精品解析：北京市石景山区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

北京市石景山区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：A. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个选项进行判断. 【详解】因为，所以，，，， 所以ABD错误，C正确， 故选：C 3. 如果关于的不等式的解集是，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可求得的值，进而得到结果. 【详解】不等式的解集为， 方程的两根分别为和， ，即，，. 故选：C. 4. 下列函数为偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，的定义域是，所以是非奇非偶函数，A选项错误. B选项，的定义域为，， 所以不是偶函数，B选项错误. C选项，的定义域为，， 所以是奇函数，C选项错误. D选项，的定义域为，， 所以是偶函数，D选项正确. 故选：D 5. （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得 . 故选：B. 6. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断. 【详解】对于命题p，当时，，所以p为真命题； 对于命题q，由于恒成立，所以恒有. 综上，p和q均为真命题. 故选：A. 7. 已知样本数据为，该样本平均数为2025，方差为1，现加入一个数2025，得到新样本的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合平均数和方差的计算公式，求得新数据的平均数和方差，即可求解. 【详解】因为样本数据的平均数为，方差为， 现加上一个数，得到新样本的平均数为，方差为， 可得， 由，可得， 则新样本数据的方差为， 所以. 故选：B. 8. 如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，点是线段的一个四等分点，得出与的关系，再由向量的线性运算即可求得，的值． 【详解】由，可得， 所以， ，． 故选：A 9. 已知函数，若， 且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合对数运算可得，再逐项分析判断即得. 【详解】函数，由，得，由，得， 因此，则，，解得，AB错误； ，C正确，D错误. 故选：C 10. 设，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作出函数的图像，由方程仅有两个解，等价于与有两个交点，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意得：当时，，所以在单调递减， 且的值域为， 当时，，所以是以为周期的周期函数， 作出函数的图像： 方程仅有两个解，所以，即与有两个交点， 由图像可知：， 所以， 故选：C. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 12. 向量，单位向量与向量方向相反，则向量的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由单位向量、反向向量的定义即可求解. 【详解】由题意得. 故答案为：. 13. 已知事件相互独立，的对立事件为，若，则同时发生的概率为______，两个事件至少有一个发生的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件概率公式，先求出，再分别计算、同时发生的概率以及、至少有一个发生的概率. 【详解】已知，可得. 因为事件、相互独立，，已知，，所以. 根据公式， ，，，则. 故答案为：；. 14. 已知函数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】（） 【解析】 【分析】先分析函数单调性，再转化为求的一元二次不等式进行求解. 【详解】已知函数， 对于任意实数， 有， 因为是增函数，时， ， 所以，即在上单调递增。 则，移项得：， 由函数单调递增性，得， ，， 解得： 故答案为： 15. 设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，当时，，给出以下四个结论： ①； ②函数在上是减函数，在上是增函数； ③函数的最大值是1，最小值是0； ④是函数的一个对称轴； 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先由 推出周期为 ，再结合偶函数性质逐一分析结论：①利用周期化简 ；②通过变量替换将区间 、 转化到已知区间 分析单调性；③计算 上的最值并推广到全体实数；④利用周期与偶函数验证对称轴. 【详解】由 ，得 ，故 的周期为 . ，故 ，①正确. 当 时，，结合偶函数与周期性， ，该函数在 上单调递减； 当 时，，， 该函数在 上单调递增，②正确. 当 时，单调递增， ，， 结合周期性与偶函数性质， 的最大值为 ，最小值为 ，③错误. 由 ，可知 是 的一条对称轴，④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集结果列式即可求解； （2）根据题意得到，列式即可求解. 【小问1详解】 若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. 【小问2详解】 因为成立的一个必要条件是， 所以， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0-500元；500-1000元；1000-1500元；1500-2000元四个档次，针对两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，各档次人数统计结果如下表所示： 0～ 500元 500～ 1000元 1000～ 1500元 1500～ 2000元 A类 20 50 20 10 B类 50 30 10 10 月均服装消费额不超过1000元的人群视为中低消费人群，超过1000元的视为中高收入人群. （Ⅰ）从类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率； （Ⅱ）从两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率； （Ⅲ）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计两类人群哪类月均服装消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）. 【答案】(1)0.7;(2)0.78;(3)B. 【解析】 【详解】试题分析： (Ⅰ)利用题意结合古典概型公式可得从类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率为0.7； (Ⅱ)利用题意列出所有可能的时间，然后进行计算可得甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率为0.78 (Ⅲ)利用题中数据的波动程度可得两类人群哪类月均服装消费额的方差较大是B. 试题解析： （Ⅰ）设此人属于中低消费人群为事件， 则 （Ⅱ）设甲的消费档次不低于乙的消费档次为事件， 则 （Ⅲ）答： 18. 无人机凭借其灵活､便捷的优势，在农业､物流､安防等多个场景中落地，成为提升生活效率､丰富生活方式的重要工具.通过市场调查可知，某企业生产某款无人机需投入的年固定成本为1000万元，每生产百台该产品，需另投入变动成本万元，且，每台无人机售价3万元，假设生产的无人机当年能全部销售完. （1）求年利润（万元）关于年产量（百台）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本） （2）年产量为多少百台时，年利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）； （2）年产量为百台时，年利润最大，为万. 【解析】 【分析】（1）根据及已知关系式求函数表达式； （2）利用二次函数、对勾函数的性质求的最大值，并确定对应年产量. 【小问1详解】 由题设， 所以； 【小问2详解】 当，则的图象开口向下，且对称轴为， 所以，当百台时，年利润最大为万； 当，则万， 当且仅当时取等号，此时最大万； 综上可得百台时，年利润最大，为万. 19. 已知函数. （1）若为奇函数，求值以及的值域； （2）若存在实数，使得函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由为奇函数，即解出，利用分离常数并利用函数单调性求解函数值域即可； （2）先判断的单调性，进而得，令，即有两个互异正根，最后通过换元并根据二次函数存在两个相异正根求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 由题意有：的定义域为，由，所以， 所以，此时，为奇函数. 由，又， 所以，所以， 所以的值域为； 【小问2详解】 由，由在上单调递减，所以在上单调递增， 所以，所以方程有两个互异实根， 令，，所以有两个互异正根， 所以， 所以. 20. 设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. （1）已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； （2）已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合一个“完美元素”，求的值. 【答案】（1），或 （2）（i）是，证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义求解即可； （2）（i）根据“乘法封闭集”的定义进行证明即可； （ii）根据“完美元素”的定义，得到和的关系，进行讨论排除即可. 【小问1详解】 设集合， 因为集合是一个“乘法封闭集”，所以，，， 所以或， 解得或，解得或， 所以或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时， 若令，则，所以，或，解得或（舍去），此时，或， 综上，，或； 【小问2详解】 （i）设，则， 所以， 因为，所以，， 所以，所以是一个“乘法封闭集”； （ii）因为是集合一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以或， 假设，则，即为3的倍数， 设，若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3倍数， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市石景山区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果关于的不等式的解集是，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 6. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 7. 已知样本数据为，该样本平均数为2025，方差为1，现加入一个数2025，得到新样本的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（ ） A B. C. D. 9. 已知函数，若， 且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围（ ） A B. C. D. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 函数的定义域是_________． 12. 向量，单位向量与向量方向相反，则向量的坐标为_______. 13. 已知事件相互独立，的对立事件为，若，则同时发生的概率为______，两个事件至少有一个发生的概率为______. 14. 已知函数，若，则实数的取值范围是__________. 15. 设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，当时，，给出以下四个结论： ①； ②函数在上是减函数，在上是增函数； ③函数最大值是1，最小值是0； ④是函数的一个对称轴； 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 17. 某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0-500元；500-1000元；1000-1500元；1500-2000元四个档次，针对两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，各档次人数统计结果如下表所示： 0～ 500元 500～ 1000元 1000～ 1500元 1500～ 2000元 A类 20 50 20 10 B类 50 30 10 10 月均服装消费额不超过1000元的人群视为中低消费人群，超过1000元的视为中高收入人群. （Ⅰ）从类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率； （Ⅱ）从两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率； （Ⅲ）以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计两类人群哪类月均服装消费额的方差较大（直接写出结果，不必说明理由）. 18. 无人机凭借其灵活､便捷的优势，在农业､物流､安防等多个场景中落地，成为提升生活效率､丰富生活方式的重要工具.通过市场调查可知，某企业生产某款无人机需投入的年固定成本为1000万元，每生产百台该产品，需另投入变动成本万元，且，每台无人机售价3万元，假设生产的无人机当年能全部销售完. （1）求年利润（万元）关于年产量（百台）函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本） （2）年产量为多少百台时，年利润最大？并求出最大利润. 19. 已知函数. （1）若为奇函数，求的值以及的值域； （2）若存在实数，使得函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 20. 设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. （1）已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； （2）已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $