专题6.2 圆与扇形的面积（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

本讲义聚焦圆与扇形的面积这一核心知识点，先通过对比明确圆的面积与周长概念差异，借助割补法推导圆面积公式，再结合扇形定义及与圆的关系推导扇形面积公式，构建从基础概念到公式应用的完整学习支架。 资料特色在于以生活实例（如足球场画圆、光盘圆环）培养几何直观，通过公式推导过程发展推理意识，题型涵盖基础计算、逆向求解及组合图形面积，助力课中教学与课后查漏补缺，提升应用意识。

专题6.2 圆与扇形的面积 教学目标 1.理解圆的面积的定义，能区分圆的面积与周长的概念差异； 2.掌握圆的面积公式的推导过程，能熟练运用公式计算圆的面积； 3.理解扇形的定义（由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形），明确扇形与圆的关系，推导并掌握扇形面积公式，能运用公式计算扇形面积； 4.能灵活运用圆和扇形的面积公式解决实际问题或逆向求解半径、圆心角等问题。 教学重难点 1.重点 圆的面积公式、扇形面积公式的推导与应用； 2.难点 公式的灵活变形与逆向应用。 知识点01 圆的面积 1. 定义 圆所围成区域的大小叫作圆的面积. 2.圆的周长与面积两个概念的区别. 如图,体育老师在足球场中心用一根长为3m（AO）的绳子画圆， 周长指的是围成圆的曲线的长度，（右图中红色曲线部分）；周长——反映“线”的长短 面积指的是圆所围成区域的大小，（右图中绿色部分）。 面积——反映“面”的占地大小 3. 圆面积公式的推导 如图把一个圆平均分成若干等份（如 16 份、32 份），可以拼成一个近似的长方形；分的份数越多，拼成的图形越接近长方形； 拼成的近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径； 长方形的面积 = 长 × 宽，由此推导出圆的面积公式：S =. 【即学即练】 1. 如图,光盘的金属面是一个外圆直径为12 cm、内圆直径为4 cm的圆环.求该圆环的面积(π取3.14). 【答案】100.48cm² 【分析】本题考查了圆的面积公式，圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，正确使用面积公式是解题关键. 【解析】解: 根据题意，可知外圆半径R=6cm,内圆半径r=2cm,于是圆环面积 S=-=πR²-πr²=32π=100.48(cm²). 答：该圆环的面积是100.48cm². 2. 小刚在硬纸板上画了一个圆，把圆平均分成32份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，并量出长方形的长是，则这个圆的面积是（   ）（取3.14） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长公式，圆的拼组，仔细观察图形是解题的关键． 根据长方形的长是，求得圆的周长，进而推出圆的半径，即可求得圆的面积． 【详解】解：根据长方形的长是， 可得圆的周长为， 圆的半径为， 则圆的面积为， 故选：D． 知识点02 扇形的面积 1.扇形的定义： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形; 如图红色扇形记作扇形AOB.黄色扇形记作扇形BOC,蓝色扇形记作扇形AOC（∠AOC大于180）. 2.扇形的面积 圆心角为1°的扇形面积是圆面积的；圆心角为n°的扇形面积是圆面积的. 所以，圆心角与周角之比等于对应的扇形面积与圆的面积之比. 如果用S表示扇形的面积，r表示半径，那么圆心角为n°的扇形面积的计算公式是 【即学即练】 1.下面图（   ）的阴影部分是扇形． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的特征，扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的封闭图形，据此解答． 【详解】解：扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的封闭图形， A、符合扇形特征，是扇形； B、不符合扇形特征，不是扇形； C、不符合扇形特征，不是扇形； D、不符合扇形特征，不是扇形； 故选：A． 2.如图,小海家有一把折扇和一把圆形团扇，已知折扇的骨柄OA与团扇的直径都是20 cm,折扇展开的角度为120°,折扇扇面部分的宽度AB是骨柄长的一半.请比较这两把扇子扇面部分(涂色部分)图形的面积大小. 答案】一样大 【分析】本题考查了圆的面积与扇形面积的计算方法，正确使用公式是解题关键. 【解析】解:根据题意，折扇的扇面部分是圆环的一部分，其中n=120°,半径=20cm,半径=20-10=10 cm.圆形团扇的半径r=20÷2=10cm.于是可得 =²-² =×π×(20²-10²) =100π(cm²), =πr²=π×10²=100π(cm²). 所以，= 答：两把扇子扇面部分图形的面积一样大. 题型01 已知半径、直径求圆的面积 【例题1】一个圆桌的直径是，它的面积是（    ）平方米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积计算，掌握圆的面积公式为，其中为半径．已知直径，则半径，代入公式计算即可． 【详解】解：直径， 半径， 面积(平方米)． 故选： D． 【变式1】圆的半径是2米，它的直径是 米，周长是 米，面积是 平方米． 【答案】 4 12.56 12.56 【分析】本题考查圆的周长和面积，根据圆的直径、周长和面积公式，直径等于半径乘以2，周长等于π乘以直径，面积等于π乘以半径的平方，进行求解即可． 【详解】解：直径：（米）；周长：（米）；面积：（平方米）． 故答案为：4，12.56，12.56． 【变式2】如图，将一个圆分成8等份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，这个过程中周长增加了6厘米，这个圆的面积是 平方厘米． 【答案】28.26 【分析】本题主要是考查学生对于圆的面积的计算方法的掌握情况，由图形可知增加的6厘米就是圆的半径的2倍．再根据圆的面积等于圆周率乘以半径的平方进行计算即可． 【详解】解：由图形可知，这个近似的平行四边形的短边等于原来圆的半径，长边为圆周长的一半， 设圆的半径r， 则（厘米）， ∴圆的面积为（平方厘米）， 故答案为：28.26． 【变式3】如图，圆心在正方形的一个顶点上，半径是正方形的边长，一个正方形的面积是，圆的面积是（   ）（取3.14） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的面积，发现圆的半径与小正方形边长之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设小正方形的边长为， 可得小正方形的面积为， 小正方形的面积是5， ∴=5 圆的面积是， 故选：A． 【变式4】秋分过后就是寒露和霜降，正是吃螃蟹的好时节．小明舅舅承包了一个小鱼塘养螃蟹（如图），水池中间有片芦苇地，这个芦苇地的面积是( )平方米，水池的面积是( )平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查组合图形的面积公式，关键是利用规则图形的面积公式计算．用20除以2计算大圆的半径，再减去4，就是芦苇地的半径，再利用圆的面积公式：计算芦苇地的面积及水池的面积即可． 【详解】解：（米）， （米）， （平方米）， （平方米）， 答：这个芦苇地的面积是平方米，水池的面积是平方米． 故答案为：；． 题型02 已知圆的周长求圆的面积 【例题1】用一根长为50.24米的绳子围成一个圆，这个圆的面积是 ． 【答案】200.96平方米 【分析】本题考查圆的周长和面积，根据圆的周长公式求出半径，再根据圆的面积公式计算面积即可． 【详解】解：由圆的周长公式，得半径 米， 再根据圆的面积公式，得面积平方米； 故答案为：200.96平方米． 【变式1】如图，半径为r的圆的周长为．（取3.14） (1)求为多少？ (2)半径为R的圆的面积比半径为r的圆面积大，半径为R的圆的周长是多少？ 【答案】(1) (2)周长为 【分析】本题考查了圆的周长与面积，掌握这两个计算公式是关键； （1）由圆的周长公式即可求解； （2）由题中面积关系求出R，即可求得半径为R的圆的周长． 【详解】（1）解：， ； 答：r为； （2）解：半径为r的圆的面积为， 因为半径为R的圆的面积比半径为r的圆面积大， 所以半径为R的圆的面积为， 则， 由于，则， 半径为R的圆的周长为； 答：半径为R的圆的周长为． 【变式2】在周长是的圆形花坛周围铺一条宽的小路，小路的面积是 ． 【答案】 【点睛】本题考查圆的周长和面积的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据圆的周长公式求出圆形花坛的半径，根据题意，小路形状是个圆环，根据圆环面积即可解答． 【详解】解：（米） （米） （平方米） 故答案为：． 【变式3】把一个周长为的圆剪成两个扇形，已知其中一个扇形的面积是整个圆面积的，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形的弧长和面积，解题的关键是正确理解扇形和圆之间的关系． 根据扇形和圆之间的关系，计算即可． 【详解】解：∵扇形的面积是整个圆面积的， ∴扇形的弧长是整个圆周长的， ∵圆的周长为， ∴这个扇形的弧长为， 故答案为：． 【变式4】甲乙两圆的周长之比是，则甲乙两圆的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比，解题的关键是掌握圆的周长和面积公式． 根据圆的周长公式，周长之比等于半径之比；再根据圆的面积公式，面积之比等于半径之比的平方． 【详解】解：设甲圆半径为，乙圆半径为，由圆的周长公式得，周长之比 ； 由圆的面积公式得，面积之比； 故答案为：． 题型03 已知圆的面积求半径 【例题1】一个圆的面积是 78.5 平方米，求它的半径和直径（取 3.14）； 【答案】5米，10米 【分析】本题根据圆的面积是78.5 平方厘米，可以求得圆的半径，再求直径． 【详解】解：∵ 圆面积， ， ∴ ， ∴r=5 ∴d=10 答：半径是5米，直径是10米. 【变式1】剪一个面积是12.56平方厘米的圆形纸片，至少需要面积是（   ）平方厘米的正方形纸片．（取3.14） A．12.56 B．14 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查有关圆的应用、圆的面积、正方形的面积，解答本题的关键是明确需要的正方形纸片的边长的最小值和圆的直径相等． 根据圆的面积是12.56平方厘米，可以求得圆的半径，再根据题意可知需要的最小正方形纸片的边长为圆半径的2倍，求出正方形纸片的边长，然后即可求得正方形纸片的面积． 【详解】解：∵ 圆面积， ， ∴ ， ∴， ∴ 直径． ∵ 正方形边长， ∴ 正方形面积 ． 故选： C． 【变式2】“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理．如果图中外面正方形的面积是平方分米，则内圆的面积是 平方分米；如果图中外圆的面积是平方分米，则圆内大正方形的面积是 平方分米． 【答案】 【分析】本题考查了正方形和圆的面积公式，根据正方形的面积可以求出正方形的边长，正方形的边长即为正方形内圆的直径，再根据圆的面积公式计算出圆的面积；根据圆的面积公式即可求出圆的半径，圆的直径即为圆内正方形的对角线长，即可求出正方形的面积． 【详解】解：外面正方形的面积是平方分米， 正方形的边长是分米， 内圆的直径是分米， 内圆的面积是； 外圆的面积是平方分米， 外圆的半径是分米， 圆内大正方形的对角线长为分米， 圆内大正方形的面积是平方分米． 故答案为：；． 【变式3】一个圆环的面积是，外圆半径是，求内圆的半径（取3.14）． 【答案】 【分析】本题是圆环面积的逆向计算，已知圆环面积和外圆半径，需将公式变形为，核心是公式的逆向运用．据此进行计算即可． 【详解】解：由得 == ； 答：内圆的半径是． 【变式4】如图，半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】24平方厘米 【分析】本题考查了圆的面积和长方形的面积，正确求出半圆和圆的半径是解题的关键； 设半圆的半径为r厘米，圆的半径为R厘米，根据圆面积公式求出r、R，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设半圆的半径为r厘米，圆的半径为R厘米， 因为半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米， 所以，， 解得：，， 所以阴影部分的面积是（平方厘米）； 故答案为：24平方厘米. 题型04 求圆环的面积 【例题1】光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是，外圆半径是，圆环面积是 ．（取） 【答案】 【分析】此题考查圆环的面积公式的计算应用．圆环的面积公式为，其中为外圆半径，为内圆半径，代入数据计算即可． 【详解】解：（平方厘米）． 故答案为：． 【变式1】一个圆形观鹤台的半径是10米，它的周长是 米，面积是 平方米；如果在观鹤台外围修一条宽1米的步道，步道的面积是 平方米．（取） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式和面积公式. 根据圆的周长公式和面积公式计算观鹤台的周长和面积；步道为环形区域，其面积通过外圆面积减去内圆面积求得. 【详解】解：观鹤台半径米， 周长（米）； 面积（平方米）； 步道宽1米，则外圆半径米， 步道面积（平方米）； 故答案为：①，②，③. 【变式2】一个圆形水池直径由增加到，那么这个圆形水池的面积增加了 （）． 【答案】15.7 【分析】本题考查了圆的面积，解题的关键是牢记圆的面积等于圆周率乘以半径的平方． 先计算直径和圆的面积，再相减即可． 【详解】解： ， 故答案为：15.7． 【变式3】如图，若小圆的半径是，大圆的半径是，那么，让小圆沿着大圆的外侧滚动一周，小圆滚动后扫过的面积是 ．(保留) 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长与面积；小圆扫过的面积是以小圆直径为环宽的环形的面积，利用圆环的面积公式把数据代入求出小圆滚动后扫过的面积，据此解答． 【详解】解： 故答案为：． 【变式4】如图，阴影部分的面积是，那么圆环的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是与阴影部分面积相关的计算，设大圆半径为，小圆半径为，根据题意可得，再进一步计算即可． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为， ∵阴影部分的面积是， ∴， ∴圆环的面积是． 故选：B 题型05 扇形面积 【例题1】半径为2的圆中，扇形的圆心角是，则扇形的面积为 ．（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键． 根据扇形的面积公式求出即可． 【详解】解：扇形的面积为， 故答案为：． 【变式1】如图是三个半径为1厘米的圆，圆心分别是三角形的三个顶点，阴影部分的三个扇形面积之和是( )（取3.14）． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式． 先根据三角形内角和可得扇形的三个圆心角的度数和为，再由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：三角形内角和等于，设三个内角的度数为，即， ∴阴影部分的三个扇形面积之和：， ∴阴影部分的三个扇形面积之和是． 故答案为：． 【变式2】若扇形半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则面积为（    ） A．和原来一样大 B．原来的4倍 C．原来的一半 D．原来的2倍 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的应用．半径相等的两个扇形，扇形的面积与扇形的圆心角度数成正比．扇形面积公式是，由于两个扇形的半径相等，则扇形的面积与扇形的圆心角度数成正比；依此即可求解． 【详解】解：由扇形面积公式可知，半径相等，扇形的面积与扇形的圆心角度数成正比． 因为一个扇形的圆心角扩大到原来的2倍，所以它的面积扩大到原来的2倍． 故选：D． 【变式3】将一个圆分成三个扇形，它们的面积之比为，则面积最小的扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比应用，扇形的面积，圆的圆心角总和为，扇形面积之比等于圆心角度数之比．将面积比转化为圆心角比例，计算最小扇形的圆心角即可． 【详解】三个扇形的面积比为，因此圆心角度数比也为． 总份数为份，每份对应． 面积最小的扇形对应1份，圆心角度数为， 故选A． 【变式4】如图所示，两个同心圆的半径分别是2和1，，阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了求扇形的面积，根据两个同心圆的半径分别是2和1，，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵两个同心圆的半径分别是2和1，， ∴， 故答案为：． 题型06 面积比、半径比与圆心角度数之比的关系 【例题1】一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的面积公式及其比例关系；设原半径为，则原面积，得到新半径，新面积，即可求出． 【详解】解：设原半径为，则原面积． ∵半径扩大到原来的2倍， ∴新半径，新面积． ∴面积扩大到原来的4倍． 故选：B． 【变式1】一个圆的半径缩小到原来的，则面积缩小到原来的（   ） A． B． C． D．不变 【答案】C 【分析】本题考查了圆的面积公式，因为圆的面积公式是：，所以圆的面积和此圆半径的平方有关系，设出原圆的半径，再表示出现在的圆的半径代入公式求解即可． 【详解】解：设原来的圆的半径为 r ，则面积， ∴半径缩小到原来的后所得新圆的面积， ． 故选：C． 【变式2】一个圆环，外圆的半径等于内圆的直径，那么内圆的面积占圆环面积的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积，解答本题时，应先求出圆环的面积，再与内圆的面积比较即可． 【详解】解：设内圆半径为，则外圆半径为； 因为圆环面积， 所以内圆的面积占圆环面积的， 故选：D． 【变式3】下列各图中，空白部分与阴影部分的面积之比不等于的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比的应用，图形面积的计算，依次计算各选项中空白部分与阴影部分的面积即可． 【详解】解：A、B两个选项中空白部分与阴影部分的面积之比均等于，不符合题意； 选项C中，设小正方形的边长为1，则空白部分面积为，阴影部分面积为，则空白部分与阴影部分的面积之比为，不等于，符合题意； 选项D中，空白部分面积为，阴影部分面积为，则空白部分与阴影部分的面积之比为，不符合题意； 故选：C． 【变式4】如图，三个同心圆的半径分别为，则图中阴影部分面积与空白部分面积的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求圆环的面积，分别求出阴影部分的面积和空白部分的面积，然后相减即可得出答案． 【详解】解：由题意得，三个圆的半径为，，． 阴影部分的面积为：（平方厘米）， 空白部分的面积为：（平方厘米）， 阴影部分面积与空白部分面积之比是：． 故选：A． 题型07 组合图形面积 【例题1】某款手机后置摄像头模组如图所示．其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)求图中所有白圆的周长之和；（保留，用含的代数式表示） (2)求图中阴影部分的面积；（保留，用含的代数式表示） (3)当时，分别求和的值（取3） 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查列代数式、整式的加减的几何应用、代数式求值，熟知圆的面积公式是解答的关键． （1）根据圆的周长公式计算即可 （2）根据图形，根据大圆面积减去五个圆面积可求解； （3）将代入求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ， 答：图中阴影部分的面积为； （3）解：当，时 ， ． 【变式1】求下面阴影部分的面积． 【答案】 【分析】用梯形面积减去四分之一圆的面积求解即可；掌握梯形以及圆的面积公式是解题关键． 【详解】解： 【变式2】求阴影图形的面积（结果保留）．    【答案】 【分析】本题求解有关圆的阴影面积，解题的关键是正确计算和掌握圆的面积公式． 根据阴影部分面积等于长方形的面积减去圆的面积，再减去半圆的面积，即可求值； 【详解】（1）解：由图可知，长方形的宽为，即圆的直径为， 半径为， 长方形的长为：， ． 【变式3】如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径厘米，刷子的长度厘米．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为 平方厘米（结果保留π）． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形面积公式． 根据扇形面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分） （平方厘米）， 故答案为：． 【变式4】求阴影部分的面积(保留2为小数)； 【答案】15.48 【分析】本题主要考查了三角形、扇形的面积，解题的关键是掌握扇形面积公式． 根据扇形面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：因为三角形是个等腰直角三角形，所以三角形面积为12×12÷2=72 三个扇形的面积为×=1856.52， 所以阴影部分面积是72-56.52=15.48. 题型08 不规则图形面积 【例题1】求阴影部分的面积． 【答案】8； 【分析】本题考查了利用平移巧算周长与面积、正方形的面积、圆环的面积、小数的四则运算及法则： 如图所示，图中①、②、③、④的面积是相等的，将①和②分别移到③和④的位置，则阴影部分的面积就等于正方形的面积的一半，据此解答． 【详解】如图所示： 图中①、②、③、④的面积是相等的，将①和②分别移到③和④的位置， 则阴影部分的面积就等于正方形的面积的一半：； 【变式1】如图，大的半圆半径是，两个小的半圆半径都是5，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求圆的面积，根据阴影部分的面积等于大的半圆的面积减去小的半圆面积再加上小的半圆的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积是 故选：D． 【变式2】如图，直角的斜边，，，以点为中心，将顺时针旋转，点、分别到达点、，则边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是 ．（取） 【答案】75 【分析】本题考查了圆的面积公式的应用，由题意可知，与面积相等，阴影部分的面积半径是10厘米圆的面积的的面积的面积半径是5厘米圆的面积的；由此可知，阴影部分的面积半径是10厘米圆的面积的半径是5厘米圆的面积的；由此即可得到答案，熟练掌握圆的面积公式是解此题的关键． 【详解】解：由分析可知： 则边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是75， 故答案为：75． 【变式3】求如图中阴影部分的面积．（单位：cm） 【答案】阴影部分的面积为．【分析】本题主要考查了圆的面积以及周长的相关知识． 本题可通过割补法，将阴影部分面积转化为两个扇形面积之和减去长方形面积来计算． 【详解】解：计算半径为的扇形面积(圆心角为)： 计算半径为的扇形面积(圆心角为)： 计算长方形的面积： 阴影部分面积等于两个扇形面积之和减去长方形面积，即 ． 答：阴影部分的面积为． 【变式4】以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（如图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积． 【答案】阴影部分面积是平方厘米 【分析】本题考查半圆的面积公式，三角形的面积，掌握割补法求不规则图形面积是解题的关键． 用两个半圆的面积之和减去三角形的面积，即可解答． 【详解】解： （平方厘米） 答：阴影部分面积是平方厘米． 一、单选题 1．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，如同玻璃盆中旋转的玉连环．在长，宽的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的面积的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 圆形波纹的最大直径为，则半径为，再根据圆的面积公式即可解答． 【详解】解： 故选：D． 2．将一个半径3cm的圆平均分成若干等份后，再拼成一个近似的长方形，周长增加了（ ）． A．3 B．6 C．9.42 【答案】B 【分析】本题考查圆的周长，此类题目还是画示意图较为容易理解，有了图示，经过数形结合，能够准确确定增加部分是两条半径． 【详解】解：由图示可以看出：拼成近似的长方形，周长增加部分为两条半径，也就是长方形的两条宽，因为半径为，所以周长增加了， ， 故答案选：B． 3．把一张直径是4厘米的圆形纸片对折两次得到一个扇形，这个扇形的周长是（   ）厘米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直径是4厘米的圆形纸片对折两次得到一个扇形，扇形大小是以4厘米为直径的圆的，这个扇形的周长为圆的周长的再加上两个半径，根据圆的周长公式，计算求解即可． 明确圆形纸片对折两次后得到的扇形是一个圆的，掌握扇形周长的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得厘米 所以把一张直径是4厘米的圆形纸片对折两次得到一个扇形，这个扇形的周长是厘米． 故选：A． 4．小圆的半径是，大圆的半径是，那么两个圆的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比的应用，圆的面积，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据圆面积公式，列出它们的面积比，再化简． 【详解】解：∵小圆的半径是，大圆的半径是， ∴两个圆的面积比是， 故选：C． 5．在边长为厘米的正方形硬纸板上，剪去一个最大的圆，剩下部分的面积是（   ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式，解决本题的关键是根据在边长为厘米的正方形硬纸板上，剪去一个最大的圆，则这个圆的最大直径为厘米；根据圆的面积公式求出圆的面积，用正方形的面积减去圆的面积，即可得到剩下部分的面积． 【详解】解：在边长为厘米的正方形硬纸板上，剪去一个最大的圆， 则这个圆的最大直径为厘米， 这个圆的面积是(平方厘米)， 正方形的边长是厘米， 正方形的面积是(平方厘米)， 剩下部分的面积是(平方厘米)． 故选：C． 二、填空题 6．一个圆可以分成 个圆心角是的扇形．每个扇形的面积占这个圆面积的 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了扇形圆心角和扇形的面积，圆的圆心角为，每个扇形的圆心角为，通过除法运算可得扇形个数；每个扇形面积与圆心角成正比，计算比例即可得面积占比． 【详解】解：一个圆的圆心角为，每个扇形的圆心角为， 因此扇形的个数为， 每个扇形的面积占圆面积的比例为， 故答案为：6；． 7．下面是甲、乙两名同学把同样的圆柱（底面半径是，高是）平均切成两部分的不同切法．甲切分后，图形的表面积比原来增加了( )；乙切分后图形的表面积比原来增加了( )．      【答案】 【分析】根据甲图切开后表面积增加了两个圆的面积，乙图切开后表面积增加了两个长方形的面积，计算出增加的表面积即可． 【详解】解：甲切分后，图形的表面积比原来增加了： ， 乙切分后，图形的表面积比原来增加了： ， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了截面面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积和长方形的面积计算公式，准确计算． 8．若一个扇形的面积是它所在圆面积的，则这个扇形的圆心角是 度 【答案】 【分析】根据圆中扇形的面积占比即为圆心角占比进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求圆心角度数，熟知圆中扇形的面积占比即为圆心角占比是解题的关键． 9．在周长是的圆形花坛周围铺一条宽的小路，小路的面积是 ． 【答案】 【点睛】本题考查圆的周长和面积的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据圆的周长公式求出圆形花坛的半径，根据题意，小路形状是个圆环，根据圆环面积即可解答． 【详解】解：（米） （米） （平方米） 故答案为：． 10．如图，圆的周长是，如果圆的面积和长方形的面积相等，那么涂色部分的面积是 ，涂色部分的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长，圆的面积，长方形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出圆的半径，然后求出圆的面积，然后根据题意得到涂色部分的面积是圆的面积的，即可求出涂色部分的面积；然后求出长方形的长，最后求得涂色部分的周长即可． 【详解】解：∵圆的周长是， ∴圆的半径为：， ∴圆的面积为：， ∵圆的面积和长方形的面积相等， ∴涂色部分的面积是； ∴长方形的长为：， ∴涂色部分的周长为：． 故答案为：，． 三、解答题 11．爷爷家养了一只小狗，把它拴在长为7米的院墙根喂养（如图），拴狗的绳长为2米．请你计算小狗最大活动范围的面积是多少？ 【答案】平方米 【分析】本题考查圆的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 观察图形可知，小狗最大活动范围的面积是半径为2米的半圆面积，根据圆的面积代入数据计算求解即可． 【详解】解：， ， （平方米） 答：小狗最大活动范围的面积是平方米． 12．（1）计算如图阴影的面积．（） （2）计算下图中阴影部分的周长．（） 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查圆，阴影部分的周长和面积； （1）用圆的面积减去正方形面积即可； （2）用正方形的3条边长加圆周长的一半即可． 【详解】解：（1）   ． 所以阴影部分的面积是．   （2）   ， 阴影部分的周长为． 13．如图，王师傅用长的篱笆靠墙围成一个半圆形花圃，后来因面积太小要扩建，将半径增加了．扩建后的花圃的面积是多少平方米？ 【答案】 【分析】此题主要考查圆的周长、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 先根据圆的周长公式求出半径，再根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解： 答：扩建后的花圃的面积是． 14．求下列图形阴影部分的面积． (1)（圆周长为） (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求阴影部分的面积，熟练掌握圆的周长和面积公式和等腰直角三角形的面积公式是解题的关键； （1）由圆周长为，求出半径，然后用圆面积的减去三角形面积即可； （2）由直径求出半径，然后用半圆的面积减去三角形面积即可． 【详解】（1）解： （2）解： 15．如图： (1)求阴影部分的周长．（结果保留） (2)求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的周长与面积公式，正确计算是解题的关键． （1）根据阴影部分周长等于大半圆的弧加上两个小半圆的弧求解即可； （2）根据阴影部分面积等于大半圆面积减去两个小半圆面积求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 16．如图，在长方形中，，连接，并以为直径画半圆，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】此题考查的是求阴影部分的面积，解题关键是利用．利用正方形的面积扇形的面积的面积即可求出结论． 【详解】解：如图，设的中点为O， ． 17．如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，求阴影部分图形的周长（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，关键是找出图中阴影部分周长的计算方法．根据阴影部分的周长等于两个弧长加上大圆半径减去小圆半径差的两倍求解即可． 【详解】解：阴影部分扇环的圆心角为：， 阴影部分图形的周长为：． 18．如图， (1)求图中阴影部分的面积；（结果保留） (2)若，求圆心角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，熟练掌握扇形面积计算公式，是解题的关键． （1）用大扇形的面积减去小扇形的面积即可得出答案； （2）先求出的面积，然后再求出圆心角x的度数． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴． 19．如图所示，已知扇形，，，以为直径画半圆，点为弧上一动点（不与点与点重合），联结． (1)①若，求以为直径的半圆面积及扇形的面积；（结果保留） ②填空：阴影甲的面积与阴影乙的面积大小比较：________． A．甲的面积大    B．乙的面积大    C．相等    D．无法比较 (2)若阴影甲的面积比阴影乙的面积大，求弧与弧的比值． 【答案】(1)①，；②C (2) 【分析】本题考查了与圆有关的计算，解决本题的关键是掌握圆的面积公式． （1）根据扇形面积公式即可求出结果；观察图形可得观察图形可知：阴影甲的面积，阴影乙的面积，进而可得结果； （2）设，则，根据，求出，得到，，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， ； ②如图： 观察图形可知：阴影甲的面积， 阴影乙的面积， 则阴影甲的面积与阴影乙的面积相等； 故答案为：C． （2）解：设，则， ， ， ， ， ，则， ， 弧与弧的比值为． 20． 圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O和圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，试画出圆O滚过的区域，并求出该区域的面积． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 (3)平方厘米 【分析】本题考查圆的周长和面积问题，将圆的运动轨迹转化为规则的圆或者扇形即可解答； （1）圆心O经过的距离为半径为1厘米的圆的周长； （2）圆心O经过的距离为以为半径的圆的周长； （3）圆O滚过的区域为三个长方形区域和三个圆心角度数为的扇形区域，据此画出示意图，并求解面积即可． 【详解】（1）解：（厘米）， 所以圆心O经过的距离为厘米； （2）解：（厘米）， （厘米）， 所以圆心O经过的距离为厘米； （3）解：如图所示，圆O滚过的区域为三个长方形区域和三个圆心角度数为的扇形区域， （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 所以圆O滚过区域的面积为平方厘米。 32 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 圆与扇形的面积 教学目标 1.理解圆的面积的定义，能区分圆的面积与周长的概念差异； 2.掌握圆的面积公式的推导过程，能熟练运用公式计算圆的面积； 3.理解扇形的定义（由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形），明确扇形与圆的关系，推导并掌握扇形面积公式，能运用公式计算扇形面积； 4.能灵活运用圆和扇形的面积公式解决实际问题或逆向求解半径、圆心角等问题。 教学重难点 1.重点 圆的面积公式、扇形面积公式的推导与应用； 2.难点 公式的灵活变形与逆向应用。 知识点01 圆的面积 1. 定义 圆所围成区域的大小叫作圆的________. 2.圆的周长与面积两个概念的区别. 如图,体育老师在足球场中心用一根长为3m（AO）的绳子画圆， 周长指的是围成圆的曲线的长度，（右图中红色曲线部分）；周长——反映“线”的长短 面积指的是圆所围成区域的大小，（右图中绿色部分）。 面积——反映“面”的占地大小 3. 圆面积公式的推导 如图把一个圆平均分成若干等份（如 16 份、32 份），可以拼成一个近似的长方形；分的份数越多，拼成的图形越接近长方形； 拼成的近似长方形的长相当于圆周长的________，宽相当于圆的________； 长方形的面积 = 长 × 宽，由此推导出圆的面积公式：S =________. 【即学即练】 1. 如图,光盘的金属面是一个外圆直径为12 cm、内圆直径为4 cm的圆环.求该圆环的面积(π取3.14). 2. 小刚在硬纸板上画了一个圆，把圆平均分成32份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，并量出长方形的长是，则这个圆的面积是（    ）（取3.14） A． B． C． D． 知识点02 扇形的面积 1.扇形的定义： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作________; 如图红色扇形记作________.黄色扇形记作________,蓝色扇形记作扇形AOC（∠AOC大于180）. 2.扇形的面积 圆心角为1°的扇形面积是圆面积的________；圆心角为n°的扇形面积是圆面积的________. 所以，圆心角与________之比等于对应的扇形面积与圆的面积之比. 如果用S表示扇形的面积，r表示半径，那么圆心角为n°的扇形面积的计算公式是________________ 【即学即练】 1.下面图（   ）的阴影部分是扇形． A． B． C． D． 2.如图,小海家有一把折扇和一把圆形团扇，已知折扇的骨柄OA与团扇的直径都是20 cm,折扇展开的角度为120°,折扇扇面部分的宽度AB是骨柄长的一半.请比较这两把扇子扇面部分(涂色部分)图形的面积大小. 题型01 已知半径、直径求圆的面积 【例题1】一个圆桌的直径是，它的面积是（    ）平方米． A． B． C． D． 【变式1】圆的半径是2米，它的直径是 米，周长是 米，面积是 平方米． 【变式2】如图，将一个圆分成8等份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，这个过程中周长增加了6厘米，这个圆的面积是 平方厘米． 【变式3】如图，圆心在正方形的一个顶点上，半径是正方形的边长，一个正方形的面积是，圆的面积是（   ）（取3.14） A． B． C． D． 【变式4】秋分过后就是寒露和霜降，正是吃螃蟹的好时节．小明舅舅承包了一个小鱼塘养螃蟹（如图），水池中间有片芦苇地，这个芦苇地的面积是( )平方米，水池的面积是( )平方米． 题型02 已知圆的周长求圆的面积 【例题1】用一根长为50.24米的绳子围成一个圆，这个圆的面积是 ． 【变式1】如图，半径为r的圆的周长为．（取3.14） (1)求为多少？ (2)半径为R的圆的面积比半径为r的圆面积大，半径为R的圆的周长是多少？ 【变式2】在周长是的圆形花坛周围铺一条宽的小路，小路的面积是 ． 【变式3】把一个周长为的圆剪成两个扇形，已知其中一个扇形的面积是整个圆面积的，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留） 【变式4】甲乙两圆的周长之比是，则甲乙两圆的面积之比是 ． 题型03 已知圆的面积求半径 【例题1】一个圆的面积是 78.5 平方米，求它的半径和直径（取 3.14）； 【变式1】剪一个面积是12.56平方厘米的圆形纸片，至少需要面积是（   ）平方厘米的正方形纸片．（取3.14） A．12.56 B．14 C．16 D．20 【变式2】“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理．如果图中外面正方形的面积是平方分米，则内圆的面积是 平方分米；如果图中外圆的面积是平方分米，则圆内大正方形的面积是 平方分米． 【变式3】一个圆环的面积是，外圆半径是，求内圆的半径（取3.14）． 【变式4】如图，半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米，那么阴影部分的面积是 ． 题型04 求圆环的面积 【例题1】光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是，外圆半径是，圆环面积是 ．（取） 【变式1】一个圆形观鹤台的半径是10米，它的周长是 米，面积是 平方米；如果在观鹤台外围修一条宽1米的步道，步道的面积是 平方米．（取） 【变式2】一个圆形水池直径由增加到，那么这个圆形水池的面积增加了 （）． 【变式3】如图，若小圆的半径是，大圆的半径是，那么，让小圆沿着大圆的外侧滚动一周，小圆滚动后扫过的面积是 ．(保留) 【变式4】如图，阴影部分的面积是，那么圆环的面积是（   ）． A． B． C． D． 题型05 扇形面积 【例题1】半径为2的圆中，扇形的圆心角是，则扇形的面积为 ．（结果保留）． 【变式1】如图是三个半径为1厘米的圆，圆心分别是三角形的三个顶点，阴影部分的三个扇形面积之和是( )（取3.14）． 【变式2】若扇形半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则面积为（    ） A．和原来一样大 B．原来的4倍 C．原来的一半 D．原来的2倍 【变式3】将一个圆分成三个扇形，它们的面积之比为，则面积最小的扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图所示，两个同心圆的半径分别是2和1，，阴影部分的面积为 题型06 面积比、半径比与圆心角度数之比的关系 【例题1】一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】一个圆的半径缩小到原来的，则面积缩小到原来的（   ） A． B． C． D．不变 【变式2】一个圆环，外圆的半径等于内圆的直径，那么内圆的面积占圆环面积的（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列各图中，空白部分与阴影部分的面积之比不等于的是（   ） A．B．C． D． 【变式4】如图，三个同心圆的半径分别为，则图中阴影部分面积与空白部分面积的比是（   ） A． B． C． D． 题型07 组合图形面积 【例题1】某款手机后置摄像头模组如图所示．其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)求图中所有白圆的周长之和；（保留，用含的代数式表示） (2)求图中阴影部分的面积；（保留，用含的代数式表示） (3)当时，分别求和的值（取3） 【变式1】求下面阴影部分的面积． 【变式2】求阴影图形的面积（结果保留）．    【变式3】如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径厘米，刷子的长度厘米．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为 平方厘米（结果保留π）． 【变式4】求阴影部分的面积(保留2为小数)； 题型08 不规则图形面积 【例题1】求阴影部分的面积． 【变式1】如图，大的半圆半径是，两个小的半圆半径都是5，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直角的斜边，，，以点为中心，将顺时针旋转，点、分别到达点、，则边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是 ．（取） 【变式3】求如图中阴影部分的面积．（单位：cm） 【变式4】以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（如图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积． 一、单选题 1．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，如同玻璃盆中旋转的玉连环．在长，宽的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是（   ） A． B． C． D． 2．将一个半径3cm的圆平均分成若干等份后，再拼成一个近似的长方形，周长增加了（ ）． A．3 B．6 C．9.42 3．把一张直径是4厘米的圆形纸片对折两次得到一个扇形，这个扇形的周长是（   ）厘米． A． B． C． D． 4．小圆的半径是，大圆的半径是，那么两个圆的面积比是（     ） A． B． C． D． 5．在边长为厘米的正方形硬纸板上，剪去一个最大的圆，剩下部分的面积是（   ）平方厘米． A． B． C． D． 二、填空题 6．一个圆可以分成 个圆心角是的扇形．每个扇形的面积占这个圆面积的 ． 7．下面是甲、乙两名同学把同样的圆柱（底面半径是，高是）平均切成两部分的不同切法．甲切分后，图形的表面积比原来增加了( )；乙切分后图形的表面积比原来增加了( )．      8．若一个扇形的面积是它所在圆面积的，则这个扇形的圆心角是 度 9．在周长是的圆形花坛周围铺一条宽的小路，小路的面积是 ． 10．如图，圆的周长是，如果圆的面积和长方形的面积相等，那么涂色部分的面积是 ，涂色部分的周长是 ． 三、解答题 11．爷爷家养了一只小狗，把它拴在长为7米的院墙根喂养（如图），拴狗的绳长为2米．请你计算小狗最大活动范围的面积是多少？ 12．（1）计算如图阴影的面积．（） （2）计算下图中阴影部分的周长．（） 13．如图，王师傅用长的篱笆靠墙围成一个半圆形花圃，后来因面积太小要扩建，将半径增加了．扩建后的花圃的面积是多少平方米？ 14．求下列图形阴影部分的面积． (1)（圆周长为） (2) 15．如图： (1)求阴影部分的周长．（结果保留） (2)求阴影部分的面积．（结果保留） 16．如图，在长方形中，，连接，并以为直径画半圆，求阴影部分的面积．（结果保留） 17．如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，求阴影部分图形的周长（结果保留）． 18．如图， (1)求图中阴影部分的面积；（结果保留） (2)若，求圆心角的度数． 19．如图所示，已知扇形，，，以为直径画半圆，点为弧上一动点（不与点与点重合），联结． (1)①若，求以为直径的半圆面积及扇形的面积；（结果保留） ②填空：阴影甲的面积与阴影乙的面积大小比较：________． A．甲的面积大    B．乙的面积大    C．相等    D．无法比较 (2)若阴影甲的面积比阴影乙的面积大，求弧与弧的比值． 20． 圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O和圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，试画出圆O滚过的区域，并求出该区域的面积． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $