专题01 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾 模型的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴专练 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC,形状类似于英文字母A,故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在△4BC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①：∠1=∠A+∠ACB∴.∠1=∠A+180°-∠2.∠1+∠2=∠A+180°。 ②在△ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在△4DE中，∠A+∠D+∠E=180°∴.∠3+∠4=∠D+∠E。 例1.(25-26八年级上·山东济宁期中)如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A处，若 ∠1+∠2=100，则∠A的度数是多少？ B 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-1】(25-26八年级上四川自贡·月考)如图，ABC是一个三角形的纸片，点D,E分别是ABC边 AB,AC上的两点. 图(1) 图(2) 图(3) (I)如图(1)，如果沿直线DE折叠，且DE1AC,若∠A=30°，求∠BDA'= (2)如图(2)，如果沿直线DE折叠后A落在四边形BCED内部，探究∠BDA',∠CEA'和∠DAE的关系，并 说明理由. (3)如果折成图(3)的形状，直接写出∠BDA',∠CEA和∠A的关系， 【变式1-2】(2025八年级上·全国.专题练习)探索归纳： 图1 图2 图3 (1)如图1，已知ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2= (2)如图2，己知ABC中，∠A=60°，剪去∠A后形成四边形，则∠1+∠2= (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并证明； (4)若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并说明理由. 【变式1-3】(24-25八年级上山东日照期末)数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题.现有一 张三角形纸片ABC,点M,N分别是边AC,BC上的点，若沿直线MN折叠ABC,点C的对应点为点D 图 图2 图3 (I)若如图1所示，点D恰好在BC边上，则∠1与∠ACB的数量关系是 (2)若如图2所示，点D在ABC内部，∠ACB=40°，求∠1+∠2的度数： 2/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若如图3所示，点D在ABC外部，求出∠1，∠2和∠ACB之间的数量关系. 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 图1 图2 1)8字模型（基础型) 条件：如图I,AD、BC相交于点O,连接AB、CD;结论：①∠A+∠B=∠C+∠D;② AB+CD<AD+BC。 证明：在△4BO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ,'∠AOB=∠COD∴.∠A+∠B=∠C+∠D; 在△4BO中，AB<AO+BO:在△COD中，CD<CO+DO: .AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC;∴.AB+CD<AD+BC。 2)8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD,线段CP平分∠BCD;结论：2∠P=∠B+∠D 证明：线段AP平分∠BAD,线段CP平分∠BCD∴.∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD ,∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P-∠PCD+∠D② ①+②得2∠P=∠B+∠D,则∠P=(∠B+∠D),即2∠P=∠B+∠D 例2.(25-26八年级上·云南昭通期中)如图，线段AC与BD相交于点0，连接AB,CD. 图1 图2 3/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)如图1，求证：∠A+∠B=∠C+∠D; (②)如图2，BE平分∠ABD,CE平分LACD,BE,CE相交于点E,若LA=20°，∠D=40°，求∠E的度 数 【变式2-1】(25-26八年级上·安微池州月考)如图①，AD与BC相交于点0，得到一个“8字”ABCD. 图① 图② (I)求证：∠A+∠B=∠C+∠D. (2)如图②，其中共有几个“8字”？ (3)如图②，若BE,DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线，利用(1)中的结论，求证：LE=(∠A+∠C) 【变式2-2】(25-26八年级上·河北廊坊·期中)【问题背景】 (1)如图1的图形我们把它称为8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D; 【简单应用】 (2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=44°，∠ADC=18°，求∠P的度数； 【问题探究】 (3)如图3，直线AP平分△BAD的外角∠FAD,CP平分△BCD的外角∠BCE,若∠ABC=46°，∠ADC=26° ,请猜想∠P的度数，并说明理由 【拓展延伸】 (4)在图4中，若设LABC=&,LADC=B,AP平分∠BAD,CP平分LBCD的外角∠BCE,猜想∠P与 ∠ABC、LADC的关系，直接写出结论（用a、B表示∠P). B E D 图1 图2 图3 图4 【变式2-3】(24-25七年级下，甘肃天水·期末)【问题背景】 如图，在△BEH和CHD中，点E、H、C在一条直线上，点B、H、D在一条直线上，且BE∥CD,A为 EH右侧、HD上方一点，连接AC,AC⊥BD于点G. 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3 【问题发现】 (1)如图1，连接AE,则四边形AGBE的内角和为 o: 【深入探究】 (2)如图2，连接AE,若AE∥BD,EC平分∠AEB,试说明：∠D=2LACE; 【拓展延伸】 (3)如图3，连接AB,若AB⊥CE,∠BEC的平分线EF与∠BDC的平分线DF交于点F,EF交BD于 点O,探究∠EHD与∠F的数量关系，并证明你的结论. 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 D 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD; 结论：①LBCD=LA+LB+LD:②AB+AD>BC+CD 证明：连接AC并延长至点P;在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B;在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D: 又，∠BAD=∠BAC+∠DAC,∠BCD=∠BCP+∠DCP;∴.∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P;在△4BQ中，AB+A0>BC+C巴，在△CDQ中， CO+OD>CD 即：AB+A0+CQ+QD>BC+CQ+CD,故AB+AD>BC+CD。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC,OD平分∠ADC;结论：∠O=2(∠A+∠C)。 1 1 证明：BO平分∠ABC,OD平分∠ADC;∴.∠ABO=2∠ABC;∠ADO=2∠ADC: 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=2∠ABC+2∠ADC+∠A;∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A; 1 ∴.2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A;即∠O=2(∠A+∠C)。 例3.(25-26八年级上·安徽淮南期中)如图1，在四边形ABDC中，∠A=86°，∠B=34°，∠C=24°. (1)∠BDC=°； (2)如图2，∠ABD和∠ACD的角平分线BE与CF交于点G,BE,CF分别与AC,AB交于点E和点F, 则∠BGC= D D 图1 图2 【变式3-1】(25-26八年级上广西柳州期中)如图，己知∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，则∠A的度 数为一 【变式3-2】(23-24七年级下·江苏南京月考)凹四边形因形似燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知 识解决下列问题： 图① 图② (I)用图①证明：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD; (2)在图①中，若BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,BE与CE交于E点，运用(1)的结论写出∠BDC、 ∠BEC和∠BAC之间的关系，并说明理由： (③如图②，若A-ABD,2=写4CD,试探索∠BDC,∠BEC和∠B4C三个角之间的关系为 (直接写出结果即可). 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-3】(25-26八年级上河北保定·期中)【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系。 【解决问题】 (1)如图1，探究∠ABC(∠ABC<180)与∠A,∠D,∠C三个角之间的等量关系. 小明得出的结论是LABC=∠A+∠D+∠C,他的证明过程如下： 证明：连接DB,并延长到点P. 请你将小明的证明过程补充完整。 【类比探究】 (2)如图2，∠A+LC+∠E=90°，LB+LD=150°，求∠AFE的度数. 【拓展延伸】 (3)如图3，AM∥EN,∠B+∠D=150°，∠C+∠E=50°，则∠MAB的度数为 M B D N 图1 图2 图3 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上湖北荆州期中)如图，在ABC中，D为BC延长线上一点，DE1AB于F,交AC于 E,若∠A=40°，∠D=45°，则∠ACB的度数等于() 7/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.75° B.85 C.95° D.105 2.(25-26八年级上湖北武汉期中)如图，∠B=42°，则∠C+∠D+∠E+∠A的度数为() A.222 B.228 C.232 D.238 3.(25-26八年级上·全国·假期作业)如图，在ABC中，点D,E分别是AB,AC上两点，将ABC沿DE 折叠，使点A落在点F处，若∠A=a,∠FDB=B,则∠FEC的度数是() B A= A.a+B B.a+28 C.2a+β D.90°+0+B 2 4.(25-26八年级上·湖北期中)如图，己知在ABC中，∠A=50°，将一块直角三角板放在ABC上，使 三角板的两条直角边分别经过B,C,直角顶点D落在ABC的内部，∠ABD+∠ACD=()度， A.90 B.60 C.50 D.40 5.(25-26八年级上·河南焦作·期中)如图是可调节躺椅示意图（数据如图)，AE与BD的交点为C,且 ∠A,∠B,∠E保持不变，为了舒适，需要调整∠D的大小，使∠EFD=130°，则图中∠D应() 8/13 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20° 30 50° C 60° A AB A.增加10 B.减少10° C.增加20° D.减少20° 二、填空题 6.(25-26八年级上湖北襄阳·月考)利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活 方式逐渐影响居民的生活习惯.周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块 四边形的余料，经过测量，∠BDC=90°，∠C=35°，LA=32°，那么∠B的度数是 B 7.(25-26七年级上重庆綦江·月考)如图，点D在BC的延长线上，DE1AB于点E,交AC于点F,若 ∠A=40°，∠D=25°，则∠ACB的度数为 B 8.(25-26八年级上山东德州月考)如图，∠BGF=140°，则LA+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为】 G B D 9.(25-26八年级上·全国假期作业)如图，∠DAB和LBCD的平分线AP和CP相交于P点，若∠D=42°， 9/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=38°，那么∠P的度数是 D 4 B 10.(24-25七年级下·吉林长春·期末)将一个三角板ABC和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规 的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边.己知∠1=16°，∠2=31°，则∠3=度. A B 三、解答题 11.(25-26八年级上广东汕头期中)如图，∠B=20°，∠C=31°，∠BPC=123°，求∠A的度数. A B C 12.(20-21八年级上·全国·单元测试)如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. B 13.(25-26八年级上·安徽准北期中)如图1，线段AD,BC相交于点O,连接AB,CD,我们把形如图 1的图形称为8字形”. 10/13 专题01 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴专练 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，根据翻折变换的性质和平角的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，    ∵四边形纸片沿折叠，点A落在处， ∴， ∵， ∴， 在中，． 答：的度数是． 【变式1-1】（25-26八年级上·四川自贡·月考）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解：沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 【变式1-2】（2025八年级上·全国·专题练习）探索归纳： (1)如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则________； (2)如图，已知中，，剪去后形成四边形，则________； (3)如图，根据上面的求解过程，猜想与的数量关系，并证明； (4)若没有剪掉，而是把它折成如图的形状，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)．证明见解析 (4)．理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和、三角形的内角和是度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． ()利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解； ()利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； ()根据()、()中思路即可求解； ()根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： ∴ ∵为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示： 在中，由外角性质可知： ； ∵ ∴ 故答案为： （3）解：由()、()中思路，由三角形外角性质可知： ，； ∴ ， ∴与的关系是：， 故答案为：； （4）． 理由：连接． ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴与的关系为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，再结合三角形内角和、外角性质或平角定义推导角的数量关系． （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【详解】（1）解： 由折叠的性质可得， ， ， ，即； 故答案为： ； （2）解：， ， 由折叠的性质可得， ， ， ； （3）解： 由折叠的性质可得 ， ， ， ， ， ． 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例2．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，线段与相交于点，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，平分，，相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，，根据可得； （2）由（1）知，，即，根据平分，平分得到，，则，同（1）可得，进而可求的度数． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ； （2）解：由（1）知，． ，， ， 则． 平分，平分， ，， ， 则． 同（1）可得， ， 即． ． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽池州·月考）如图①，与相交于点，得到一个“字”． (1)求证：. (2)如图②，其中共有几个“字” (3)如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握“字”的定义是解此题的关键 （1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）根据“字”的定义即可解决问题； （3）利用（1）中结论解决问题即可 【详解】（1）证明：在中，． 在中，． ， ； （2）解：如图：令、交于点，、交于点，、交于点， 由图可得：图中有“字”、“字”、“字”，“字”、“字”、“字”，共有个“字”； （3）解：在“字”中，由（1），可得． 在“字”中，由（1），可得． 由，得． 平分，平分， ，． ∴，即 【变式2-2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，分别平分，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，平分平分的外角，猜想与的关系，直接写出结论（用表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型． （1）利用三角形内角和求解即可． （2）利用（1）中结论可得出，两式相加，然后再根据角平分线的定义得出进而可得出，即可求出． （3）由角平分线的定义得出由补角的定义和性质得出由（1）中结论得出，，代入可进一步得出答案． （4）由角平分线的定义设，则，由（1）中结论得出，，整理即可得出． 【详解】解：（1）在中，． 在中，． （2）由（1）得：， ∵分别平分， ∴ ， ． （3），理由是：如图3： 平分的外角平分的外角， ， ， ∴， 即 即， ， （4）∵平分平分的外角， ∴设，则． ∵， ∴， ∴， ∴ 【变式2-3】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【问题背景】 如图，在和中，点E、H、C在一条直线上，点B、H、D在一条直线上，且，A为右侧、上方一点，连接，于点． 【问题发现】 （1）如图1，连接，则四边形的内角和为________°； 【深入探究】 （2）如图2，连接，若，平分，试说明：； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，若，的平分线与的平分线交于点F，交于点，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）360°；（2）见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线性质，角平分线定义，三角形外角性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）连接，结合三角形内角和定理表示出求解，即可解题； （2）根据平行线性质和角平分线定义，推出，再结合三角形内角和定理进行代换，即可解题； （3）结合三角形外角性质得到，，再结合角平分线定义得到，再进行等量代换，即可解题． 【详解】解：（1）连接， 有， ， 故答案为：； （2）， . 平分， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ； （3）. 由（2）知， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ． 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 例3．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形中，，，． （1） ； （2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则 ． 【答案】 144 115 【分析】本题考查了三角形的外角性质． （1）连接并延长至点H，利用三角形的外角性质即可求解； （2）连接并延长至点K，利用三角形的外角性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接并延长至点H． ∴ ； （2）如图2，连接并延长至点K． ∵分别平分，， ∴，， ∴ ， 故答案为：144；115． 【变式3-1】（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，已知，，，则的度数为 ． 【答案】/37度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．延长交于点，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏南京·月考）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到； （2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． （2），理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； （3），理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，为延长线上一点，于，交于，若，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和求出，再利用三角形的内角和定理得结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 设与交于点，与交于点，根据三角形外角的性质得出，，根据三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数，即可得解． 【详解】如图，设与交于点，与交于点， ， ． ． ，， ． 故选： 3．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，点D，E分别是上两点，将沿折叠，使点A落在点F处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，翻折的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等的角，然后利用周角、平角以及三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖北·期中）如图，已知在中，，将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过，，直角顶点落在的内部，（   ）度． A．90 B．60 C．50 D．40 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得，，进而即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ， ， 故选：D． 5．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图是可调节躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需要调整的大小，使，则图中应（    ） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键． 延长，交于点，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，再由三角形内角和定理的推论得到的度数（用表示），利用和三角形的外角的性质可得的度数，从而得出结论． 【详解】延长，交于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 图中， ， 增加； 故选． 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，，，那么的度数是 【答案】/度 【分析】本题考查了邻补角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键． 延长交于点，由邻补角可得，由三角形外角的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·重庆綦江·月考）如图，点D在的延长线上，于点E，交于点F，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，由垂直，结合已知，求得，利用对顶角相等，三角形外角性质，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角的定义及性质，三角形内角和定理的应用，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义理解，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理． 8．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，，则的度数为 ． 【答案】/280度 【分析】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 根据外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和进行角的转化计算即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用三角形内角和得到，再利用对顶角得到得到，所以①，同理可得②，接着把两式相加，然后利用角平分线的定义得到，从而可确定的度数． 【详解】解：∵， 而， ∴①， 同理可得②， 得， ∵和的平分线和相交于P点， ∴，， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【答案】43 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，连接并延长至点D，利用，，得，即，代入，，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长至点D， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 12．（20-21八年级上·全国·单元测试）如图，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质和三角形内角和定理，理解图示是解决本题的关键． 连接，根据对顶角相等可得，再根据三角形内角和定理进而即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴ ． 13．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图1，线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”． (1)求证：； (2)如图2，点M是线段上一点，连接，求 的度数； (3)如图3，点E是延长线上一点，与的平分线交于点P，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)，理由见详解 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义及角平分线的性质． （1）在和中，分别利用三角形内角和定理，再结合对顶角相等来推导； （2）先在中得到与的关系，再在中利用三角形内角和定理来求解； （3）利用角平分线的性质和“8字形”的结论，通过等量代换和化简来找出，与之间的关系． 【详解】（1）证明：∵和的内角和都为， ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， 在中，， ∴． （3）解：， 理由：由（1）知，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，． (2)50 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解答的关键． （1）由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； （2）由进行变形为即可解答； （3）由角平分线的定义得、，再由三角形内角和定理得出，然后把代入求解即可． 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50． （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，；；，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （）①根据“字型”的定义判断即可； 由（）结论可得和中，，和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； 根据，，得，，，，然后可得，，最后进行等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：中，，中，， ∵， ∴； （2）解：以线段为边的“字型”有：和，和，和，共个； 以点为交点的“字型”有：和，和，和，和，共个； 故答案为：，； 和中，，和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ，理由如下： ∵，， ∴，，，， 在和中，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·湖北黄石·月考）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形外角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，由折叠的性质得出．由三角形外角的性质可得出结论； （2）由三角形外角的性质得出，则可得出结论； （3）①延长交的延长线于L，由（2）中结论可知，求出．则可得出答案． 【详解】解：（1），理由如下： 如图①，连接， 将三角形纸片沿折叠，点A落在四边形内点的位置， ． ， ， 即； 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，设与交于点F， ， ， ； （3）如图③，延长交的延长线于L，由（2）中结论可知， ， ． ， ． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可； （2）①根据（1）中的结论得①，②，将，结合角平分线定义得出，最后将代入即可求解；②类比①中的方法求解即可． 【详解】解：（1），， （2）（i）根据（1）可得①，②， 由得， 平分，平分， ，， ， ， ． （ii）．理由如下： 根据（1）可得， ，， ，， ③，④， 由③④得， ， ． 18．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）已知：线段、相交于点，连接、． (1)如图，求证：； (2)如图，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，求的度数； (3)如图，和的三等分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，试探究、、三者之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理以及对顶角相等即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE、∠ABE=∠CBE，由（1）可得，，得出，代入数据即可求解； （3）由三等分线的定义可得，，由（1）可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明：，， ； （2）和的平分线和相交于点， ，， 由（1）可得，， ， ，， ； （3）． 理由：，， ，， 由（1）可得，， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $