专题02 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角形中的倒角模型之双角平分线和高线 模型的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴专练 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1)两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P;结论： ∠P=90°+ -ZA ∠PBC=∠ABC∠PCB=∠ACB 证明：，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P,, .∠P=180°.（∠PBC+∠PCB)-180.1(∠ABC+∠4CB)=180°.1(180.∠A)=90+1∠A。 2)凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB,两条角平分线相交于点P;结论：2∠P=∠A+∠D。 ∠DCB 证明：：BP、CP平分∠ABC、∠DCB,∴. ∠PBC=ABC,∠PCB- 2 1/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠P=180°.（∠PBC+∠PCB)=180.1(∠ABC+∠DCB)=180-1(360°-∠A-∠D)=1(∠A+∠D) 2 即：2∠P=∠A+∠D。 3)凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE,两条角平分线相交于点P;结论： 2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。 证明：，CP、DP平分∠BCD、∠CDE,∴. ∠PD-方scD,∠PDC=CDE ：∠P=180°.（∠PCD+∠PDC)=180.1(∠BCD+∠CDE)=180°.1(540-∠4-∠D-∠E)=∠A+∠D 2 +∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1.(25-26八年级上天津南开期中)如图，在ABC中，∠A=100°，∠1=∠2，∠3=∠4，则x的值为 1009 B 【变式1-1】(25-26八年级上·安徽六安期中)在ABC中BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A、B 重合)，CD、BE交于点O. D B (I)若CD是中线，BC=3,AC=2,则△BCD与△ACD的周长差为-： (2)若L4BC=62°，CD是高，求∠B0C的度数； (3)若∠A=78°，CD是角平分线，求∠B0C的度数. 【变式1-2】模型认识：我们学过三角形的内角和等于180°，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的 两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动 如图①，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线. 2/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A P B 图① 图② 解决问题：(I)若LABC=40°，LACB=80°，则∠BPC=;(直接写出答案) (②)若∠BAC=100°，求出∠BPC的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，直接写出 ∠BPC与∠A+∠D的数量关系. 【变式1-3】(24-25九年级下·山东青岛·月考)我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问 题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 图1 图2 (1)问题再现： 如图1，在ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,若∠A=50°，则∠P= (2)问题推广： ①如图2，在ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,将ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， 若∠1+∠2=100，则∠BPC= ②如图2，在ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,将ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， 若∠1=m°，∠2=n°，则LBPC= 3/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1)一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P;结论： ∠P=∠4 2 证明：，BP、CP平分∠ABC、∠ACD,. P8c=ABC,PcD-AcD ∴.∠P=∠PCD-∠PBC=2(∠ACD-∠ABC)=2∠A. 2)一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，LA=a,∠ABC、∠ACD的平分线相交于点P,∠BC,∠PCD的平分线相交于点B, ∠BBC,∠PCD的平分线相交于点B…以此类推；结论：∠P的度数是2 ∠PBC=I∠ABC∠PCD=∠ACD 证明：，BPI、CP1平分∠ABC、∠ACD,. ∴∠R,=∠PCD-∠PBC=}(∠ACD-∠ABC)=∠A=a。同理：∠P,=}∠P1=0 2 2 2 2” 例2.(25-26八年级上江西赣州·月考)如图，BP是∠ABC的平分线，CP是ABC的外角∠ACM的平分 线 D (1)若∠ABP=25°，∠A=60°，求∠P的度数； (2)结合(1)的结论，猜想∠A与∠P的数量关系 (不证明). 【变式2-1】(25-26八年级上·安徽滁州期中)如图，在ABC中，BO,CO分别平分LABC,∠ACB,CE为外 4/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 角LACD的平分线，交BO的延长线于点E. B (1)求证：∠A=2∠E; (②)试探究∠B0C与∠E之间的数量关系，并说明理由. 【变式2-2】(25-26八年级上·浙江金华·月考)如图，在ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC,交 AC于点E,DP平分∠ADE,交∠ACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,∠ACF的平分线CO与 DP的延长线相交于点Q, D E (1)若LA=40°，∠B=60°，求LDPC与∠Q: (2)若∠A=x°时，则LDPC= ，∠0= 【变式2-3】(25-26八年级上湖北武汉·月考)如图，在ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC, 交AC于点E,EN平分∠AED,交∠ABC的平分线于点N,BN与DE相交于点H,∠ABF的平分线BM与 EN相交于点M. M D (1)若∠A=70°，LC=50°，则∠BNE=-°，∠M=-°； (2)若∠A=Q,当∠C的度数发生变化时，LBNE、∠M的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不 变化，求出LBNE、∠M的度数（用a的代数式表示）； (3)若△MBN中存在一个内角等于另一个内角的三倍，则∠A的度数为-· 5/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 C D B A 图1 图2 图3 1)两外角平分线的夹角模型 ∠0=90°-1∠A 条件：如图1，在△ABC中，BO,CO是△ABC的外角平分线；结论： 2 ∠OBC=∠EBC∠OCB=L∠BCF 证明：BO、CO平分∠CBE、∠BCF,∴. 2 2 ∠O=180.(∠OBC+∠OCB)=180.1(∠EBC+∠BCF)=180.1(∠A+∠ACB+∠ABC+∠A) 2 2 =180°.1(180°+∠A)-90°+1∠A。 2 2)旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D;结论：AD平分∠CAD 。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC, ,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角， ∴.DH=DM,DH=DN,.DM=DN,AD平分∠CAD。, 例3.(25-26八年级上·安徽滁州·月考)如图，在ABC中，∠ABC的平分线与外角∠BCN的平分线的反向 延长线相交于点E. (1)若∠A=70°，则∠E= 6/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若外角∠CBM的平分线与∠BCN的平分线相交于点F,且∠F=3∠E,则∠A= 【变式3-1】(25-26八年级上，安徽六安期中)如图，四边形ABCD,BE、DF分别平分四边形的外角 ∠MBC和∠NDC,若∠BAD=a,∠BCD=B. M 图1 图2 (I)如图1，若a+B=105°，求∠MBC+∠NDC的度数； (2)如图1，若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°，请直接写出a,B所满足的数量关系式； (3)如图2，若Q=B,判断BE,DF的位置关系，并说明理由. 【变式3-2】(25-26八年级上·安微淮南期中)【初步认识】 (1)如图1，在ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.若∠A=80°，则∠P=; 如图2，BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD,则∠A与∠M的数量关系是 图1 N图A4 【继续探索】 (2)如图3.8N平分外角∠CBE,CN平分外角∠8CF,求证：∠N=90-A: 【拓展应用】 (3)如图4，点P是ABC两内角平分线的交点，点N是ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于 点M,在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数. 【变式3-3】(25-26八年级上河北沧州月考)如图1，在三角形ABC中，外角平分线BN和CN相交于N. 求证：∠BNC=90°-1∠A. 21 下面是嘉琪的证明过程： 解：：LBCD=LA+∠ABC,∠CBE=∠A+∠ACB(根据①)， .∠BCD+∠CBE=2∠A+∠ABC+∠ACB, 又CN平分∠BCD,BN平分∠CBE, 7/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCW=J BcD,∠CBN=<CBE, ∠BcN+∠CBN=2A+∠ABc+∠4CB=l80+∠A. 在ac8w中，2N=180-(<8Cv+2c8N=10-ls0+A=0-号4， D D M O M B 图1 图2 图3 (1)嘉琪的证明中，根据①的内容是： (2)嘉琪在完成以上问题的证明后，作了如下变式探究：如图2，在三角形ABC中，∠A=80°，若 ∠CBN=3∠CBE,∠BCM=3∠BCD,射线BN与CM交于点O,求∠BOC的度数： 8 8 O如图3，在三角形4BC中，A=a0<a<609,若∠CN=<CBE,∠BCM-∠BCD,射线BN与 4 CM交于点O,直接写出∠BOC的度数（用含α的代数式表示） 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 I)条件：如图1，在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，结论： <D6-<c-B 2)条件：如图2，F为△ABC的角平分线AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D,结论： ∠DFA=uc-∠B) D EG B ED 图1 图2 ∠EAC=1∠BAC 1)证明：：AE平分LBAC,. 2 8/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BAC=180°-LB-LC, ∠E4c-08-B-c=90-a-c 4BiD=∠BAc-∠D4c90-B号4c-(90-0-<C-∠B ∠EAG=(∠C-∠B) 2)证明：如图，过A作AG⊥BC于G,由(2)可知： 2 :AG⊥BC,LAGB=90°，：FD⊥BC,LFDC=90°，∠AGD=LFDC,FD∥AG, ·∠AFD=∠EAG, 例4.(25-26八年级上·重庆渝北期中)如图，AE为ABC的角平分线，点D为AE上一点（不与A、E重 合)，DF⊥BC于点F.若∠C=30°，∠EDF=18°，则∠B= E B 【变式4-1】(25-26八年级上·安微蚌埠期中)在ABC中，CD,CE分别是它的高和角平分线，设 LBAC=a,∠B=B(a>B). D 图1 图2 ()如图1，求证：∠DCE=a- 2 (2)如图2，CE是ABC的外角∠ACF的平分线，交BA的延长线于点E,且a-B=30°，求∠DCE的度数. 【变式4-2】(25-26八年级上山西朔州期中)综合与实践 【材料准备】量角器、三角尺、直尺、铅笔. 【操作过程】仁仁画了图①所示的图形，在ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D,尝 试取了几组∠B,∠C的特殊值，并量得∠EAD的度数，得到表中几组对应值. ∠B的度数 20° 30° 40° 50° ∠C的度数 50° 60° 60° 70° 9/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAD的度数 15° 15° 10° 10° A C ED ① ② 【结论探究】 (1)若∠B=20°，∠C=80°，则∠EAD的度数为 (2)试探究∠B,∠C与∠EAD之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】 (3)仁仁继续研究，在图①中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于点D”改为“F是线段AE上一点， FDBC于点D”,如图②，请直接写出∠B,∠C与∠DFE之间的数量关系， 【变式4-3】(25-26八年级上·安微蚌埠期中)【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,AE⊥BC,垂足为点E.若LB=38°，∠C=70°，求 ∠DAE的度数 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧. 【问题变式】 如图1，将原第9题中“AE⊥BC”改为“在AD上任取一点F,作FE⊥BC”,，垂足为点E,其他条件不变，直 接写出∠DFE的度数 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在AD上任取一点F改为“在DA的延长线上任取一点F',其他条件不变，判断 ∠DFE的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在ABC中，∠B=a,LC=B(B>a),AD是∠BAC的平分线，在AD上任取一点F,过点F作 EF⊥AD,与BC的延长线交于点E,请直接写出∠DEF与a,B之间的数量关系 10/18 专题02 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴专练 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，，则的值为 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 在中，由三角形内角和定理可得，再由，，得到，最后，在中，由三角形内角和定理可得列式计算即可得到答案． 【详解】解：在中，，则由三角形内角和定理可得， ， ，， ， 在中，，则由三角形内角和定理可得， 则的值为， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）在中是角平分线，点D在边上（不与点A、B重合），、交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，是高，求的度数； (3)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据中线定义得，根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）解：是中线， ． ，， 的周长，的周长为． ． 故答案为：1． （2）解：是的高， ． ，是的角平分线， ． ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． （3）解：， ． ，是的角平分线， ，． ． ． 【变式1-2】模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 【变式1-3】（24-25九年级下·山东青岛·月考）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可； （2）①先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可； ②同理①求解即可． 【详解】（1）解：、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例2．（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，是的平分线，是的外角的平分线． (1)若，求的度数； (2)结合（1）的结论，猜想与的数量关系__________（不证明）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合角平分线的定义，得出，，再根据，故，又因为是的外角的平分线，得，再代入数值到进行计算，即可作答． （2）结合角平分线的定义以及三角形外角性质进行分析，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵是的外角的平分线． ∴， ∵， ∴； （2）解：，过程如下： 设， ∵是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角的平分线． ∴， ∵， ∴； ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，分别平分为外角的平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质以及三角形内角和： （1）利用角平分线的定义得到，，再利用三角形外角的性质推导出角的数量关系，再对数量关系化简即可； （2）根据角平分线的定义得到，再结合（1）的结论，在，中用三角形内角和定理推导即可． 【详解】（1）平分为外角的平分线， ，， 是的外角，是的外角 ，， ， 即， 化简得：． （2）． 理由如下：平分， ， 在中，， 即：， 在中，， ， 即， 由（1）可知，， ． 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，则____________，____________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、外角性质、平行线性质以及角平分线的性质，通过这些性质逐步推导角度关系． （1）先根据三角形内角和求出，再利用平行线性质得到，结合角平分线求出相关角，进而求出和； （2）先根据三角形内角和求出，再利用平行线性质得到，结合角平分线求出相关角，进而求出和． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，． 平分， ， ； ， 平分，平分， ，， ， ，即， ； ；； （2）， ， ， ，． 平分，平分， ，， ， ， 由（1）可知不变， ； ，； 故答案为：，． 【变式2-3】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点N，与相交于点H，的平分线与相交于点M． (1)若，则 °， ； (2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出的度数（用α的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，则∠A的度数为 ． 【答案】(1)125，35 (2)的度数不变， 、 (3)或或或 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识．掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． （1）由三角形内角和的定理可得，根据平行线的性质，角平分线的定义可得，进而得到，易得，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （2）根据（1）得思路求解即可； （3）设，由（2）可知，．然后分、、、四种情况，分别列出关于的等式求解即可． 【详解】（1）解：由条件可知：． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴． 由条件可知，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：125，35． （2）解：的度数不变，、， 由条件可知：． ∵， ∴， 由条件可知：， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ； ∴． 由（1）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（2）可知，． ①当时， ∴，解得：， ∴； ②当时， ∴，解得：， ∴； ③当时， ∴，解得：， ∴； ④当时， ∴，解得：， ∴． 综上，或或或． 故答案为：或或或． 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例3．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则 ． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则 ． 【答案】 /35度 /45度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，，等量代换可得答案； （2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，同（1）可得，，再根据，通过等量代换即可求解． 【详解】解： （1）平分，平分， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （2）平分，是的外角， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图2，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）证明：∵平分外角，平分外角， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 由（1）（2）知，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ∴①当时，， ∴． ②当时，， 解得． ③当时，， 解得． ④当时，， 解得． 综上，的度数为或或或． 【变式3-3】（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图1，在三角形中，外角平分线和相交于 求证：． 下面是嘉琪的证明过程： 解：，（根据①______）， ， 又平分，平分， ，， ， 在中，， (1)嘉琪的证明中，根据①的内容是：______； (2)嘉琪在完成以上问题的证明后，作了如下变式探究：如图2，在三角形中，，若，，射线与交于点O，求的度数； (3)如图3，在三角形中，，若，，射线与交于点O，直接写出的度数用含的代数式表示 【答案】(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及外角定理，角的倍数关系，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据三角形的外角性质定理求解即可； （2）根据三角形的外角定理得出，再利用三角形的内角和定理及角的倍数关系求解即可； （3）根据三角形的外角定理得出，再利用三角形的内角和定理及角的倍数关系求解即可． 【详解】（1）解：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和， 故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）解：在三角形ABC中，，又，， ， ， ，， ∴， ； （3）解：在三角形ABC中，，又，， ， ， ，， ， ， ． 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例4．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，为的角平分线，点为上一点（不与、重合），于点．若，，则 ． 【答案】/66度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，根据得到，结合得到，结合得到，根据为的角平分线得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，分别是它的高和角平分线，设，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，是的外角的平分线，交的延长线于点E，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、高线的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得出，然后根据高线的定义即可求出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）根据三角形外角的性质和角平分线定义先得出，根据高线和三角形内角和定理得出，然后根据角的和差即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，由三角形内角和定理，得． ∵是的平分线， ∴， ∵是高线， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的平分线，，， ∴， ∵是高线， ∴， ∵， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与实践 【材料准备】量角器、三角尺、直尺、铅笔． 【操作过程】仁仁画了图①所示的图形，在中，，平分，于点，尝试取了几组，的特殊值，并量得的度数，得到表中几组对应值． 的度数 的度数 的度数 【结论探究】 （1）若，，则的度数为_____； （2）试探究，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】 （3）仁仁继续研究，在图①中，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，如图②，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）由表中的数据，可得． （2）由表中的数据，可猜想．结合已知条件，根据三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余， 角的和差关系说明理由即可． （3）过点作，由，得．推出即可． 【详解】解：（1）由表格可知：， ∴当，时，； （2）． 理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． （3）； 过点作，由（2）可知：， ∵， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】 如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】问题变式：；继续探究：不变；理由见解析；深度探究： 【分析】问题变式：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 继续探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 深度探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】解：问题变式：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 继续探究：的度数不变；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 深度探究：在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，，、的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 先求出的度数，根据平分线的定义得出，求出的度数，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解∶∵， ∵、的平分线相交于点， ∴ ， ． 故选：C． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，是高，是角平分线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180°是解题的关键． 根据三角形的内角和得出，再利用角平分线得出，利用三角形内角和解答即可． 【详解】解：∵是高，， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；…；与的平分线交于点，得．求的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义． 由三角形外角的性质，结合角平分线的定义，可得，再依此类推得，，……，可得，即可求解． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ∴，， 由三角形外角的性质可得，，， ∴， 整理得：， 同理可得， ∴． 当时，． 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，，的平分线相交于点O， 、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线，三角形的高，三角形的内角和以及外角的性质等，根据三角形高的定义，三角形外角的性质求出，再根据三角形高的定义，三角形内角和定理求出，，根据三角形角平分线的定义可求出，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，是高， ∴，即， 又是高， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽·月考）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是嘉嘉画的类似“燕子”的图形，平分，平分．若，，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的知识，推导出∠A+∠AOC＝∠C+∠ADC是解题的关键． 设交于点F，由平分，平分，且，，求得，，由，得，即可解答． 【详解】解：设交于点F， ∵平分，平分，且，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，在四边形中，E，F分别是两组对边延长线的交点，，分别平分，，已知，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及角平分线的定义，连接，根据角的和差关系，得，再代入，化简即可作答． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，分别平分，，，， ∴ ， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·全国·假期作业）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q， ∵平分，平分，平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 则与、的数量关系为． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·假期作业）如图，在中，，分别平分，，且，交于点O，为外角的平分线，交的延长线于点E．已知，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，进而得到，再利用的外角即可解答． 【详解】解：∵平分， ， ∵为外角的平分线， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，已知，的平分线相交于点，过点且． （1）若，，则 ； （2）若，，则 ． 【答案】 /125度 /20度 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识的综合运用． （1）由角平分线的定义可求解，，再利用三角形的内角和定理可求解； （2）由已知条件易求，的度数，根据平行线的性质即可得，的度数，利用角平分线的定义可求解． 【详解】解：（1）和的平分线与相交于点， 所以，， 又，， ，， ， 故答案为：； （2）， ， ， ，， ， ，， 和的平分线与相交于点， ，． ． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值(用含的度数来表示)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用； （1）利用三角形的内角和定理求解； （2）由（1）的结论可知 【详解】（1）解：，． ，即， ∴． ． （2）由（1）可知，， ． 12．（25-26七年级上·山东威海·月考）如图，已知在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，连接． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）先由三角形内角和定理得，又平分，则，然后通过平行线的性质即可求解； （）由平分，平分，则，，又，则有，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， 即，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，，平分交于点D，P是上一点（不与点D重合），过点P作于点E． (1)如图1，当，且点P与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作于点F，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算，三角形外角的定义以及直角三角形的两个锐角互余等知识． （1）由已知条件得出，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，由三角形外角的定义和性质得出，再由直角三角形的两个锐角互余即可得出． （2）根据题意可知，进而可得出，，，根据三角形外角的定义可知，平行线的性质可得，根据角平分线的定义得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， AD平分， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ，，， ∴，， ∵平分， ， ∴， ． 14．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图1，平分，平分，且、交于点． (1)求证：； (2)如图2，若、是两外角的平分线且交于点，则与的关系是_____． (3)如图3，若、是和的平分线且交于点，则与的关系是_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是这一隐藏条件． （1）根据解答即可； （2）由于、是两外角的平分线，故，，由三角形外角的性质可知，，，由角平分线的定义可知，，，根据三角形定理可知，故可得出，再由即可得出结论． （3）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，；由角平分线的性质，得，，利用等量代换，即可求得与的关系； 【详解】（1）证明：、是两内角的平分线且交于点， ， ， 即 （2）如图， 、是两外角的平分线， ，， 而，， ，． ， ，即． ， ． （3）如图   ， ． 又， ． 平分， ， ， ． 15．（25-26八年级上·广东东莞·月考）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，则______； (2)判断与的数量关系，并加以证明； (3)若的平分线与的外角的平分线相交于点（如图2），直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线、三角形内角和、三角形的外角的性质： （1）（2）如图（见解析）利用三角形内角和定理、并结合角平分线和三角形的外角的性质即可得； （3）利用（2）中结论即可得到，从而可得． 【详解】（1）解：，理由见（2）； 故答案为：． （2）解：，证明如下： 如图， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）结论可知：， 又， ∴， 即． 16．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）在中，已知的等分线与的等分线相交于点，试猜想：与的数量关系．（且为整数） (1)如图1，当时，探究与的数量关系； (2)如图2，当时，与的数量关系：________； (3)如图3，猜想与的数量关系：________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理． （1）当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数； （2）当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数； （3）根据与的结论可得出猜想． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴； （2）解：∵当时，， ∴； 故答案为：； （3）解：由可知，． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图1，已知两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．如图2，点为三条内角平分线的交点，连接． (1)当时，求的度数； (2)在点A，B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连接并延长，与的邻补角的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3)为或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）先根据三角形的内角和定理求出的角度，再根据角的定义平分线得到，，最后根据三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形的内角和求出，根据角平分线定义得出，最后根据三角形内角和定理即可解答； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：点为三条内角平分线的交点， ， ， ， ； （2）解：不变，理由如下： 点为三条内角平分线的交点， ， ； （3）解：设， 是的平分线， ， 点为三条内角平分线的交点， 在中有一个角是另一个角的2倍， 若，则，解得， ； 若，则，解得， ； 若，则，解得， 若，则，解得（舍去）； 在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 18．（25-26八年级上·吉林·月考）（1）【探究发现】如图①，在中，点P是内角和外角的平分线的交点． ①若，求的度数： ②试猜想与之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）： （2）【迁移拓展】如图②，在中，点P是内角和外角的n等分线的交点，即，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【应用创新】如图③，相交于点C，的平分线交于点P，若，，则________度． 【答案】（1）①，②；（2），理由见解析；（3）38 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角定理等知识． （1）①根据角平分线定义得到，根据三角形外角定理和角的代换即可求出； ②根据角平分线定义得到，根据三角形外角定理和角的代换即可证明； （2）根据三角形外角性质和角的代换即可证明； （3）根据（1）②分别求出，，即可求出． 【详解】解：（1）①∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴， ∵是外角，是外角， ∴； ②∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴， ∵是外角，是外角， ∴； （2）． 证明：∵是外角，是外角， ∴； （3）∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴由（1）②得； ∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴由（1）②得； ∴． 故答案为：． 19．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系，结合角平分线的性质进行角度推导． （1）利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，推导与的数量关系； （2）根据（1）的结论，以及证明，找出规律，推导与的关系； （3）利用（2）中得出的角的关系，结合三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】（1）（1）； 证明：在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， 即， ∴； （2）在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 即， 又 ， 同理，，…… （3）解：由（2）知道，， ， 在， ， ， 答：的度数是． 20．（25-26八年级上·山西朔州·月考）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论证明】 （1）如图1，在中，E是内角的平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，，延长至点G，延长至点H．若，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线交于点F．若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推导出，再推导出，进而可以求解； （3）延长，交于点G，可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵E是内角的平分线与外角的平分线的交点， ． ， ， ， 即． （2），，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F， 由（1）可知，， ， ． （3）如图，延长，交于点G． ，， ，， ． 四边形的内角与外角的平分线交于点F， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $