贵州省遵义市第二中学2024-2025学年高一上学期第2次月考数学试题

(高一)2024年秋第2次月考 (试卷满分：150分试题量：19) 一、单选题（本题共8小题总分40分） 1.(5分)已知集合U={0,4,8,10,12},A={4,8,12,则a4=() A.{0,10 B.{0,4,8 C.{0,4,8,10 D.{0,4,8,10,12 2.(5分)命题3x,∈R,使得+1<2的否定为() A.x∈R,x+->2 B.3x。∈R,使得x+ 12 X Xo .1 C.x∈R,x+-≥2 D.3x。∈R,使得x+ 1z2 Xo 3.(5分)如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合A©B为阴影部分表示的集合.若 A={xx=2n+1,n∈N,n≤4}，B={2,3,4,5,6,7},则A⑧B=() A.{2,4,6,} B.{2,4,6,9 C.{2,34,5,6,7} D.{1,2,4,6,9 4.(5分)已知不等式ar+r-1>0的解集为d-) 1 ,则不等式x2-bx-a≥0的解 集为() A.x≤-3或x2-24 B.{x-3≤x≤-2} C.{x2≤r≤3} D.{x≤2或x≥3 5.(5分)若“0<x<1"是“x-a)[x-(a+2<0"的充分不必要条件，则实数a的取值范围是() A.(al-1saso B.{a-1<a<0 C.{aa≤0或a≥l} D.{aa<-1或a>05 6.(5分)已知x>1,y>0,且 1+2=1,则x+2y-1的最小值为（） -1”y A.9 B.10 C.11 D.7+2V6 7.(5分)已知2≤2x+3y≤6，-3≤5x-6y≤9，则z=11x+3y的取值范围是() A. z 89 3 3 B写s:s27 23s:s 89 C. 3】 D.{z3≤z≤27} 8.(5分) 已知关于x的不等式(x-2a)[x2-(2a+1)x+1]20对任意x∈(0，+o)恒成立，则实数a的取 值范围是() A[0B[ C.(-o,0] D（别 二、多选题（本题共3小题总分18分） 9.(6分)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式成立的是() A.Vab≤2B.a2+b2≥8 C. D.0<1s1 ab4 10.(6分)已知集合A={4am2-4(a+2)x+9=0中只有一个元素，则实数a的可能取值为() A.0 B.1 C.2 D.4 11.(6分)已知a>b,则下列不等式中正确的是() A.a2>ab B.b2>ab C.atb>b D.a2(a-b)>b2(b-a) 2 三、填空题（本题共3小题总分15分） 12.(5分)已知集合A={xx2-6x-7=0},则A的真子集的个数是 13.(5分) 分式不等式 x+1 ≥2的解集为 3x-2 14.(5分)若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”：若两个集合有公共元素，且互 不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A={1,2,B={xax2=2,a20,若 这两个集合构成“鲸吞"或“蚕食”，则a的取值集合为 四、解答题（本题共5小题总分77分） 15.(13分)已知全集U=R,集合A={x2≤x≤5}，B={xx<a. (1)若a=3,求A∩(CB) (2)若A∩B≠☑，求实数a的取值范围. 16,5分》1)已知x>号求x+3x22 2 2 的最小值； (2)已知x>0,y>0,且2+3=1，求3x+y的最小值 xV 17.(15分) 已知关于x的不等式x2-x+1-a<0, (1)当a=2时，解关于x的不等式： (2)当a∈R时，解关于x的不等式. 18.(17分)如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C 在DG上，且B在EG上.若AD=30米.DC=20米，设DG=x米(x>20). 0 (I)要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围： (2)当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积 19.(17分)平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置，基 本不等式a+也≥V0ba>0.b>0)就是最简单的平均值不等式。一般地，假设4,4，a,为n 个非负实数，它们的算术平均值记为4，=4+a++a=∑a(注立4，=4+4++a,。 几何平均值记为G,=(a4,a,)广-(0亦（注：a=a4…a,算术平均值与几何 平均值之间有如下的关系：+a+…+a≥a4…口，即4≥G,当且仅当 a=4,=…=a,时等号成立，上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式 (1)已知x>y>0,求x+- (-的最小值： (2)已知正项数列{an},前n项和为S, (i)当s.=1时，求证：1-a)2(m2-)”1a: m求证0+小2器 (高一）2024年秋第2次月考 (试卷满分：150分试题量：19) 一、单选题（本题共8小题总分40分） 1.(5分)【答案】A 【分析】根据补集的运算法则即可得出结果， 【详解】由补集的定义可知，A={0,10}, 故选：A 2.(5分)【答案】c 【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出原命题的否定作答 【详解】命题”式，eR,使得6+<2的否定为xeR,+≥2 故选：C 3.(5分)【答案】D 【分析】分析可知A⑧B=xr∈(AUB),rE(A⌒B)},求出集合A、AUB、AOB,即可 得集合A⑧B 【详解】由韦恩图可知，A⑧B={x∈(AUB)x(4nB)}, 因为A={xx=2n+1,n∈N,n≤4}={1,3,5,7,9}，B={2,34,5,67}, 则AUB={1,2,3,4,5,6,7,9},A∩B={3,5,7},因此，A⑧B={L,2,4,6,9} 故选：D 4.(5分)【答案】A 【分析】根据给定的解集求出a,b值，再代入角一元二次不等式即可. 【1因为不等式m+版=1>0的解类为-分<-司引 11 [1(1)-b 因此ar2+br-1=0的两根为-。 2t3-a 23 ，且a<0,即 ,解得 a=-6,b=-5, 所以不等式x2-bx-a≥0化为x2+5x+6≥0，其解集为{x≤-3或x2-2}· 故选：A 5.(5分)【答案】A 【分析】由0<x<1是a<x<a+2的充分不必要条件即可得出a的范围. 【详解】解(x-a)[x-(a+2)<0得：a<x<a+2, 0<x<1是(x-a)[x-(a+2)<0的充分不必要条件， 1≤a+2 所以 且等号不同时成立，解得：-1≤a≤0 a≤0 故选：A 6.(5分)【答案)】A 【分】利用乘1法将行您装化为-0+2日}胸最个值，然后是开利用装本 不等式求解 【详解】Qx>1,六-1>0，又y>0,且+2=1， x-1 y 42-1w-2升5+225 2y2x-D=9, x-1 v Vx-1 y 当且仅当各，解得4时等号立 故x+2y-1的最小值为9. 故选：A, 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正”就是各项必须为正数： (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值：要求积的最大值， 则必须把构成积的因式的和转化成定值： (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这 个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7.(5分)【答案】D 【分析】根据题意，设11x+3y=m(2x+3y)+n(5x-6y),由相等关系列方程组求出m,n, 再利用不等式的性质求z=11x+3y的取值范围. 【详解】设11x+3y=m(2x+3y)+n(5.x-6y),则11x+3y=(2m+5n)xr+(3m-6n)y, 所以 3m-6n=3,解得m=3 2m+5n=11 n=1' 于是11x+3y=3(2x+3y)+(5x-6y) 又6≤3(2x+3y)≤18，-3≤5x-6y≤9， 所以3≤3(2x+3y)+(5x-6y)≤27，即3≤11x+3y≤27 故{3≤z≤27}. 故选：D. 8.(5分)【答案】c 【分析】根据判别式进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法、根与系数关系等知识确定 正确答案， 【详解】对于函数y=x2-(2a+1)x+1,△=(2a+1)2-4. 0令A=2a+-4≤0，即-5a≤分，满是y=-(2a+r+1≥0恒成立. 因此，只需2a50,即a≤0，所以-子5a50, @令A=(a+-40,即a>或a<号 设方程x2-(2a+1)x+1=0的两根分别为x,x2,则x+:2=2a+1,x2=1. 当a>二时，方程x2-(2a+1)x+1=0有两个正根， 存在x∈(0，+o),使得(x-2a)x2-(2a+1)x+1<0,不符合题意，舍去： 当a<-时，方程x-(2a+)x+1=0有两个负根， 因此，只需2a≤0，即a≤0，所以a<多 综上所述，a的取值范围为(-o,0]. 故选：C 二、多选题（本题共3小题总分18分） 9.(6分)【答案】ABC 【解析】利用基本不等式可判断ABD选项的正误，将代数式十与。+方相乘，展开后利 4. 用基本不等式可判断C选项的正误 【详解】对于A选项，由基本不等式可得而≤也=2，当且仅当a=b=2时，等号成立， A选项正确： 对于B选项，2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)=16,a2+b2≥8 当且仅当a=b=2时，等号成立，B选项正确： 对好c选现g小小 当且仅当a=b=2时，等号成立，C选项正确： 对于D选项由A选项可知，历≤2，即0<的s4,“古行D选项错误 故选：ABC 【点睛】易错点晴：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等一正”就是各项必须为正数： (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值：要求积的最大值， 则必须把构成积的因式的和转化成定值： (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这 个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10.(6分)【答案】ABD 【分析】分别按一次方程、二次方程讨论，即可确定a的取值 【详解】当a=0时、8+9-0，解得x-号所以4侵，符合区意： 当a≠0时，由题意，得△=[4(a+2)]-4×4a×9=0,解得a=1或a=4. 故选：ABD 11.(6分)【答案】CD 【分析】应用作差法判断各选项中不等式的正误。 【详解】由a>b,可得a-b>0,b-a<0. A:由a2-ab=a(a-b),当a<0时，a2<ab,故不正确： B:由b2-ab=b(b-a),当b>0时，b2<ab,故不正确： C由生-6=”2>0，放正确 2 D:由a2(a-b)-b(b-a)=(a2+b2)(a-b)>0,故正确. 故选：CD 三、填空题（本题共3小题总分15分） 12.(5分)【答案】3 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合A,再求出其真子集个数. 【详解】依题意，A={-1,7},所以A的真子集的个数是22-1=3. 故答案为：3 13.(5分)【答案】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解. 【详解】由x+,≥2，得x+1-6x+4≥0， 3x-2 3x-2 即5-5x0, 3x-2 (5-5x)3x-2)≥ 所以 ,解得2<x≤1， 3x-2≠0 3 所以不等式的解集为 故答案为： 14.(5分)【答案】 时2 【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出a值，即可求解 【详解】当a=0时，B=☑，此时满足B∈A, 当a>0时， B 此时A,B集合只能是“蚕食”关系， 所以当A,B集合有公共元素 2 =-1时，解得a=2, 当A,B集合有公共元素、 2=2时，解得a=2 故a的取值集合为{022}。 故答案为： 02 四、解答题（本题共5小题总分77分） 15.(13分)【答案】)An(aB)={3≤x≤5} (2){ala>-2 【分析】(1)直接根据交集和补集的运算，即可求解： (2)直接由A∩B≠⑦，即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)若a=3,则B=xx<3},所以aB={x|x23},所以AO(aB)={x3≤x≤5}： (2)因为A∩B≠☑，且A={x-2≤x≤5}，B={xx<a},所以a>-2,即实数a的取值 范围是{aa>-2}. 16.(15分)【答案】（1D26+2,(2)9+65 3 【分标10①变换己。x-2小22子再利用均值不等式计第得到溶案 .2 (2)变换3x+y=(3x+2, 展开利用均值不等式计算得到答案 x y 【保1品-小品 2 22_26+2 ≥253x-23x-2*5 3 当且仅当时0-2小3己7即2牛6时特号成立 3 axy=6+很华学9+：臣96， Vx v 当且仅当2y-9x,即x=2+2,y=32+3时等号成立. y 17.(15分)【答案】)x<4小：2)详见解折 【分析】(1)将不等式化为(2x+1)(x-1)<0即可求得结果：(2)将不等式化为 (-ax+a-小<0：当a=0时直接求得x>1:当a>0时，不等式变为(-1-》0。 计算(cx-)(ar+a-1)=0的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集：当a<0时，不等式 变为(x-)x+1->0,根据方程(x-ax+a-)=0两根大小关系即可得到解集 a 【详解】(1)当a=2时，不等式2x2-x-1<0可化为：(2x+1)(x-)<0 不等式的解集为女1宁<到 (2)不等式ax2-x+1-a<0可化为：(x-1)(ar+a-1)<0, (i)当a=0时，-x+1<0,解得：x>1.不等式解集为{xx>1} (i)当a>0时，(x-1)x+1-I<0, a (-+1-》=0的根为：高=1，名合 ⊙当0<a<时，1<。1不等式解集为{x1<x<1小 a @当a=时，1=】1，不等式解集为g 回当a>号时，1>1不等式解集为x1<x<1小 a 面)当<0：-x1-}>0 此时上1<0<1不等式解集为xx<1或x>1) a 【点睛】本题考查不含参数和含参数的一元二次不等式的求解问题：关键是能够根据一元二 次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系，分别在参数不同范围的情况下讨论一元二 次方程根的大小，从而得到解集：易错点是忽略了二次项系数为零的情况，导致情况不完整 18.(17分)【答案】)0<x30或x)6o} (2)当DG的长度为40米时，矩形DEFG的面积最小为2400平方米 【分析】(1)根据相似关系列出等式即可求解：(2)根据均值不等式即可求解， 【详解】(1)因为DG=x,DC=20,所以CG=x-20, 又.conE,所u答-2是 tDE,所以DE=30e x-20 所5me-cE恶2>m. 解得20<x<30或x>60,即x的取值范围是{x20<x30或x)60}: (2)由(1)知 Sesnro=30x x-20 --9到0网m x-20 当且仅当x=40时等号成立 故当DG的长度为40米时，矩形DEFG的.积最小为2400平方米.