第01讲 一元二次方程（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年浙教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦一元二次方程核心知识点，系统梳理定义（含三个核心条件）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）、含参数方程识别及方程解验证的脉络，构建从概念理解到形式转化再到应用拓展的学习支架。 资料以“概念-题型-应用”为主线，通过典例与变式训练强化定义辨析（抽象能力），参数讨论培养分类推理意识，方程解验证提升模型应用能力。含图片辅助理解，课中助力教师授课，课后帮助学生查漏补缺，夯实基础。

第01讲 一元二次方程 考点1：一元二次方程的定义 考点2：一元二次方程的一般形式 考点3：含参数的一元二次方程识别 重点： （1） 一元二次方程的定义：掌握定义的三个核心条件，能准确判断一个方程是否为一元二 次方程。 （2）一元二次方程的一般形式：能将任意一元二次方程整理成 ax2+bx+c=0（a=0）的形式，并正确指出各项系数。 （3）方程解的验证：理解根的概念，能验证给定的数是否为方程的解 难点： （1）含参数的一元二次方程的识别与参数范围确定：对含字母参数的方程，能分类讨论参数取值，判断方程类型。 （2）方程整理成一般形式的易错点突破：移项变号、系数符号的确定，以及区分 “项” 与 “系数” 的概念。 （3）“a=0” 的本质理解：为什么二次项系数不能为 0，以及它对方程类型的影响。 知识点1：一元二次方程的相关概念 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 2.一般式 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【题型1 一元二次方程的定义】 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程需满足：只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程．根据一元二次方程的概念一一判断即可． 【详解】解：∵ 选项A含两个未知数，不是一元方程；选项B化简得，为一次方程；选项C满足定义；选项D含分式，非整式方程． 故选：C． 【变式1】下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、，即，是一元二次方程，故选项符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义：①等号两边是整式，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2． 直接根据一元二次方程的定义逐个判定即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A．是一元一次方程，不符合题意； B．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【题型2 化成一元二次方程的一般式】 【典例2】将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程通过移项化为（）的形式． 将方程右边的移到左边，使方程右边为即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（）， 将方程两边同时减去，得，对应选项B． 故选：B． 【变式1】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，，1 B．2，3，1 C．2，， D．2，3， 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，，1． 故选：A． 【变式2】将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 一元二次方程的一般形式为，将给定方程通过展开和移项化为该形式即可． 【详解】∵ ， 展开得 ， 移项得 ， ∴ 一般形式为 ． 故选：A． 【变式3】一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 【详解】解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 【题型3 由一元二次方程的定义求参数】 【典例3】若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据最高次项次数为2且二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， 解得， 所以或， 又∵二次项系数， 当时，，满足， 当时，，不满足， ∴， 故选：A． 【变式1】已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为，且二次项系数不为，列方程求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 由得或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， ． 故选：B． 【变式2】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据二次项系数不能为零，列式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选D． 【变式3】若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 知识点2：一元二次方程的解 1.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 2.一元二次方程的重要结论： （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【题型4 判断是否是一元二次方程的解】 【典例4】若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 【变式1】下列方程中，有根为1的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”，一元二次方程的解．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解，即可进行解答． 【详解】解：A、，是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、，未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、，是一元二次方程，当时，，故该选项不符合题意； D、，是一元二次方程，当时，，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】若方程中，满足和，则方程的根是（　　） A．1，2 B．1 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴把代入方程得：， ∴方程的一个根， 把代入方程得：， ∴是方程的一个根； ∴方程的根是，， 故选：B． 【变式3】如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和2时，， ∴方程的根是：或， 故选D． 【题型5 由一元二次方程的解求参数】 【典例5】若是方程的一个解，则n的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查根据方程的解求参数，将 代入方程，直接计算 n 的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 代入方程：， 即， ∴， ∴ ， ∴ 故选B． 【变式1】已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．0 C．3或 D．3 【答案】D 【分析】本题考查已知方程的解求方程中参数的值，将代入方程求解m即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个解， 将代入得 解得 故选D． 【变式2】若是一元二次方程的解，则（  ） A．20 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值． 将代入得到，再变形整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】若a为方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，根据一元二次方程的解的定义得到，则有，再整体代入到代数式求值即可． 【详解】解：∵a为方程的解， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 1．下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此逐一判断即可解答． 【详解】解：A：，未知数x的最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B：，只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； C：，含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，不符合题意； D：，未知数x的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：B． 2．若关于的方程有一个根为1，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将根代入方程求解a的值即可． 【详解】解：∵方程有一个根为1， ∴， 即， 解得． 故选：A． 3．方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（   ） A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的标准形式求解即可． 【详解】∵方程， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 4．若a是方程的一个根，则的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 5．一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程左边展开，然后移项使所有项位于左边，右边为0，最后合并同类项得到一般形式． 【详解】解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 方程两边同除以2，得 ， 故答案为：或． 6．若一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程根的概念，将根代入方程，利用方程根的定义建立等式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴代入得， 即， ∴， 故答案为：2026． 7．若是方程的一个根，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程根的定义和代数式求值，由是方程的根，可得，再整体代入计算； 【详解】解：由题意得：， ∴； ∴， 故答案为：． 8.如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 【答案】(1)是凤凰方程，理由见解析 (2) 【分析】（）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义判断即可； （）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义得到关于的方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 9．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 10．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1 (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 一元二次方程 考点1：一元二次方程的定义 考点2：一元二次方程的一般形式 考点3：含参数的一元二次方程识别 重点： （1） 一元二次方程的定义：掌握定义的三个核心条件，能准确判断一个方程是否为一元二 次方程。 （2）一元二次方程的一般形式：能将任意一元二次方程整理成 ax2+bx+c=0（a=0）的形式，并正确指出各项系数。 （3）方程解的验证：理解根的概念，能验证给定的数是否为方程的解 难点： （1）含参数的一元二次方程的识别与参数范围确定：对含字母参数的方程，能分类讨论参数取值，判断方程类型。 （2）方程整理成一般形式的易错点突破：移项变号、系数符号的确定，以及区分 “项” 与 “系数” 的概念。 （3）“a=0” 的本质理解：为什么二次项系数不能为 0，以及它对方程类型的影响。 知识点1：一元二次方程的相关概念 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 2.一般式 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【题型1 一元二次方程的定义】 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 化成一元二次方程的一般式】 【典例2】将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，，1 B．2，3，1 C．2，， D．2，3， 【变式2】将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【题型3 由一元二次方程的定义求参数】 【典例3】若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【变式1】已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 【变式2】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 知识点2：一元二次方程的解 1.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 2.一元二次方程的重要结论： （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【题型4 判断是否是一元二次方程的解】 【典例4】若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【变式1】下列方程中，有根为1的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【变式2】若方程中，满足和，则方程的根是（　　） A．1，2 B．1 C．1 D．无法确定 【变式3】如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 【题型5 由一元二次方程的解求参数】 【典例5】若是方程的一个解，则n的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【变式1】已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．0 C．3或 D．3 【变式2】若是一元二次方程的解，则（  ） A．20 B． C．10 D． 【变式3】若a为方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 1．下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．若关于的方程有一个根为1，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 3．方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（   ） A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6， 4．若a是方程的一个根，则的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 5．一元二次方程化成一般形式为 ． 6．若一元二次方程有一个根为，则 ． 7．若是方程的一个根，则式子的值为 ． 8.如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 9．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 10．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $