2026年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2026年中考数学高频压轴题训练 二次函数压轴题（特殊三角形问题） 一、单选题 1．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（    ） A． B． C．2 D．3 2．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 3．如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(   ) A． B． C． D． 4．已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点，若为等边三角形，则a值为（   ） A． B． C． D．1 6．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知点，，射线绕点A逆时针旋转30°，与轴交于点，则过，，三点的二次函数中，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，点A是二次函数y＝x2图象上的一点，且位于第一象限，点B是直线y＝﹣x上一点，点B′与点B关于原点对称，连接AB，AB′，若△ABB′为等边三角形，则点A的坐标是（    ） A．（，） B．（，） C．（1，） D．（，） 9．小明发现，将二次函数的图象在x轴及其上方的部分向右平移得到，这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的logo．经测量，该图案两个顶点间的距离与底部跨度的比值为，点P是与的交点，若恰好为等腰直角三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，；  ②若且，则；③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的结论是(　　) A．①③④ B．①②③④ C．①③ D．①④ 二、填空题 11．如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ． 12．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为 . 13．如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则 ． 14．如图，O是坐标原点，点，，，在y轴的正半轴上，点， ，，在函数位于第一象限的图象上，若，，，都是等边三角形，则线段的长是 ． 15．如图，抛物线（）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，；②若且，则；③若，则；④若，，连接，点P在抛物线的对称轴上，且，则．以上说法正确的有 （填序号）． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，连接为抛物线部分上一动点（可与两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)①求线段长度的最大值； ②连接，当为等腰三角形时，求的值． 17．如图，抛物线的图象与轴交于点、（在左侧），与轴交于点，，点为抛物线的顶点．    (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线上一动点，且满足，求点坐标； (3)是对称轴左侧抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点正好落在对称轴上，画出图形并求出点坐标． 18．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得为直角三角形，请求出点M的坐标． 19．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 20．如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为． (1)直接写出坐标：点__________，点______________； (2)当点与点关于抛物线对称轴对称时，求的值； (3)若抛物线上点与点之间（包含点和点）的部分的图象记为图象，图象的最高点和最低点纵坐标的差记为． ①当和时，分别求的值； ②当时，直接写出的取值范围； (4)点是线段上异于、的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点，当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C A D A B A A 1．A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，理解“抛物线三角形”的定义是解题的关键．把抛物线三角形系数代入抛物线，令，求出与轴的交点为，，再求出顶点坐标，然后根据等腰直角三角形的斜边上的高线等于斜边的一半列出方程求解即可得到b的值． 【详解】解：∵抛物线三角形系数为， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴的交点为，， ∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形， ∴， ∴或， ∵时，抛物线与x轴只有一个交点， ∴不符合题意， ∴或， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查二次函数的综合应用，过点作于点，得到点坐标为，将点代入解析式进行求解即可．解题的关键是求得点的坐标． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点作于点， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； 故选C． 4．C 【分析】求出，的坐标，画出图形即可解决问题． 【详解】解：， 所以，抛物线经过点，， ， 点坐标为，，    观察图象可知，满足条件的点有4个， 所以，能使为等腰三角形的抛物线共有4条． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题、等腰三角形的定义，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论． 5．A 【分析】过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为为等边三角形，且 轴， ∴． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，等边三角形的性质，得出是解题的关键． 6．D 【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵是正三角形，， ∴ ∴ 设过的抛物线解析式为， 将点代入，得 ∴ ∴抛物线解析式为， ∵四边形是正方形，且关于轴对称， ∴ 设 ， ∵在上， ∴， 解得（舍去） ∵， 设直线的解析式为， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵在上， ∴的横坐标为 代入 得 ∴ ∴ ∴阴影部分面积为 故选D 【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键． 7．A 【分析】先求出直线AB的函数解析式，再求出点，再根据三角函数求，则射线绕点逆时针旋转30°，后，利用解直角三角形求出，利用待定系数法即可求出答案A． 【详解】解：如图所示，直线AB交x轴于点C1，过点A作轴交x轴于点N，射线绕点逆时针旋转30°，交x轴于点C2． 设一次函数解析式为，将，，代入，得： 解得： ∴ ∴点 又∵ ∴ ∴则 ∵射线绕点逆时针旋转30°，交x轴于点，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，，代入 ∴解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、解直角三角形的综合题目，能构造直角三角形是解答此题的关键． 8．B 【分析】连接OA，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，根据题意∠ABO＝60°，AO⊥BB′，即可得到tan∠ABO＝＝，设A（m，m2），通过证得△AOM∽△OBN，得到B（﹣m2，m），代入直线y＝﹣x即可得到关于m的方程，解方程即可求得A的坐标． 【详解】解：连接OA，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N， ∵点B′与点B关于原点对称， ∴OB＝OB′， ∵△ABB′为等边三角形， ∴∠ABO＝60°，AO⊥BB′， ∴∠BON+∠AOM＝90°，tan∠ABO＝=， ∴＝， ∵∠BON+∠OBN＝90°， ∴∠AOM＝∠OBN， ∵∠BNO＝∠AMO＝90°， ∴△AOM∽△OBN， ∴＝， 设A（m，m2）， ∴OM＝m，AM＝m2， ∴BN＝m，ON＝m2， ∵点A在第一象限内， ∴B（﹣m2，m）， ∵点B是直线y＝﹣x上一点， ∴m＝﹣•（﹣m2）， 解得m＝或m＝0（舍去）， 当m＝时，m2= ∴A（，）， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数上的点的坐标特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握相关性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 9．A 【分析】根据二次函数解析式得到点A坐标，对称轴，根据平移的性质得到，设，求出x值，得到平移距离，可得的解析式，令求出点P坐标，根据等腰直角三角形的性质得到，求出a值，根据开口方向得到结果． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为直线，则， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴移动距离为， ∴， ，， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵开口朝下， ∴，． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是注意结合图像，求出平移距离． 10．A 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 11．或 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定等，求得关键点的坐标是解题的重点． 利用平移规律求得平移后的函数解析式，即可求得的坐标，基本求得点的坐标，由等腰三角形的性质可知点的纵坐标为 2 ，代入新的函数解析式即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移 2 个单位长度，得到，即， ， 把代入得， ， ， 若新抛物线存在点使以为底的等腰三角形，则点的纵坐标为 2 ， 把代入，解得：， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 12． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 13． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为：直线， 如图，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．2550 【分析】设，，，由等边三角形的性质，结合勾股定理可求 ，，，由点的坐标得，，，将此代入二次函数解析式求出，，，找出规律 ，即可求解． 【详解】解：如图，分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、， 设，，， ，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， 同理可求：，， ，，， 点， ，在函数位于第一象限的图象上， ， 解得：，（舍去）， ， 同理可求： ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，勾股定理应用，等边三角形的性质，能利用二次函数合运用勾股定理应用，等边三角形的性质找出规律是解题的关键． 15．①③④ 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得，把代入抛物线解析式中求出，则点，可判断③；先求出，设，利用勾股定理得，则，解得，可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，， 即，故①正确； 当且时， 则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ， ， ∴点的坐标为，故③正确； ∵，抛物线对称轴为直线， ， 设， ， ， ， ， ， ∴， 解得：， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理等．利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键． 16．(1)， (2)①②或或3． 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）①用s表示P，M坐标，进而求出，再根据二次函数的性质求最值即可； ②分别求出，再分三种情况讨论，，，，据此列方程求s即可得解． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， 抛物线的解析式， 设直线的解析式， 把代入得， 解得， 直线的解析式； （2）解：①由题意，， ， ， 当时，取得最大值，的最大值为； ②，， ， 当为等腰三角形时， 若，则，即，解得． 若，则，即，解得或（舍去）． 若，则，即，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或或3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、最值问题、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 17．(1)； (2)点的坐标为或或或； (3)或． 【分析】（1）由题意求出点C的坐标，把点C坐标代入抛物线解析式即可得出答案； （2）设点Q的纵坐标为n，根据面积关系得出，求出n值，则可求出答案； （3）①点P在第三象限时，证明，由全等三角形的性质得出，设，求出，代入抛物线的解析式求出m的值即可得出答案；②当点P在第二象限时，同①的方法得，． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于点， ， ， ∵， ， ， 代入抛物线的解析式得，， ， 抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线的图象与轴交于点、在左侧， 时，， 解得或， ， ， 设点的纵坐标为， ∵， ∴， ， ， 当时，，解得， ∴或； 当时，，解得， ∴或； 综上所述，点的坐标为或或或； （3）解：如图，      点在第三象限时， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 过点作于， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴，， ∴， 点在抛物线上， ∴， 或舍， ． 当点在第二象限时，同的方法得，； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，会利用数形结合的思想及方程的思想方法解决数学问题是关键． 18．(1) (2)点F的横坐标是1或4 (3)满足条件的M点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据三角形的面积建立方程，解方程即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，再设点的坐标为，则可得，，的值，然后分三种情况：①，②，③，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点，，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接和， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴点的横坐标为1或4． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ③如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得或， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 19．(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20．(1)；； (2)； (3)①当时，；当时，；②或； (4)或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． （1）令，求出x的值，即可求解； （2）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，从而得到，即可求解； （3）根据题意可得该函数最高点为，分别求出当和时，点P的坐标，即可求解； （4）分两种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴相交于点， ∴当时，， ， ∵点与点关于抛物线对称轴直线对称， ， 即； （3）解：①， ∴抛物线的顶点为， ， ∴抛物线开口向下， ∴该抛物线最高点坐标为， 当时，， ， 此时； 当时，， ， ∵该抛物线最高点坐标为， 此时； ②当时，图象G的最高点为， 此时满足； 当点A为最高点时， ∵， ∴点P的纵坐标为， 此时， 解得：， 当时，（不合题意舍去）， ∴当或时，； 综上所述，m的取值范围为或； （4）解：点M的坐标为或，理由如下： 如图，当时，则轴， ∴点C和点M关于对称轴对称， ∵点C的坐标为，抛物线的对称轴为直线， ∴点M的坐标为； 如图，当时，则轴于点F， ， ， ， ， 设，则， ∴点M的坐标为， 把代入，则， 解得：（不合题意，舍去）， ∴当时，， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $