精品解析：辽宁省锦州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025～2026学年度第一学期期末考试 高二数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知直线；，则（ ） A. 若与相交，则且 B. 若与平行，则 C. 若与垂直，则 D. 若与重合，则 4. 由三个数字1，2，3组成的五位数中，1，2，3都至少出现一次，这样的五位数的个数为（　　） A. 150 B. 240 C. 180 D. 236 5. 已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6 6. 已知曲线与x轴交于两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（） A. B. C. D. 7. 斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x-5）2+y2 =9相切于点M，且M为线段AB的中点，则k=（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与y轴交于点M，与双曲线C的右支交于点P，，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，各项系数中若只有最大，则（ ） A. B. C. D. 10. （多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 存在点，使得 C. 当时，的最大值为 D. 的最小值为1 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则最小值为1 B. 若平面，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程为__________． 13. 大润发超市的店员准备把待打折处理的两袋不同的蔬菜和两袋不同的水果摆上如图所示的货架，要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列，则共有______种不同的摆放方法.（用数字作答） A B C D E F 14. 椭圆的左、右焦点分别是，，过C上一点P作直线，分别交C于M，N两点，且，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知点和直线，设圆的半径为1，圆心在直线l上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，试求圆的方程和切线的方程； （2）已知点，若圆上存在点使（为原点），求圆心的横坐标的取值范围. 16. 如图所示，四边形与均为菱形，，且. （1）求证：平面； （2）求面与面所成二面角的余弦值. 17. 已知双曲线C过点，且渐近线方程为，抛物线（）的焦点F与双曲线C的顶点重合，动直线l与抛物线D交于点M，N，与x轴交于点Q. （1）求双曲线C的方程； （2）已知点，若，试探究点Q是否为定点，如果是，求出点Q的坐标；如果不是，请说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，平面平面，点E在棱上，（），点F，G分别为，的中点，过E，F，G三点的平面交于点H. （1）确定的值使平面； （2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中A点在x轴上方）如图1.将平面沿x轴向上折叠，使A点折至点位置且y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图2. （1）当时， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求点到平面的距离； （2）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末考试 高二数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法运算和数量积坐标公式求解. 【详解】，，， . 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数性质，从而可解． 【详解】根据组合数性质， 可得． 故选：B． 3. 已知直线；，则（ ） A. 若与相交，则且 B. 若与平行，则 C. 若与垂直，则 D. 若与重合，则 【答案】C 【解析】 【分析】先根据与平行求解出的值，然后检验是否可能两直线重合，由此可判断ABD；然后根据与垂直列出等量关系求解的值，由此可判断C. 【详解】直线；， 若与垂直，则有，则，故C正确； 若与平行，则有，解得或， 时，，，两直线平行， 时，，，两直线平行. 所以与平行时，或，B选项错误； 与不可能重合，故D选项错误； 若与相交，则且， 当时，两直线垂直相交，满足相交的条件，但不满足A选项的结论，A选项错误. 故选：C. 4. 由三个数字1，2，3组成的五位数中，1，2，3都至少出现一次，这样的五位数的个数为（　　） A. 150 B. 240 C. 180 D. 236 【答案】A 【解析】 【分析】利用两个原理结合组合应用问题，列式计算即得. 【详解】求五位数的个数这件事可以有两类办法： 恰有一个数字出现三次，另两个各出现一次，有个； 恰有一个数字出现一次，另两个各出现两次，有个， 由分类计数加法原理得五位数的个数为. 故选：A 5. 已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】用空间向量法求点到直线的距离. 【详解】因为，所以点到直线l的距离为 ， 故选：C 6. 已知曲线与x轴交于两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的外接圆的方程为，分别令，结合韦达定理求得，代入即可求得圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为，点是的外接圆与轴的另一个交点， 分别令，则. 设，由韦达定理， 可得，， 又曲线与轴交于两点， 因此有， 故. 又由题可知，，且， 得， 又因为，得. 综上，， 即外接圆的方程为. 故选：B. 7. 斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x-5）2+y2 =9相切于点M，且M为线段AB的中点，则k=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“点差法”，求出直线斜率，再利用直线与圆相切的垂直性质，即可求解. 【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则又两式相减得，则.设圆心为C（5，0），则kOM=，因为直线l与圆相切，所以，解得，代入得，故选A. 8. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与y轴交于点M，与双曲线C的右支交于点P，，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，利用三角形相似列式求解，结合双曲线定义可得，再由勾股定理列式求解． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由，则，∴，即， 又，， 即，得，又，∴， 又，∴，即， 得，等号两边同除以，又离心率， 得，由，解得. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，各项系数中若只有最大，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项式定理的相关性质及赋值法运算即可. 【详解】由题中只有最大可知，是唯一的最大的二项式系数，因此展开式的中间项为第六项，可得，故A正确； 令，代入等式中可得，故B正确； 由，故C正确； 令，代入可得， 移项可得， 两边同乘，故，故D错误. 故选：ABC. 10. （多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 存在点，使得 C. 当时，的最大值为 D. 的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点与椭圆的位置关系，可得，即可求出离心率的范围，判断A项；易知，只有原点满足条件，即可判断B项；根据椭圆的定义，可得，根据三角形的三边关系结合图象，即可判断C项；根据椭圆的定义结合“1”的代换，根据基本不等式即可求解，判断D项. 【详解】对于A：由已知可得，点在椭圆内部，则， 所以，则，故A正确； 对于B：由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B错误； 对于C：由已知时，，所以，. 又，则. 根据椭圆的定义可得， 所以， 如图，当且仅当三点共线时，取得等号； 则的最大值为，故C正确； 对于D：因为. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则最小值为1 B. 若平面，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，可得各点坐标，对A：求出平面的法向量后，可得，再借助基本不等式即可得解；对B：借助空间向量计算即可得；对C：借助点到空间距离公式计算即可得；对D：借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、、 、、、、、， ，，则； 对A：，，， 则， 设平面的法向量为， 则有， 令，则有，即， 由平面，则有， 即，则， 当且仅当时，等号成立，即最小值为，故A错误； 对B：，则， 由平面，则有，即， 解得，，故B正确； 对C：若，则， 则有，即到平面的距离为，故C正确； 对D：，当，时，， 则有 ， 当时，， 当时， ， 当且仅当时，等号成立， 故，即，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程为__________． 【答案】（任意一个均可以） 【解析】 【分析】解题时写出切线方程，再求出抛物线方程即可． 【详解】与圆相切且与坐标轴平行或垂直的直线有， 对应的抛物线方程有： 故答案为：（任意一个均可以） 13. 大润发超市的店员准备把待打折处理的两袋不同的蔬菜和两袋不同的水果摆上如图所示的货架，要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列，则共有______种不同的摆放方法.（用数字作答） A B C D E F 【答案】72 【解析】 【分析】首先在第一行放一袋蔬菜和一袋水果，再在第二行分类讨论放剩下的蔬菜和水果，最后利用分步计数原理即可得出结果. 【详解】因为要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列， 所以第一行只能放一袋蔬菜和一袋水果，共有种放法, 再在第二行分类讨论放剩下的蔬菜和水果， 第二袋蔬菜如果放在第一袋水果下方，则第二袋水果有2种放法， 如果第二袋蔬菜不放在第一袋水果下方，则第二袋水果有1种放法，共有3种情况， 因此共有种摆放方法. 故答案为：72. 14. 椭圆的左、右焦点分别是，，过C上一点P作直线，分别交C于M，N两点，且，，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】设，直线，的方程分别与椭圆方程联立求出点M，N的纵坐标，进而结合给定向量关系求解即可. 【详解】由椭圆，则，即， 设，则，即， 而直线的方程为， 联立，消去得， 则，解得， 而直线的方程为， 联立，消去得， 则，解得， 因为，， 所以，， 则. 故答案为：6. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知点和直线，设圆的半径为1，圆心在直线l上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，试求圆的方程和切线的方程； （2）已知点，若圆上存在点使（为原点），求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】（1）；与； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点即为圆心，再结合半径即可求得圆的方程；分斜率不存在与斜率存在两种情况求出切线即可； （2）先根据求出点的轨迹为一个圆，又因为点在圆上，因此可将该问题转化为两圆存在公共点，结合两圆的位置关系即可得解. 【小问1详解】 由圆心既在直线上，又在直线上，联立两条直线得， 即圆心，又因为圆的半径， 故圆的方程为. 因为，所以点A在圆外， ①若过点的直线斜率不存在，则该直线为， 则圆心到该直线的距离为， 因此为圆的切线； ②若过点的切线斜率存在，设该切线为，即， 则有圆心到该直线的距离为， 两边平方整理得，解得， 故该切线为，整理得. 综上，过点作圆的切线，切线方程为与. 【小问2详解】 设点，由题可得， 两边平方后，整理得， 即满足的点的轨迹为圆心为，半径的圆， 又因为点也在圆上，因此题意等价于圆与圆有公共点（即两圆相交或相切）. 设圆的圆心，则有， 两边平方整理得，解得， 即圆心的横坐标的取值范围为. 16. 如图所示，四边形与均为菱形，，且. （1）求证：平面； （2）求面与面所成二面角的余弦值. 【答案】（1） 设与相交于点，连接，为菱形，， 连接，四边形为菱形且，为等边三角形， 又为中点， ， 又平面，平面，， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明即可； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，再代入公式即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知 ，又为中点，，， 又平面，平面，，平面， 两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，四边形为菱形且，， 为等边三角形，， 则 ， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 由图可知平面的法向量为， ， 故平面与平面所成二面角的余弦值为. 17. 已知双曲线C过点，且渐近线方程为，抛物线（）的焦点F与双曲线C的顶点重合，动直线l与抛物线D交于点M，N，与x轴交于点Q. （1）求双曲线C的方程； （2）已知点，若，试探究点Q是否为定点，如果是，求出点Q的坐标；如果不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程为可设双曲线的方程为，将点代入解得的值，从而得到双曲线C的方程. （2）设点坐标为，动直线的方程为，将直线代入抛物线方程整理得到，设，利用韦达定理得， 由知直线与的斜率互为相反数，即，将代入中整理得到， 代入，通过计算得到点的定点. 【小问1详解】 渐近线方程为， 设双曲线的方程为， 将点代入得：，解得， 故双曲线C的方程为，即. 【小问2详解】 双曲线的顶点为，抛物线的焦点为， 由题意得，解得，故抛物线的方程为. 设点坐标为，动直线的直线方程为， 代入抛物线方程得， 整理得到， 设，由韦达定理得， 由，，知直线与的斜率互为相反数， 即：，将代入 得到，整理得到， 即， 即，代入， 得到，解得， 因为为任意实数，所以，解得， 即点为定点. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，平面平面，点E在棱上，（），点F，G分别为，的中点，过E，F，G三点的平面交于点H. （1）确定的值使平面； （2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面，可得，由点F，G分别为，的中点，得，平面，，从而四边形为平行四边形，有，所以，可得λ的值； （2）建立空间直角坐标系，由与平面所成角的正弦值为，向量法求线面角得λ的值. 【小问1详解】 因为平面，平面，平面平面， 所以． 因为点F，G分别为，的中点，所以． 又因为底面为直角梯形，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面平面，所以， 从而四边形为平行四边形， 又，， 所以，所以，所以λ的值为. 【小问2详解】 由题可知，，，所以，所以． 又平面平面，平面平面，平面，则平面． 又，故可以为坐标原点，分别以向量 为轴正方向，建立空间直角坐标系. 所以， 因，可得， ， 又为的中点，所以． 所以，， 设平面的一个法向量， 则，故可取， 设与平面所成角为， 所以， 又，解得. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中A点在x轴上方）如图1.将平面沿x轴向上折叠，使A点折至点位置且y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图2. （1）当时， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求点到平面的距离； （2）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （ⅰ）由椭圆，得，则， 当时，直线l的方程为， 联立，解得或， 所以，， 如下图，以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线分别为为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则折叠后，，，，， 所以， 则，即； （ⅱ） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可； （ⅱ）利用点到面的空间向量公式求解即可. （2）建立与（ⅰ）相同的空间直角坐标系，由题设可得，进而结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知，，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 则点到平面的距离为. 【小问2详解】 建立与（ⅰ）相同的空间直角坐标系， 设折叠前，，则折叠后， 因为折叠前周长是，依题意折叠后的周长是， 由，，，故， 设方程为，依题意， 联立，消去可得， 显然，则，， 而，， 则，① 则， 所以，② 由①②可得， 因为， 则得 所以， 化简得， 所以，解得， 因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $