第01讲 二次根式及其性质（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年浙教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，从定义及有意义条件切入，系统梳理双重非负性、四条核心性质的正向逆向运用，到含字母化简及条件辨析，构建由基础到应用的学习支架。 资料以“典例+变式”题型设计为主线，通过二次根式识别、参数求解等培养抽象能力，结合数轴化简提升几何直观，非负性综合应用强化推理意识。课中助力教师分层教学，课后学生可通过练习查漏补缺，提升数学表达与应用能力。

第01讲 二次根式及其性质 考点1：二次根式的定义与有意义条件 考点2：双重非负性的应用 考点3：二次根式性质的正向与逆向运用 考点4：的化简 考点5：性质条件的辨析 重点： （1） 双重非负性 （2）4条核心性质的灵活运用 （2） 与（的区别 难点： （1） 含的字母的化简 （2）非负性的综合应用 知识点1：二次根式的定义及有意义的条件 1.定义：一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 【总结】二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 2.有意义的条件 ①单个二次根式：被开方数a≥0。 ②多个二次根式：所有被开方数均≥0。 ③含分母：被开方数≥0且分母≠0 【题型1 二次根式的识别】 【典例1】下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列代数式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 求二次根式的值】 【典例2】当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【变式1】当 x＝－3 时，二次根式的值为（    ） A．3 B．－3 C．±3 D． 【变式2】观察分析下列数据：，则第17个数据是 . 【变式3】化简： ． 【题型3 求二次根式中的参数】 【典例3】若是整数，则正整数n的最小值为 ． 【变式1】是一个正整数，则的最小正整数是 ． 【变式2】若的值为零，则的值是 ． 【变式3】已知，则＝ ． 【题型4 二次根式有意义的条件】 【典例4】要使式子有意义，则x的取值应满足（　　） A． B． C． D． 【变式1】若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】函数的自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【变式3】函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 知识点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【典例5】实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ）    A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a 【变式1】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则化简的结果是（    ） A． B． C．5 D． 【变式3】实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【题型6 复合二次根式的化简】 【典例6】化简为（　　） A． B． C． D．1 【变式1】．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【变式2】已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【变式3】化简的结果为 ． 1．函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．二次根式中a的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 5．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 6．已知实数a在数轴上的位置如图，则化简的结果为　　    A． B．1 C． D． 7．计算的结果是 ． 8．当时，二次根式的值是 ． 9．如果，那么 ． 10．若实数满足，则的取值范围是 ． 11．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 12．已知，则化简为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次根式及其性质 考点1：二次根式的定义与有意义条件 考点2：双重非负性的应用 考点3：二次根式性质的正向与逆向运用 考点4：的化简 考点5：性质条件的辨析 重点： （1） 双重非负性 （2）4条核心性质的灵活运用 （2） 与（的区别 难点： （1） 含的字母的化简 （2）非负性的综合应用 知识点1：二次根式的定义及有意义的条件 1.定义：一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 【总结】二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 2.有意义的条件 ①单个二次根式：被开方数a≥0。 ②多个二次根式：所有被开方数均≥0。 ③含分母：被开方数≥0且分母≠0 【题型1 二次根式的识别】 【典例1】下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，需满足被开方数非负且根指数为2． 【详解】解：选项A：是分数，不含根号，不符合二次根式的形式，不符合题意； 选项B：是整数，不含根号，不符合二次根式的形式，不符合题意； 选项C：中，被开方数，满足非负条件，且根指数为2，符合二次根式的定义，符合题意； 选项D：中，被开方数为，在实数范围内无意义，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、 ，被开方数为负数，无意义，不符合条件； B、 ，根指数为2且被开方数，符合二次根式定义； C、，，则，被开方数为负数，不符合条件； D、，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式条件； 故选：B． 【变式2】下列代数式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，二次根式是指形如的代数式，据此逐项判断即可求解． 【详解】解： A. 是二次根式，不合题意； B. 不是二次根式，符合题意； C. 是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，不合题意． 故选：B 【变式3】下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式． ②：被开方数，无意义，不是二次根式． ③：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． ④：被开方数为，当，即时才有意义．但题目未限定的范围，无法保证被开方数非负，故不是二次根式． ⑤：无论取何值，，被开方数恒正，是二次根式． ⑥：分母，被开方数恒正，是二次根式． 综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个， 故选B． 【题型2 求二次根式的值】 【典例2】当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 【变式1】当 x＝－3 时，二次根式的值为（    ） A．3 B．－3 C．±3 D． 【答案】A 【分析】把x＝－3代入二次根式进行化简即可求解. 【详解】解：当x＝－3时，. 故选A. 【点睛】本题考查了二次根式的计算，正确理解算术平方根的意义是关键. 【变式2】观察分析下列数据：，则第17个数据是 . 【答案】 【详解】分析：将原数变形为：1×，2×，3×，4×…，根据规律可以得到答案． 详解：将原数变形为：1×，2×，3×，4×…，所以第17个数据是：17×＝51． 故答案为51． 点睛：本题考查了算术平方根，解题的关键是将所得二次根式变形，找到规律解答． 【变式3】化简： ． 【答案】 【分析】利用解答即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，属于基础题，熟练掌握是解题关键． 【题型3 求二次根式中的参数】 【典例3】若是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴一定是一个完全平方数，最小是， 此时的值为． 故答案为：． 【变式1】是一个正整数，则的最小正整数是 ． 【答案】3 【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案． 【详解】解：由二次根式的定义可得， 解得：， 是一个正整数， 或4或9， 解得：或8或3， 的最小正整数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键． 【变式2】若的值为零，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及解一元一次方程，根据题意得到，解一元一次方程即可确定答案．熟记二次根式性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：若的值为零，则， 解得， 故答案为：． 【变式3】已知，则＝ ． 【答案】x=2 【分析】根据算术平方根的非负性可得x的值. 【详解】解：∵， ∴x-2=2-x=0， ∴x=2， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了非负数的应用，解题的关键是根据算术平方根的非负性求得x的值. 【题型4 二次根式有意义的条件】 【典例4】要使式子有意义，则x的取值应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 故选：C． 【变式1】若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 【变式2】函数的自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故选B． 【变式3】函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得结果． 【详解】解：由题意得：，， 解得：且， 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟知根号下为非负数以及分母不为零是解题的关键． 知识点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【典例5】实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ）    A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a 【答案】B 【分析】根据数轴得∶ 0<a<1，得到a>0， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可． 【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0<a<1， ∴a>0， a-1<0， ∴原式=|a|+1+1-a =a+1+1- a =2． 故选∶B． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键． 【变式1】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，直接解答即可． 【详解】解：∵， 即 解得． 故选：B． 【点睛】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 【变式2】若，则化简的结果是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，利用二次根式的性质及绝对值的性质计算即可． 【详解】解： ， ，， ， 故选：C． 【变式3】实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和实数，绝对值的性质，二次根式的性质， 根据数轴可知，进而得，再将原式化为，然后去绝对值即可． 【详解】解：根据数轴可知， ∴， ∴． 故选：C． 【题型6 复合二次根式的化简】 【典例6】化简为（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值 【详解】＝. 故选C. 【点睛】考查了代数式的变形，把根号里的代数式化成一个完全平方式，然后再化简求值，注意开平方时代数式为非负数． 【变式1】．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解： 有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 【变式2】已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式3】化简的结果为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 1．函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题． 【详解】解：由题知，， 解得， 故答案为：C． 2．下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的判断，根据二次根式的定义：形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意； 故选：D． 3．二次根式中a的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据二次根式中，被开方数的非负性求解即可． 【详解】解：∵中，， ∴a的最小值为0， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的双重非负性性质，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键． 4．计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：； 故选C． 5．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质得出5−x≥0，求出即可． 【详解】∵ ∴5−x≥0， 解得：x≤5， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，＝a，当a＜0时，＝−a． 6．已知实数a在数轴上的位置如图，则化简的结果为　　    A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a及的符号，再把代数式进行化简即可． 【详解】解：由图可知，， ， 原式． 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 7．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 8．当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 9．如果，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得， ， 故答案为：． 10．若实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质即可求出m的取值范围． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 11．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，首先把进行化简，然后根据是整数确定的最小值． 【详解】解： ，且是整数， 是个完全平方数，（完全平方数是能表示成一个整数平方的数） 的最小值是6． 故答案为6． 12．已知，则化简为 ． 【答案】 【分析】先判断出，再根据二次根式的性质化简原式即可．此题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $