精品解析：河北省廊坊市广阳区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量评价 八年级数学试卷 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟 注意事项：1．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1， 2，3 B. 3，8，4 C. 10，6，6 D. 2，4，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为3，8，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为10，6，6的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为2，4，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 2. 殷墟甲骨文是中国商朝后期都城遗址——河南安阳小屯殷墟出土的王室占卜记事用的龟甲兽骨上的文字，它是我国的一种古代文字，是汉字的最早形式．下列甲骨文中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键． 根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出． 【详解】∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， ∴公因式为． 故选：D． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法、单项式与单项式的除法、积的乘方以及合并同类项．法则逐项分析即可． 【详解】解：选项A∶ 与不是同类项，不能合并， A错误． 选项B∶ ， B错误． 选项C∶ ， C错误． 选项D∶ ， D正确． 故选D． 5. 年月日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：由题知，点和点关于轴对称， 因点坐标为， 所以点的坐标为 故选：． 6. 如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质求出，再利用即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是关键；根据题意，慢马送信时间为天，速度为里/天；快马送信时间为天，速度为里/天.快马速度是慢马速度的倍，由此列出方程. 【详解】设规定时间为x天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， ∵ 慢马速度为，快马速度为， 且快马速度是慢马速度的倍， ∴ ， 故选A 8. 小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（） A. 勤奋博学 B. 博学自主 C. 勤奋自学 D. 勤奋自主 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，先将代数式分解因式，再根据密码手册匹配对应的字． 详解】解： ． 根据密码手册：对应“勤”，对应“奋”，对应“自”，对应“主”， ∴密码信息为“勤奋自主”． 故选：D． 9. 若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法运算，将原分式除法运算转化为乘法，并分解因式后约分，根据结果为整式的条件确定“■”代表的式子． 【详解】解：∵原式， 又∵， ∴原式 . 要求结果为整式，则的分母中不能含字母，即必须提供因式以约分，去掉分母中的. 所以只有A选项符合题 意，B、C、D选项不符合题 意． 故选：A． 10. 池塘两端A，B的距离无法直接测量，某校数学兴趣小组的学生设计了如下甲、乙两种方案测量A，B的距离： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，，，连接，测量出的长即为A，B的距离． 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，测量出的长即为A，B的距离． 下列判断正确的是（ ） A. 只有方案甲可行 B. 只有方案乙可行 C. 方案甲和乙都可行 D. 方案甲和乙都不可行 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 根据题意依据能否证明即可解答． 【详解】解：甲同学方案： 由题意得， 在与中， ， ∴， ．故甲同学的方案可行． 乙同学方案： 在与中，只能知道，不能判定与全等，故方案不可行． 故选：A． 11. 如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为20，，，则的长为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．作于点F，可得，根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点F， BD是的角平分线，，， ， ， ， 解得， 故选：C． 12. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题4个小题，每题3分，共12分） 13. 随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据购买数量相等列出方程．设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等，列出方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 14. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据计算 的值，再开平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在△中，平分，．若，则_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 平分，，， ， ， ． 故答案为：12． 16. 已知x，y为正整数，满足，则_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解应用以及正整数的性质，熟练掌握因式分解（分组分解法）并结合正整数的范围分析是解题的关键． 先对已知等式展开化简，得到关于、的关系式，再结合正整数的条件确定、的值，进而求出． 【详解】解：， ， ， ， ， 为正整数 ， ∴，， 分情况讨论： 当，时，，，则， 当，时，，，则， 同理，交换、可得， 当，时，，，则； 当，时，，，则． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）计算：； （3）因式分解： 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算和因式分解，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到结果； （2）原式先运用平方差公式计算，再运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 18. 如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些长方形纸片其面积分别记为图中的虚线为裁剪线，试用含的式子解决下列问题． （1）求； （2）若，将多项式进行因式分解，并求长方形落在边上的边长． 【答案】（1） （2）x 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把，代入，进行整式运算，得出即可； （2）表示出，然后对因式分解为，结合长方形宽为，得出长为． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 长方形落在边上的长为． 19. 如图是老师出示的一道习题及其举例出的错误的解答过程． 解：原式① ② ③ （1）该过程是从第__________（填序号）步开始出现错误的； （2）写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的的值代入求值． 【答案】（1）② （2）过程见解析；当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，在求分式的值时，所选取的字母的值一定要使原分式有意义． （1）分式加减法中通分化为同分母分式进行加减，所以第②步中去括号错误； （2）根据分式混合运算的法则计算即可，再根据分式有意义的条件选取的值，代入即可求解． 【小问1详解】 解：这位同学的错误出现在第②步， 故答案为：②． 【小问2详解】 解：原式 ， 要使分式有意义，不能取，1， 取． 当时，原式． 20. 如图，是外角的平分线，且交的延长线于点，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角性质． （1）根据，即可求解； （2）由是的平分线可得，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：是的外角， ， ，， ； 小问2详解】 平分， 是的外角， ． 21. 如图，在中，，平分交于点，于点，且为的中点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查含的直角三角形，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线平分角，中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． （1）根据题意，得到是线段的垂直平分线，进而推出，利用角平分线，得到，进而求出． （2）利用所对的直角边是斜边的一半，进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵于点E，E为的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴． 22. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，我校组织学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班各需种植的草地，已知2班每小时比1班多种植的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍． （1）求1、2两班每小时各种植多少的草地？ （2）制作活动开始1小时分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【答案】（1）1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地 （2）他们不能在乘车前完成任务；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，分式方程的工程问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． (1)设1班每小时种植，则2班每小时种植．根据“1班所需时间是2班的倍”，列出方程求解即可； (2) 先计算两班已工作1小时分钟后的剩余工作量，再计算2班完成本班剩余任务所需时间，之后两班合作完成1班剩余任务．判断合作时间是否能在乘车前(1小时内)完成． 【小问1详解】 解：设1班每小时种植，则2班每小时种植．​ 由题意，1班完成任务时间为小时，2班为小时， 解得∶． 2班每小时种植 所以1班每小时种植，2班每小时种植． 【小问2详解】 计算两班能否在乘车前完成任务．​ 两班已制作1小时分钟=​小时． 此时1班完成， 剩余． 2班完成， 剩余． 此后2班需先完成本班剩余，用时​小时（即分钟）， 在2班完成本班剩余任务的分钟内，1班完成了． 此时距集中乘车还剩1小时−分钟=分钟=小时． 两班合作每小时可完成． 在最后小时内，可共同完成． 但此时1班仍有未完成，而合作只能完成， 因此无法在乘车前完成任务． 答案：不能，因为1班还剩未完成，而两班合作在剩余时间内只能完成． 23. 规定：如果两数满足，则记为．例如：因为所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即． （1）根据上述规定，填空：=_____； （2）如果，求m的值； （3）计算（写出计算过程） 【答案】（1）2 （2）64 （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的乘方，同底数幂的乘法，掌握知识点是解题的关键． （1）根据规定，若，则，求出m的值，即可解答； （2）由规定可知，，即，求出m的值，即可解答； （3）设，，则，，得到，由规定可得，即，即可解答． 【小问1详解】 解：根据规定，若，则． ∵， ∴． 故答案为：2． 【小问2详解】 由规定可知， 即． ， 解得． 答：m的值为64． 【小问3详解】 设，则； 设，则． ∴． 由规定可得， 即． 24. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． （1）若，，求的大小； （2）求证； （3）在上，若平分，求证：点在的平分线上． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质、角平分线的性质定理与判定定理，解题的关键是灵活运用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，结合角平分线的定义推导角度关系，利用角平分线的性质定理与判定定理证明点F的位置． （1）先根据角平分线定义求出，再利用三角形外角性质 求解； （2）由角平分线得，结合三角形外角性质分别表示和，联立推导等式； （3）过点作三边的垂线，利用角平分线的性质证明垂线段相等，再根据角平分线判定定理得出结论． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， 答：的大小为。 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴，① ∵是的外角， ∴，② 将②代入①得：， 整理得：。 【小问3详解】 证明：过点作于点，于点，于点， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量评价 八年级数学试卷 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟 注意事项：1．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1， 2，3 B. 3，8，4 C. 10，6，6 D. 2，4，2 2. 殷墟甲骨文是中国商朝后期都城遗址——河南安阳小屯殷墟出土的王室占卜记事用的龟甲兽骨上的文字，它是我国的一种古代文字，是汉字的最早形式．下列甲骨文中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 年月日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，阅兵式中多架飞机以轴对称方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（） A. 勤奋博学 B. 博学自主 C. 勤奋自学 D. 勤奋自主 9. 若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（ ） A. B. C. D. 10. 池塘两端A，B距离无法直接测量，某校数学兴趣小组的学生设计了如下甲、乙两种方案测量A，B的距离： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，，，连接，测量出的长即为A，B的距离． 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，测量出的长即为A，B的距离． 下列判断正确的是（ ） A. 只有方案甲可行 B. 只有方案乙可行 C. 方案甲和乙都可行 D. 方案甲和乙都不可行 11. 如图，是角平分线，，垂足为E，的面积为20，，，则的长为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 12. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题4个小题，每题3分，共12分） 13. 随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程______． 14. 已知，则___________． 15. 如图，在△中，平分，．若，则_____． 16. 已知x，y为正整数，满足，则_____________． 三、解答题（本大题共8题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）计算：； （3）因式分解： 18. 如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些长方形纸片其面积分别记为图中的虚线为裁剪线，试用含的式子解决下列问题． （1）求； （2）若，将多项式进行因式分解，并求长方形落在边上的边长． 19. 如图是老师出示的一道习题及其举例出的错误的解答过程． 解：原式① ② ③ （1）该过程是从第__________（填序号）步开始出现错误的； （2）写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的的值代入求值． 20. 如图，是外角的平分线，且交的延长线于点，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 21. 如图，在中，，平分交于点，于点，且为的中点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 22. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，我校组织学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班各需种植的草地，已知2班每小时比1班多种植的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍． （1）求1、2两班每小时各种植多少的草地？ （2）制作活动开始1小时分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 23. 规定：如果两数满足，则记为．例如：因为所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即． （1）根据上述规定，填空：=_____； （2）如果，求m的值； （3）计算（写出计算过程） 24. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． （1）若，，求大小； （2）求证； （3）在上，若平分，求证：点在平分线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $