2025--2026学年沪教版八年级数学上册 寒假代数重难点 讲练

沪教版新8年级上代数重难点复习讲+练 一．实数计算（共6小题） 1．（2025秋•徐汇区校级期中）已知|ab﹣2|与|b﹣1|所表示的数互为相反数，求⋯的值． 2．（2024春•黄浦区校级期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根． 3．（2024春•浦东新区期中）先计算下列各式：1，2，　 　 ，　 　 ，　 　 ． （1）通过观察并归纳，请写出：　 　 ． （2）计算：　 　 ． 4．（2025春•广信区期末）观察下列各式及其验证过程： 验证：； 验证：； 验证：； 验证：． （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明． 5．（2024秋•宝山区校级期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝ 　 　 ，线段AB的中点表示的数为 　 　 ； ②当t为 　 　 秒时，点P与点Q相遇． （2）①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 　 ；点Q表示的数为 　 　 ； ②若将数轴翻折，使点A与数轴上表示6的点重合，则此时点B与数轴上表示数 　 　 的点重合． （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 6．（2008春•南汇区期中）（1）计算：（结果表示为含幂的形式）． （2）计算：． 二．二次根式（共11小题） 7．（2025秋•青浦区校级月考）化为最简二次根式： ①　 　 ； ②　 　 ． 8．（2025秋•虹口区校级期中）解不等式：． 9．（2018秋•上海期中）已知m，n，求m2﹣mn+n2的值． 10．（2025秋•浦东新区校级期中）数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．有这样一类题目：如何将双重二次根式化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且，则可变形为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得以化简．例如： ∵ ∴ 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且a，x，y为正整数，求a的值． 11．（2018春•浦东新区期中）已知x，y，比较x与y的大小． 12．（2025秋•浦东新区校级期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（　　） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 13．（2024秋•浦东新区月考）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：S，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面积； （2）计算（1）中△ABC的BC边上的高． 14．（2024秋•浦东新区校级月考）观察下面的式子： S1＝1，S2＝1，S3＝1Sn＝1 （1）计算：　 　 ，　 　 ；猜想　 　 （用n的代数式表示）； （2）计算：S（用n的代数式表示）． 15．（2024秋•杨浦区校级期中）观察下列各式及验证过程： ， 验证：； ， 验证：； ， 验证：． （1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n≥1）表示的等式，并给出证明． 16．（2025秋•浦东新区校级期中）化简求值：当x＝3，y＝4时，求代数式的值． 17．（2024秋•浦东新区校级月考）已知x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985．试求正整数n． 三．一元二次方程-根与系数关系（共26小题） 18．（2024秋•闵行区校级月考）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．3 19．（2025秋•嘉定区期中）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 20．（2025秋•闵行区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（　　） A．若方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0是半根方程，则4m2+5mn+n2＝0 B．一元二次方程x2﹣x﹣2＝0是半根方程 C．一元二次方程x2﹣4＝0是半根方程 D．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是半根方程，则系数满足2b2＝9ac 21．（2025秋•长宁区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），下列条件：①ac＜0；②abc＞0；③2a﹣b+c＝0；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 22．（2025秋•闵行区校级期中）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若m2﹣2n＜0，则方程没有实数根；③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，则是方程nx2﹣mx+1＝0的一个根．正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 23．（2025秋•杨浦区校级期中）关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的有（　　）个． ①若b2﹣4ac＜0，则该方程没有实数根； ②若b＝0，则该方程的两个根互为相反数； ③若c＝0，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是，则另一个根是． A．1 B．2 C．3 D．4 24．（2025秋•闵行区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2﹣5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 25．（2024秋•浦东新区校级月考）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，那么就有：x1+x2，x1•x2；人们称之为韦达定理，即根与系数的关系． 如：2x2+2x﹣5＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣1，x1•x2． （1）如果方程2x2﹣mx+n＝0的两根为x1、x2，且满足x1+x2＝2，x1•x2，则m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）已知a、b是关于x的方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5＝0的两实根，求a2+b2的最大值． 26．（2024秋•静安区校级期中）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣2＝0． （1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为3，求2m2+12m+2038的值． 27．（2025秋•杨浦区校级期中）已知α、β是方程x2﹣7x+8＝0的两个根，且α＞β，不解方程，利用根与系数的关系，求的值． 28．（2024秋•杨浦区校级期中）若α为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根； （1）则方程的另外一个根β＝　 　 ，t＝　 　 ； （2）求α6+8β的值． （3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2． 29．（2025秋•普陀区校级月考）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝7，求实数m的值； （3）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边长，求这个三角形的周长． 30．（2025秋•上海校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2mx+m﹣10＝0． （1）若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （2）先化简，再求值：，其中m为（1）中取值范围内的最小整数解，n是原方程的正根． 31．（2024秋•浦东新区校级期中）设x1、x2是方程x2+px+q＝0的两个有理根，已知，那么p+q的值为 　 　 ． 32．（2025秋•闵行区校级期中）已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　 　 ． 33．（2025秋•黄浦区校级期中）阅读下列材料： 当x为实数时，求的最大值．设y，将其化为关于x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（y﹣2）xy＝0．因为x为实数，就是这个方程有实数根，所以b2﹣4ac＝（y﹣2）2﹣4（y﹣3）y＝﹣y+4≥0，得y≤4，即的最大值为4．则x为实数时，的最小值是　 　 ． 34．（2025秋•奉贤区校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程6x2+7x﹣5＝0和（x﹣1）（x+m）＝0为“同伴方程”，则m的值为　 　 ． 35．（2025秋•闵行区校级期中）已知三个不同的实数a、b、c满足a﹣b+c＝3，关于x的方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实数根，关于x的方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实数根，则a+b+c的值为　 　 ． 36．（2025秋•碑林区校级期中）已知a是方程x2﹣2025x+1＝0的一个根，则a2﹣2024a　 　 ． 37．（2025秋•黄浦区校级月考）已知方程的一个根为0，则m＝　 　 ． 38． （2025秋•长宁区校级月考）若a，b，c，d为互不相等的实数，且满足 ，则　 　 ． 39．（2025秋•青浦区校级月考）已知关于x一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列结论：①若2a+3c＝0，那么方程有两个不相等的实数根；②若b＝﹣2ac，则b2﹣4ac≥0；③若方程ax2+bx+c＝0两根为x1＝﹣1和x2＝2，则2ab0；④若b＜0，a+b＞0，a﹣c＜0，那么方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解．其中正确的是　 　 ． 40．（2025秋•虹口区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相筹的实数根． （2）若方程两个实数根的平方和等于5，求m的值及方程的两根． 41．（2025秋•闵行区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围： （2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 42．（2025秋•黄浦区校级期中）综合理解： 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0，它有两个实数根x1和x2，有以下关系式：x1+x2． （1）设方程x2x﹣1＝0的两个根为α、β，则α+β＝ 　 　 ， 　 　 ； （2）设关于x的方程x2﹣kx+k﹣1＝0的两个实数根为α、β，且2α+β＝4，则k的值为 　 　 ； （3）已知αβ≠1，且α2+20α+25＝0及25β2+20β+1＝0，求的值． 43．（2025秋•上海校级期中）赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0（x＞0）为例，构造方法如下： 第一步：将原方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）变形为x（x+2）＝35（x＞0）； 第二步：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4； 第三步：得新方程（x+x+2）2＝144；因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2，那么此方程的正根为　 　 ． 四．一元二次方程应用（共6小题） 44．（2025秋•闵行区校级月考）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田AB为m米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 45．（2024秋•长宁区月考）校园内有一块长为40m，宽为30m的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． （1）如图1，测得草坪的面积是1064m2，求道路的宽度；（参考数据：662＝4356，332＝1089） （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 46．（2024秋•嘉定区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． （1）求经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？ （2）△PBQ的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 47．（2025秋•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿边CA运动，速度为1cm/s．与此同时，点E从点B开始沿边BC运动，速度为2cm/s．当点E到达点C时，点D，E同时停止运动．连接AE，DE，设运动时间为ts，△ADE的面积为Scm2． （1）用含t的代数式表示：CD＝ 　 　 cm，CE＝ 　 　 cm； （2）当CD为何值时 48．（2024秋•静安区校级期中）商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． （1）降价后每套拖把盈利 　 　 元，平均每天可销售 　 　 套（用含x的代数式表示）； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ （3）该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 49．（2025秋•黄浦区校级月考）某地蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由． 五．四、课后巩固（共11小题） 50．（2024秋•浦东新区校级月考）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值． 51． （2024秋•闵行区期中）设x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根， 有，请你根据以上材料解决问题：已知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3m2+3n﹣mn的值等于 　 　 ． 52．（2024秋•闵行区校级期中）方程20252x2﹣2024×2026x﹣1＝0的较大根是m，方程2024x2+2025x+1＝0较小根为n，则（m﹣n）2的值为 　 　 ． 53．（2025秋•闵行区校级期中）材料一：观察等式，其左边是两个含有次根式的代数式相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 材料二：根式化简 ． ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1）　 　 ；（直接写出答案） （2）计算：　 　 ；（直接写出答案） （3）计算：； （4）计算：． 54．（2025秋•松江区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于x的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是　 　 ． 55．（2025秋•虹口区校级期中）请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． （2）关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）有一个实数根为2025，则方程cx2+bx＝a一定有实数根　 　 ． （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3、﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 56．（2024秋•浦东新区月考）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P、Q同时出发，当某个点先到达终点时，运动终止．问：几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？ （2）如果P、Q同时出发，且点Q到达点C后立即返回，速度保持不变，直到点P到达点C后同时停止运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于1平方厘米？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 57．（2025秋•青浦区校级期中）商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． （1）降价后每套拖把盈利 　 　 元，平均每天可销售 　 　 套（用含x的代数式表示）； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ 58．（2024秋•浦东新区校级期中）综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小明家走道旁靠墙处地面上有一块如图1大小的空闲区域，该区域可以放置合适大小的储物盒，小明家中有许多闲置的纸板箱． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为acm（a＜50cm）长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小明分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 任务1 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入如图1的空闲区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为　 　 cm． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 任务2 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是600cm2，求裁去小正方形的边长． 任务3 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为608cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 59．（2024春•黄浦区期中）先阅读以下解答过程，再解答． 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n， 使得m，，那么便有（a＞b）． 例如化简： 解：． 运用上述方法化简： （1）　 　 ； （2）　 　 ． 60．（2025秋•闵行区校级期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t（单位：s）和下落高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）物体从20m的高空落到地面的时间为　 　 s． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为0.05kg的鸡蛋经过6s落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版新8年级上代数重难点复习讲+练 参考答案与试题解析 一．实数计算（共6小题） 1．（2025秋•徐汇区校级期中）已知|ab﹣2|与|b﹣1|所表示的数互为相反数，求⋯的值． 【分析】由题意可知，|ab﹣2|+|b﹣1|＝0，根据绝对值的非负性可得|ab﹣2|＝0，|b﹣1|＝0，进而求出a和b的值，再代入所求式子即可． 【解答】解：由题意可知，|ab﹣2|+|b﹣1|＝0， ∴|ab﹣2|＝0，|b﹣1|＝0， ∴b＝1，a＝2， ∴原式 ＝1 ＝1 ． 【点评】本题考查了代数式求值，绝对值的非负性，得出，以及抵消法的运用是解题的关键． 2．（2024春•黄浦区校级期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根． 【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根． 【解答】解：由题意，有， 解得． ∴±±3． 故a+b的平方根为±3． 【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根． 3．（2024春•浦东新区期中）先计算下列各式：1，2，　3　 ，　4　 ，　5　 ． （1）通过观察并归纳，请写出：n ． （2）计算：　26　 ． 【分析】（1）先计算出各二次根式的值，根据计算结果找出其中的规律，然后用含n的式子表示； （2），2，3，然后找出其中的规律进行计算即可． 【解答】解：（1）1； 2 3， 4， 5， … 观察上述算式可知：n． （2）， 2， 3， … 26． 故答案为：3；4；5；（1）n；（2）26． 【点评】本题主要考查的是探索数字的变化规律，找出其中蕴含的规律是解题的关键． 4．（2025春•广信区期末）观察下列各式及其验证过程： 验证：； 验证：； 验证：； 验证：． （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明． 【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a（a≥0），把根号外的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号内的； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1﹣其中 根号内的分母是分子的平方减去1． 【解答】解：（1）．验证如下： 左边右边， 故猜想正确； （2）．证明如下： 左边右边． 【点评】此题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质．观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 5．（2024秋•宝山区校级期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝ 　20　 ，线段AB的中点表示的数为 　6　 ； ②当t为 　4　 秒时，点P与点Q相遇． （2）①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣4+3t ；点Q表示的数为 　16﹣2t ； ②若将数轴翻折，使点A与数轴上表示6的点重合，则此时点B与数轴上表示数 　﹣14　 的点重合． （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【分析】（1）①根据两点间的距离公式，中点坐标公式即可得到结论； ②根据时间＝路程和÷速度和，列出算式计算即可求解； （2）①根据路程＝速度×时间即可求解； ②先根据中点坐标公式求得翻折点，进一步求得点B对应的数； 当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论； （3）由点M表示的数为4t，点N表示的数为6t，即可得到结论． 【解答】解：（1）①A、B两点间的距离AB＝16﹣（﹣4）＝20，线段AB的中点表示的数为（16﹣4）÷2＝6； ②20÷（3+2）＝4（秒）． 故当t为4秒时，点P与点Q相遇． （2）①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣4+3t；点Q表示的数为16﹣2t； ②（﹣4+6）÷2＝1， 16﹣（16﹣1）×2＝﹣14． 故此时点B与数轴上表示数﹣14的点重合． （3）点M表示的数为4t，点N表示的数为6t， MN＝6t﹣（﹣4t）＝10． 故线段MN的长度没有发生变化，线段MN的长为10． 故答案为：20，6；4；﹣4+3t，16﹣2t；﹣14． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 6．（2008春•南汇区期中）（1）计算：（结果表示为含幂的形式）． （2）计算：． 【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可； （2）分别根据同底数幂的乘法及二次根式的化简计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝2325 25 ＝24． 【点评】本题考查的是实数的混合运算，熟知同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则及二次根式的化简是解答此题的关键． 二．二次根式（共11小题） 7．（2025秋•青浦区校级月考）化为最简二次根式： ①　　 ； ②　　 ． 【分析】①根据二次根式的性质化简即可； ②根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：①． 故答案为：； ②． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，最简二次根式，掌握二次根式的性质，最简二次根式的定义是解题的关键． 8．（2025秋•虹口区校级期中）解不等式：． 【分析】按照移项、合并同类项、系数化1的顺序依次计算即可，注意最后结果化为最简． 【解答】解：移项得：x﹣2x＞﹣2 合并同类项得：（2）x＜﹣2， 即：（2）x＞2 系数化1得：x 化简得：x＞7+4 【点评】本题考查了二次根式的应用及一元一次不等式的解法，属于基础运算，应该重点掌握． 9．（2024秋•上海期中）已知m，n，求m2﹣mn+n2的值． 【分析】先将m2﹣mn+n2变形为（m﹣n）2+mn，然后将m和n的值代入求解即可． 【解答】解：∵m2， n2， ∴m2﹣mn+n2 ＝（m﹣n）2+mn ＝（﹣22）2+（﹣2）（﹣2） ＝20﹣1 ＝19． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于先将m2﹣mn+n2变形为（m﹣n）2+mn，然后将m和n的值代入求解． 10．（2025秋•浦东新区校级期中）数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．有这样一类题目：如何将双重二次根式化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且，则可变形为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得以化简．例如： ∵ ∴ 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且a，x，y为正整数，求a的值． 【分析】（1）根据阅读部分的提示把化为，从而可得答案； （2）根据阅读部分的提示把化为，从而可得答案； （3）由，可得，可得，结合a，x，y为正整数，从而可得答案． 【解答】解：（1）； （2）； （3）∵，， ∴， ∴，即， ∵a，x，y为正整数， ∴或， 当时，a＝x2+3y2＝12+3×52＝76， 当时，a＝x2+3y2＝52+3×12＝28， 综上：a的值为：76或28． 【点评】本题考查的是二次根式的乘法运算，二次根式的化简，理解题意，掌握化简的方法是解本题的关键． 11．（2024春•浦东新区期中）已知x，y，比较x与y的大小． 【分析】将x、y分别平方后，比较即可得． 【解答】解：x2＝12+2、y2＝12+2， 因为大于， 所以 x＞y． 【点评】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的大小比较的方法和二次根式的运算法则． 12．（2025秋•浦东新区校级期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（　　） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【分析】先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，得到结果的形式后判断类型． 【解答】解：原式 ， 故为型无理数． 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键． 13．（2024秋•浦东新区月考）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：S，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面积； （2）计算（1）中△ABC的BC边上的高． 【分析】（1）由三角形的边角命名修改找出a、b、c的值，代入海伦公式即可得出结论； （2）由三角形的面积S＝底×高÷2，代入数据，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AB＝5，BC＝6，CA＝7， ∴a＝6，b＝7，c＝5，p9， ∴△ABC的面积S6． （2）设BC边上的高为h， 则6×h＝6， 解得h＝2． 【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明白海伦公式的运用，代入数据即可． 14．（2024秋•浦东新区校级月考）观察下面的式子： S1＝1，S2＝1，S3＝1Sn＝1 （1）计算：　　 ，　　 ；猜想　　 （用n的代数式表示）； （2）计算：S（用n的代数式表示）． 【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可； （2）根据（1）的结果进行拆项得出1111，再转换成n+（1） 即可求出答案． 【解答】（1）解：∵S1＝1， ∴； ∵S2＝1， ∴； ∵S3＝1， ∴； ∵Sn＝1， ∴， 故答案为：，，； （2）解：S ＝1111 ＝n+（1） ＝n+1， ． 【点评】本题考查了二次根式的化简，主要考学生的计算能力，题目比较好，但有一定的难度． 15．（2024秋•杨浦区校级期中）观察下列各式及验证过程： ， 验证：； ， 验证：； ， 验证：． （1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n≥1）表示的等式，并给出证明． 【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a（a≥0），把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【解答】解：（1） 验证：； （2）． 验证：． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 16．（2025秋•浦东新区校级期中）化简求值：当x＝3，y＝4时，求代数式的值． 【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可． 【解答】解：原式 3 ＝24， 当x＝3，y＝4时，原式＝2428． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键． 17．（2024秋•浦东新区校级月考）已知x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985．试求正整数n． 【分析】首先化简x与y，可得：x＝（）2＝2n+1﹣2，y＝2n+1+2，所以x+y＝4n+2，xy＝1；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得． 【解答】解：化简x与y得：x2n+1﹣2，y2n+1+2， ∴x+y＝4n+2，xy[（）（）]2＝1， ∴将xy＝1代入方程，化简得：x2+y2＝98， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2×1＝100， ∴x+y＝10． ∴4n+2＝10， 解得n＝2． 【点评】此题考查了二次根式的分母有理化．解题的关键是整体代入思想的应用． 三．一元二次方程-根与系数关系（共26小题） 18．（2024秋•闵行区校级月考）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．3 【分析】根据一元二次方程的定义，可判定“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为﹣1，则2+m+n＝0，2﹣m+n＝0，然后求出m、n的值后计算mn的值． 【解答】解：根据题意得“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为﹣1， 所以一元二次方程2x2+mx+n＝0的根为1和﹣1， 所以2+m+n＝0，2﹣m+n＝0，解得m＝0，n＝﹣2， 所以mn＝0． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 19．（2025秋•嘉定区期中）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 【分析】利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1，则a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【解答】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1， ∵方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程， ∴a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2， ∴原式 ＝﹣1﹣2024 ＝﹣2025． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 20．（2025秋•闵行区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（　　） A．若方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0是半根方程，则4m2+5mn+n2＝0 B．一元二次方程x2﹣x﹣2＝0是半根方程 C．一元二次方程x2﹣4＝0是半根方程 D．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是半根方程，则系数满足2b2＝9ac 【分析】根据“半根方程”的定义（一根是另一根的一半），验证各选项．选项B和C的方程根不满足半根关系；选项A中推导出的关系式不成立；选项D通过根与系数关系推导出正确结论． 【解答】解：根据“半根方程”的定义（一根是另一根的一半）逐项分析判断如下： A：方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0的根为x＝2和， 若为半根方程，则或4，代入4m2+5mn+n2均不为零，故错误，不符合题意； B：方程x2﹣x﹣2＝0的根为x＝2和x＝﹣1，不满足半根关系，故错误，不符合题意； C：方程x2﹣4＝0的根为x＝2和x＝﹣2，不满足半根关系，故错误，不符合题意； D：∵设方程两根为r和s，且， 根据根与系数关系：，， 则，即， 又，即， 则，整理得：， 故2b2＝9ac， ∴选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握半根方程的定义是解题的关键． 21．（2025秋•长宁区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），下列条件：①ac＜0；②abc＞0；③2a﹣b+c＝0；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】逐个判断每个条件是不是满足b2﹣4ac是不是大于等于0． 【解答】解：∵ac＜0， ∴﹣4ac＞0， ∵b2≥0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0）一定有实数根，故①正确； abc＞0只能说明a，b，c都是正数或者一个为正数两个为负数，不能保证ac一定为负数， ∴b2﹣4ac不一定大于等于0，故②错误； ∵2a﹣b+c＝0， ∴b＝2a+c， ∴b2﹣4ac ＝（2a+c）2﹣4ac ＝4a2+4ac+c2﹣4ac ＝4a2+c2， ∵a≠0， ∴4a2＞0， ∵c2≥0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0）一定有实数根，故③正确； 故选：B． 【点评】本题考查根的判别式，关键是掌握判别式Δ的取值与一元二次方程根的个数之间的关系． 22．（2025秋•闵行区校级期中）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若m2﹣2n＜0，则方程没有实数根；③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，则是方程nx2﹣mx+1＝0的一个根．正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 【分析】①通过判别式Δ＞0判断有两个不相等的实根；②由条件推导Δ＜0，判断无实根；③代入根后得出n＝0或m+n＝﹣1，不一定成立；④代入根后验证等式成立． 【解答】解：①∵m﹣2n＝1， ∴m＝2n+1， ∴Δ＝m2﹣4n＝（2n+1）2﹣4n＝4n2+4n+1﹣4n＝4n2+1＞0， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵m2﹣2n＜0， ∴m2＜2n， 又∵m2≥0， ∴2n＞0，n＞0， ∴Δ＝m2﹣4n＜2n﹣4n＝﹣2n＜0， ∴方程没有实数根，故②正确； ③若n是方程x2+mx+n＝0的根，则n2+mn+n＝0，即n（n+m+1）＝0， ∴n＝0或m+n＝﹣1， ∴m+n＝﹣1不一定成立，故③错误； ④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的根，则t2+mt+n＝0， 除以t2得：， 代入到方程nx2﹣mx+1＝0得， ∴是方程nx2﹣mx+1＝0的一个根，故④正确． 综上，①②④正确， 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式、根的定义及根与系数的关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 23．（2025秋•杨浦区校级期中）关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的有（　　）个． ①若b2﹣4ac＜0，则该方程没有实数根； ②若b＝0，则该方程的两个根互为相反数； ③若c＝0，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是，则另一个根是． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及根的判别式对所给说法依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0）， 则当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根， 故①正确； 当b＝0时，ax2＝﹣c， x2． 当0时，方程没有实数根． 故②错误； 当c＝0时， b2﹣4ac＝b2≥0， 所以该方程一定有2个实数根． 故③正确； 当方程的两个根为时， 两根之和为4， 而不一定等于4， 所以该方程的一个根是，则另一个根不一定是． 故④错误， 所以正确的有①③． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 24．（2025秋•闵行区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2﹣5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【分析】根据题意，逐项判断即可． 【解答】解；①方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1，x2＝2， ∵x2＝2x1， ∴方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程，此项正确； ②（x﹣2）（mx+n）＝0的两根为x1＝2，， 若其为倍根方程，则x1＝2x2或x2＝2x1， ∴或， 即m+n＝0或4m+n＝0，此项不正确； ③px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴，x2＝﹣q， ∵pq＝2， ∴， 因此是倍根方程，此项正确； ④ax2+bx+c＝0的根为，， 若x1＝2x2， 则， 整理得， 化简得2 b2＝9ac， 若2x1＝x2， 则， 整理得， 化简得2 b2＝9 a c，此项正确； ∴正确的有①③④． 故选：D． 【点评】本题考查新定义下一元二次方程的根的关系．熟练掌握该知识点是关键． 25．（2024秋•浦东新区校级月考）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，那么就有：x1+x2，x1•x2；人们称之为韦达定理，即根与系数的关系． 如：2x2+2x﹣5＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣1，x1•x2． （1）如果方程2x2﹣mx+n＝0的两根为x1、x2，且满足x1+x2＝2，x1•x2，则m＝　4　 ，n＝　﹣1　 ； （2）已知a、b是关于x的方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5＝0的两实根，求a2+b2的最大值． 【分析】（1）根据根与系数的关系来求m、n的值即可； （2）利用根与系数的关系和完全平方公式的变形进行解答． 【解答】解：（1）∵x1+x2＝2，x1•x2， ∴2，， 解得m＝4，n＝﹣1； 故答案为：4；﹣1； （2）∵a、b是关于x的方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5＝0的两实根， ∴a+b＝k﹣2，ab＝k2+3k+5， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， （k﹣2）2﹣2k2﹣6k﹣10， ＝﹣（k+5）2+19≤19． 又Δ＝[﹣（k﹣2）]2﹣4（k2+3k+5）≥0， ∴﹣4≤k， ∴当k＝﹣4时， ∴a2+b2的最大值是18． 【点评】本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 26．（2024秋•静安区校级期中）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣2＝0． （1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为3，求2m2+12m+2038的值． 【分析】（1）根据题意代入得出Δ＞0，即可证出不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）把x＝3代入方程x2+2mx+m2﹣2＝0，再求解即可． 【解答】解：（1）∵Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣2）＝8＞0， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）把x＝3代入方程x2+2mx+m2﹣2＝0得：9+6m+m2﹣2＝0，整理得m2+6m＝﹣7 ∴2m2+12m+2038＝2（m2+6m）+2038＝2×（﹣7）+2038＝2024． 【点评】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，一元二次方程根的判别式（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 27．（2025秋•杨浦区校级期中）已知α、β是方程x2﹣7x+8＝0的两个根，且α＞β，不解方程，利用根与系数的关系，求的值． 【分析】由题可得：α+β＝7，αβ＝8，则α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝33，（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4αβ＝17，而α＞β，则α﹣β，设A3β2，B3，求出A+B及A﹣B即可得出答案． 【解答】解：由题可得：α+β＝7，αβ＝8， 则α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝33，（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4αβ＝17， 而α＞β，则α﹣β， 设A3β2，B3α2， A+B＝2（）+3（α2+β2）3（α2+β2）3×33＝100， A﹣B＝2（）+3（β2﹣α2）3（β+α）（β﹣α）3×7×（）， ∴A（100）（403﹣85）， 即（403﹣85）． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 28．（2021秋•杨浦区校级期中）若α为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根； （1）则方程的另外一个根β＝　　 ，t＝　﹣1　 ； （2）求α6+8β的值． （3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2． 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系列出等式即可求解； （2）利用一元二次方程根的意义将α6适当变形后，再利用根与系数的关系解答即可求得结论； （3）分别计算α2+β2与α2•β2的值，再依据求作一个一元二次方程的公式解得即可． 【解答】解：（1）由根与系数的关系，α+β＝1，αβ＝t， ∴β＝1﹣α＝1， ∴t＝αβ1， 故答案为：，﹣1； （2）∵α为一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根， ∴α2﹣α﹣1＝0． ∴α2＝1+α． ∴α6＝（α2）3 ＝（1+α）3 ＝1+3α+3α2+α3 ＝1+3α+3（1+α）+α（1+α） ＝1+3α+3+3α+α+α2 ＝1+3α+3+3α+α+1+α ＝8α+5． ∴α6+8β ＝8α+5+8β ＝8（α+β）+5 ＝8×1+5 ＝13． （3）∵α+β＝1，αβ＝﹣1， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝1+2＝3， α2•β2＝（αβ）2＝1， ∴两根分别为α2，β2，关于y的一元二次方程，二次项系数为1的方程是：y2﹣3y+1＝0． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将α6适当变形后，再利用根与系数的关系解答是解题的关键． 29．（2025秋•普陀区校级月考）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝7，求实数m的值； （3）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边长，求这个三角形的周长． 【分析】（1）由根的判别式即可得； （2）由韦达定理得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，代入到（x1﹣1）（x2﹣1）＝7，即x1x2﹣（x1+x2）＝6，解关于m的方程即可； （3）由题意得出方程的另一根为7，将x＝7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得． 【解答】解：（1）由题意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+5）＞0， 解得：m＞2； （2）x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5， 由（x1﹣1）（x2﹣1）＝7得：x1x2﹣（x1+x2）＝6，即m2+5﹣2（m+1）＝6， 解得：m＝3或m＝﹣1， 由（1）知m＞2， ∴m＝3； （3）由题意，∵x1≠x2时， ∴只能取x1＝7或x2＝7，即7是方程的一个根， 将x＝7代入得：49﹣14（m+1）+m2+5＝0， 解得：m＝4或m＝10， 当m＝4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m＝10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形； 故三角形的周长为17． 【点评】本题主要考查判别式、韦达定理、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键． 30．（2025秋•上海校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2mx+m﹣10＝0． （1）若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （2）先化简，再求值：，其中m为（1）中取值范围内的最小整数解，n是原方程的正根． 【分析】（1）根据根的判别式大于零且二次项系数不等于零列式求解即可； （2）先根据二次根式的运算法则把所给代数式化简，再求出m＝3，n＝7代入计算即可． 【解答】解：（1）由条件可知（﹣2m）2﹣4（m﹣2）（m﹣10）＞0且m﹣2≠0， ∴且m≠2． （2） ， ∵m为（1）中取值范围内的最小整数解， ∴m＝3， ∴x2﹣6x﹣7＝0， 解得x1＝7，x2＝﹣1， ∵n是原方程的正根， ∴n＝7， ∴． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，二次根式的化简求值．熟练掌握以上知识点是关键． 31．（2024秋•浦东新区校级期中）设x1、x2是方程x2+px+q＝0的两个有理根，已知，那么p+q的值为 　1　 ． 【分析】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为x1、x2，则，，根据相关计算公式求解即可． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣p，x1x2＝q， ∵， ∴2x1﹣x2＝1，x1+3x2＝11， 解得：x1＝2，x2＝3， ∴p＝﹣5，q＝6， ∴p+q＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 32．（2025秋•闵行区校级期中）已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　2025　 ． 【分析】先理解题意，则把x＝a代入x2﹣2026x+1＝0，得a2﹣2026a+1＝0，整理得a2＝2026a﹣1，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2026a+1＝0， ∴a2＝2026a﹣1， 则 ＝2025， 故答案为：2025． 【点评】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 33．（2025秋•黄浦区校级期中）阅读下列材料： 当x为实数时，求的最大值．设y，将其化为关于x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（y﹣2）xy＝0．因为x为实数，就是这个方程有实数根，所以b2﹣4ac＝（y﹣2）2﹣4（y﹣3）y＝﹣y+4≥0，得y≤4，即的最大值为4．则x为实数时，的最小值是　　 ． 【分析】设y，将y化为关于x的一元二次方程，若此方程有实数解，则根的判别式△≥0，从而得到关于y的不等式，解此不等式即可求得原函数的最小值． 【解答】解：设y， 将y化为关于x的一元二次方程（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2＝0． ∵关于x的一元二次方程（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2＝0有实数解， ∴Δ＝（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）＝16y﹣23≥0， 解得y， ∴，的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查根的判别式，将函数化为关于x的一元二次方程，利用根的判别式求函数的最值是本题的关键． 34．（2025秋•奉贤区校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程6x2+7x﹣5＝0和（x﹣1）（x+m）＝0为“同伴方程”，则m的值为　或　 ． 【分析】先求出一元二次方程6x2+7x﹣5＝0的解x1，x2，根据方程6x2+7x﹣5＝0和（x﹣1）（x+m）＝0为“同伴方程”，分情况求解即可． 【解答】解：6x2+7x﹣5＝0， （2x﹣1）（3x+5）＝0， 解得：x1，x2， 当相同的根是x时， 代入方程可得（1）（m）＝0， 解得：m； 此时方程为（x﹣1）（x）＝0，可得：x1＝1，x2，符合题意； 当相同的根是x时， 代入方程（1）（m）＝0， 解得：m， 此时方程为（x﹣1）（x）＝0，可得：x1＝1，x2，符合题意； ∴m的值是或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”，解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 35．（2025秋•闵行区校级期中）已知三个不同的实数a、b、c满足a﹣b+c＝3，关于x的方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实数根，关于x的方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实数根，则a+b+c的值为　﹣3　 ． 【分析】根据根相同列出方程组，用a，b，c表示相同的根，从而得出方程根的关系进而求解．设方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同实数根x1，设方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0有一个相同的实数根x2，将x1代入方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0组成方程组，把x2代入方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0组成方程组，解出，解出，得x1•x2＝1，方程x2+ax+1＝0的两根之积等于1，所以x2是方程x2+ax+1＝0和x2+x+a＝0的解，进而解得，再代入方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0，可得a＝﹣2，b+c＝﹣1，结合a﹣b+c＝3即可，即可解决问题． 【解答】解：设方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同实数根x1，设方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0有一个相同的实数根x2， 则 ，则 ， 解得，， ∴x1•x2＝1， 由条件可知x2也是方程x2+ax+1＝0的根； ∵x2是方程x2+ax+1＝0和x2+x+a＝0的解， 则， 解得（其中a≠1）， 把x2＝1代入方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0， 得a＝﹣2，b+c＝﹣1， ∴c＝2，b＝﹣3， ∴a＝﹣2，b＝﹣3，c＝2， ∴原式＝（﹣2）+（﹣3）+2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 36．（2025秋•碑林区校级期中）已知a是方程x2﹣2025x+1＝0的一个根，则a2﹣2024a　2024　 ． 【分析】先把把x＝a代入方程x2﹣2025x+1＝0得a2﹣2025a+1＝0，从而求出，然后把所求代数式拆成的形式，把所求的式子代入进行计算即可． 【解答】解：把x＝a代入方程x2﹣2025x+1＝0得：a2﹣2025a+1＝0， ∴a2﹣2025a＝﹣1，a2+1＝2025a， ∴， ∴a2﹣2024a ＝﹣1+2025 ＝2024， 故答案为：2024． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 37．（2025秋•黄浦区校级月考）已知方程的一个根为0，则m＝　或　 ． 【分析】由于方程的一个根为0，将x＝0代入方程，得到关于m的方程，求解即可． 【解答】解：已知方程的一个根为0， 将x＝0代入方程， 得：简化得：m2﹣2＝0， 解得：或 故答案为：或． 【点评】本题考查了方程的解的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 38．（2025秋•长宁区校级月考）若a，b，c，d为互不相等的实数，且满足，则　　 ． 【分析】由条件可知，a2和b2是关于x的二次方程的两个根，根据根与系数的关系，可得，再计算立方根即可． 【解答】解：由条件可知a2和b2是关于x的二次方程的两个根， 即a2和b2是关于x的二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 39．（2025秋•青浦区校级月考）已知关于x一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列结论：①若2a+3c＝0，那么方程有两个不相等的实数根；②若b＝﹣2ac，则b2﹣4ac≥0；③若方程ax2+bx+c＝0两根为x1＝﹣1和x2＝2，则2ab0；④若b＜0，a+b＞0，a﹣c＜0，那么方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解．其中正确的是　①②③④　 ． 【分析】当Δ＞0时，有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根，由此逐项判断即可． 【解答】解：由已知得 Δ＝b2﹣4ac（a≠0）， ①由2a+3c＝0得， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根；故①正确，符合题意； ②若， 则，故②正确，符合题意； ③若方程ax2+bx+c＝0两根为x1＝﹣1和x2＝2， 则，， ∴， ∵a≠0， ∴；故③正确，符合题意； ④若b＜0，a+b＞0，a﹣c＜0，则b＜0＜|b|＜a＜c， ∴ac＞|b|2＝b2， ∴Δ＝b2﹣4ac＜0， ∴方程一定无解．故④正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若x1，x2是方程的两个根，那么，，熟练掌握以上知识点是关键． 40．（2025秋•虹口区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相筹的实数根． （2）若方程两个实数根的平方和等于5，求m的值及方程的两根． 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，只要证明Δ＞0恒成立即可． （2）设两根为a，b，结合两个实数根的平方和等于5以及根与系数的关系求解即可． 【解答】（1）证明：Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0， ∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； 解：（2）设方程的两根为a，b， 由韦达定理可知，a+b＝﹣（2m+1），ab＝m2+m， 方程两个实数根的平方和等于5，即a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝[﹣（2m+1）]2﹣2（m2+m） ＝2m2+2m+1 ＝5， 即m2+m﹣2＝0， 解得m＝1或m＝﹣2， 当m＝1时，方程为x2+3x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣2； 当m＝﹣2时，方程为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2； 综上，m＝1，根为﹣1，﹣2；或m＝﹣2，根为1，2． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式Δ的符号的关系，利用根与系数的关系正确求得m的值是解题关键． 41．（2025秋•闵行区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围： （2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，结合x1x2+x1+x2＝m2+6，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＝8m﹣4≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5， ∵x1x2+x1+x2＝m2+6， ∴﹣2m+5+4＝m2+6， 整理得：m2+2m﹣3＝0， 解得：m1＝﹣3（不符合题意，舍去），m2＝1， ∴m的值为1． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系及x1x2+x1+x2＝m2+6，找出关于m的一元二次方程． 42．（2025秋•黄浦区校级期中）综合理解： 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0，它有两个实数根x1和x2，有以下关系式：x1+x2． （1）设方程x2x﹣1＝0的两个根为α、β，则α+β＝ 　　 ， 　　 ； （2）设关于x的方程x2﹣kx+k﹣1＝0的两个实数根为α、β，且2α+β＝4，则k的值为 　﹣1或　 ； （3）已知αβ≠1，且α2+20α+25＝0及25β2+20β+1＝0，求的值． 【分析】（1）先利用根与系数的关系得到α+β，αβ＝﹣1，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）先利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝k﹣1，再利用2α+β＝4得到2×1+k﹣1＝0或2（k﹣1）+1＝0，然后分别解关于k的方程即可； （3）先把25β2+20β+1＝0两边除以β2得到（）2+20（）+25＝0，则可把α、可看作方程x2+20x+25＝0的两根，利用根与系数的关系得到α20，α•25，接着利用因式分解的方法把原式变形为（α），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）根据根与系数的关系得α+β，αβ＝﹣1； ∴； 故答案为：，； （2）解方程方程x2﹣kx+k﹣1＝0得x1＝1，x2＝k﹣1， ∵2α+β＝4， ∴2×1+k﹣1＝0或2（k﹣1）+1＝0， 解得k＝﹣1或k 即k的值为﹣1或； 故答案为： （3）∵25β2+20β+1＝0， ∴（）2+20（）+25＝0， ∵α2+20α+25＝0，αβ≠1， ∴α、可看作方程x2+20x+25＝0的两根， ∴α20，α•25， ∴原式＝α•• （α） ＝25×（﹣20） ＝﹣500． 【点评】本题考查了根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 43．（2025秋•上海校级期中）赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0（x＞0）为例，构造方法如下： 第一步：将原方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）变形为x（x+2）＝35（x＞0）； 第二步：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4； 第三步：得新方程（x+x+2）2＝144；因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2，那么此方程的正根为　　 ． 【分析】先根据材料提示分解为x（x+a）＝b，图形结合分析，即可得，由此即可求出答案． 【解答】解：由条件可知x（x+a）＝b， ∵图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2， ∴x（x+a）＝4， ∴b＝4， ∵中间围成的正方形面积为2， ∴边长为， ∴， ∵，x表示边长， ∴． ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，理解新定义是解题关键． 四．一元二次方程应用（共6小题） 44．（2025秋•闵行区校级月考）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田AB为m米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 【分析】根据题意可得种植田的长为（22﹣3m+1+1）米，再根据面积公式列一元二次方程，解方程，最后根据墙的最大可用长度为10米对求出的根进行取舍． 【解答】解：∵种植田AB为m米，栅栏总长为22米，有两个宽为1米的门， ∴种植田的长BC为22﹣3m+1+1＝（24﹣3m）米， ∵该种植田的面积为36平方米， ∴根据题意列一元二次方程得，（24﹣3m）m＝36， 整理得，（m﹣2）（m﹣6）＝0， 解得m1＝2，m2＝6， 当m＝2时，BC＝24﹣3×2＝18＞10，不合题意，舍去； 当m＝6时，BC＝24﹣3×6＝6＜10，符合题意． 即该种植田的宽m为6米， 答：该种植田的宽m为6米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，正确列出方程求解． 45．（2024秋•长宁区月考）校园内有一块长为40m，宽为30m的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． （1）如图1，测得草坪的面积是1064m2，求道路的宽度；（参考数据：662＝4356，332＝1089） （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【分析】（1）设道路的宽度为xm，则剩余部分可合成长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m的矩形，根据草坪的面积是1064m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设道路的宽度应设计为ym，则剩余部分可合成长为（40﹣2y）m，宽为（30﹣2y）m的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设道路的宽度为xm，则剩余部分可合成长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m的矩形， 根据题意列一元二次方程得：（40﹣x）（30﹣x）＝1064， 整理得：x2﹣70x+136＝0， 解得x1＝2，x2＝68（不符合题意，舍去）， 即道路的宽度为2m， 答：道路的宽度为2m； （2）设道路的宽度应设计为ym，则剩余部分可合成长为（40﹣2y）m，宽为（30﹣2y）m的矩形， 根据题意列一元二次方程得：， 整理得：y2﹣35y+150＝0， 解得y1＝5，y2＝30（不符合题意，舍去）． 即道路的宽度应设计为5m， 答：道路的宽度应设计为5m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 46．（2024秋•嘉定区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． （1）求经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？ （2）△PBQ的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则AP＝xcm，BQ＝2xcm，BP＝（6﹣x）cm，根据△PBQ的面积等于8平方厘米，列出一元二次方程，解方程即可； （2）设运动时间为x秒，根据“△PBQ的面积等于10平方厘米”，列出一元二次方程，解方程即可判断． 【解答】解：（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则AP＝xcm，BQ＝2xcm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）（cm）， 由题意得：（6﹣x）×2x＝8， 解得：x1＝2，x2＝4， 答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8平方厘米； （2）△PBQ的面积不能等于10平方厘米，理由如下： 设运动时间为x秒，△PBQ的面积等于10平方厘米， 由题意得：（6﹣x）•2x＝10， 整理得：x2﹣6x+10＝0， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×10＝﹣4＜0， ∴原方程无实数根， ∴△PBQ的面积不能等于10平方厘米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 47．（2025秋•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿边CA运动，速度为1cm/s．与此同时，点E从点B开始沿边BC运动，速度为2cm/s．当点E到达点C时，点D，E同时停止运动．连接AE，DE，设运动时间为ts，△ADE的面积为Scm2． （1）用含t的代数式表示：CD＝ t cm，CE＝ 　（8﹣2t）　 cm； （2）当CD为何值时 【分析】（1）由题意可知，CD＝tcm，BE＝2tcm，则CE＝BC﹣BE＝（8﹣2t）cm； （2）根据SS△ABC，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）∵点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s， ∴CD＝tcm， ∵BC＝8cm，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s， ∴BE＝2tcm， ∴CE＝BC﹣BE＝（8﹣2t）cm， 故答案为：t，（8﹣2t）； （2）由题意可知，0≤t≤4，CD＝tcm，BE＝2tcm，CE＝（8﹣2t）cm，AD＝（6﹣t）cm， ∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，SS△ABC， ∴SAD•CE（6﹣t）（8﹣2t）6×8， 整理得：t2﹣10t+9＝0， 解得：t1＝1，t2＝9（不合题意，舍去）， ∴CD＝1cm， 答：CD＝1cm时，SS△ABC． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 48．（2024秋•静安区校级期中）商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． （1）降价后每套拖把盈利 　（40﹣x）　 元，平均每天可销售 　20+2x 套（用含x的代数式表示）； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ （3）该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设每套拖把降价x元，根据题意列出代数式即可； （2）设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）套，根据题意列出一元二次方程求解即可； （3）设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可． 【解答】解：（1）设每套拖把降价x元，则每天销售量增加2x套，即每天销售（20+2x）套， 每套拖把盈利120﹣80﹣x＝（40﹣x）元． 故答案为：（40﹣x），（20+2x）； （2）设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）套， 依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1242， 整理得：x2﹣30x+221＝0， 解得：x1＝13，x2＝17． 又∵需要尽快减少库存， ∴x＝17． 答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1242元； （3）商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下： 设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）套， 依题意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1400， 整理得：y2﹣30y+300＝0． ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×300＝﹣300＜0， ∴此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元． 【点评】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 49．（2025秋•黄浦区校级月考）某地蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由． 【分析】（1）设平均每次下调x，根据该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元列一元二次方程，求解即可； （2）分别计算出方案一和方案二的总费用，再进行比较即可． 【解答】解：（1）设平均每次下调x， 根据题意，得10（1﹣x）2＝6.4， 解得x＝20%或x＝180%（舍去）， 答：平均每次下调20%； （2）方案一更优惠，理由如下： 方案一：6.4×0.8×2000＝10240（元）， 方案二：6.4×2000﹣2000＝10800（元）， ∵10240＜10800， ∴采购员选择方案一更优惠． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． 五．四、课后巩固（共11小题） 50．（2024秋•浦东新区校级月考）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值． 【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形：，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可． 【解答】解：∵， ∴． ∵x，y都是有理数， ∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数， ∴ 解得 ∵有意义的条件是x≥y， ∴取x＝5，y＝﹣4， ∴． 【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解． 51．（2024秋•闵行区期中）设x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，有，请你根据以上材料解决问题：已知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3m2+3n﹣mn的值等于 　7　 ． 【分析】根据根与系数的关系得到m+n＝1，mn＝﹣1，根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣m﹣1＝0，进而得到m2＝m+1，再把所求式子变形为3（m+1）+3n﹣mn，进一步变形为3（m+n）﹣mn+3，据此代值计算即可． 【解答】解：由题意得，m+n＝1，mn＝﹣1，m2﹣m﹣1＝0， ∴m2＝m+1， ∴原式＝3（m+1）+3n﹣mn ＝3（m+n）﹣mn+3 ＝3×1﹣（﹣1）+3 ＝7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 52．（2024秋•闵行区校级期中）方程20252x2﹣2024×2026x﹣1＝0的较大根是m，方程2024x2+2025x+1＝0较小根为n，则（m﹣n）2的值为 　4　 ． 【分析】利用因式分解法解两个方程求得m，n的值后代入（m﹣n）2中计算即可． 【解答】解：（2025x）2﹣2024×2026x﹣1＝0， 整理得：20252x2﹣（2025﹣1）×（2025+1）x﹣1＝0， 即20252x2﹣（20252﹣1）x﹣1＝0， 因式分解得：（x﹣1）（20252x+1）＝0， 解得：x1＝1，x2， 则m＝1； 2024x2+2025x+1＝0， 因式分解得：（x+1）（2024x+1）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2， 则n＝﹣1， 那么（m﹣n）2＝（1+1）2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义． 53．（2025秋•闵行区校级期中）材料一：观察等式，其左边是两个含有次根式的代数式相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 材料二：根式化简 ． ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1）　3　 ；（直接写出答案） （2）计算：　9　 ；（直接写出答案） （3）计算：； （4）计算：． 【分析】（1）根据分母有理化求解即可； （2）先根据分母有理化化简，然后再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （3）先根据分母有理化化简，然后再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （4）先将分母因式分解，然后分母有理化，最后根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【解答】解：（1）． 故答案为：； （2）原式 ＝10﹣1 ＝9； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点评】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解题的关键． 54．（2025秋•松江区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于x的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是　　 ． 【分析】由方程可得两根为和，根据根的距离为1，得，分两种情况求解的值，再计算代数式即可． 【解答】解：方程两根为和， 由题意得， 设，则， 或， 解得或， 代数式， 当时，， 故； 当时，， 故． 综上，代数式的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了新定义计算、一元二次方程的解、代数式求解和绝对值方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 55．（2025秋•虹口区校级期中）请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． （2）关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）有一个实数根为2025，则方程cx2+bx＝a一定有实数根　　 ． （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3、﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 【分析】（1）根据题意，设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，然后把x＝﹣y代入原方程，化简可求； （2）根据一元二次方程根的定义：将x＝2025代入方程ax2+bx＝c中，再两边同时除以20252，可得结论． （3）利用根与系数的关系求得b＝﹣a，c＝﹣6a，代入个方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0，整理后，利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0，得y2﹣y﹣2＝0； （2）∵关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）有一个实数根为2025， ∴20252a+2025b＝c， ∴a ∴a， ∴x是方程cx2+bx＝a的实数根． 故答案为：． （3）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3、﹣2， ∴3+（﹣2）＝1，3×（﹣2）＝﹣6， ∴b＝﹣a，c＝﹣6a， ∴方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0化为：方程ay2﹣3ay﹣4a＝0， 整理得y2﹣3y﹣4＝0， 因式分解得（y﹣4）（y+1）＝0， 解得y1＝4，y2＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． 56．（2024秋•浦东新区月考）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P、Q同时出发，当某个点先到达终点时，运动终止．问：几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？ （2）如果P、Q同时出发，且点Q到达点C后立即返回，速度保持不变，直到点P到达点C后同时停止运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于1平方厘米？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当运动时间为t（0＜t＜4）秒时，CP＝（6﹣t）cm，CQ＝（8﹣2t）cm，利用三角形的面积公式结合△PCQ的面积为8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）分0＜t＜4和4＜t＜6两种情况，利用三角形的面积公式结合△PCQ的面积为1cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论． 【解答】解：（1）8÷2＝4（秒）． 当运动时间为t（0＜t＜4）秒时，CP＝（6﹣t）cm，CQ＝（8﹣2t）cm， 依题意，得：（6﹣t）（8﹣2t）＝8， 整理，得：t2﹣10t+16＝0， 解得：t1＝2，t2＝8（不合题意，舍去）． 答：2秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米． （2）当运动时间为t（0＜t＜4）秒时，CP＝（6﹣t）cm，CQ＝（8﹣2t）cm， 依题意，得：（6﹣t）（8﹣2t）＝1， 整理，得：t2﹣10t+23＝0， 解得：t1＝5，t2＝5（不合题意，舍去）； 当运动时间为t（4＜t＜6）秒时，CP＝（6﹣t）cm，CQ＝（2t﹣8）cm， 依题意，得：（6﹣t）（2t﹣8）＝1， 整理，得：t2﹣10t+25＝0， 解得：t3＝t4＝5． 答：当运动时间为（5）秒或5秒时，△PCQ的面积等于1平方厘米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 57．（2025秋•青浦区校级期中）商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． （1）降价后每套拖把盈利 　（40﹣x）　 元，平均每天可销售 　（20+2x）　 套（用含x的代数式表示）； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ 【分析】（1）根据题意分别列出代数式即可； （2）设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）套，根据该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设这种拖把每套降价x元，则每天销售量增加2x套， ∴降价后每套拖把盈利：120﹣80﹣x＝（40﹣x）（元）， 平均每天可销售：（20+2x）套， 故答案为：（40﹣x），（20+2x）； （2）设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）套， 依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1242， 整理得：x2﹣30x+221＝0， 解得：x1＝17，x2＝13（不符合题意，舍去）， 答：为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价17元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 58．（2024秋•浦东新区校级期中）综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小明家走道旁靠墙处地面上有一块如图1大小的空闲区域，该区域可以放置合适大小的储物盒，小明家中有许多闲置的纸板箱． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为acm（a＜50cm）长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小明分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 任务1 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入如图1的空闲区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为　40　 cm． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 任务2 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是600cm2，求裁去小正方形的边长． 任务3 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为608cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【分析】任务1：根据储物区域的长为40cm，储物盒可以完全放入储物区域，求出图1中的四角裁去小正方形的边长，即可解决问题； 任务2：设裁去的小正方形的边长为xcm，储物盒的底面积是600cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务3：设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据“EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为608cm2”，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：任务1：∵储物区域的长为40cm，储物盒可以完全放入储物区域， ∴图1中的四角裁去小正方形的边长为， ∴a＝30+2×5＝40（cm），即储物盒的宽a＝小正方形的边长为40cm， 故答案为：40； 任务2：设裁去的小正方形的边长为xcm， 根据题意列一元二次方程得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝600， 整理得，4x2﹣180x+1400＝0， 解得：x1＝10，x2＝35（不符合题意，舍去）， ∴裁去小正方形的边长为10cm． 任务3：设小长方形的宽为xcm，长为ycm， 根据题意列yiyuan二次方程组得：， 由2（y﹣x）＝100﹣2y得x＝2y﹣50， 把x＝2y﹣50代入（40﹣2x）（100﹣2y）＝608， 整理得（y﹣35）（y﹣50）＝76， 解得y1＝54，y2＝31， ∵100﹣2y＞0， ∴y＝31， ∴x＝2y﹣50＝12， 即小长方形的宽为12cm，长为31cm， 当EF和HG之间两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高12＜18， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒， 答：玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二元一次方程组是解题的关键． 59．（2024春•黄浦区期中）先阅读以下解答过程，再解答． 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n， 使得m，，那么便有（a＞b）． 例如化简： 解：． 运用上述方法化简： （1）　2　 ； （2）　22　 ． 【分析】（1）根据（2）2＝4+42＝6+4和二次根式的性质求出即可； （2）根据（22）2＝12﹣84＝16﹣8和二次根式的性质求出即可． 【解答】解：（1） ＝2， 故答案为：2； （2） ＝22， 故答案为：22． 【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，解此题的关键是能把被开方数化成完全平方的形式． 60．（2025秋•闵行区校级期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t（单位：s）和下落高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）物体从20m的高空落到地面的时间为　2　 s． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为0.05kg的鸡蛋经过6s落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【分析】（1）根据公式，代入计算即可； （2）先根据公式，求得高度，再根据公式E＝10×物体质量（kg）×高度（m），计算能量即可． 【解答】解：（1）根据公式，代入计算可得： ． 故答案为：2； （2）根据公式，求得高度为： h＝5t2＝180（m）， ∴E＝10×0.05×180＝90（J），而， ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 【点评】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 10:58:16；用户：672612206；邮箱：672612206@qq.com；学号：584351 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $