专题6.1 圆的周长与弧长（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

专题6.1 圆的周长与弧长 教学目标 1.理解圆的周长的定义，能区分圆的周长与直径、半径的概念关联；理解弧长的定义，明确弧是圆的一部分，弧长与圆心角、半径相关。 2.掌握圆周率π的含义，知道π是无限不循环小数，牢记近似值3.14。 3.熟练推导并掌握圆的周长公式 C=2πr、C=πd；能根据 “弧长是圆周长的一部分”，推导并掌握弧长公式 l=（l为弧长，n为弧所对的圆心角度数，r为圆的半径）。 4.能运用圆的周长公式和弧长公式解决实际问题，如计算圆形物体的周长、求指定圆心角对应的弧长，或根据周长 / 弧长反求半径、圆心角。 教学重难点 1.重点 圆的周长公式、弧长公式的推导与应用。 2.难点 公式的灵活变形与逆向应用 知识点01 圆的认识 1. 画圆，认识圆心、半径和直径 （1）画圆的方法： (1)把圆规的两脚分开，使两脚间的距离等于圆的半径长度； (2)把有针尖的一只脚固定在一点上，该点即为圆心位置； (3)把装有铅笔芯的一圆上任意一点到圆心的距离都相等. （2）认识圆心、半径和直径 画圆时针尖固定的一点就是圆心； 连接圆心和圆上任意给定一点的线段叫作半径，一般用字母r半径; 经过圆心，并且两端都在圆上的线段叫作直径，一般用字母d表示直径. 在同一个圆中，直径的长度是半径长度的2倍，即d=2r. 2. 圆的轴对称性 圆是轴对称图形过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 【即学即练】 1. 将一个正方形和圆如图所示放置，你能找出图中圆的圆心，并求出它的半径和直径的长吗? 答案】见解析 【分析】圆和正方形都是轴对称图形，圆的两条不同的对称轴的交点就是圆的圆心. 【解析】解正方形是轴对称图形，它的对称轴有4条，且都是圆的对称轴.我们 可以画出正方形的对称轴的交点，这个交点就是圆心，如图所示. 半径和直径由实际测量结果确定. 2. 你能解释为什么车轮要设计成圆形的吗?轮轴应该装在什么位置? 答案】见解析 【分析】本题考查了圆的一个基本事实——圆的半径都相等圆，所以要确保车子行驶的平稳，轮轴应该装在圆心处. 【解析】轮轴应该装在圆心处. 知识点02 圆的周长与圆周率 1. 圆的周长 圆周是条曲线，围成圆的曲线的长度叫做圆的周长. 2. 圆周率 圆的周长与它直径的比值是个常数，这个常数叫做圆周率，用字母（读作 pài）表示； 特点：π 是无限不循环小数（π≈3.1415926535...），教材中取近似值 π≈3.14； 3.圆的周长公式 由 π =，变形得到圆的周长公式：C =d (C表示圆的周长 ) 结合直径与半径的关系（d = 2r），推导得到：C=2r；； 【即学即练】 1. 自行车的外轮胎直径约为60 cm,车轮滚动一周是多少厘米(π取3.14)? 答案】188.4cm 【分析】本题考查了圆的周长计算方法，圆滚动一周的长度就是圆的周长. 【解析】解: 根据题意，d=60 cm,于是C=πd=60π=188.4(cm) 答：车轮滚动一周是188.4 cm=1.884m. 知识点03 圆心角与弧长 1.认识弧 圆上两点之间的部分称为弧，它是圆的一部分. 圆任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作半圆（图6-1-8）; 我们把小于半圆的弧叫作劣弧;把大于半圆的弧叫作优弧，在图6-1-9中，红色的弧是劣弧，记作. 蓝色的部分叫作优弧，记作. 2.圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角. 如图6-1-9,右侧小于平角的∠AOB(小于180°)是所对的圆心角，也称是圆心角∠AOB(小于180°)所对的弧; 同理，左侧大于平角的∠AOB(大于180°)是所对的圆心角，也称是圆心角∠AOB(大于180°)所对的弧， 3.弧长公式 ①1o的弧 把圆心角平分分成360份，其中1o的圆心角所对的弧叫做1o的弧，它的长度是圆周的; ②no的弧 no的圆心角所对的弧叫做no的弧，它的长度是圆周的; ③半径一定时，弧长与所对的圆心角的大小成正比例 弧长与圆的周长之比等于圆心角与周角之比. ④弧长公式 如果用l表示弧长，r表示半径，那么n°的圆心角所对的弧长的计算公式是: . 小结：弧是圆上的一部分，弧的长度时不包含两条半径的长度。 【即学即练】 例：求图中弧的长度 答案】41.86cm 【分析】本题考查了圆的弧长计算方法，正确使用弧长公式是解题关键. 【解析】解: 已知r=30ccm，n=80 =41.86cm. 答：弧长41.86cm. 题型01 圆的认识及相关概念辨析 【典例1】下列四个结论： 圆周率就是； 圆有无数条对称轴； 车轮平面轮廓采用圆形，是利用同一圆的半径都相等的性质； 一张圆形的纸，至少对折次，才能看到圆心．其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周率的定义、圆的定义和性质以及轴对称图形的定义，关键是熟练掌握这些知识点．分别根据圆周率的定义、圆的定义和性质以及轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：是无限不循环小数，近似值为，但，故结论错误； 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线，因此有无数条对称轴，故结论正确； 车轮采用圆形，是因为同一圆的半径都相等，车轴安装在圆心上，滚动时车轴离地面距离恒定，故结论正确； 一张圆形纸对折一次可得到一条直径，对折两次（不同方向）得到两条直径，交点即为圆心，因此至少对折次即可看到圆心，故结论错误． 综上，正确结论有，共个． 故选：B． 【变式1】下面四扇花窗的轮廓形成的图形中，对称轴条数最多的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称图形的对称轴的识别，一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此确定各选项图形对称轴的数量． 【详解】A．无数条对称轴，故本选项符合题意； B．8条对称轴，故本选项不符合题意； C．4条对称轴，故本选项不符合题意； D．1条对称轴，故本选项不符合题意； 故答案为：A． 【变式2】在一个长8分米，宽6分米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是（　　）分米． A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】当圆的直径等于长方形的宽6分米时，此时圆最大，否则，圆就会超出长方形的边界． 【详解】解：一个长8分米，宽6分米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是3分米， 故选：D． 【点睛】本题主要考查在长方形内画圆，在长方形中画一个最大的圆是以宽边作圆的直径． 【变式3】下面有几个角是该圆的圆心角． （ ） A．1个 B． 2个 C．3个 D.4个 【答案】B 【分析】该题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义判断即可． 【详解】解：圆心角的顶点必须在圆心上，图（1）（2）都是该圆的圆心角， 故选：B． 【变式4】圆周率是（   ） A．3.14 B．是圆的周长与半径的比值 C．一个无限不循环小数 D．一个无限循环小数 【答案】C 【分析】本题考查对圆周率的认识，掌握圆周率概念即可解题． 【详解】解：A、应该约等于，所以A选项错误，不符合题意． B、圆周率是圆的周长与直径的比值，所以B选项错误，不符合题意． C、是一个无限不循环小数，正确，符合题意． D、圆周率是一个无限不循环小数，所以D选项错误，不符合题意． 故选：C． 题型02 求圆的周长 【典例1】在一座直径为的圆形假山周围铺一条宽的小路，沿这条小路的外边缘每隔装一盏路灯，一共要装 盏路灯．（取3.14） 【答案】48 【分析】此题考查了圆的周长． 计算圆形小路外边缘的周长，然后除以路灯间距，得到路灯数量． 【详解】解：假山直径为40米，故半径为20米．小路宽4米，外边缘半径为米． 根据周长公式为， 代入得米． 路灯间距为米， 由于， 路灯数量为盏． 故答案为48． 【变式1】一只挂钟分针长，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查认识平面图形，圆周长的计算． 分针的尖端所走的路程是半径为的圆周长的一半，利用圆的周长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：一只挂钟的分针长，经过了30分钟， 分针的尖端所走的路程是：， 故答案为：． 【变式2】如图，半圆形花坛的半径是2米，这个花坛的周长是 米．（π值取3.14） 【答案】10.28 【分析】本题考查求圆的周长，根据花坛的周长等于半圆的周长加直径的长，进行计算即可． 【详解】解：（米）； 故答案为：10.28 【变式3】如图，一台压路机的前轮直径是，如果前轮每分钟转动6周，压路机每分钟前进（    ）m A．28.26 B．56.52 C．9 【答案】A 【分析】本题考查了圆的周长的应用．根据题意得出：求压路机前进的距离，就是求出圆的周长，再算出6周的长度，最后算出每分钟前进的距离． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式4】如果一个圆的半径由2厘米增加到4厘米，它的周长就要增加 厘米(保留)． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式．根据圆的周长公式，分别计算半径变化前后的周长，再求差值． 【详解】解：圆的周长公式为， 当半径厘米时，周长厘米； 当半径厘米时，周长厘米； 它的周长就要增加厘米， 故答案为：． 题型03 已知圆的周长求半径 【典例1】用圆规画一个周长为31.4厘米的圆，圆规两脚尖张开的距离是 厘米． 【答案】5 【分析】本题考查了圆的周长公式，根据题意，已知圆的周长是31.4厘米，利用圆的周长公式即可求出圆的半径． 【详解】解：由题意得圆规两角之间的距离是（厘米）， 故答案为：5． 【变式1】一根10分米长的礼品盒包装绳，围一个大圆月饼一圈还剩余3.72分米，这个月饼的横截面直径是( )分米（取3.14）． 【答案】2 【分析】本题考查了圆的周长公式，熟记公式是解题的关键．用包装绳的总长减去剩余长度得到月饼的横截面周长，再根据圆的周长公式求出直径． 【详解】解：包装绳用于围月饼的长度为（分米），即周长为分米， 由圆的周长公式，得直径（分米）； 故答案为：2． 【变式2】一个圆形纸片周长厘米，沿一条直径将其剪成两个半圆，每个半圆的周长是 ．（取） 【答案】厘米 【分析】本题考查了圆的周长．先根据圆的周长公式求出半径和直径，再计算半圆的周长，即圆周长的一半加上直径，即可作答． 【详解】解：∵圆的周长为15.7厘米， ∴半径（厘米），直径（厘米）， ∴每个半圆的周长是（厘米）， 故答案为：厘米 【变式3】剪一个周长是的半圆，则选择一张面积至少是( )的长方形纸片． 【答案】50 【分析】本题考查的是半圆的周长、长方形的面积计算，已知要剪的半圆的周长是，根据半圆的周长公式，可知，据此求出半圆的半径；要使长方形纸片的面积最小，那么长方形的长等于半圆的直径，长方形的宽等于半圆的半径；根据长方形的面积公式求出纸片的面积． 【详解】解：半圆的半径： ， 半圆直径长： ， 长方形面积： ， 故选择一张面积至少是的长方形纸片， 故答案为：50． 【变式4】下图是一个蛋糕盒，盒子上扎了一根漂亮的丝带，已知蛋糕底面周长是，高是，接头处用去了，这根丝带长 ． 【答案】414 【分析】本题考查圆的周长，明确彩带都是由哪几部分构成的是解题的关键． 由题意可知，根据圆的周长公式：，据此可求出底面圆的直径，这根丝带的长度条直径的长度条高的长度接头处的长度，据此解答即可． 【详解】解：（） （） 故答案为：414． 题型04 求弧长 【典例1】一个扇形的圆心角是，半径是，则此扇形的弧长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为：． 由扇形的弧长公式求解即可． 【详解】解：扇形的弧长是． 故答案为． 【变式1】若一个扇形的圆心角是，半径为1，则它的弧长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求弧长，直接根据扇形的弧长公式进行计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：∵一个扇形的圆心角是，半径为1， ∴它的弧长是， 故答案为：． 【变式2】如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键．利用弧长公式 （为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【变式3】在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查弧长公式，弧长公式为，其中为圆心角度数，为半径，代入计算即可． 【详解】解：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为：． 故答案为：． 【变式4】如图，以三角形三顶点为圆心，10厘米为半径在三角形内画弧，得到三段弧，则这三段弧长之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长，根据三角形的内角和为，三段弧长之和为以为半径的半圆长，由此计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 故这三段弧长之和为， 故答案为：． 题型05 已知弧长求半径或求圆心角 【典例1】已知弧长为，半径为6，则弧的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，解题关键在于掌握弧长公式．根据弧长公式（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），将题中数据代入公式，即可求解． 【详解】解：设弧的的度数为度， 则， 解得：． ∴弧的度数为． 故答案为：． 【变式1】如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了 度． 【答案】36 【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式并理解题意是解题的关键．先根据题意得出点旋转的弧长为，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意得滑轮上某一点运动的路程为， 即点旋转的弧长为， 设点旋转的角度为度， 则， 解得：， 故答案为：36． 【变式2】若长度为的圆弧所在圆的半径为3，则该圆弧所对的圆心角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为是解题的关键． 设该圆弧所对的圆心角的度数为n，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：设该圆弧所对的圆心角的度数为n， 由题意得：， 解得：， 故答案为： 【变式3】一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式4】一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 度． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了弧长公式．利用扇形的弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为 度．由弧长公式得： ， 解得：， 即此扇形的圆心角是． 故答案为∶． 题型06 求组合图形的周长 【典例1】为了方便销售，售货员把易拉罐饮料捆成如图所示的形状（如图），如果每个易拉罐底面半径5厘米，那么捆一圈至少需要 厘米的绳子．（接头处忽略不计） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长，熟练运用圆的周公式是解决本题的关键． 圆周长公式是：或，捆一圈至少需要的绳子长度一个圆的周长个半径长，代入数据计算即可． 【详解】解： （厘米）． 答：捆一圈至少需要 厘米的绳子． 故答案为：． 【变式1】如图，阴影部分的周长为 ．（π取） 【答案】 【分析】含圆的组合图形的周长，掌握知识点是解题的关键． 观察题意可知，阴影部分的周长一个直径为3的圆周长一半一个直径是5的圆周长一半，根据圆周长公式：，用即可求出直径为3的圆周长一半，用即可求出直径是5的圆周长一半，进而求出阴影部分的周长即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【变式2】如图，从甲地到乙地有两条路可走，这两条路的长度相比，A( )B．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式．设小圆的直径为d，则大圆的直径为，根据圆的周长公式分别计算两路线的长度即可． 【详解】解：设小圆的直径为d，则大圆的直径为， A路线长为：， B路线长为：， ∴这两条路的长度相比同样长． 故答案为： ． 【变式3】南南用圆规画出了一个双叶花的标记，如图，标记由四段相等的圆弧组成，每段圆弧都是四分之一圆周，若，则每一段弧的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，根据题意，得出，结合弧长公式以及，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，标记由四段相等的圆弧组成，每段圆弧都是四分之一圆周， ∴ ∵， ∴， ∴则每一段弧的长度为， 故答案为： 【变式4】如图，某运动场田径跑道共有6条，每条跑道均由两条直的跑道和两个半圆形跑道（最内圈直径72.6米）围成，其中最内圈跑道总长度400米，每条跑道宽1.22米，则进行400米赛跑时第二条跑道的起跑线要比第一条跑道起跑线提前 米．（取3） 【答案】7.32 【分析】本题考查了圆的周长，观察图形分析可得∶直道的长度不变，直道的长度可以不考虑，这样就成了两个大小不一的同心圆了，只要计算这两个同心圆的周长差就可以了，即用大圆的周长减小圆的周长就是第一道与第二道的起跑线的距离． 【详解】解：第一条半圆形跑道的直径是72.6米，则第二条跑道的直径是（米）， （米）， 相邻两条跑道的起跑线应该相差7.32米， 也就是进行400米赛跑时第二条跑道的起跑线要比第一条跑道起跑线提前7.32米 故答案为：7.32． 1．圆中最长的线段是圆的（    ） A．周长 B．直径 C．半径 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，根据圆中最长的线段是直径，进行判断即可. 【详解】解：∵ 直径的定义是通过圆心且两端点在圆上的线段，且圆内所有弦中直径最长， ∴ 圆中最长的线段是直径. 故选B. 2．一条弧所对的圆心角是，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式． 根据弧长公式，弧长与圆的周长之比等于圆心角与的比值． 【详解】解：弧长公式为，圆的周长为， ， 当时，． 故选：C． 3．以圆周为弧的扇形的圆心角是（    ）度． A．45 B．60 C．90 D．120 【答案】C 【详解】本题考查了议圆心角，掌握整个圆的圆心角为是解题关键．根据题意，用乘求解即可． 【分析】解：圆心角是顶点在圆心的角，整个圆的圆心角为360度， 以圆为弧的扇形，其圆心角为（度）， 故选：C． 4．一个时钟的分针长，当它正好走一圈时，它的尖端走了 ．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长计算，分针走一圈时，尖端走过的路程是以分针长为半径的圆的周长，根据圆的周长公式计算． 【详解】解：分针长即半径，π取3.14， 代入周长公式，得． 故答案为：25.12． 5．小明测量圆的周长时，将一个圆形硬纸片沿直尺的边滚动了一周（如图），这种测量圆的周长的方法是利用了化曲为直的思想，这个圆的直径大约是 ．（结果保留整厘米数，） 【答案】3 【分析】本题考查圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 圆滚动一周所走的距离就是圆的周长，观察图片可知，这个圆的周长大约是；根据圆的周长公式可求出它的直径． 【详解】解：观察图象，这个圆的周长大约是， ∴直径， 故答案为：． 6．一个圆的周长为，在这个圆里面画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式． 根据圆的周长公式求出直径，再求出半径；圆内最大正方形的对角线等于圆的直径，将正方形分为两个三角形，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：圆的直径，半径， 圆内最大正方形的对角线等于圆的直径，即， 将正方形沿对角线分为两个三角形，每个三角形的底为，高为， 一个三角形的面积， 正方形的面积． 故答案为：． 7．在一个长，宽的长方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是 ．（取） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式，掌握圆的周长计算公式是解答题目的关键．由题意可知，以长方形的宽为直径的圆是长方形内面积最大的圆，再利用圆的周长公式计算即可． 【详解】解：在一个长，宽的长方形内画一个最大的圆，则这个圆的直径为， 这个圆的周长是， 故答案为：． 8．已知两个圆的半径之比是，其中一个圆的周长是厘米，则另一个圆的周长是 厘米．（结果保留） 【答案】或 【分析】本题主要考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是解题关键．先求出这两个圆的周长之比是，再根据一个圆的周长是厘米列式计算即可得． 【详解】解：∵两个圆的半径之比是， ∴这两个圆的周长之比是， ∵一个圆的周长是厘米， ∴另一个圆的周长是（厘米）或（厘米）， 故答案为：或． 9．自行车的轮胎直径是厘米，如果平均每分钟转圈，半小时能行 米．（取） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长，先进行单位换算，再求出圆的周长，进而乘以圈数即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：60厘米米， 米， 故答案为：． 10．如图，学校运动场的直道的长度是85.96m，第一条半圆形跑道的直径为72.6m，每条跑道宽1.25m．400m跑时，每条起跑线相差 米．（取3.14） 【答案】 【分析】本题为平面图形的认识与计算题，考查了学生对圆、圆环的周长的知识内容的掌握和运用，此题计算公式是大圆直径乘圆周率减小圆直径乘圆周率，关键是找出400米跑道差距是两边的半圆组成的同心圆的周长之差． 【详解】解： （米）． 即每条起跑线相差7.85米， 故答案为：7.85． 11．如图是某传送带的部分示意图，是上的一点，的半径为15厘米，当点转动的度数为时，则传送带上的物体向右移动的距离为 厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，根据题意，应用弧长公式即可求解． 【详解】解：（厘米） ∴传送带上的物体向右移动的距离为厘米． 故答案为：． 12．图①是一把扇形纸扇，图②是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴纸部分的宽为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．求出的长，再用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴的长为； 故答案为：． 13．一摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为：． 故答案为：． 14．“祈年殿”是一座三重檐圆形大殿（如图）．步行祈年殿的一周大约长 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长公式，利用进行计算即可． 【详解】解：由图得，步行祈年殿的一周大约长， 故答案为：． 15．如图，该图形的周长是 ．（取） 【答案】 【分析】本题考查了求复合图形的周长；由图知，图形的周长为一个直径为的圆的周长与一个半径为的半圆的弧长的和． 【详解】解：图形的周长为：； 故答案为：． 16．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键． 利用弧长公式 （为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解． 【详解】解：的长为 ． 故答案为： ． 17．有一奶牛场准备用铁丝围成一个半径为120米的圆形牛栏．如果用铁丝围三圈，那么至少需要买 米的铁丝（结果保留，接头处忽略不计）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆的周长， 根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 所以至少需要买米的铁丝． 故答案为：． 18．一个圆环的外圆周长为，宽度为，则它的内圆周长为 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长，掌握圆环的宽度等于大小圆的半径之差为解题关键，先求出内圆半径再进一步求出内圆周长即可． 【详解】解：内圆半径为， 则内圆周长为， 故答案为：． 19．冰壶场地上的营垒是四个同心圆，半径分别是米、米、米和米．其中最大圆与最小圆的周长差是多少米？（取值） 【答案】 米 【分析】本题考查了圆的周长公式，掌握圆的周长为是解题的关键．比较四个半径的大小，确定最大和最小半径，然后根据圆的周长公式计算两者的周长差即可． 【详解】解：， 最大圆的半径为米，最小圆的半径为米， 最大圆的周长为米， 最小圆的周长为米， 最大圆与最小圆的周长差是米．答：最大圆与最小圆的周长差是米． 20．如图，三个半圆的直径在一条直线上，如果线段厘米，那么阴影部分的周长为 厘米．（取） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长，根据阴影部分的周长计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，阴影部分的周长厘米， 故答案为：． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 圆的周长与弧长 教学目标 1.理解圆的周长的定义，能区分圆的周长与直径、半径的概念关联；理解弧长的定义，明确弧是圆的一部分，弧长与圆心角、半径相关。 2.掌握圆周率π的含义，知道π是无限不循环小数，牢记近似值3.14。 3.熟练推导并掌握圆的周长公式 C=2πr、C=πd；能根据 “弧长是圆周长的一部分”，推导并掌握弧长公式 l=（l为弧长，n为弧所对的圆心角度数，r为圆的半径）。 4.能运用圆的周长公式和弧长公式解决实际问题，如计算圆形物体的周长、求指定圆心角对应的弧长，或根据周长 / 弧长反求半径、圆心角。 教学重难点 1.重点 圆的周长公式、弧长公式的推导与应用。 2.难点 公式的灵活变形与逆向应用 知识点01 圆的认识 1. 画圆，认识圆心、半径和直径 （1）画圆的方法： ①把圆规的两脚分开，使两脚间的距离等于圆的________长度； ②把有针尖的一只脚固定在一点上，该点即为_______位置； ③把装有铅笔芯的旋转一周，就能在纸上画出一个圆.. （2）认识圆心、半径和直径 画圆时针尖固定的一点就是_______； 连接圆心和圆上任意给定一点的线段叫作_______，一般用字母_______半径; 经过圆心，并且两端都在圆上的线段叫作_______，一般用字母_______表示直径. 在同一个圆中，直径的长度是半径长度的_______倍，即d=_______. 2. 圆的轴对称性 圆是轴对称图形_____________________都是圆的对称轴，圆有_______条对称轴。 【即学即练】 1. 将一个正方形和圆如图所示放置，你能找出图中圆的圆心，并求出它的半径和直径的长吗? 2. 你能解释为什么车轮要设计成圆形的吗?轮轴应该装在什么位置? 知识点02 圆的周长与圆周率 1. 圆的周长 圆周是条曲线，围成圆的曲线的长度叫做圆的_______. 2. 圆周率 圆的周长与它直径的比值是个常数，这个常数叫做_______，用字母（读作 pài）表示； 特点：π 是无限不循环小数（π≈3.1415926535...），教材中取近似值 π≈_______； 3.圆的周长公式 由 π =，变形得到圆的周长公式：C _______ (C表示圆的周长 ) 结合直径与半径的关系（d = 2r），推导得到：C=_______；； 【即学即练】 1. 自行车的外轮胎直径约为60 cm,车轮滚动一周是多少厘米(π取3.14)? 知识点03 圆心角与弧长 1.认识弧 圆上两点之间的部分称为_______，它是圆的一部分. 圆任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作_______（图6-1-8）; 我们把小于半圆的弧叫作_______;把大于半圆的弧叫作_______，在图6-1-9中，红色的弧是_______，记作. 蓝色的部分叫作_______，记作. 2.圆心角 顶点在圆心的角叫作_______. 如图6-1-9,右侧小于平角的∠AOB(小于180°)是所对的圆心角，也称是圆心角∠AOB(小于180°)所对的弧; 同理，左侧大于平角的∠AOB(大于180°)是所对的圆心角，也称是圆心角∠AOB(大于180°)所对的弧， 3.弧长公式 ①1o的弧 把圆心角平分分成360份，其中1o的圆心角所对的弧叫做_______，它的长度是圆周的; ②no的弧 no的圆心角所对的弧叫做_______，它的长度是圆周的; ③半径一定时，弧长与所对的圆心角的大小成_______比例 弧长与圆的周长之比等于_______与_______之比. ④弧长公式 如果用l表示弧长，r表示半径，那么n°的圆心角所对的弧长的计算公式是:_____________________ 小结：弧是圆上的一部分，弧的长度时不包含两条半径的长度。 【即学即练】 例：求图中弧的长度 题型01 圆的认识及相关概念辨析 【典例1】下列四个结论： 圆周率就是； 圆有无数条对称轴； 车轮平面轮廓采用圆形，是利用同一圆的半径都相等的性质； 一张圆形的纸，至少对折次，才能看到圆心．其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】下面四扇花窗的轮廓形成的图形中，对称轴条数最多的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】在一个长8分米，宽6分米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是（　　）分米． A．8 B．6 C．4 D．3 【变式3】下面有几个角是该圆的圆心角． （ ） A．1个 B． 2个 C．3个 D.4个 【变式4】圆周率是（   ） A．3.14 B．是圆的周长与半径的比值 C．一个无限不循环小数 D．一个无限循环小数 题型02 求圆的周长 【典例1】在一座直径为的圆形假山周围铺一条宽的小路，沿这条小路的外边缘每隔装一盏路灯，一共要装 盏路灯．（取3.14） 【变式1】一只挂钟分针长，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是 ． 【变式2】如图，半圆形花坛的半径是2米，这个花坛的周长是 米．（π值取3.14） 【变式3】如图，一台压路机的前轮直径是，如果前轮每分钟转动6周，压路机每分钟前进（    ）m A．28.26 B．56.52 C．9 【变式4】如果一个圆的半径由2厘米增加到4厘米，它的周长就要增加 厘米(保留)． 题型03 已知圆的周长求半径 【典例1】用圆规画一个周长为31.4厘米的圆，圆规两脚尖张开的距离是 厘米． 【变式1】一根10分米长的礼品盒包装绳，围一个大圆月饼一圈还剩余3.72分米，这个月饼的横截面直径是( )分米（取3.14）． 【变式2】一个圆形纸片周长厘米，沿一条直径将其剪成两个半圆，每个半圆的周长是 ．（取） 【变式3】剪一个周长是的半圆，则选择一张面积至少是( )的长方形纸片． 【变式4】下图是一个蛋糕盒，盒子上扎了一根漂亮的丝带，已知蛋糕底面周长是，高是，接头处用去了，这根丝带长 ． 题型04 求弧长 【典例1】一个扇形的圆心角是，半径是，则此扇形的弧长是 ． 【变式1】若一个扇形的圆心角是，半径为1，则它的弧长是 ． 【变式2】如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 【变式3】在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为 （用含的式子表示）． 【变式4】如图，以三角形三顶点为圆心，10厘米为半径在三角形内画弧，得到三段弧，则这三段弧长之和为 ． 题型05 已知弧长求半径或求圆心角 【典例1】已知弧长为，半径为6，则弧的度数为 ． 【变式1】如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了 度． 【变式2】若长度为的圆弧所在圆的半径为3，则该圆弧所对的圆心角的度数为 ． 【变式3】一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 【变式4】一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 度． 题型06 求组合图形的周长 【典例1】为了方便销售，售货员把易拉罐饮料捆成如图所示的形状（如图），如果每个易拉罐底面半径5厘米，那么捆一圈至少需要 厘米的绳子．（接头处忽略不计） 【变式1】如图，阴影部分的周长为 ．（π取） 【变式2】如图，从甲地到乙地有两条路可走，这两条路的长度相比，A( )B．（填“”“”或“”） 【变式3】南南用圆规画出了一个双叶花的标记，如图，标记由四段相等的圆弧组成，每段圆弧都是四分之一圆周，若，则每一段弧的长度为 ． 【变式4】如图，某运动场田径跑道共有6条，每条跑道均由两条直的跑道和两个半圆形跑道（最内圈直径72.6米）围成，其中最内圈跑道总长度400米，每条跑道宽1.22米，则进行400米赛跑时第二条跑道的起跑线要比第一条跑道起跑线提前 米．（取3） 1．圆中最长的线段是圆的（    ） A．周长 B．直径 C．半径 D．无法确定 2．一条弧所对的圆心角是，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（   ） A． B． C． D． 3．以圆周为弧的扇形的圆心角是（    ）度． A．45 B．60 C．90 D．120 4．一个时钟的分针长，当它正好走一圈时，它的尖端走了 ．（取3.14） 5．小明测量圆的周长时，将一个圆形硬纸片沿直尺的边滚动了一周（如图），这种测量圆的周长的方法是利用了化曲为直的思想，这个圆的直径大约是 ．（结果保留整厘米数，） 6．一个圆的周长为，在这个圆里面画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )． 7．在一个长，宽的长方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是 ．（取） 8．已知两个圆的半径之比是，其中一个圆的周长是厘米，则另一个圆的周长是 厘米．（结果保留） 9．自行车的轮胎直径是厘米，如果平均每分钟转圈，半小时能行 米．（取） 10．如图，学校运动场的直道的长度是85.96m，第一条半圆形跑道的直径为72.6m，每条跑道宽1.25m．400m跑时，每条起跑线相差 米．（取3.14） 11．如图是某传送带的部分示意图，是上的一点，的半径为15厘米，当点转动的度数为时，则传送带上的物体向右移动的距离为 厘米．（结果保留） 12．图①是一把扇形纸扇，图②是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴纸部分的宽为，则的长为 ． 13．一摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 ．（结果保留） 14．“祈年殿”是一座三重檐圆形大殿（如图）．步行祈年殿的一周大约长 ． 15．如图，该图形的周长是 ．（取） 16．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 17．有一奶牛场准备用铁丝围成一个半径为120米的圆形牛栏．如果用铁丝围三圈，那么至少需要买 米的铁丝（结果保留，接头处忽略不计）． 18．一个圆环的外圆周长为，宽度为，则它的内圆周长为 19．冰壶场地上的营垒是四个同心圆，半径分别是米、米、米和米．其中最大圆与最小圆的周长差是多少米？（取值） 20．如图，三个半圆的直径在一条直线上，如果线段厘米，那么阴影部分的周长为 厘米．（取） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $