专题16.2 平行线（平行公理与三线八角）（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

本讲义聚焦平行线的核心知识，系统梳理平行线定义、平行公理及推论、三线八角识别与平行线画法，构建从概念理解到公理应用再到图形分析的学习支架，助力学生形成完整知识脉络。 资料通过易错点强调、即学即练与变式训练，培养学生抽象能力和推理意识，复杂图形中三线八角模型剥离发展空间观念，反证法引入渗透逻辑思维，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

专题16.2平行线（平行公理与三线八角） 教学目标 1.理解平行线的定义（同一平面内，不相交的两条直线），掌握平行符号 “∥” 的读写，明确同一平面内两直线位置关系：相交（含垂直）、平行。 2.掌握平行公理（经过直线外一点，有且只有一条直线与概直线平行）及其推论（平行的传递性：若 a∥c，b∥c，则 a∥b），能准确表述并用于简单说理。 3.理解 “三线八角” 的概念（两条直线被第三条直线所截形成的八个角），能准确识别同位角、内错角、同旁内角，并能在复杂图形中剥离出 “三线” 模型。 4.会用直尺和三角板（平移法）画已知直线的平行线，能按几何语言规范作图并标注。 教学重难点 1.重点 （1）平行公理及其推论的理解与应用（核心：“有且只有一条” 的唯一性、平行传递性的逻辑表达）； （2）三线八角中同位角、内错角、同旁内角的准确识别（核心：抓住截线与被截线，明确角的位置特征）； 2.难点 （1）平行公理推论的逻辑说理（初步接触演绎推理，易出现 “跳跃说理”，缺乏依据）。 （2）复杂图形中三线八角的精准剥离与识别。 知识点01 平行公理 1. 平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作_____________. 易错点：强调是“同一平面内”.平行线的“线”是直线而不是线段、射线. 平行线的表示方法：若直线 AB 与直线 CD 平行，记作：_________，读作：_________. 【即学即练】 1.判断： （1）不相交的两条直线一定是平行线（ ） （2）在同一平面内，没有公共点的两条线段叫作平行线.（ ） 2.平行线的画法 口诀：一靠、二移、三画 3.一个基本事实 基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有_________条直线与该直线平行。 易错点：强调是“直线外一点” 4.平行公理的推论——平行的传递性 定理：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相_________. 几何语言： ∵a//b，b//c ∴a//b 5.反证法： 反证法的证题步骤： (1)先假设求证的结论是_________的； (2)由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相_______的结果； (3)从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性. 【即学即练】 1.判断： （1）不相交的两条直线一定是平行线（ ） （2）在同一平面内，不平行的两条直线一定相交（ ） （3）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行（ ） （4）如果直线a//b,a//c,那么b//c. ( ) 2. 已知：直线a、b、c在同一平面上，a//c,b//c. 求证：a//b. 知识点02 三线八角 1.两条直线被第三条直线所截 直线AB、CD都和直线EF相交叫作直线 AB、CD 被直线 EF 所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角”，其中AB、CD叫作________，EF叫作_______. 2.同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处共有8个角，我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 （1）同位角，如：∠1与∠6 在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做________ 同位角形如字母“F”。图中的同位角还有∠2与_____，∠3与_____，∠4与_____ （2）内错角，如：∠4与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的两侧 具有这种位置关系的两个角叫做_____. 内错角形如字母“N”。 图中的内错角还有∠1与_____ （3）同旁内角，如：∠1与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做_____. 同旁内角形如字符“匚”。图中的同旁内角还有∠4与_____ 【即学即练】 1. 如图，的同位角是 ；的内错角是 ；的同旁内角是 ．（每空各填一个符合要求的角） 2.如图： (1)∠1和∠B是由直线_____ 与 ____ 被直线 ___ 所截得的______角; (2)∠2和∠C是由直线_____ 与 ____ 被直线 ___ 所截得的______角; (3)∠B和∠C是由直线_____ 与 ____ 被直线 ___ 所截得的______角; 题型01 对平行定义的理解 【典例1】在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【变式1】判断：若两条线段没有公共点，则这两条线段是平行的．( ) 【变式2】若两条直线不相交，则它们就平行． ．（判断对错） 【变式3】下列说法中，正确的有（   ） A．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 B. 在同一平面内，直线与相交，直线与相交，则直线与相交 C．在同一平面内，直线与垂直，直线与垂直，则直线与垂直 D．在同一平面内，直线与相交，直线与平行，则直线与相交 C、在同一平面内，直线与垂直，直线与垂直，则直线与平行； 【变式4】下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 平行线的画法 【典例1】已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学他通过三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的有几种（　　） （1） （2） （3） （4） A.1种 B.2 种 C.3 种 D.4种 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【变式2】如图：点A，B，C分别是的边上的点．连接，过B点作交于点E，点D是线段上任意一点，过点D作交线段于点F． (1)补全图形； (2)请观察与，猜想它们的数量关系． 【变式3】（1）在如图所示的方格纸上，画，． （2）你发现与的大小有什么关系？请直接写出结论． 【变式4】如图，用直尺和三角尺画平行线： 过点C画CE//DA,与AB交于点E;过点C画CF//DB,与AB的延长线交于点F. 题型03 平行公理的理解和应用 【典例1】下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行     （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种     （4）过一点有且只有一条直线上垂直于已知直线. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【变式2】用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，，， 求证：　 　． 证明： 【变式3】已知直线，直线c与b相交但不垂直．用反证法证明a与c必然相交．请帮他将步骤补充完整． 已知：如图，已知直线a，b，c在同一平面内，且a⊥b，b与c相交但不垂直， 求证：　 　． 证明：假设________________ 则，a与c__________ ∵a⊥b（ ） ∴b⊥c（垂直于同一条直线的两直线平行） 这与________相矛盾， ∴假设________________ ∴a与c相交 【变式4】求证：与两条平行线中的一条相交的直线必然与另一条直线也相交． 题型04 三线八角的辨识 【典例1】如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【变式2】如图所示，下列说法错误的是（   ） A．和是同位角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【变式3】观察图，并完成下面的填空： （1）与 是同位角； （2）与 是内错角； （3）与 是同旁内角． 【变式4】如图，∠1的同旁内角是 ，∠2的内错角是 ． 题型05 由八角辨识三线 【典例1】如图，与是直线 与直线 被直线 所截得到的内错角． 【变式1】如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的同旁内角是 ；图中的同位角是 ． 【变式2】如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 【变式3】如图， 与是直线与 被直线所截的同位角； 与 是直线与被直线所截的同位角．    【变式4】如图， （1）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （2）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （3）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角． 一、单选题 1．如图，下列说法不正确的是（    ）    A．∠1与∠2是同位角 B．∠2与∠3是同位角 C．∠1与∠3是同位角 D．∠1与∠4是内错角 2．下列选项中，与是同位角的是（   ） A．B．C． D． 3．在下列图①-④中，与是同位角的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 4．下列说法： （1）不相交的两条线是平行线； （2）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种； （3）若线段与没有交点，则； （4）若，则a与c不相交； 若以上的说法均不考虑重合的情况，则其中正确的说法个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，同位角共有（　　）对． A．6 B．5 C．8 D．7 6．下列说法错误的是（　　） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．同一个平面上，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 二、填空题 7．观察图，并完成下面的填空： （1）与 是同位角； （2）与 是内错角； （3）与 是同旁内角． 8．如图，与 成内错角． 三、解答题 9．已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的关系是什么?为什么? 10．如图，BF，DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C． (1)指出DE，BC被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出FB，BC被AC所截形成的内错角、同旁内角． 11．如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？ 12．如图所示，(1)∠BED与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角； (2)∠A与∠CED是直线________，________被直线________所截形成的________角； (3)∠CBE与∠BEC是直线________，________被直线________所截形成的________角； (4)∠AEB与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角． 13．用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 14．用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 15．求证：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 A B D C $ 专题16.2平行线（平行公理与三线八角） 教学目标 1.理解平行线的定义（同一平面内，不相交的两条直线），掌握平行符号 “∥” 的读写，明确同一平面内两直线位置关系：相交（含垂直）、平行。 2.掌握平行公理（经过直线外一点，有且只有一条直线与概直线平行）及其推论（平行的传递性：若 a∥c，b∥c，则 a∥b），能准确表述并用于简单说理。 3.理解 “三线八角” 的概念（两条直线被第三条直线所截形成的八个角），能准确识别同位角、内错角、同旁内角，并能在复杂图形中剥离出 “三线” 模型。 4.会用直尺和三角板（平移法）画已知直线的平行线，能按几何语言规范作图并标注。 教学重难点 1.重点 （1）平行公理及其推论的理解与应用（核心：“有且只有一条” 的唯一性、平行传递性的逻辑表达）； （2）三线八角中同位角、内错角、同旁内角的准确识别（核心：抓住截线与被截线，明确角的位置特征）； 2.难点 （1）平行公理推论的逻辑说理（初步接触演绎推理，易出现 “跳跃说理”，缺乏依据）。 （2）复杂图形中三线八角的精准剥离与识别。 知识点01 平行公理 1. 平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 易错点：强调是“同一平面内”.平行线的“线”是直线而不是线段、射线. 平行线的表示方法：若直线 AB 与直线 CD 平行，记作：AB//CD，读作：直线AB平行于直线CD。 【即学即练】 1.判断： （1）不相交的两条直线一定是平行线（ ）错的，必须在同一平面内 （2）在同一平面内，没有公共点的两条线段叫作平行线.（ ）错的，应该是没有公共点的两条直线 2.平行线的画法 口诀：一靠、二移、三画 3.一个基本事实 基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有1条直线与该直线平行。 易错点：强调是“直线外一点” 4.平行公理的推论——平行的传递性 定理：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 几何语言： ∵a//b，b//c ∴a//b 5.反证法： 反证法的证题步骤： (1) 先假设求证的结论是错误的； (2) 由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果； (3)从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性. 【即学即练】 1.判断： （1）不相交的两条直线一定是平行线（ ╳ ）错的 （2）在同一平面内，不平行的两条直线一定相交（ √ ）对的 （3）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行（ ╳ ）错的 （4）如果直线a//b,a//c,那么b//c. ( √ )对的 2. 已知：直线a、b、c在同一平面上，a//c,b//c. 求证：a//b. 证明： 假设a与b不平行，且相交于点P,那么过点P就有两条直线a、b都和直线c平行，这与平行公理矛盾. 这说明上述假设是错误的，所以a//b. 知识点02 三线八角 1.两条直线被第三条直线所截 直线AB、CD都和直线EF相交叫作直线 AB、CD 被直线 EF 所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角”，其中AB、CD叫作被截线，EF叫作截线. 2.同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处共有8个角，我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 （1）同位角，如：∠1与∠6 在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 同位角形如字母“F”。图中的同位角还有∠2与∠5，∠3与∠8，∠4与∠7 （2）内错角，如：∠4与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的两侧 具有这种位置关系的两个角叫做内错角. 内错角形如字母“N”。 图中的内错角还有∠1与∠8 （3）同旁内角，如：∠1与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 同旁内角形如字符“匚”。图中的同旁内角还有∠4与∠8 【即学即练】 1. 如图，的同位角是 ；的内错角是 ；的同旁内角是 ．（每空各填一个符合要求的角） 【答案】 , （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解即可，“两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧．” 【详解】解：的同位角是；的内错角是或；的同旁内角是或或， 故答案为：；（答案不唯一）；（答案不唯一）． 2.如图： (1)∠1和∠B是由直线_____ 与 ____ 被直线 ___ 所截得的______角; (2)∠2和∠C是由直线_____ 与 ____ 被直线 ___ 所截得的______角; (3)∠B和∠C是由直线_____ 与 ____ 被直线 ___ 所截得的______角; 【答案】 (1)∠1和∠B是由直线AD 与 BC被直线BE所截得的同位角; (2)∠2和∠C是由直线AD （AF）与 BC被直线CD所截得的内错角; (3)∠B和∠C是由直线AB与CD被直线BC所截得的同旁内角; 题型01 对平行定义的理解 【典例1】在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系． 同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行． 【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况． 只有平行的直线无公共点； 故选：C． 【变式1】判断：若两条线段没有公共点，则这两条线段是平行的．( ) 【答案】× 【分析】本题考查平面内直线的位置关系，线段没有交点，不代表两条线段所在的直线没有交点，据此进行判断即可． 【详解】解：两条线段没有相交，可能存在两种情况： ①它们所在的直线平行，此时线段不相交； ②它们所在的直线不平行（即相交），但线段未延伸至交点处； 故原说法错误； 故：× 【变式2】若两条直线不相交，则它们就平行． ．（判断对错） 【答案】× 【分析】本题主要考查了平面内两直线的位置关系，明确研究前提是同一平面内成为解题的关键． 根据平面内两直线的位置关系判断，需考虑是否在同一平面内即可解答． 【详解】解：在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．若不相交则一定平行．但题目未说明“在同一平面内”，因此这两条直线可能位于不同的平面，此时不相交的直线称为异面直线，它们不平行．故原命题缺少前提条件，结论不成立． 故答案为：×． 【变式3】下列说法中，正确的有（   ） A．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 B. 在同一平面内，直线与相交，直线与相交，则直线与相交 C．在同一平面内，直线与垂直，直线与垂直，则直线与垂直 D．在同一平面内，直线与相交，直线与平行，则直线与相交 【答案】D 【分析】本题考查平面内直线的位置关系． 【详解】解：A、因为在同一平面内，两条直线的位置关系仅有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，并非独立关系； B、在同一平面内，直线与相交，直线与相交，则直线与不一定相交 C、在同一平面内，直线与垂直，直线与垂直，则直线与平行； D、在同一平面内，直线与相交，直线与平行，则直线与相交正确． 故选：D． 【变式4】下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行线的有关内容，掌握平行公理即推论是解题关键． 根据平行线的定义及平行公理，对选项逐一分析即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原说法错误； ②在同一平面内，两条直线的位置关系为相交，平行，故原说法正确； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行，说法错误； ④如果，，那么，说法正确； 综上所述，正确的有②④，共个 故选：B． 题型02 平行线的画法 【典例1】已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学他通过三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的有几种（　　） （1） （2） （3） （4） A.1种 B.2 种 C.3 种 D.4种 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 【详解】解：如图所示图（3）图（4）均可通过平移三角板画出平行线，所以选B. （3） （4） 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了网格作图，作已知直线的平行线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格的性质，过点作的平行线，即可作答． （2）结合网格的性质，过点作的平行线，与直线交于点，即可作答． 【详解】（1）解：过点作的平行线，如图所示： （2）解：如图所示； 【变式2】如图：点A，B，C分别是的边上的点．连接，过B点作交于点E，点D是线段上任意一点，过点D作交线段于点F． (1)补全图形； (2)请观察与，猜想它们的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了平行线的画法． 【详解】（1）解：补全图形如图， （2）解：． 【变式3】（1）在如图所示的方格纸上，画，． （2）你发现与的大小有什么关系？请直接写出结论． 【答案】（1）作图见详解；（2）相等或互补 【分析】根据题意，作出图形，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ； ； 综上所述，与的大小关系为相等或互补． 【变式4】如图，用直尺和三角尺画平行线： 过点C画CE//DA,与AB交于点E;过点C画CF//DB,与AB的延长线交于点F. 【答案】作图见详解； 【分析】根据题意，作出图形． 【详解】作图如图所示 题型03 平行公理的理解和应用 【典例1】下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行     （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种     （4）过一点有且只有一条直线上垂直于已知直线. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线和对顶角的相关概念，需根据初中数学教材中的定义和公理进行判断，即可 【详解】（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行：该说法错误，因为只有当点不在已知直线上时成立，若点在已知直线上，则无法作出平行线； （2）不相交的两条直线叫做平行线：该说法错误，因为缺少“在同一平面内”的条件； （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种：该说法正确； （4）过一点有且只有一条直线上垂直于已知直线.正确 错误的有（1）、（2），共2个， 故选B 【变式1】用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，熟知反证法有如下三个步骤：（1）提出反证，（2）推出矛盾，（3）肯定结论．本题第一步先假设两直线不平行，则两直线相交，进而推出与垂直公理相矛盾，从而肯定原结论正确． 【详解】已知：直线，直线， M 求证：． 证明：假设a与b不平行，则a与b相交于点M， ∵，， ∴过点M有两条直线a和b都垂直于直线c， 但根据垂直公理，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 这就产生了矛盾， ∴假设错误，故． 即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【变式2】用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，，， 求证：　 　． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】根据命题的结论，写出求证，利用反证法，进行证明即可． 【详解】解：由命题的结论得：， 故答案为：， 证明：假设a，b相交于点A， 则过A点有两条直线a，b都平行于c， 这与“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 所以假设是错误的， 所以． 【变式3】已知直线，直线c与b相交但不垂直．用反证法证明a与c必然相交．请帮他将步骤补充完整． 已知：如图，已知直线a，b，c在同一平面内，且a⊥b，b与c相交但不垂直， 求证：　 　． 证明：假设________________ 则，a与c__________ ∵a⊥b（ ） ∴b⊥c（垂直于同一条直线的两直线平行） 这与________相矛盾， ∴假设________________ ∴a与c相交 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，熟练掌握反证法的要领是解题的关键． 假设a与c不相交，即，然后得到，进而求解即可． 【详解】证明：假设a与c不相交，即 ， ，这与已知直线c与b不垂直相矛盾， ∴假设a与c不相交不成立， 与c相交． 【变式4】求证：与两条平行线中一条相交的直线必然与另一条直线也相交． 【答案】见解析 【分析】根据反证法步骤，首先假设原命题错误，进而得出与已知矛盾，进而得出原命题正确． 【详解】如图，已知已知直线a，b，c在同一平面内，且a//b，c与a相交于点E， 求证：c与b也相交 证明：假设c与不相交， ， 即c//b, ∵a//b 这样过点E就有两条直线与b平行，这就与“过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行”矛盾， ∴假设错误， ∴c与b相交. 【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法步骤是解题关键． 题型04 三线八角的辨识 【典例1】如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同位角的定义．根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可． 【详解】解：．和不是同位角，故该选项不符合题意； ．和不是同位角，故该选项不符合题意； ．和不是同位角，故该选项不符合题意； ．和是同位角，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义、三线八角的定义，由定义得，∠3的同位角等于，∠3的内错角等于，∠3的同旁内角等于，即可求解． 【详解】解：， ∠3的同位角等于， ∠3的内错角等于， ∠3的同旁内角等于， 故答案为：，，，． 【变式2】如图所示，下列说法错误的是（   ） A．和是同位角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】A 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角，正确识图，掌握这些角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义判断，即可得答案． 【详解】解：A、和不是同位角，故符合题意； B、和是对顶角，故不符合题意； C、和是同旁内角，故不符合题意 D、和是内错角，故不符合题意； 故选 ：A． 【变式3】观察图，并完成下面的填空： （1）与 是同位角； （2）与 是内错角； （3）与 是同旁内角． 【答案】 、∠6； ； 、∠7 【分析】本题考查了同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫作同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫作同旁内角；熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题关键． （1）根据同位角的定义即可得； （2）根据内错角的定义即可得； （3）根据同旁内角的定义即可得． 【详解】解：（1）与是同位角，与∠6是同位角； 故答案为：、∠6． （2）与是内错角； 故答案为：． （3）与是同旁内角，与∠7是同旁内角；； 故答案为：、∠7． 【变式4】如图，∠1的同旁内角是 ，∠2的内错角是 ． 【答案】 【分析】本题考查同旁内角和内错角，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同旁内角和内错角定义判断即可． 【详解】解：（1）当直线、被直线所截时，的同旁内角是， 当直线、被直线所截时，的同旁内角是， 故答案为：； （2）当直线、被直线所截时，的内错角是， 当直线、被直线所截时，的内错角是， 故答案为：． 题型05 由八角辨识三线 【典例1】如图，与是直线 与直线 被直线 所截得到的内错角． 【答案】 【分析】本题考查了内错角的定义，两直线被第三条直线所截，在截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角，结合图形即可得出答案． 【详解】如图，与是直线与直线被直线所截得到的内错角． 故答案为：，，． 【变式1】如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的同旁内角是 ；图中的同位角是 ． 【答案】 和 和 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断求解即可． 【详解】解：直线与被直线所截得的内错角是和； 直线与被直线所截得的同旁内角是和； 图中的同位角是． 故答案为：和；和；． 【变式2】如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 【答案】 同位 内错 同旁内 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：直线上有一点和是直线被直线所截形成的同位角；和是直线和被直线所截形成的内错角；和是直线和被直线所截形成的同旁内角． 故答案为：，同位；，内错；，，，同旁内． 【变式3】如图， 与是直线与 被直线所截的同位角； 与 是直线与被直线所截的同位角．    【答案】 【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握两个角分别在截线的同侧，且在两条被截直线的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同位角是解题的关键．根据同位角的概念，结合图形中各角的位置即可顺利完成填空． 【详解】解：   与是直线与被直线所截的同位角；与是直线与被直线所截的同位角． 故答案为：，，， 【变式4】如图， （1）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （2）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （3）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 内错 同位 【分析】此题考查了同位角、内错角等知识． （1）根据角的位置关系进行解答即可； （2）根据角的位置关系进行解答即可； （3）根据角的位置关系进行解答即可． 【详解】（1）和是由直线与直线被直线所截形成的内错角； （2）和是由直线与直线被直线所截形成的内错角； （3）和是由直线与直线被直线所截形成的同位角． 一、单选题 1．如图，下列说法不正确的是（    ）    A．∠1与∠2是同位角 B．∠2与∠3是同位角 C．∠1与∠3是同位角 D．∠1与∠4是内错角 【答案】C 【详解】试题解析：因为同位角是在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，且同位角的边构成“F”形，则A、B正确，C错误． 故选C． 2．下列选项中，与是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角的概念，根据图形识别是否是同位角关系．根据同位角的概念识别判断即可． 【详解】解：A选项中的与是同位角关系，故符合题意； B选项中的与不是同位角关系，故不符合题意； C选项中的与不是同位角关系，故不符合题意； D选项中的与不是同位角关系，故不符合题意； 故选： A． 3．在下列图①~④中，与是同位角的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查同位角的定义，熟练掌握“两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角为同位角”是解题关键．根据同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角 ），逐一判断图① - ④中与是否为同位角． 【详解】解： 与是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角， 图①中与是同位角． 与的两边所在直线不是两条直线被第三条直线所截的情况（的一边与的一边共线情况不符合同位角截取特征 ）， 图②中与不是同位角． 与是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角， 图③中与是同位角． 与的位置不符合“在截线同旁，且在被截两直线同一侧”，是不同的截线相关角， 图④中与不是同位角． 综上，图①③中与是同位角， 故选：D ． 4．下列说法： （1）不相交的两条线是平行线； （2）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种； （3）若线段与没有交点，则； （4）若，则a与c不相交； 若以上的说法均不考虑重合的情况，则其中正确的说法个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据同一平面内，两条直线的位置关系，平行线的定义，平行公理逐项判断即可． 【详解】解：（1）在同一平面内，不相交的两条线是平行线，故（1）错误； （2）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，故（2）正确； （3）若线段与没有交点，线段与不一定平行，故（3）错误； （4）若，则，即a与c不相交，故（4）正确； 综上分析可知，正确的有2个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面内两条直线的位置关系，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条线是平行线． 5．如图，同位角共有（　　）对． A．6 B．5 C．8 D．7 【答案】A 【分析】根据同位角的概念解答即可． 【详解】解：同位角有6对，∠4与∠7，∠3与∠8，∠1与∠7，∠5与∠6，∠2与∠9，∠1与∠3， 故选：A． 【点睛】此题考查同位角，关键是根据同位角解答． 6．下列说法错误的是（　　） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．同一个平面上，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】根据平行公理，两点之间线段最短和垂线的性质对各选项分析判断利用排除法即可求解． 【详解】A. 两点之间的所有连线中，线段最短，正确； B. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误， 应为经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确； D. 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确. 故选B. 【点睛】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短及垂线的性质、平行公理及推论.熟练掌握线段、垂线、平行线的性质是解题的关键. 二、填空题 7．观察图，并完成下面的填空： （1）与 是同位角； （2）与 是内错角； （3）与 是同旁内角． 【答案】 【分析】本题考查了同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫作同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫作同旁内角；熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题关键． （1）根据同位角的定义即可得； （2）根据内错角的定义即可得； （3）根据同旁内角的定义即可得． 【详解】解：（1）与是同位角； 故答案为：． （2）与是内错角； 故答案为：． （3）与是同旁内角； 故答案为：． 8．如图，与 成内错角． 【答案】 【分析】本题考查了内错角的定义，熟记“内错角是：两个角在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线内侧的位置的角”是解题关键． 【详解】解：由内错角的定义可得： 与成内错角， 故答案为：． 三、解答题 9．已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的关系是什么?为什么? 【答案】a与d平行,理由是平行具有传递性 【详解】本题主要考查了平行线．平行具有传递性 因为a∥b,b∥c, 所以a∥c 因为c∥d 所以a∥d 即平行具有传递性 10．如图，BF，DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C． (1)指出DE，BC被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出FB，BC被AC所截形成的内错角、同旁内角． 【答案】答案见解析. 【分析】（1）根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可； （2）根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可. 两线被第三条直线所截，在截线的异旁，被截线的内部就是内错角，截线的同位置，被截线的同旁是同位角，截线同旁，被截线的内部就是同旁内角. 【详解】解：(1)同位角：∠FAE和∠B；内错角：∠B和∠DAB；同旁内角：∠EAB和∠B. (2)内错角：∠BAC和∠ACG，∠FAC和∠BCA；同旁内角：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG. 【点睛】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，找准截线与被截线是解题的关键. 11．如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？ 【答案】∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角． 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义作答．准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线． 【详解】解：∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角， ∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角． 12．如图所示，(1)∠BED与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角； (2)∠A与∠CED是直线________，________被直线________所截形成的________角； (3)∠CBE与∠BEC是直线________，________被直线________所截形成的________角； (4)∠AEB与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角． 【答案】见解析 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析即可． 【详解】(1)∠BED与∠CBE是直线DE，CB被直线EB所截成的内错角； (2)∠A与∠CED是直线AD，DE被直线AC所截成的同位角； (3)∠CBE与∠BEC是直线CB，CE被直线BE所截成的同旁内角； (4)∠AEB与∠CBE是直线AE，BC被直线EB所截成的内错角． 【点睛】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． 13．用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】证明：假设，都不大于零， 即，， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以， 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 所以，中至少有一个大于零． 14．用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，熟知反证法有如下三个步骤：（1）提出反证，（2）推出矛盾，（3）肯定结论．本题第一步先假设两直线不平行，则两直线相交，进而推出与垂直公理相矛盾，从而肯定原结论正确． 【详解】已知：直线，直线， 求证：． 证明：假设a与b不平行，则a与b相交于点M， ∵，， ∴过点M有两条直线a和b都垂直于直线c， 但根据垂直公理，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 这就产生了矛盾， ∴假设错误，故． 即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 15．求证：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【答案】见解析 【分析】此题考查反证法，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 【详解】解：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，， 过点的两条直线，都与直线垂直． 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”矛盾． 假设不成立． ． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 A B D C $