根据分式的性质，分式的乘方运算逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式乘多项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项计算错误； B、，故该选项计算错误； C、，故该选项计算正确； D、，故该选项计算错误； 故选：C． 5．B 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠AOB，然后根据圆周角定理求解． 【详解】∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=55°， ∴∠AOB=180°-55°-55°=70°， ∴∠ACB=∠AOB=35°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及圆周角定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6．D 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断． 【详解】解：A、12x2y=3x•4xy，等式左边不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、x2+6x-7=x（x+6）-7，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、（x-1）2=x2-2x+1，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、x3-5x2=x2（x-5），把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算． 7．A 【分析】本题主要考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可； 【详解】解：； 应填， 故选：A． 8．D 【分析】根据多边形的外角和定理以及这个多边形的内角和是它外角和的倍，可以求出这个多边形的内角和，再设这个多边形的边数为，然后根据多边形内角和定理，列方程求解出多边形的边数． 【详解】解：由多边形外角和定理可知，这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数为， 则， 解得：， 这个多边形的边数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理、多边形的外角和定理进行求解是解决本题的关键． 9．A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，首先设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得等量关系：慢马速度快马速度，根据等量关系，可得方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得： ， 故选：A． 10．B 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同位角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】解：过点作于，如图所示： 平分，， ， 平分， ， ， ，， ， ， ， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键． 11．A 【分析】设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为元/千克，得出取质量为m的两种糖混合而成的“什锦糖”甲的单价为元/千克，取价格为n元的两种糖混合而成的“什锦糖”乙的单价为元/千克，然后再比较大小即可． 【详解】解：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为元/千克，取质量为m的两种糖混合而成的“什锦糖”甲的单价为： （元/千克）， 取价格为n元的两种糖混合而成的“什锦糖”乙的单价为： （元/千克）， ∵， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，解决本题的关键是根据题意求出甲、乙两种“什锦糖”的单价． 12．B 【分析】根据三线合一定理即可判断①；证明是线段的垂直平分线，得到，再由等边三角形的性质证明，即可判断②③；根据点到直线的距离垂线段最短可知当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小，即可判断④；证明，得到即可判断⑥；则即点E在射线（射线）上运动，如图所示，作点A关于直线的对称点M，连接，推出当三点共线，即点E与点重合 时，最小，即的周长最小，证明是等边三角形，推出，即可判断⑤． 【详解】解：∵是等边三角形，F是边的中点， ∴，故①正确； ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； ∴，故②正确； ∵D在线段上， ∴当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小， ∵等边三角形的边长为4，F是边的中点， ∴， ∴的周长的最小值为，故④正确； ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑥错误； ∴，即点E在射线（射线）上运动， 如图所示，作点A关于直线的对称点M，连接， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线，即点E与点重合 时，最小，即的周长最小， ∵点A与点M关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 又∵F是边的中点， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的一共有4个， 故选B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，确定点E的运动轨迹是解题的关键． 13．且 【分析】本题考查了分式为零的条件，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，再根据分式为零得到，即可求出结果． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 14． 3 4 (3，﹣4) 【分析】根据点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵A(x，4)关于y轴的对称点是B(-3，y)， ∴x=3，y=4， ∴A点坐标为(3，4)， ∴点A关于x轴的对称点的坐标是(3，-4)． 故答案为：3；4；(3，-4)． 【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称的特点：点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数，由此即可求解． 15． 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆应用，幂的乘方的应用，利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆应用计算即可求解，掌握以上逆运算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 16． 【分析】此题考查了垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是的垂直平分线，则，证明，则，在中，由勾股定理得，则，根据求出，在中，由勾股定理即可得到的长． 【详解】解：连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 17．（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的运算，解分式方程． （1）先根据乘法公式、单项式与多项式的运算法则计算，再合并同类项； （2）两边都乘以，化为整式方程求解，然后检验． 【详解】解：（1）原式； （2） 两边都乘以， ， 解得 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 18．知识储备：；解决问题：（1）；（2）阿凡提没有损失，解释见解析 【分析】本题考查整式的混合运算， 知识储备：根据计算即可； 解决问题：（1），将代入计算即可； （2）由题意得，，，，分别计算长方形的面积和正方形、正方形的面积，进行比较可得阿凡提有没有损失； 解题的关键是掌握完全平方公式． 【详解】解：知识储备： ∵，， ∴， 故答案为：； 解决问题： （1）∵， ∴ ， ∴； （2）阿凡提没有损失．解释如下： 由题意得，，，， ∵，， ∴长方形的面积为：， 正方形、正方形的面积的和为： ， ∵， ∴阿凡提没有损失． 19． 【分析】本题考查了分式化简，二次根式的混合运算，完全平方公式，无理数的估算，先把除法化为乘法，再运用乘法分配律进行简便运算，化简得，结合a是的小数部分，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∵a是的小数部分， ∴， 则． 20．(1)每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元； (2)购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元． 【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和分式方程． （1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根； （2）设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，全部售完获得利润为W元，根据总利润甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式；再根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案． 【详解】（1）解：设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元； （2）解：设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，超市获得的利润为W元， 根据题意得：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴， 解得 ∴（m为正整数）； ∵，， ∴W随m增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为466， 此时， ∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元． 21．(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）连接，对称性得到，等边三角形的性质，得到，进而得到，等边对等角进行求解即可； （2）连接，对称性得到，八字型图得到，进而得到； （3）在上截取，连接，易得是等边三角形，证明，得到，对称性得到，再根据线段的和差关系，结合等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， 线段和关于射线对称， ． 是等边三角形， ． ． ． （2）连接，根据对称性可得， ， ； （3）； 在上截取，连接， ， 是等边三角形， ． 是等边三角形， ． ．     ． 在和中   ， ， 点和点关于射线对称， ． ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 22．(1)①BD；②6 (2)14 【分析】（1）①由题意易证，即得出连接AE和BD使，即线段AE的“友好”线段是BD；②连接AD，由全等三角形的性质可知．根据等腰直角三角形的性质得出，从而可求出．再根据勾股定理可求出，，从而即可求出AE的长； （2）以C为直角顶点构造等腰直角三角形PCD，连接AD，过点D作交AP的延长线于点E．由（1）可得．利用勾股定理即可求出．再根据，可求出，从而可由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出，，进而可求出．最后再次利用勾股定理求出 ，即得出BP的长． 【详解】（1））①∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且， ∴，，． 即在△ACE和△BCD中， ∴， 即连接AE和BD使， ∴线段AE的“友好”线段是BD， 故答案为：BD； ②如图，连接AD， ∵， ∴． 在△ABC中，，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图，以C为直角顶点构造等腰直角三角形PCD，连接AD，过点D作交AP的延长线于点E． 由（1）可得． 在△PCD中，，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴，． 在△AED中，，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的定义和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质．理解题意，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 23．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、绝对值的非负性，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据各式的变化规律即可得； （2）根据（1）中的规律，将各项拆分成两项，再计算加减法即可得； （3）先求出，从而可得，再代入进行拆分，计算加减法即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ， ， …… 依次类推，， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：∵， ， 解得，， ， 则 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $