2026学年九年级中考数学一轮 专题复习七：二次函数中等腰三角形存在性问题

2026学年九年级中考数学一轮专题复习七：二次函数中等腰三角形存在性问题 1.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标 为(-1,0)，与y轴交于点C(0,3),作直线BC,动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴， 交抛物线于点M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为m (I)求抛物线的解析式和直线BC的解析式； (②)当点P在线段OB上运动时，求△MBC面积的最大值及取得最大值时点M的坐标： (3)当点P在线段OB上运动时，若aCMN是等腰三角形时，直接写出m的值为， M 如图，抛物线y=)X+x+C与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,直线BC的解题 式为y=x-6,点P是x轴上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴交直线BC于点E,交抛 物线于点F. (1)求抛物线的解析式： (2)若点P在线段OB上运动（且不与点O重合），当AE=2V10时，请你猜想∠AEP与 LACO的数量关系，并说明理由； (3)是否存在点P,使得△CEF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说 明理由 B 备用图① 备用图② 试卷第1页，共3页 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3三点 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是线段BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D,设点P 的横坐标为，当m为何值时，线段PD的长度最大？最大值是多少？ (3)在(2)的条件下，当线段PD的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得 以P,D,Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请 说明理由， 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-4x+c与x轴交于点A,B（点A在点B 左侧)，与y轴交于点C,且点A的坐标为-5,0). (1)求抛物线的表达式，写出对称轴和顶点坐标； (②)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M,使得△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 所有点M的坐标若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 5.如图1，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线 y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P. (1)求该抛物线的解析式： (②)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使△CPM为等腰三角形？若存在，计算出所有符 合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由， B A、 6.已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于AB两点，其中A点坐标为(-3,0)，与 y轴交于点C,点D-2,-3)在抛物线上。 (1)求抛物线的解析式： (2)Q为直线BD下方抛物线上一点，求△BDQ面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点M,当△MAD是以AD边为腰的等腰三角形时，求出M点坐 标 V B B 备用图 试卷第1页，共3页 7.新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”.己知反比例 函数y=的图象经过点42,4)，二次函数y=ar'+bx(a≠0)的图象经过该反比例函数图象 上的所有“和六点”. (1)求二次函数的解析式 (②)己知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点A,B(点A的横坐标小于点B的 横坐标)两点，P为抛物线对称轴上一动点.若。PAB是以P为顶点的等腰三角形，求点P的 坐标. 8.如图，已知抛物线与x轴交于A-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3). (1)求抛物线的解析式： (2)连接CB,在直线CB上方的抛物线上有一点M,使得△BCM的面积最大，求出M点的 坐标. (3)在抛物线的对称轴上是否存在以PB为腰的点P,使得△PBC是等腰三角形？若存在，请 直接写出符合条件的点P的坐标. B 备用图 试卷第1页，共3页 9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0), B(3,0)两点，与y轴交于点C,点P是该函数图象上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D, 交直线BC于点E. (I)求该二次函数的解析式及直线BC的解析式： (2)当点P在第一象限时，求PE的最大值； (3)是否存在点P,使△CPE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由. 10.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3), 点D是抛物线的顶点，连接AD,BC。 (1)求抛物线的解析式与直线BC的解析式； (2)若点P是直线BC上的一个动点，是否存在点P,使△APD为等腰三角形，若存在，求 出点P的坐标，若不存在，说明理由 2 4 试卷第1页，共3页 11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0), B(3,0两点，与y轴交于点C,点P是该函数图象上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D, 交直线BC于点E. (I)求该二次函数的解析式及直线BC的解析式； (2)当点P在第一象限时，求PE的最大值； (3)是否存在点P,使△CPE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由. 12.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3), 点D是抛物线的顶点，连接AD,，BC. (I)求抛物线的解析式与直线BC的解析式： (2)若点P是直线BC上的一个动点，是否存在点P,使△APD为等腰三角形，若存在，求 出点P的坐标，若不存在，说明理由 VA -2 试卷第1页，共3页 13.如图，抛物线y=ax2+4ax-5a(a为常数，a≠0)与x轴交于点A,B两点，点C为 抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5 (1)求a的取值范围： (2)若ABC为等腰直角三角形，求a的值， 14.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A-1,0)和点B(3,0),点C为抛物线与y轴的 交点， (1)求抛物线的解析式； (2)求出点C坐标，ABC的面积； (3)若点E为直线BC上方抛物线上的一点，请求出△BCE面积的最大值；是否x轴存在这样 的点D(m,O),使得BDE为等腰三角形？如果有，请直接写出点D的坐标；如果没有，请 说明理由. 试卷第1页，共3页 15.己知，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， 与y轴交于点C(0,3). (1)求该抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.当点P在第一 象限时，求线段PE的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐 标；若不存在，请说明理由。 试卷第1页，共3页 参考答案 1.【解】(1)解：将点A(-1,0)、C(0,3)代入抛物线y=-x2+bx+c, 得 -(-1)2+b(-1+c=0 C=3 b=2 解得 c=3' 抛物线解析式为y=-x2+2x+3, 令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3, 故点B(3,0), 设直线BC解析式为y=x+3, 将B(3,0)代入得3k+3=0, 解得k=-1, 直线BC解析式为y=-x+3; (2)解：由题意，点P(m,0), 则M(m,-m2+2m+3,N(m,-m+3,其中0<m<3, MN=（-m2+2m+3)-（-m+3)=-m2+3n, 配方将0w=伽-多登+骨 9 当m,Mv最大位为}， S.we-5.wc+5MxOB-M :当MN最大时，Sac最大，最大值为27 5 将网代入m+2m+3,得 故的坐标为号》： (3)解：由(2)知MN=-m2+3m,点C(0,3),点Mm,-m2+2m+3,点N(m,-m+3), CM=√m2+(-m2+2m+3-3)2=Vm2+(-m2+2m)2, CN=√m2+(-m+3-3)2=√m2+m2=√2m, 答案第1页，共2页 当MN=CM时，-m2+3m=Vm2+(-m2+2m)2, 解得m=2(m=0舍)； 当MN=CN时，-m2+3m=V2m, 解得m=3-√2（不合题意舍）， 当CM=CN,√m2+(-m2+2m)2=V2m, 解得m=1(m=3舍去)， 综上m=1或2. 2.【解】(1)解：：直线BC分别与x轴、y轴交于点B,C, B(6,0),C(0,-6. 1 :抛物线y=。x2+bx+c经过点B,C, 18+6b+c= 则 b=-2 c=-6 0,解得 c=-6 .抛物线的解析式为y=。x2-2x-6. (2)解：∠AEP+∠AC0=90°. 证明：由(1)知抛物线的解析式为y=x-2x-6, 2 令y=0,则x2-2x-6=0,解得x=-2,x3=6, A(-2,0). 0A=2. AC=V0A2+0C2=2V10. :AE=210, :AC=AE :∠ACE=LAEC. .∠ACO+∠OCB=∠PAE+∠CBO. :0B=0C, ∠0CB=∠CB0=45°. :ZACO=ZPAE :∠AEP+∠PAE=90°， LAEP+∠AC0=90°. (3)解：存在. 设Pa,0,则rmm-2m-6,Bm,m-6. r6-go-2m-台+j小 答案第1页，共2页