1.1 二次根式的意义（题型专练，5基础&2提升题型+培优）数学新教材浙教版八年级下册

1.1 二次根式的意义 题型一：二次根式的识别 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式． 结合二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误； B：在中，，符合题意，故正确； C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误； D：在中，根指数是3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 3．（25-26九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 4．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 5．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 题型二：已知字母的值求二次根式 1．（25-26九年级上·山西晋城·月考）当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 4．（23-24八年级下·福建福州·期末）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的求值．将代入代数式求值即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：2． 题型三：求二次根式中的参数 1．（25-26九年级上·河南鹤壁·月考）n为正整数，且是整数，那么n的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，二次根式的定义是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知 是正整数，则实数n的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程． 【详解】解：由题意是正整数所以，且n为整数， ∴，解得， ∴实数n最大值取， 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 4．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 题型四：根据二次根式的意义求参数的取值范围 1．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握非负数才能开平方是解题的关键． 二次根式有意义的条件是被开方数非负，故，求解该不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故选B． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，及分母不为0，熟练掌握二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零是解答本题的关键．对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，没有意义，不符合题意； B、当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； C、当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； D、当，即取全体实数时，有意义，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·四川广安·期末）要使得代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式组的解法，熟记分式及二次根式有意义的条件是解本题的关键．由分式及二次根式有意义的条件可得，再解不等式组即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且． 故选：D． 4．（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义．根据有意义得分母不为0，且二次根式的被开方数为非负数，可求得，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴， ∴， 故选：D 5．（25-26八年级上·上海·月考）成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·四川内江·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， 解得：且， ∴ 的取值范围是 ； 故答案为：． 7．（24-25八年级下·黑龙江大兴安岭·月考）函数 中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，函数由二次根式和分式组成，需分别考虑二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零的条件，综合求解自变量取值范围即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得且， 故答案为：且． 题型五：根据二次根式有意义求代数式的值 1．（25-26八年级上·四川达州·月考）如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，关键是利用被开方数的非负性求出未知数的值． 根据二次根式的被开方数必须非负，求出的值，再代入求的值，最后计算． 【详解】解：因为和都是二次根式， 所以被开方数且， 解得， 将代入原式，得， 所以． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）若，都是实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而求出b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）若，为实数，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：实数，满足， ， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为：或． 4．（25-26八年级上·北京顺义·期中）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，确定x的值，再代入方程求出y的值，最后计算． 【详解】解：， ∴且， ∴， ∴， ∴． ∴； 故答案为：2 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知、为实数，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，因此需同时满足 且，解得，即，代入原式求，再计算． 【详解】解： 和中的被开方数必须非负， 且， 即且， ， 解得 或， 当时，，， ， 当时，； 当时，； 故的值为或， 故答案为：或． 6．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）已知，则的值 ． 【答案】16 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，因式分解，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，代入原方程得到与的关系，进而求出的值，最后利用因式分解求代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：16． 题型一：利用二次根式有意义的条件求值（培优） 1．（24-25八年级下·四川德阳·学业考试）若，则的值为 ． 【答案】2017 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，算术平方根的含义．解题的关键在于明确．先由二次根式有意义的条件得到：，再化简原等式，利用算术平方根的含义求解 从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验：符合题意； ∴． 故答案为：2017． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知为实数，且满足，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查因式分解的应用，偶次方及二次根式的非负性，已知字母的值求代数式的值，将方程变形后，利用完全平方公式和算术平方根的非负性，得到 和 的值，再计算 ． 【详解】由 ， 移项得 ，即 ， 由于 和 ， 所以 和 ， 解得 和 ， 因此 ， 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·四川资阳·期中）已知，则的算术平方根 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，二次根式有意义的条件，代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 由二次根式的被开方数非负，可得，进而化简绝对值表达式，求解的值，再代入目标表达式求值． 【详解】解：因为有意义，所以，即； 当时，，所以 ； 原方程化为： 代入目标表达式：， 其算术平方根为， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·山东济南·期中）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了二次根式的非负性、绝对值与平方的非负性，以及勾股定理的应用，解题的关键是先利用非负性求出、的值，再分情况用勾股定理计算第三边． 先根据二次根式的非负性求出，再由非负数和为0的性质得、的值，最后分第三边是直角边或斜边，用勾股定理计算边长． 【详解】解：由和同时有意义，得： 解得． 此时 得：，， 即，． 情况1：当4为斜边长，3为一条直角边长时 第三边长 情况2：当3、4为直角边长时，第三边为斜边 第三边长． 故答案为：5或． 5．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知，求的平方根 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求算术平方根． 根据二次根式有意义的条件，可得，进而判断出的符号，化简绝对值．将方程整理后，利用非负数的性质，得到m和n的值，再求的平方根． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， ∴， ， ， ∴， 原方程化为：， 两边同时减去，得：， ∵，， ∴且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二次根式的定义和性质，求代数式的值，理解绝对值和二次根式的非负性是解题的关键．根据平方根的非负性，确定c的值；再根据绝对值的非负性和平方根的定义，求出a和b的值；最后代入代数式计算。 【详解】解：且， ， ， ∴ 且， ，即：， ， 且， 解得，，， ， 故答案为：4． 题型二：二次根式综合题型 1．（24-25八年级下·四川巴中·期中）阅读与思考 如果两个正数、，即，，则有：① 又② ③ ∴， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：∵，∴；∴ 即：的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； (2)已知，则的最小值为______，此时的值为______； (3)若，试求代数式的最大值． 【答案】(1)完全平方差公式 (2)； (3)最大值为 【分析】本题考查了完全平方公式及基本不等式（算术平均数不小于几何平均数）的应用，解题的关键是理解基本不等式的适用条件（正数）并合理变形代数式． （1）识别运算步骤②对应的公式； （2）利用基本不等式，结合正数条件求最小值及对应的值； （3）变形代数式，构造符合基本不等式的形式（调整符号），进而求最大值． 【详解】（1）解：步骤②符合的形式，运用的公式为完全平方差公式． 故答案为：完全平方差公式． （2）解：， ，由基本不等式得， 当且仅当即（）时取等号． 故答案为：； （3）解：， ， ， 由基本不等式得， ， ， 当且仅当,即（）时取等号． 答：代数式的最大值为. 2．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）我们定义：如果两个数或式子A与B的和为常数，且这个常数为正数，则称A，B互为“H式”，这个常数称为A与B的“H值”．如，则A，B互为“H式”，A与B的“H值”为1． (1)判断C，D是否互为“H式”．（在横线上填“是”或“不是”） ①，，______； ②，，______； ③，，______； (2)设，，，，是从1，0，这三个数中取值的一列数，若，且，则： ①，，，，中0的个数有几个？ ②，，，，中两两互为“H式”的组数是多少？ 【答案】(1)不是，是，是 (2)①有15个0②85组 【分析】本题考查新定义，分式的加减运算，二次根式的意义，三元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，分别计算出各组两式的和，进行判断即可； （2）①设有个1，个0和个，根据题意，列出三元一次方程组，进行求解即可； ②根据新定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：①，故C，D不是互为“H式”； ②； 故C，D是互为“H式”； ③， ∵， ∴， ∴；故C，D是互为“H式”； （2）①设有个1，个0和个，由题意得： ，解得：， 故有15个0； ②当两数均为1时，，互为“H式”，共有组； 当两数为0，1时，，互为“H式”，共有组； 故共有组． 3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值 解：由，得 (1)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； (2)拓展创新：已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可求出的值，从而得到的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ， ， ； （2）解：由题意得：， 解得：， ， ， ， ． 4．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）（1）【问题情境】若实数x，y满足，求的值． 下面是小明的部分解题过程： 解：若想使该式子有意义，则需要同时满足，且，则… 请你将上述过程补充完整； （2）【解决问题】已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长． 【答案】（1）见解析；（2）11或13 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式有意义的条件、三角形三边关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意得，且，进而可得，然后代入求出y的值进而计算可以得解； （2）依据题意得，且，从而可得，再求出b，最后分类讨论计算可以判断得解． 【详解】解：由题意得，，且， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，且， ∴， ∴； ∵a，b分别为等腰三角形的两条边长， ∴①是底，则腰为． ， ∴3，5，5能组成三角形， ∴此三角形的周长为． ②是底，则腰为． ， ∴3，3，5能组成三角形， ∴此三角形的周长为． 综上所述，三角形的周长为11或13． 5．（24-25八年级下·重庆长寿·月考）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为．请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是___________；的“阳光区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数满足关系式： ，求的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】本题考查算术平方根、不等式、解方程等知识点，解题的关键是理解题目中“阳光区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“阳光区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“阳光区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是， 故答案为：，； （2）解：∵无理数的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或3； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，根据代数式有意义，则，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且， 故选：． 2．（25-26八年级上·上海宝山·月考）已知a，b为实数，且，则的值为（    ） A． B．7 C．或7 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件即被开方数非负． 根据二次根式的被开方数非负得到不等式组，然后求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得： 在数轴上表示为： 故选：D． 4．（24-25八年级下·重庆·月考）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，先根据已知条件把用表示出来，再根据，再分两种情况进行讨论即可． 【详解】解：∵， ， ①当时，， ∵， ∴， ， ， ， ， ，即， ， ， ； ②当时，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∴此种情况无解， 综上可知：的值为 2 ， 故答案为：2． 5．（24-25八年级下·上海·期中）已知，为实数，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方根，根据二次根式和分式有意义的条件得出，的值，代入求值，再由平方根定义即可求解，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用平方根的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）如果方程无实数解，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，二次根式有意义的条件，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 移项后得出，根据方程无实数解得出，再求出k的范围即可． 【详解】解：， ， ∵方程无实数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于a的二次根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程和二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意的条件求出，再解方程求出且，根据方程有负整数解求出整数a的值求和即可． 【详解】解：∵关于a的二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， 即整数的值为，，，，， 解分式方程得：且， 又∵分式方程有负整数解， ∴整数的值为：，， 即所有整数a的和为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川内江·期中）若实数，，满足关系式，则的值为 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性、方程组的解法等知识点，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据能开平方的数一定是非负数，得、，即，进而得到，即①，从而有，再根据算术平方根的非负性可得出②，③，联立①②③解方程组可得出m的值即可． 【详解】解：由题意可得，、，即， ∴，即①． ∴， ∴②，③，， 联立①②③得，， 得，， 将代入③，解得， 将，代入①得，，解得：． 故答案为：22． 9．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】 ，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、二次根式的性质，首先把整式各部分展开、合并同类项，可得：原式，根据平方根的非负性、平方的非负性，可得：，，把字母的值代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时， 原式． 11．（24-25八年级下·四川巴中·月考）已知x、y为实数，且 ，求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知：，， 解得：， ∴，     ∴ ． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）数轴上从左到右依次有A，B，C三点表示的数分别为a，b，，其中b为整数，且满足，求的值． 【答案】5或6 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性． 根据绝对值的非负性，二次根式的非负性可知，即，则，可得，求出，再根据题意求出或3，进而计算即可． 【详解】解：因为，， 所以， 即 所以，所以，即． 又因为数轴上从左到右依次有三点，表示的数分别为， 所以，且为整数，所以或3． 当时，； 当时，． 综上所述，的值为5或6． 13．（24-25八年级下·江西赣州·期末）（1）【问题情景】请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由已知得：，解得___________，___________； （2）【尝试应用】若为实数，且，则___________； （3）【拓展创新】已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1；（3）49 【分析】本题考查了二次根式被开方数的非负性质，解不等式组，求代数式的值，绝对值的计算，分式的化简等知识，利用二次根式被开方数的非负性质是解题的关键． （1）由被开方数的非负性质可求得x，再代入x的值即可求得y的值； （2）由被开方数的非负性质可求得x，再代入x的值即可求得y的取值范围，即可确定的符号，从而化简绝对值，最后求解； （3）由被开方数的非负性质可求得的值，再代入的值即可求得，最后即可求得代数式的值； 【详解】解：（1）由已知得：，解得， ； 故答案为：2024；2025； （2）由题意得：，解得， ∴， 则， ∴； 故答案为：1；　 （3）由题意得：，解得， ∴， 即， ∴． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 二次根式的意义 题型一：二次根式的识别 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 题型二：已知字母的值求二次根式 1．（25-26九年级上·山西晋城·月考）当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 4．（23-24八年级下·福建福州·期末）当时，二次根式的值为 ． 题型三：求二次根式中的参数 1．（25-26九年级上·河南鹤壁·月考）n为正整数，且是整数，那么n的最小值是 ． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知 是正整数，则实数n的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型四：根据二次根式的意义求参数的取值范围 1．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川广安·期末）要使得代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海·月考）成立的条件是 ． 6．（24-25八年级下·四川内江·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 7．（24-25八年级下·黑龙江大兴安岭·月考）函数 中，自变量的取值范围是 ． 题型五：根据二次根式有意义求代数式的值 1．（25-26八年级上·四川达州·月考）如果，则 ． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）若，都是实数，且，则的值为 ． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）若，为实数，，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·北京顺义·期中）若，则的值为 ． 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知、为实数，且，则 ． 6．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）已知，则的值 ． 题型一：利用二次根式有意义的条件求值（培优） 1．（24-25八年级下·四川德阳·学业考试）若，则的值为 ． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知为实数，且满足，则 ． 3．（24-25八年级下·四川资阳·期中）已知，则的算术平方根 ． 4．（24-25八年级下·山东济南·期中）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 5．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知，求的平方根 ． 6．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则 ． 题型二：二次根式综合题型 1．（24-25八年级下·四川巴中·期中）阅读与思考 如果两个正数、，即，，则有：① 又② ③ ∴， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：∵，∴；∴ 即：的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； (2)已知，则的最小值为______，此时的值为______； (3)若，试求代数式的最大值． 2．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）我们定义：如果两个数或式子A与B的和为常数，且这个常数为正数，则称A，B互为“H式”，这个常数称为A与B的“H值”．如，则A，B互为“H式”，A与B的“H值”为1． (1)判断C，D是否互为“H式”．（在横线上填“是”或“不是”） ①，，______； ②，，______； ③，，______； (2)设，，，，是从1，0，这三个数中取值的一列数，若，且，则： ①，，，，中0的个数有几个？ ②，，，，中两两互为“H式”的组数是多少？ 3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值 解：由，得 (1)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； (2)拓展创新：已知，求的值． 4．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）（1）【问题情境】若实数x，y满足，求的值． 下面是小明的部分解题过程： 解：若想使该式子有意义，则需要同时满足，且，则… 请你将上述过程补充完整； （2）【解决问题】已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长． 5．（24-25八年级下·重庆长寿·月考）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为．请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是___________；的“阳光区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数满足关系式： ，求的算术平方根的“阳光区间”． 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 2．（25-26八年级上·上海宝山·月考）已知a，b为实数，且，则的值为（    ） A． B．7 C．或7 D．9 3．（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆·月考）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 5．（24-25八年级下·上海·期中）已知，为实数，，则的平方根是 ． 6．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）如果方程无实数解，那么k的取值范围是 ． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于a的二次根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和 ． 8．（24-25八年级下·四川内江·期中）若实数，，满足关系式，则的值为 9．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中、满足． 11．（24-25八年级下·四川巴中·月考）已知x、y为实数，且 ，求的值． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）数轴上从左到右依次有A，B，C三点表示的数分别为a，b，，其中b为整数，且满足，求的值． 13．（24-25八年级下·江西赣州·期末）（1）【问题情景】请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由已知得：，解得___________，___________； （2）【尝试应用】若为实数，且，则___________； （3）【拓展创新】已知，求的值． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $