精品解析：天津市河西区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

河西区2025－2026九年级数学期末试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知的半径长为，点P在内，那么的长度有可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点P在内，则点P到圆心O的距离小于半径，据此解答即可． 【详解】解：点P在内，的半径长为， ， 选项中只有符合． 故选：A． 2. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射．下列航天图案可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心是关键． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．选项图形不能找到一点，使图形绕着这个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； B．选项图形能找到一点，使图形绕着这个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； C．选项图形不能找到一点，使图形绕着这个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形不能找到一点，使图形绕着这个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 下列两个图形，一定是相似图形的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个矩形 C. 两个正五边形 D. 两个长度相同的圆弧 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义． 相似图形需对应角相等且对应边成比例，根据该定义对选项进行判断即可得解． 【详解】解：选项，两直角三角形不一定相似，比如含角的直角三角形和含角的直角三角形，不符合题意； 选项，两个矩形边长比例可能不同，不一定相似，不符合题意； 选项， 两个正五边形的每个内角均为 ，对应角相等，且所有边均成比例（因正多边形边长比恒定），一定相似，符合题意； 选项，两个长度相同的圆弧半径或圆心角可能不同，导致形状不同，不一定相似，不符合题意． 故选：． 4. 已知和 相似，且对应边的比为，则和 的对应边上的高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：，且对应边的比为， 对应边上的高之比等于相似比，即， 故选：D． 5. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出一个问题，大意是：一块长方形的田地面积是864平方步，已知它的宽比长少12步．问长与宽各多少步？如果设长方形的宽为x步，则列出的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查列一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，利用长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：宽为步， ∴ 长为步， ∴ 根据题意，可列方程为． 故选：A． 6. 一个扇形的圆心角为，则这个扇形的面积S与扇形所在圆的半径R之间的函数关系满足（ ） A. 正比例关系 B. 反比例关系 C. 一次函数关系 D. 二次函数关系 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数，利用扇形面积公式得到，进而求解即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为， ∴ ∴S是R的二次函数，满足二次函数关系． 故选：D． 7. 如图，点A，B，C都在上，若，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理：“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”． 连接，可得，从而可得，利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 若，是方程的两个根，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟悉形如的一元二次方程，若它的两个根为、，则有：，，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，代入对应系数直接计算根的和与积即可． 【详解】解：∵方程中，， ，， ∴，， ∴对比选项，选项符合题意． 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 10. 如图，内接于，，．分别以点A和点B为圆心以大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由得出，利用等边对等角得出，再由作图可知是的垂直平分线，可得，可得，进而求得的度数，最后利用圆周角定理即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11. 如图，将一张圆形纸片对折，使圆上的点P与圆心O重合，折痕为，则下列结论错误的是（ ） A. 若连接，则垂直平分弦 B. 的长是的半径长的倍 C. 劣弧的长度是周长的三分之一 D. 若连接，，，则是等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、垂径定理的应用、等边三角形的判定等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据翻折的性质、勾股定理、垂径定理的应用、等边三角形的判定等知识点，逐项分析判断即可． 【详解】解：如图，连接， 由折叠得，垂直平分， 又过圆心， 垂直平分弦， 故A正确，不符合题意； 如图，连接，设与交于点，半径为 ， 垂直平分， ，． 垂直平分， ． 在中， ， ， 即的长是的半径长的倍， 故B错误，符合题意； 如图，再连接， 在中，， ， ， ， ，， 平分， ， 劣弧的长度是， 即劣弧的长度是周长的三分之一， 故C正确，不符合题意； 如图，再连接， ，， 为等边三角形， 故D正确，不符合题意； 综上，错误的结论是B． 故选：B． 12. 已知矩形的周长为．将矩形绕它的一条边旋转，形成一个圆柱．有下列结论： ①当的长为 时，这个圆柱的侧面积为； ②将矩形绕边旋转和绕边旋转，所形成的两个圆柱的侧面积是相等的； ③当矩形的邻边相等时，旋转形成的圆柱的侧面积最大． 其中，正确结论的个数是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆柱的侧面积计算，结合旋转的性质，二次函数的最值．熟悉圆柱侧面积计算公式：（ 为底面半径，为高），理解矩形绕不同边旋转形成圆柱的变化规律，分析二次函数的最值：通过设未知数将侧面积表示为二次函数，分析其最大值情况，是解题的关键． 矩形周长为，设，则. 圆柱侧面积公式为×半径×高，绕旋转时侧面积为，绕旋转时侧面积为，两者相等. 侧面积，为二次函数，最大值在时取得． 【详解】解：∵矩形周长， ∴， 设，则， ∴绕旋转形成圆柱，侧面积， 对于结论①：当时，，，所以结论①错误； 对于结论②：绕旋转侧面积为，绕旋转侧面积为，两者相等，所以结论②正确； 对于结论③：，为二次函数，开口向下，当时最大，此时，所以结论③正确． ∴正确结论有②和③，共个． 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 书桌上放着印有《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》四本书封面的大小相同的纸片，如果从中任取一张，恰好抽到《西游记》的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是概率公式求概率，解题关键是熟练掌握概率公式． 根据题意得出所有等可能结果数及符合题意的情况数即可得解． 【详解】解：由题意，共有种等可能结果，其中符合题意的情况有种， 恰好抽到《西游记》的概率是． 故答案为：． 14. 已知点，点，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，全等三角形对应角相等是解题的关键． 设点的对应点为，过点作轴的垂线 ，垂足为点，由旋转的性质得到 ，，进而证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，设点的对应点为，过点作轴的垂线 ，垂足为点， ，， ． 由旋转性质得， ，， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为． 15. 已知抛物线与x轴有两个不同交点，写出一个符合条件的m的值为______． 【答案】0（答案不唯一，小于1的实数即可） 【解析】 【分析】此题考查了抛物线与x轴交点问题，抛物线与x轴有两个不同交点，则判别式大于零，解不等式即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同交点， ∴ ∴ ． ∴写出一个符合条件的m的值为0． 故答案为：0（答案不唯一，小于1的实数即可）． 16. 如图，在中， ，分别交，于点，．若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， 解得． 故答案为： ． 17. 如图，正方形，E为 边上一点，以为直径的与相切．若，则这个正方形的边长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】令切点，连接 、相交于点，由切线的性质得，由正方形的性质得，从而得，， ，于是，，在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：令切点，连接 、相交于点， ∵与相切， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ， 即N、M分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 即， 解得， 即， ∴或， 解得：（舍去）， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、切线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形的中位线性质、解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A在格点上，点B是小正方形边的中点，有一个经过格点A的圆． （Ⅰ）线段AB的长等于__________； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过点A的圆的切线，并简要说明画图方法（不要求证明）__________ ． 【答案】 取格点、，连接交圆于点，连接交圆于点，连接，则为直径，取圆与格线的交点、，连接，则是直径，与交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于点，连接 交圆于点，连接 交 于点，连接 并延长交 于点，取 与格线的交点，取与格线的交点，连接 并延长交格线于点，连接即为所求． 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了作圆的切线，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，根据相关知识点正确作图是解题的关键． （Ⅰ）由勾股定理即可求解； （Ⅱ）取格点、，连接交圆于点，连接交圆于点，连接，由全等三角形可得 ，则为直径，取圆与格线的交点、，连接，由图可知 ，则是直径，与交于点，则点即为圆心，连接并延长交圆于点，则 为直径，连接 交圆于点，连接 交 于点，则有 ，连接 并延长交 于点，根据三角形的三条高相交于一点，则 ，则 ，取 与格线的交点，取与格线的交点，连接 并延长交格线于点，因为 ， ， ，则，则 ，则 ，则连接即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）由题意得：， 故答案为：． （Ⅱ）略 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 利用配方法解方程：． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）配方，得＋____________，得（______）＝______， （2）降次，可得______＝______， （3）解得______，______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 按照配方法的步骤解方程即可． 【小问1详解】 解：配方，得，得， 故答案为； 【小问2详解】 解：降次，可得， 故答案为； 【小问3详解】 解得． 故答案为． 20. 不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球． （1）用列表法或画树状图法表示出两次摸球的情况； （2）求两次都摸出白球的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图求事件的概率，熟练掌握用列表法或画树状图求事件的概率是关键． （1）根据题意，用列表法表示所有的可能结果即可； （2）根据表中所罗列的9种等可能结果中，两次都摸出白球的有4种，即可根据概率求解公式求解． 【小问1详解】 解：将两个白球分别记为白1，白2， 根据题意，列出表格如下： 红 白1 白2 红 （红，红） （红，白1） （红，白2） 白1 （白1，红） （白1，白1） （白1，白2） 白2 （白2，红） （白2，白1） （白2，白2） 【小问2详解】解：因为一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种， 所以两次都摸出白球的概率是． 21. 如图，中，是 的直径，另两边，分别交 于点D和点E，与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）请你在图中再找出一对相似三角形，并说明相似的理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，直径所对圆周角为 ，圆周角定理，解决本题的关键是结合圆的相关知识证明相似三角形． （1）由直径所对圆周角为 可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，由此可证明相似； （2）根据两对对应角相等证明相似即可． 【小问1详解】 证明：∵是 的直径， ∴，则， ∴， 又， 在 与 中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：在 与中， ， ∴； 在 与 中， ， ∴； 在与 中， ， ∴； 在 与中， ， ∴； 在 与中， ， ∴； 在 与中， ， ∴； 22. 已知是的外接圆， ．D为中点，延长 交边于点E，延长交于点F，连接． （1）如图①，若，求 和的度数； （2）如图②，过点F作的切线，交的延长线于点G．若 ，，求的半径． 【答案】（1） ， （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角，圆的切线定理，三角形内角和定理及勾股定理． （1）由已知条件利用垂径定理得，进而求得 ，再连接，由已知条件得的度数，再由等边对等角得出，利用三角形内角和定理求得的度数，最终通过圆周角定理求得的度数； （2）设半径为r，由切线定理和得出，从而得出，，利用勾股定理列出方程得出r的值，即可求出的半径． 【小问1详解】 解：连接， ∵D为中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∵ ， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设半径为r， ∵ 为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即的半径为． 23. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为 ． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）若的长不能超过 ，． ①当的长度为 时，的长为______； ②若设长为 ，长为，直接写出关于的函数解析式； ③若围成的菜园面积为，则的长度是多少？ （2）若墙足够长，如何设计和的长度，才能使菜园的面积最大．（用含的代数式表示，直接写出答案即可） 【答案】（1）①；②；③或 ； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意并列出方程是解题的关键． （1）①根据题意计算即可； ②根据题意解题即可； ③根据列出方程，进而解题； （2）用含和的式子表示菜园的面积，根据配方法求最值即可． 【小问1详解】 解：①由题意知，， 当 时，； 故答案为：； ②， 且， ∴， 解得， ∴； ③， ∴， 整理得， ， ∴ 或， 即或 ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 其中， ∴， 当时，有最大值， 此时， ∴当，时，菜园的面积最大． 24. 如图①，将一个含的三角板与一个正方形纸片摆放， ， ．现在将三角板绕点逆时针方向旋转，旋转角为，如图②，连接，并延长，直线、相交于点， 交于点．观察图形的变化，完成以下探究活动． （1）①当旋转角时，的度数为__； ②当时，的长度为______； （2）①当旋转角发生变化时，的度数是否发生变化？说明理由． ②请你在图②中连接，取的中点为，连接，求的长． （3）当旋转角从 逐渐增大到时，求的最大值和点所经过路线的长度．(直接写出答案即可) 【答案】（1）① ；② （2）①不变化，理由见解析；② （3）的最大值为，点所经过路线的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、弧长公式，解直角三角形，切线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据旋转的性质，即可求解； ②证△，得到 ，即可求解． （2）①根据，再根据和内角和推导，证即可； ②利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证； （3）先得出由时，取得最大值，解直角三角形即可求解；由（）②可得点，则点的运动轨迹是以为圆心，为半径的弧上，再根据的变化求圆心角即可得解． 【小问1详解】 解：①∵旋转角 ∴当旋转角时，的度数为 故答案为： ． ②∵四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ∴当时，的长度为 故答案为： ． 【小问2详解】 ① ， ， ， ②如图， 是直角三角形， ， 又，是中点， ； 【小问3详解】 ∵ ， ∴在以为圆心为半径的圆上运动， 设到的距离为，则， ∵，， ∴当取得最大值时，最大，此时最大， ∴时，取得最大值 此时∵ ∴ ∴， 此时，即 ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的弧， 当 时， 点经过路线的长度为 25. 已知抛物线 ，（，，为常数， ， ，），抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为． （1）若 ，， ． ①求点的坐标； ②直线（是常数，）与抛物线相交于点，与相交于点，当取得最大值时，求点，的坐标； （2）将抛物线绕点旋转 后得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线．有点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点 ，连接 ，．若 ，，当取得最小值时，求的值． 【答案】（1）①；②， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）①先求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解；②先求出，的坐标，再求出直线的解析式，得到，，推出，最后根据二次函数的性质即可求解； （2）由题意可得抛物线的对称轴直线，解析式为，，进而得到，由旋转可知抛物线，其对称轴直线，得到，证明四边形是平行四边形，得到，则，当，，三点共线时，取得最小值，最后根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①由题意得 ， ， 顶点， ②当时，有 ， 解得 ， ， ，， 当时，， 抛物线与轴交点， 设直线的解析式为， 将，分别代入得， 解得， 直线的解析式为 ， ，，， ， ，， 当时，取得最大值，此时，； 【小问2详解】 解： ， ，抛物线的对称轴直线， ， ， ，，且， ，将代入， 得到， ， 又， ①， 将抛物线绕点旋转 后得到抛物线， 抛物线，抛物线的对称轴直线， ， 动点在直线上，轴与直线相交于点 ， ，将点向左平移个单位至， 则， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 和关于直线对称， ， ， 当，，三点共线时，取得最小值， 即， ，且， 解得，代入①得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河西区2025－2026九年级数学期末试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知的半径长为，点P在内，那么的长度有可能为（ ） A. B. C. D. 2. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射．下列航天图案可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列两个图形，一定是相似图形的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个矩形 C. 两个正五边形 D. 两个长度相同的圆弧 4. 已知 和 相似，且对应边的比为，则 和 的对应边上的高之比为（ ） A. B. C. D. 5. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出一个问题，大意是：一块长方形的田地面积是864平方步，已知它的宽比长少12步．问长与宽各多少步？如果设长方形的宽为x步，则列出的方程可以为（ ） A. B. C. D. 6. 一个扇形的圆心角为，则这个扇形的面积S与扇形所在圆的半径R之间的函数关系满足（ ） A. 正比例关系 B. 反比例关系 C. 一次函数关系 D. 二次函数关系 7. 如图，点A，B，C都在上，若，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若，是方程的两个根，则（ ）. A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 内接于，，．分别以点A和点B为圆心以大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 交于点D，连接并延长交于点E，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将一张圆形纸片对折，使圆上的点P与圆心O重合，折痕为，则下列结论错误的是（ ） A. 若连接，则垂直平分弦 B. 的长是的半径长的倍 C. 劣弧的长度是周长的三分之一 D. 若连接，，，则是等边三角形 12. 已知矩形的周长为．将矩形绕它的一条边旋转，形成一个圆柱．有下列结论： ①当的长为时，这个圆柱的侧面积为； ②将矩形绕边旋转和绕 边旋转，所形成的两个圆柱的侧面积是相等的； ③当矩形的邻边相等时，旋转形成的圆柱的侧面积最大． 其中，正确结论的个数是（ ）. A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 书桌上放着印有《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》四本书封面的大小相同的纸片，如果从中任取一张，恰好抽到《西游记》的概率是______． 14. 已知点，点，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为______． 15. 已知抛物线与x轴有两个不同交点，写出一个符合条件的m的值为______． 16. 如图，在中， ，分别交 ，于点，．若，，，则的长为______． 17. 如图，正方形，E为边上一点，以为直径的与 相切．若，则这个正方形的边长为______． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A在格点上，点B是小正方形边的中点，有一个经过格点A的圆． （Ⅰ）线段AB的长等于__________； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过点A的圆的切线，并简要说明画图方法（不要求证明）__________ ． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 利用配方法解方程：． 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）配方，得＋____________，得（______）＝______， （2）降次，可得______＝______， （3）解得______，______． 20. 不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球． （1）用列表法或画树状图法表示出两次摸球的情况； （2）求两次都摸出白球的概率． 21. 如图，中，是 的直径，另两边 ， 分别交 于点D和点E，与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）请你在图中再找出一对相似三角形，并说明相似的理由． 22. 已知是 的外接圆， ．D为中点，延长交边于点E，延长交于点F，连接． （1）如图①，若，求 和的度数； （2）如图②，过点F作的切线，交的延长线于点G．若 ，，求的半径． 23. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边 ， ，用篱笆，且这三边的和为 ． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）若的长不能超过 ，． ①当 的长度为 时， 的长为______； ②若设 长为 ， 长为，直接写出关于的函数解析式； ③若围成的菜园面积为，则 的长度是多少？ （2）若墙足够长，如何设计 和 的长度，才能使菜园的面积最大．（用含的代数式表示，直接写出答案即可） 24. 如图①，将一个含的三角板与一个正方形纸片摆放， ， ．现在将三角板绕点逆时针方向旋转，旋转角为，如图②，连接，并延长，直线、相交于点， 交于点．观察图形的变化，完成以下探究活动． （1）①当旋转角时，的度数为__； ②当时，的长度为______； （2）①当旋转角发生变化时，的度数是否发生变化？说明理由． ②请你在图②中连接 ，取 的中点为，连接，求的长． （3）当旋转角从 逐渐增大到时，求的最大值和点所经过路线的长度．(直接写出答案即可) 25. 已知抛物线 ，（，，为常数， ， ，），抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为． （1）若 ， ， ． ①求点的坐标； ②直线（是常数，）与抛物线相交于点，与相交于点，当 取得最大值时，求点，的坐标； （2）将抛物线绕点旋转 后得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线．有点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接 ，．若 ，，当取得最小值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $