专题16.1 相交线（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题16.1 相交线 教学目标 1.理解相交线的定义、对顶角的定义，理解对顶角的性质，能运用性质进行简单的角的计算、角度关系判断； 2.了解垂线的概念、垂线的性质、垂线段的性质，能运用性质进行简单的角度计算和推理证明. 3.了解公理、定义、定理等基本概念，初步了解证明的基本格式，初步学会简单的几何说理表达，为后续逻辑推理学习奠定基础。 教学重难点 1.重点 理解对顶角的性质、垂线的性质并能运用性质进行计算、推理、证明； 2.难点 初步了解证明的基本格式，初步学会简单的几何说理表达，为后续逻辑推理学习奠定基础。. 知识点01 相交线 （1）过一点的直线 过一点有无数条直线，典型的例子是用一枚钉子将一根木条钉在墙上，木条可以随意转到（如图1）。 （2）过两点的直线 直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。 典型的例子是用两枚钉子把木条钉在墙上时，木条就固定住了（如图2）。 （3）相交线 定义：如果两条直线有且只有1个公共点，那么这两条直线叫做相交线，这个公共点叫做它们的交点。 强调：两条直线相交的关键特征是 “有且只有一个公共点”，若两条直线没有公共点则互相平行，若有两个及以上公共点则相互重合（本质是同一条直线），否则与公理：过两点只有一条直线相矛盾。 【即学即练】 1. 在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要钉子的枚数是（   ） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 【答案】B 【分析】考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键． 根据几何基本事实“两点确定一条直线”，固定木条需要至少两个点以防止移动和旋转． 【详解】解：∵两点确定一条直线， ∴固定一根横放的木条至少需要2枚钉子， 故选：B． 2. a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 知识点02 对顶角的概念及性质 1. 定义： 观察图形中的∠1 和∠3，它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角. 2. 定理：对顶角相等 【即学即练】 1. 如图，三条直线a,b,c相交于点P，问图中共有几对对顶角？ 【答案】6 【分析】本题考查了对顶角的定义，两条直线相交形成2对对顶角，分析出图中共有几组两直线相交的基本图形是解决本题的关键. 【详解】解：因为两直线相交有两对对顶角，而图中共有3组直线两两相交，分别是直线a,b相交；直线a,c相交；直线b,c相交. 所以图中共有6对对顶角. 2. 如图，直线、相交于点，平分，且，那么 【答案】36 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 平分， ， 故答案为：． 知识点03 公理、定义、证明、定理 公理：在几何里，挑选其中一些基本事实，承认其正确性，将其作为用逻辑推理证实其他事实的原始依据.这些基本事实称为公理. 直线公理：过两点有一条直线，并且只有一条直线。 线段公理：两点之间线段最短. 定义：界定一个概念的语句叫作定义. 证明：数学上要求从已知条件出发，依据已被确认的事实(包括定义、公理等),通过逻辑推理说明猜想的正确性，这个过程叫作证明. 【即学即练】 1. 请通过逻辑推理说明“对顶角相等”的正确性. 【答案】见解析 【分析】本题考查了相交线、对顶角、平角的定义及性质，本题需要画图，结合图形进行推理证明. 【详解】如图，已知直线a，b交于点O,∠1和∠3是对顶角，求证：∠1=∠3 证明：所以∠1 + ∠2 =180；∠3 + ∠2 =180, 根据等式的性质得：∠1=180-∠2，∠3=180-∠2， 因此∠1=∠3. 知识点04 垂线 1. 定义 如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 直线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为， 几何语言： ∵CD⊥AB 或者：∵∠COB=90o ∴∠COB=90o ∴CD⊥AB 2.垂线的画法 垂线的画法：利用直角三角板 “一贴”:一条直角边靠直线； “二靠”：另一直角边靠在该点； “三画”：沿直角边画垂线. 3.垂线的性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 说明：垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. 4.点到直线的距离 定义：直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离. 5.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 如图：PO<PA 理由是（垂线段最短），点P到直线l的距离是线段PO的长度. 【即学即练】 1. 如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线、对顶角以及角平分线，根据垂直定义可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】 若平分 故选：B． 2. 如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． (3)点P到直线OB的距离是线段__________的长度. (4)比较大小：ON，OP，OM 【答案】见解析 【分析】本题考查作图基本作图，垂线等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于基础题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义解题即可； （4）根据垂线段的性质解题即可. 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． (3)点P到直线OB的距离是垂线段PN的长度； （4）根据垂线段最短的性质可知ON<OP<OM. 题型01 相交线的概念及相关问题 【典例1】如图，在学校的劳动实践课程上，同学们体验插秧时发现：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秧苗整齐地插在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．经过一点可以画无数条直线 D．点动成线 【答案】B 【分析】本题考查了两点确定一条直线. 根据两点确定一条直线作答即可. 【详解】解：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秧苗整齐地插在一条直线上，这样做的依据是两点确定一条直线. 故选：B. 【变式1】下列现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两点之间，线段最短及两点确定一条直线，根据题意直接逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、墨斗上两点弹墨线可以用两点确定一条直线来解释，不符合题意， B、两个钉子固定一根木条可以用两点确定一条直线来解释，不符合题意， C、弯曲河道改直可以用两点之间，线段最短来解释，符合题意， D．在两桩间拉线砌墙可以用两点确定一条直线来解释，不符合题意 故选：C． 【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOC的比为3:1，则直线AB、CD的夹角为______________ 【答案】45 【分析】两条直线相交，形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫作两条直线的夹角. 【详解】解：设∠BOC=x，则∠AOC=3x， ∵∠AOC+∠BOC=180, ∴x+3x=180 ∴x=45 所以直线AB、CD的夹角为45. 【变式3】有下列四种说法：①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直．其中正确的是 【答案】② 【分析】本题考查了补角的定义，两直线的位置关系，垂线的性质，同角的余角，熟练掌握以上性质定理是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直，故①错误； 一个角的补角不一定大于这个角，也可能等于或小于这个角，例如：90度角的补角也是90度，两角相等，故②错误； 如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等，故③正确； 在同一平面内，两条直线的位置：相交和平行或重合，故④错误； 故答案为：②． 【变式4】下列说法中正确的是（    ） A．互为补角的两个角不相等 B．两个相等的角一定是对顶角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．一个锐角的补角比这个角的余角大 【答案】D 【分析】A、根据补角的定义来推断即可； B、根据对顶角的定义来判断即可； C、根据垂线段的定义来判断即可； D、根据余角、补角的定义来判断即可． 【详解】A、互为补角的两个角和为，但两个角可以不相等，也可以相等，故本选项不正确； B、对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，故本选项不正确； C、点到直线的距离，是指垂线段的长度，而不是垂线段，故本选项不正确； D、设这个锐角为，则余角为，补角为，所以一个锐角的补角比这个角的余角大，故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查的是余角、补角、对顶角、垂线段的定义，解题的关键是熟练掌握余角、补角、对顶角、垂线段的定义． 题型02 对顶角的概念及性质 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角，由此逐项分析即可得解． 【详解】解：A、和不是对顶角，故不符合题意； B、和不是对顶角，故不符合题意； C、和不是对顶角，故不符合题意； D、和是对顶角，故符合题意； 故选：D． 【变式1】观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．    (1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角； 【答案】(1)2 (2)6 (3)12 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． （1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，共有3组直线两两相交，即可得出6对对顶角， （3）4条直线相交于一点，共有6组直线两两相交，,即可得出12对对顶角； 【详解】（1）解：对图形进行点标注．    图①中对顶角有与，与，共2对； 故答案为：2； （2）图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 故答案为：6； （3）图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为：12； 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，如果，与互余，那么的度数是 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，属于基础题，计算过程中细心即可． 根据余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海静安·月考）直线，相交于点O，平分，且，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，掌握角平分线的定义是解题的关键． 先根据角平分线定义得出，由，得出，再利用平角的定义得到，求出，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵平分， ， 又∵，且， ∴， 又∵点，，在同一条直线上， ， ， ， ∵， ， 故答案为：． 【变式4】如图，直线，相交于点，平分． （1）若，则 °； （2）若，则 °． 【答案】 36 【分析】本题考查了对顶角的性质与角的和差计算，解题的关键是利用对顶角相等、角平分线定义及平角性质求解角度． （1）利用对顶角相等，将角度单位换算后求解； （2）先根据比例和平角求出，再由角平分线得，最后利用对顶角相等求解． 【详解】（1）解：∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴，解得， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 题型03 垂线的概念及其性质 【典例1】如图所示，直线相交于点O，于O，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，角的和差计算，解题的关键是掌握以上知识点． 根据垂直的定义与角的和差计算即可． 【详解】解：于点O， ， ， ∴∠BOD=∠AOC=30 ， 故选：C． 【变式1】如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 【详解】解：因为，，所以与重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 【变式2】如图，，，平分，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直定义，角的和差，数形结合是解题的关键．先求出的度数，再根据角平分线的定义求即可． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 【变式3】．如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线的性质（两直线垂直则夹角为）与对顶角的性质（对顶角相等），熟练运用这两个性质是解决此类角度计算问题的关键．先依据垂线的性质确定直角（），再通过角度差求出，结合对顶角相等得到，最后利用角度和求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4】如图，直线相交于点O，平分，于O，若，下列说法①；②；③，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查角平分线的性质和等角转换，熟练运用，即可解题．根据角平分线的性质，得出，然后根据对顶角相等，得出，进而得出，从而判断①；根据，，得出，从而判断②；由，即可判断③． 【详解】解：∵于O，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∴，②正确； ∴，③正确； 故答案为：①②③． 题型04 过一点画已知直线的垂线 【典例1】下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的作法．根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可； 【详解】解：根据分析可得C的画法正确； 故选：C． 【变式1】如图． ①过点画的垂线． ②过点分别画、的垂线． ③过点画的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画垂线，根据垂线的定义，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示， 【变式2】（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查画垂线，借助三角板画出垂线即可，熟练掌握画垂线的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意，画图如下：    （2）由题意，画图如下：    【变式3】在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析；(3) 【分析】此题考查的是网格作图，掌握垂线的性质、对顶角的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，图中该垂线经过的格点有点、、、． （2）解：如图所示． （3）如图所示，∵MN⊥CD ∴∠MDC=90 ∴∠ADN=∠ODM= 故答案为：． 【变式4】如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查了作垂线，高的定义． （1）作即可； （2）作即可； 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： 题型05 垂线段的概念及性质 【典例1】如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 【答案】(1)，垂线段最短 (2) 【分析】本题考查了垂线段最短，点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据垂线段最短判断即可； （2）根据点到直线的距离的定义和等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴、、中最短的是；判定理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短； （2）解：∵，，，，， ∴，即， ∴， ∴点A到线段的距离为． 【变式1】（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 【答案】（1）图见解析；（2）；（3），垂线段最短 【分析】本题考查了作垂线、点到直线的距离、以及垂线段最短，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用三角板的两条直角边画图：“一落”、“二移”、“三画”即可得； （2）根据点到直线的距离的定义解答即可得； （3）根据垂线段最短解答即可得． 【详解】解：（1）过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交于点，如图所示： （2）∵是的垂线， ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （3）线段、的大小关系为．理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【变式2】如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池C中，从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短？请作出最短路线． 【答案】见解析 【分析】依据“垂线段最短”这一基本事实，确定从点到直线的最短路线是作垂线段．本题主要考查垂线段最短的性质，熟练掌握“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”是解题关键． 【详解】解：如图，从河岸的点D处开渠，才能使所开的渠道最短．理由是垂线段最短． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 过点作于点，则从河岸的点处开渠，所开渠道最短，即为最短路线 ． 【变式3】下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，符合题意； B、表示点A到的距离，不符合题意； C、表示不是点B到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：A． 【变式4】按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点O到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （4）解：点P到直线的距离为0， 故答案为：0． 题型06 有关角度的计算、推理 【典例1】如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 【变式1】如图，直线、相交于点，，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质．根据对顶角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，已知于O，． 若平分，求的度数； 【答案】 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义、垂线的定义． 根据，可得，再结合角平分线的定义可得， 即可求解； 【详解】解：∵， ∴．                                                    ∵， ∴．                                                            ∵平分， ∴，                                                          ∴； 【变式3】如图，已知直线、相交于点，平分，． (1)如果，求的度数； (2)如果，则 （用含n的代数式表示）； (3)图中与互余的角有： ． 【答案】(1)， (2) (3)，； 【分析】（1）按照补角的定义求即可，根据对顶角相等以及角平分线的定义求即可； （2）按照角平分线的定义以及对顶角的性质即可求解； （3）根据互余的两角之和为解答即可． 【详解】（1）解：直线、相交于点，， ， 平分， ， ∵ ， （2）解：直线、相交于点，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， 与互余， ， ， 平分， ， ， 与互余， 故答案为：，． 【变式4】已知． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)根据（1）（2）的结果猜想与的关系，并根据图①说明理由． 【答案】(1) (2) (3)．理由见解析 【分析】本题考查了垂线，角的和差，解题的关键是利掌握以上知识点． （1）根据垂线的定义，可得与的度数，根据余角的定义，可得的度数，根据角的和差，可得答案； （2）根据角的和差，可得答案； （3）根据题意得出，，再根据角的和差，可得答案 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴． （3）解：．理由如下： 由题图①，得，． ∵， ∴． 题型07 有关垂直的证明 【典例1】如图，直线，相交于点O，． 若，求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差； 由垂直的定义得，等量代换得，即可得证； 【详解】证明：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 即， 所以． 【变式1】如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分． 试探究，的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题要判定两条直线垂直，只要能证明它们的夹角为90即可； 【详解】（1）解：．理由如下： 因为平分，平分， 所以，， 所以， 所以． 【变式2】如图，直线，相交于点O，于点O，，∠AOC=2∠2， 求证：ON⊥CD 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ，即， 解得， ∵∠AOC=2∠2 ∴∠2=30 ∴∠NOC=∠2+∠AOC=90 ∴ON⊥CD. 【变式3】如下图，直线相交于点．若，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，余角和对顶角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据，求得，根据对顶角相等得，根据得，所以得，即可证明． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4】如图，已知于O，．在∠BOC内部画射线OE. 若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义、垂线的定义． 根据，可得，再结合的度数比的度数的3倍多，可得，即可解答． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴．                                                    ∵， ∴． ∵的度数比的度数的3倍多，（此处也可以设未知数列方程求解） ∴，                                             ∴．                                                          ∵， ∴． 1．如图所示，与相交所成的四个角中，的补角是 ，的对顶角是 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查邻补角和对顶角，根据邻补角和对顶角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，与相交所成的四个角中，的邻补角是，；的对顶角是； 故答案为：，； 2.下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题的解题思路是逐一观察选项中的角，看是否符合对顶角的定义； 本题考查了对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与的两边不是互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意； B、与的两边分别互为反向延长线，且有公共顶点，所以是对顶角，符合题意； C、与的两边不是互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意； D、与的两边不是互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意． 故选：B． 3．如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 【答案】C 【分析】此题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线，即可解答． 【详解】解：根据两点确定一条直线，可使每一层砖在一条直线上． 故答案为：C． 4．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短这一基本事实在生活中的应用，解题的关键是理解每个生活、生产现象背后的数学原理，并判断是否符合“垂线段最短”． 依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释． 【详解】A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合； C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合． 故选：D． 5. 如图所示，下列说法不正确的有（   ）个 （1）点B到的距离是垂线段 （2）点C到的垂线段是线段 （3）线段是点D到的垂线段     （4）线段的长度是点B到的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线段，点到直线的距离，准确识图，熟练掌握点到直线的距离是解决问题的关键．根据垂线段，点到直线的距离逐项分析即可． 【详解】解：A．点到的距离是垂线段的长度，故原说法错误，故选项符合题意； B．点到的垂线段是线段，故原说法正确，故选项不符合题意； C．线段是点到的垂线段，故原说法错误，故选项符合题意； D．线段的长度是点到的距离，故原说法正确，故选项不符合题意； 综上，不正确的有2个． 故选：B． 6. 如图，直线，相交于点，平分． （1）若，则 °； （2）若，则 °． 【答案】 36 【分析】本题考查了对顶角的性质与角的和差计算，解题的关键是利用对顶角相等、角平分线定义及平角性质求解角度． （1）利用对顶角相等，将角度单位换算后求解； （2）先根据比例和平角求出，再由角平分线得，最后利用对顶角相等求解． 【详解】（1）解：∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴，解得， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，直线相交于点O，．若 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，由垂线的定义可得，再由对顶角相等可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．如图，，点O为垂足，直线过点O，且，则 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查垂直定义、角的运算，根据垂直定义得到，结合已知求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，直线、相交于点若，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的性质、对顶角相等以及角的和差关系，熟练掌握垂直的性质和对顶角相等是解题的关键．先根据垂直的性质求出相关角的度数，再利用对顶角相等和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ 与是对顶角， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 10．如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质，垂直的性质，以及角平分线的性质． （1）根据得出，即可求出的度数； （2）先根据对顶角相等求出的度数，再由角平分线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 11．如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，判断两直线的位置关系，找准角度之间的数量关系，是解题的关键： （1）根据角度之间的数量关系，结合平角的定义，求出的度数，再根据对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵直线相交于点O，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴． 12．如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：______． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是互余的含义，平角的定义，角平分线的含义，垂直的定义，对顶角的性质，角的和差运算． （1）由可得，，结合角平分线可得，进一步可得答案． （2）先求解，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴的余角为． （2）解：，， ， ， ， ， ． 13．如图，交直线于点，射线、在内，平分，其中． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的性质，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． （1）由垂直的定义得出，即可求出的度数； （2）根据角平分线的定义求出的度数，再根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：由（1）得， 平分， ， ． 14．如图，直线，相交于点，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂线的定义，根据图形，利用角的和差和倍数关系，进行求解即可． 【详解】解：∵与是对顶角，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 15．如图，直线，相交于点O，，． (1)直接写出图中的所有余角； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据垂直的定义得出，，再根据余角的定义求解即可； （2）根据平角的定义和已知条件可得，进而求解即可． 本题考查了余角的定义，对顶角相等，同角的余角相等．熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴图中的所有余角为：，，； （2）解：，， ， ， ，， ． 16．如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)在转动过程中是否存在这样的t，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了角度计算问题、垂直的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先计算和的角度，再利用平角的定义即可求解； （2）根据垂直的定义得到，当射线与射线重合时，此时，分①；②两种情况讨论，画出示意图，结合图形列出方程，求出对应的值，即可解答． 【详解】（1）解：当时，，， ． （2）解：射线与射线垂直， ， 当射线与射线重合时，此时， ①当，射线在射线的左侧， 此时，， ， ， 解得：； ②当，射线在射线的右侧， 此时，， ， ， 解得：； 综上所述，存在或，使得射线与射线垂直． 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.1 相交线 教学目标 1.理解相交线的定义、对顶角的定义，理解对顶角的性质，能运用性质进行简单的角的计算、角度关系判断； 2.了解垂线的概念、垂线的性质、垂线段的性质，能运用性质进行简单的角度计算和推理证明. 3.了解公理、定义、定理等基本概念，初步了解证明的基本格式，初步学会简单的几何说理表达，为后续逻辑推理学习奠定基础。 教学重难点 1.重点 理解对顶角的性质、垂线的性质并能运用性质进行计算、推理、证明； 2.难点 初步了解证明的基本格式，初步学会简单的几何说理表达，为后续逻辑推理学习奠定基础。. 知识点01 相交线 （1）过一点的直线 过一点有________条直线，典型的例子是用一枚钉子将一根木条钉在墙上，木条可以随意转到（如图1）。 （2）过两点的直线 直线公理：经过两点有________条直线，并且只有________条直线,简称:________________。 典型的例子是用两枚钉子把木条钉在墙上时，木条就固定住了（如图2）。 （3）相交线 定义：如果两条直线有且只有1个公共点，那么这两条直线叫做________，这个公共点叫做它们的交点。 强调：两条直线相交的关键特征是 “________________”，若两条直线没有公共点则互相________，若有两个及以上公共点则相互________（本质上是同一条直线），否则与公理“________________”相矛盾。 【即学即练】 1. 在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（  ） A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚 2. a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 知识点02 对顶角的概念及性质 1. 定义： 两条直线相交形成四个小于平角的角，如图观察图形中的∠1 和∠3，它们有_____个公共顶点，且两边互为________，具有这种位置关系的两个角叫做________. 2. 定理：对顶角________ 【即学即练】 1. 如图，三条直线a,b,c相交于点P，问图中共有几对对顶角？ 2. 如图，直线、相交于点，平分，且，那么 知识点03 公理、定义、证明、定理 公理：在几何里，挑选其中一些基本事实，承认其正确性，将其作为用逻辑推理证实其他事实的原始依据.这些基本事实称为________. 直线公理：过两点有________条直线，并且________________。 线段公理：两点之间________________. 定义：界定一个概念的语句叫作________. 证明：数学上要求从已知条件出发，依据已被确认的事实(包括定义、公理等),通过逻辑推理说明猜想的正确性，这个过程叫作________。 【即学即练】 1. 请通过逻辑推理说明“对顶角相等”的正确性. 如图，已知直线a，b交于点O，∠1和∠3是对顶角，求证：∠1=∠3 知识点04 垂线 1. 定义 如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相________.其中一条直线叫做另一条直线的________. 直线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:________，垂足为. 几何语言： ∵CD⊥AB 或者：∵∠COB=90o ∴________ ∴________ 2.垂线的画法 垂线的画法：利用直角三角板 “一贴”:一条直角边靠直线； “二靠”：另一直角边靠在该点； “三画”：沿直角边画垂线. 3.垂线的性质 过一点________________直线与已知直线垂直. 说明：垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. 4.点到直线的距离 定义：直线外一点到这条直线________________叫做这个点到这条直线的距离. 5.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，________最短，简单说成：________. 如图：PO<PA 理由是（________），点P到直线l的距离是________的长度. 【即学即练】 1. 如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2. 如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． (3)点P到直线OB的距离是线段__________的长度. (4)比较大小：ON，OP，OM 题型01 相交线的概念及相关问题 【典例1】如图，在学校的劳动实践课程上，同学们体验插秧时发现：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秧苗整齐地插在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．经过一点可以画无数条直线 D．点动成线 【变式1】下列现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOC的比为3:1，则直线AB、CD的夹角为_____. 【变式3】有下列四种说法：①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直．其中正确的是 【变式4】下列说法中正确的是（    ） A．互为补角的两个角不相等 B．两个相等的角一定是对顶角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．一个锐角的补角比这个角的余角大 题型02 对顶角的概念及性质 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．    (1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角； 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，如果，与互余，那么的度数是 【变式3】（24-25七年级下·上海静安·月考）直线，相交于点O，平分，且，那么 度． 【变式4】如图，直线，相交于点，平分． （1）若，则 °； （2）若，则 °． 题型03 垂线的概念及其性质 【典例1】如图所示，直线相交于点O，于O，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式2】如图，，，平分，则的度数为 ． 【变式3】．如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ． 【变式4】如图，直线相交于点O，平分，于O，若，下列说法①；②；③，其中正确的是 ． 题型04 过一点画已知直线的垂线 【典例1】下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（    ） A．B．C．D． 【变式1】如图． ①过点画的垂线． ②过点分别画、的垂线． ③过点画的垂线． 【变式2】（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【变式3】在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【变式4】如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． 题型05 垂线段的概念及性质 【典例1】如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 【变式1】（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 【变式2】如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池C中，从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短？请作出最短路线． 【变式3】下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 题型06 有关角度的计算、推理 【典例1】如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线、相交于点，，．则 ． 【变式2】如图，已知于O，． 若平分，求的度数； 【变式3】如图，已知直线、相交于点，平分，． (1)如果，求的度数； (2)如果，则 （用含n的代数式表示）； (3)图中与互余的角有： ． 【变式4】已知． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)根据（1）（2）的结果猜想与的关系，并根据图①说明理由． 题型07 有关垂直的证明 【典例1】如图，直线，相交于点O，． 若，求证：； 【变式1】如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分． 试探究，的位置关系，并说明理由． 【变式2】如图，直线，相交于点O，于点O，，∠AOC=2∠2， 求证：ON⊥CD 【变式3】如下图，直线相交于点．若，试说明：． 【变式4】如图，已知于O，．在∠BOC内部画射线OE，若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 1．如图所示，与相交所成的四个角中，的补角是 ，的对顶角是 ． 2.下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 4．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 5. 如图所示，下列说法不正确的有（   ）个 （1）点B到的距离是垂线段 （2）点C到的垂线段是线段 （3）线段是点D到的垂线段     （4）线段的长度是点B到的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 6. 如图，直线，相交于点，平分． （1）若，则 °； （2）若，则 °． 7．如图，直线相交于点O，．若 ． 8．如图，，点O为垂足，直线过点O，且，则 ． 9．如图，直线、相交于点若，则的度数 ． 10．如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 11．如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 12．如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：______． (2)若，求的度数． 13．如图，交直线于点，射线、在内，平分，其中． (1)求的度数； (2)求的度数． 14．如图，直线，相交于点，．若，求的度数． 15．如图，直线，相交于点O，，． (1)直接写出图中的所有余角； (2)若，求的度数． 16．如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)在转动过程中是否存在这样的t，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $