8.3特殊的平行四边形（第5课时正方形的性质与判定）（教学课件）数学新教材青岛版八年级下册

该初中数学课件聚焦正方形的定义、性质与判定，通过回顾平行四边形、矩形、菱形定义，结合“如何将平行四边形变形成正方形”的提问，搭建从旧知到新知的学习支架，梳理特殊四边形间的逻辑关系。 其亮点是以问题链驱动探究，通过定义抽象培养数学眼光，判定定理证明发展推理能力，几何语言规范表达强化数学语言。如“对角线互相垂直的矩形是正方形”的证明，引导学生逻辑推导，典例解析用辅助线转化问题，提升学生几何直观与应用能力，教师可借分层练习高效落实教学目标。

8.3 特殊的平行四边形 第5课时正方形的性质与判定 第八章 四边形 学 习 目 标 1 2 3 理解正方形的定义（有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形）； 掌握正方形的性质（兼具矩形和菱形的所有性质）； 能运用正方形的性质解决线段相等、垂直等几何问题； 知识回顾 提问：平行四边形的定义是什么？ 两组对边分别平行的四边形； 回顾：矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形； 思考：菱形的定义是什么？ 有一组邻边相等的平行四边形； 知识导入 提问：这些图形同时具备矩形和菱形的什么特征？ 思考：如何将一个平行四边形变形成正方形？ 知识探究 （一）正方形的定义 问题 1：什么是正方形？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？ 正方形 两组对边分别平行 特殊的平行四边形 有一个角是直角 特殊的矩形 有一组邻边相等 特殊的菱形 因此，正方形是同时具备矩形和菱形特征的平行四边形。 知识探究 概括与表达 正方形的定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. A B C D 如图：四边形ABCD是正方形，记作：“正方形ABCD” 知识探究 （二）正方形的性质 问题2：正方形有哪些性质？ 矩形角的性质：四个角都是直角 正方形的性质 四个角都是直角 菱形边的性质：四条边都相等 四条边都相等 角的性质 边的性质 对角线的性质 对角线相等且互相垂直平分 知识探究 概括与表达 正方形的性质： 正方形的性质定理1： 正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 A B C D ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=CD=AD ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 几何语言： ★ 知识探究 概括与表达 正方形的性质： 正方形的性质定理2： 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。 A B C D O ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC=BD,OA=OB=OC=OD AC⊥BD 几何语言： ★ 知识探究 （二）正方形的性质 练一练 1. 如图，矩形ABCD中AC交BD于点O，∠AOB＝105°， 则∠ODC的度数为 ⁠. 2. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，则AC＝ ⁠，矩形的面积为 ⁠. 3. 已知一个矩形长3 cm，宽2 cm，则它的对角线长 cm. 37.5°　 5　 12　 　 知识探究 （二）正方形的性质 练一练 4. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）. A. 对角线互相平分 B. 邻角互补 C. 对角线相等 D. 对角相等 C 5. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若AO＝5，则BD＝ ⁠. （第5题） 10　 知识探究 （三）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 问题 3：如何通过添加条件，使平行四边形、矩形、菱形分别变为正方形？ 平行四边形 正方形 矩形 菱形 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 知识探究 （四）判定定理 1：对角线互相垂直的矩形是正方形 猜想1：对角线互相垂直的矩形是正方形？ 已知在矩形ABCD中，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形. 逻辑证明： 判定归纳：对角线互相垂直的矩形是正方形 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 知识探究 （四）判定定理 2：对角线相等的菱形形是正方形 猜想2：对角线相等的菱形是正方形？ 已知：如图,在菱形ABCD中,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形. 逻辑证明： 判定归纳：对角线相等的菱形是正方形 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直 角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 知识探究 概括与表达 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 知识探究 （二）判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 练一练 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC C A B C D O 知识探究 （二）判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 练一练 3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB=BC(答案不唯一) A B C D O 典例解析 例：如图 8.3-19，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为点M，N，连接MN，AP。求证：AP = MN。 解：如图，连接PC,AC,AC交BD于点O。 ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BCD=90° BD⊥AC，OA=OC ∴AP=CP 数学思想 辅助线构造法（连接对角线） 转化数学 将 “证AP = MN” 转化为 “证AP = PC和PC = MN ∵PM⊥BC，PN⊥CD， 所以∠PMC=90°，∠PNC=90° ∴四边形PMCN是矩形 ∴CP=MN ∴AP=MN 课堂练习 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(　　) A.对角线相等　　　　 B.对角线平分一组对角 C.对角线互相平分　　 D.对角线互相垂直 C 2.如图，正方形ABCD中，点E在BD上，EF⊥BC于点F，EG⊥DC于点G，连接AE，若EB＝，EG＝2，则EA的长是 　　.  课堂练习 3.如图，正方形ABCD的边长是10，在正方形外有E，F两点，满足AE＝CF＝6，BE＝DF＝8，则EF的长是(　　) A.14 B.14 C.14 D.10 B 课堂练习 4.下面几种说法中，错误的是(　　) ①对角线互相垂直平分的四边形是菱形； ②一组对边平行一组邻边相等的四边形是菱形； ③两条对角线相等的平行四边形是矩形； ④对角线相等且垂直的四边形是正方形. A.①②③ B.①③ C.③④ D.②④ D 课堂练习 5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.请你添加一个条件：　　　　　　　　　　　 ，使四边形BECF是正方形.  AC＝BC(答案不唯一) 课堂练习 6.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED.求证：四边形ABCD是正方形. 证明:如图,连接AC,交BD于点O. ∵四边形ABCD是矩形, ∴OA＝OC. ∵∠AED＝∠CED, ∴∠AEO＝∠CEO. ∴△AEC为等腰三角形. ∴OE⊥AC, 即AC⊥BD. 课堂练习 7.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线.过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F.求证：四边形ABFE是正方形. 证明:∵AE∥BC,∠ABC＝90°, ∴∠ABC＋∠BAE＝180°.∴∠BAE＝90°. ∵EF⊥BC于点F,∴∠F＝90°. ∵∠F＝∠ABC＝∠BAE＝90°, ∴四边形ABFE是矩形. ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD＝∠DBC＝45°. ∴∠AEB＝∠EBF＝45°.∴∠ABE＝∠AEB＝45°. ∴AB＝AE. ∴矩形ABFE是正方形. 课堂练习 8.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE BF.连接DE，交AF于点G. (1)求证：DE⊥AF； (2)若E，F分别为边AB，BC的中点， 正方形ABCD的边长为2.过点B作 BH⊥AF于点H，求线段GH的长. 课堂练习 解:(1)四边形AECF是平行四边形. 理由如下: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC,AD∥BC, ∴∠AFO＝∠CEO,∠FAO＝∠ECO, ∴△OAF≌△OCE(AAS), ∴OE＝OF, ∴四边形AECF是平行四边形. 课堂练习 (2)当OE＝AC,且OE⊥AC时,四边形AECF为正方形, ∵OE＝EF,OE＝AC, ∴EF＝AC, ∴▱AECF是矩形, ∵EF⊥AC, ∴矩形AECF是正方形, ∴当OE＝AC,且OE⊥AC时,四边形AECF为正方形. 课堂总结 课堂总结 正方形的定义： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形； 判定方法的选择策略： 边：四条边都相等； 角：四个角都是直角； 对角线：相等且互相垂直平分（兼具矩形和菱形的性质）； 课堂总结 课堂总结 特殊四边形的关系： 平行四边形——（一个角是直角）矩形——（一组邻边相等）正方形； 平行四边形——（一组邻边相等）菱形——（一个角是直角）正方形； 解题方法： 利用正方形的 “双重身份（矩形 + 菱形）”，直接调用矩形或菱形的性质分析边、角、对角线的关系。 感谢聆听! $