湖南省常德市沅澧共同体2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

常德市沅澧共同体2024-2025学年10月高二上学期 期中考试数学答案 一、单选题：1-5 CBBBB6-8DDD 二、多选题：9-11 ACDACD ABD 三、填空题：12 13 3 14.16m+32 2 四、解答题： 15(1)B(3,-3),C(0,2) 人、2，-中点华标号名 2分 :BC边的中垂线所在直线的方程：y+】-3x-),即3x-5y-7=0. 25 .5分 所以BC边的中垂线所在直线的方程为：3.x-5y-7=0. .6分 ②)80.k=号 之6C边所在直线方程为：43=x-).即5+3y-6=0 .8分 ·点A(-5,0)到直线8C的距离为：d=5×(-)+3×0-63134 10分 V52+32 34 B(3,-3),C(0,2) .|BC=√3-0)2+(-3-2)2=V34 12分 Se屏国-引 34-2 所求△4BC的面积为之 … 13分 1解：由3得x-30,所以专-+与+82列水 +3=7,3分 x-3 x-3 当且仅当-3=3时，即=5或=1X>财=5时，等号成： .5分 x-3的最小值为7： 所以x+4 6分 (2)由9+y=9可得9+1， 8分 因此2x+3=2x+3yy 9118+2+27+329+28x3y-29+6。,11分 答案第1页，共5页 当且仅当18x-3y时，又>0，y>0,即=1+3Y6 y=9+6时，等号成立；…14分 所以2x+3y的最小值为29+6√6. …15分 17.解：(1)因为2c-b=2 acosB,由正弦定理可得2sinC-sinB=2 sinAcosB，.2分 又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcos4, .3分 所以sinB=2sinC-2 sinAcosB=2 cosAsinB,:sinB≠0， 4分 可得c0s1- 2由Ae(0心，可得4=严 .6分 b =1=23 (2因为a=14-号由正弦定理sBc店等°， .8分 2 3 3 .10分 =s8+o8=2+} 12分 0< 2π -B< ABC为锐角三角形，所以3 2 0<B<π 6 3 +6,13分 ,解得君B至所以子B+石<行。 2 所以smB+）e5] 6 2 可得+e=2如8+君5列 .14分 △ABC周长的取值范围为V3+1,3。 15分 18.解：(1)如图所示，取BC中点D,连结ND、A1D y DNWB,∥AH又DN=BB,5AA,=AM 2 .DN∥AM且DN=AM ∴.四边形AMND为平行四边形. .2分 ∴MN∥A1D又MN文平面AB1C1AD1C平面AB1C ∴MN∥平面ABC1 5分 (2)因三棱柱ABC-AB,C1为直三棱柱，CC⊥BC,又∠ACB=90°∴BC⊥平面A1MC1 答案第2页，共5页 在平面ACC1A1中，过C1作CH⊥CM,又BC⊥CH,故CH为C1点到平面BMC的距离。 在等腰三角形CMC,中，CC=2W2,CM=CM=√6 ·C,H=CgAC-43 10分 CM 3 法二：以点C为原点，CB,CA,CC,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的 空间直角坐标系：可得，B(2,0,0,40,20),C00,25),M(0,2√)，设n=化，y)是人 平面BMC的法向量，C1点到平面BMC的距离h。 C :CB=(2,0,0),CM=(0,2,√2)，nLCB且n⊥CM D .7分 B cn-CB-2x=0 n.CM=2y+V2:=0 令y=1,则=-√2 ….8分 求得一个法向量为n=(0,1-√2)， CM=(0,2,-V2)h= CM._45 网 3 ..10分 (3)可知CB=(2,0,0)是平面C14M的法向量，设m=(x,y,二)是平面BMC1的法向量， :BC=(-2,0,2W2),BM=(-2,2,V2),m1BC且m⊥BM mBC=-2+2W21=0 ·心BM=-2x+2y+V2a=0 …13分 令x=2,则=1，名1=V2 求得一个法向量m=(2,1,V2) .15分 m.CB 2W7 设角8是平面BC,M与平面CM4,的夹角，则c0sB= cos(m,CB mCB .17分 答案第3页，共5页 19解：(1)由题意可知：圆O的圆心为0(0,0)，半径r=2, 则圆心O到直线l的距离d …1分 若直线l的斜率不存在，即直线：x=1,满足题意： .2分 若直线l的斜率存在，设直线1：y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0, 则d- B-利=1，解得k= Vk2+1 3 .3分 所以直线1：4x-3y+5=0; .4分 综上所述：直线1的方程为x=1或4x-3y+5=0 .5分 (2)①若线段AB的中点为D,可得OD1AB,即OD=d=1, …6分 可知点D的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆， .8分 所以点D的轨迹方程C:x2+y2=1: 9分 ②由(1)可知：直线1的斜率必存在， 10分 设直线l的方程为y-3=k(x-1),即y=x+(3-),点M(x1,y1)、N(x2,y2),11分 联立方程任-，消去y可得+)-2k-x+k-3列-1=0， ..13分 x2+y2=1 则A=4k-3-4k+儿-3旷-]小>0，解得k>等 .14分 由韦达定理可得x+x= - k2+1 15分 则k+灰=片上(5-1+35-)+32太3 3 十 -1x2-1-15-1 x-1x2-1 答案第4页，共5页 32k-3》-2 =26+3+名-2》=26+36+5-2 一=2k+ k2+1 (x-1)(x2-1) xx2-(x+x2)+1 2k+k-3-12k(k-3)+1 k2+1k2+1 =2k-18k+6-2 9 3 所以k+k2为定值. .17分 答案第5页，共5页 常德市沅澧共同体2024-2025学年10月高二上学期 期中考试数学试题 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校 审题单位：常德市教科院 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的一个方向向量是 A． B． C． D． 2．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是 A． B． C． D． 3．直线恒过定点 A． B． C． D． 4．已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则 A． B． C． D． 5. 圆与圆的位置关系为 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 6．是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是 A． B. C． D． 7．直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 A． B． C． D． 8．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法不正确的是    A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．使线段所在直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列四个命题中错误的有 A．直线的倾斜角越大，其斜率越大 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 10．在中，角所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有 A． B． C． D． 11. 若对任意恒成立，其中是整数，则的可能取 值为 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．点到直线的距离是 13. 棱长为2的正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值是 14．曲线所围成的图形面积是 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知三角形的三个顶点，，. (1)求边的中垂线所在直线的方程； (2)求△ABC的面积． 16.(15分) 解答下列各题: (1)若，求的最小值； (2)若正数，满足，求的最小值． 17．(15分) 已知锐角内角及对边，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 18. (17分) 在直三棱柱中， ∠=90°, 点是 的中点，点是的中点. （1）求证：∥平面 ； （2）求点到平面的距离； （3） 19. (17分)已知直线与圆相交于A、B两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段AB的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，若点的斜率分别为，求证：为定值. 数学试卷 第1页 共4页 数学试卷 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $