山东省临沂市兰山区2025-2026学年九年级上学期数学期末考前示范卷

山东省临沂市兰山区2025-2026学年九年级上学期数学期末考前示范卷 一、单选题 1．下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（ ） A．某种幼苗在一定条件下的移植成活率 B．某种柑橘在某运输过程中的损坏率 C．某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率 D．投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率 3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象顶点坐标为，对称轴为直线． B．的最小值为． C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小． D．它的图象可由的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到． 5．如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断与相似的是（   ） A． B． C． D． 7．中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆曲线的半径，则这段圆曲线（弧）的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点在反比例函数上，过点作轴，交轴于点，交反比例函数于点．若，则的值为（   ） A．6 B．18 C．2 D．3 9．如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点、，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为(    ) A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是．若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到，，，…，可得，，…，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知点关于原点对称的点 B 的坐标为，则 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点在轴上，若，则点的坐标为 ． 13．把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径 ． 14．在▱ABCD中，M是AD边上一点，且AM=AD，连接BD、MC相交于O点，则= ． 15．若抛物线与满足，则称互为“相关抛物线”给出如下结论： ①y1与y2的开口方向，开口大小不一定相同； ②y1与y2的对称轴相同；③若y2的最值为m，则y1的最值为k2m；④若函数与x 轴的两交点间距离为d，则函数与x 轴的两交点间距离也为，其中正确的结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 三、解答题 16．用适当的方法解下列方程： (1)3x(x＋3)＝2(x＋3);     (2)2x2－6x－3＝0. 17．在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组的对应值； 1 表中________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究； 观察图象，当________时，的值最小，最小值为________； 若，，有一动点以每秒个单位长度的速度，从原点出发沿轴正方向运动，当时，此时用时多少秒？ 18．某人要去一风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．他采用了这样的乘车方案：先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆比第一辆差，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ （2）你认为此人采用的方案，使自己乘坐上等车的可能性有多大？ 19．如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线经过第一、二、三象限，与轴交于点，点在这条直线上，连接，已知的面积等于1． （1）求的值； （2）如果反比例函数y=(k是常量,k≠0)的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式． 21．如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 22．如图1，斜坡与水平面夹角．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头，喷头喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与水平距离为4米时，达到最高点，与水平线的距离为4米．        (1)在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）； (2)若斜坡上有一棵高米的树，它与喷头的水平距离为2米，通过计算判断从喷出的水柱能否越过这棵树． 23．【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省临沂市兰山区2025-2026学年九年级上学期数学期末考前示范卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D A D C C C A 1．B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项合题意； C．不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．D 【详解】试题分析：A．某种幼苗在一定条件下的移植成活率，只能用频率估计，不能用列举法；故不符合题意； B．某种柑橘在某运输过程中的损坏率，只能用列举法，不能用频率求出；故不符合题意； C．某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率，只能用频率估计，不能用列举法；故不符合题意； D．∵一枚均匀的骰子只有六个面，即：只有六个数，不是奇数，便是偶数，∴能一一的列举出来，∴既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得概率；故符合题意． 故选D． 考点：利用频率估计概率． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：A. ，即，，则原方程有实数根，故该选项不符合题意； B. ，，则原方程有实数根，故该选项不符合题意； C. ，即，，则原方程有实数根，故该选项不符合题意； D. ，，则原方程没有实数根，故该选项符合题意； 故选：D． 4．D 【分析】根据题意，二次函数，可以知道函数开口向上，对称轴为，顶点为，即可判断A、B、C选项正确；根据平移的规律，可以判断D选项错误． 【详解】二次函数，， 该函数开口向上，对称轴为，顶点为，A选项正确； 当时，有最小值，B选项正确； 当时，的值随值的增大而增大， 当时，的值随值的增大而减小，C选项正确； 根据平移的规律，的图像向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得： ，D选项错误； 故选：D． 【点睛】本次考查了二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图像和几何变换，掌握以上知识是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．如图，连接，证明，求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，结合相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．∵∴，∴，故该选项不符合题意； ．∵，而与不一定相等，不能使和相似，故该选项符合题意； 故选：D． 7．C 【分析】本题主要考查了切线的性质、弧长公式；由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理求出，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵转角为， ∴， ∵过点，B的两条切线相交于点， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，根据同高三角形的面积比等底边比，求出的面积，即可得出k 的值． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴轴， ∵点A 在反比例函数上，点 B在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 9．C 【分析】此题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识；设鼓面圆的圆心为，连接、，则，因为，所以是等边三角形，则，所以的直径为，于是得到问题的答案． 【详解】解：设鼓面圆的圆心为，连接、，则， ，， ， 是等边三角形， ， 的半径为， 的直径为， 故选：C． 10．A 【分析】根据旋转的性质及旋转角度分析可得旋转8次为一个周期，然后将2022÷8可得余数，从而分析求解． 【详解】解：∵若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到，，，… ∴旋转360°÷45°＝8次为一个变化周期， 2022÷8＝252......6， ∴的坐标与第六次旋转后的坐标相同， 如图： ∵A的坐标是 ∴ ∴的坐标为 即的坐标为 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，周期型图形变化规律，理解旋转方向和旋转角的概念，探索图形旋转变化规律，掌握旋转的性质是解题关键． 11． 【分析】本题主要考查坐标的对称性，掌握平面直角坐标系中点关于原点对称的点的特点是解题的关键．关于原点对称点的坐标的特点是横纵坐标变为原来点坐标的相反数，由此即可求解． 【详解】解：∵点关于原点对称的点 B 的坐标为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质与正方形的性质，掌握位似变换的基本性质是解题的关键．根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出即可得到答案． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵相似比为，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点G的坐标为． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．过作于交于，求得，设半径为，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于交于，如图所示： 则， 设半径为，则， 根据勾股定理得，， 解得：， 这个球的直径为． 故答案为：． 14．4：9． 【详解】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵AM=AD， ∴， ∵AD∥BC， ∴△MOD∽△COB， ∴. 考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质． 15．①②④ 【详解】解：由已知可知：a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2， ①根据相关抛物线的条件，a1、a2的符号不一定相同，所以开口方向、开口大小不一定相同； ②因为，代入-得到对称轴相同； ③因为如果y2的最值是m，则y1的最值是，故本选项错误； ④因为设抛物线y1与x轴的交点坐标是（e，0），（g，0），则e+g=-，eg=， 抛物线y2与x轴的交点坐标是（m，0），（d，0），则m+d=-，md=，可求得：|g-e|=|d-m|=，故本选项正确． 故答案为①②④． 【点睛】本题考查二次函数综合题． 16．(1) x1=-3，x2=;(2) . 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可. 【详解】解：（1）3x(x＋3)＝2(x＋3)， 3x(x＋3)-2(x＋3)＝0， (x＋3)(3x-2)＝0， (x＋3)=0或(3x-2)＝0， ∴x1=-3，x2=. （2）2x2－6x－3＝0， a=2，b=-6，c=-3， △=， ∴ ， ∴. 17．(1)； (2)画图见解析； (3)，；此时用时秒． 【分析】本题考查了勾股定理，函数的图象与性质，画函数图象等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格数值代入即可求解； （）根据描点，连线即可画出函数图象； （）根据（）中图象即可求解； 设，所以，，根据，求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：列表： 1 描点： 连线： 如图， （3）解：观察图象，当，的值最小，最小值为， 故答案为：，； 如图， 设， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴ ∴此时用时（秒）． 18．（1）6种可能；（2） 【分析】（1）利用列举法整数展示所有6种可能的结果； （3）利用列表法展示甲乙乘车的所有结果，然后计算他们乘坐上等车的概率． 【详解】解：（1）三辆车开来的先后顺序有6种可能：（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）． （2）由于不知道任何信息，所以只能假定6种顺序出现的可能性相同．在各种可能性的顺序之下，此人会上哪一辆汽车： 顺序 上、中、下 上、下、中 中、上、下 中、下、上 下、上、中 下、中、上 结果 下 中 上 上 上 中 ∴此人乘上等车的概率是． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 19．(1)，直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算，解题的关键是数形结合． （1）把代入，即可求出坐标，再根据点和用待定系数法即可求出函数解析式； （2）先求出，再根据图象即可求解； （3）设，根据或即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴将点代入得， ∴； ∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ， 解得：， 故直线的解析式为； （2）解：令，得， ， ； （3）解：根据题意得：， 设， 令，得， ， 如图： ， 解得：， 或， 解得：， 故或． 20．（1）1 （2） 【分析】(1) 由A的横坐标为2得到AC=2，对于直线解析式，令y=0求出x的值，表示出OB的长，三角形AOB面积以OB为底，AC为高表示出，根据已知三角形的面积求出OB的长，确定出B坐标，代入一次函数解析式中即可求出b的值； （2）将A坐标代入一次函数求出t的值，确定出A坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式． 【详解】（1）解：∵直线经过第一、二、三象限，与轴交于点， ∴ ∵的面积等于1，点 ∴ ∴ (2)由b=1,得到直线解析式为y=x+1， 将A(2,t)代入直线解析式得：t=1+1=2,即A(2,2)， 把A(2,2)代入反比例解析式得：k=4， 则反比例解析式为y= 即点在直线上. 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于熟练掌握计算法则. 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，先根据圆周角定理得出，再证明，从而得出，即可得证； （2）连接，先利用圆心角、弧、弦的关系，得出，由圆周角定理得出，证明为等边三角形，再根据图中阴影部分的面积，计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，为的直径， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：如图，连接， ，为的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 22．(1) (2)从A喷出的水柱不能越过这棵树 【分析】此题是二次函数的实际应用题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法、勾股定理、二次函数的图像与性质是解此题的关键． （1）如图建立平面直角坐标系，首先找出抛物线的顶点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再将点A坐标代入即可得解； （2）根据题意，求出树的顶端点的纵坐标，然后求当时，抛物线线上点的纵坐标，然后比较两个纵坐标的大小即可得解． 【详解】（1）解：以点A为坐标原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图3， 依题意，，最高点即抛物线的顶点， 设此抛物线的解析式为：， 将代入上式， 得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，如图4， ， 在中，， 设，则， ， ， ， 又当时，， 故从A喷出的水柱不能越过这棵树． 23．(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $