专题02 平行线中的拐点模型的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题02 平行线中的拐点模型的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、猪蹄模型（M型）与锯齿模型 类型二、铅笔头模型 类型三、牛角模型 类型四、羊角模型 类型五、蛇形模型（“5”字模型） 压轴专练 类型一、猪蹄模型（M型）与锯齿模型 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 例1．（25-26八年级上·全国·单元测试）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点P照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与直线平行的方向射出，若，则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．根据两直线平行，内错角相等可得，，然后相加即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，是之间的点，分别连接，若分别平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点N作，得到，得到，，根据角平分线的定义得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点N作， ， ， ， ， 同理可得， 分别平分， ． ， ， ， 即． 【变式1-2】（2026七年级下·全国·专题练习）根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系； （2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系. 【详解】（1）解：如图①，过点作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则． 过点作，则，． ∵， ∴， ∴， ∴， 由此推得． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东佛山·期末）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． 类型二、铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造两组互补的同旁内角．过点作直线，根据平行线的性质可得，，然后再计算即可． 【详解】解，如下图所示，过C点作直线， ， ， ，， ， 即. 故选：B． 【变式2-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）已知直线，点E为直线，之间的一点． (1)如图①所示，若，，求的度数． (2)如图②所示，若，，求的度数．（用，表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）过点作，根据平行线的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①所示，过点作. ∵， ∴. ∵， ∴. 又∵， ∴. ∵， ∴. （2）解：如图②所示，过点作. ∵， ∴， ∴. 又∵，， ∴. 【变式2-2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 【变式2-3】（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 类型三、牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式3-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【知识背景】我们经常过某一点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)如图1，已知，，，求的度数； (2)如图2，已知，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质求角度问题，数形结合，熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）过点作，如图所示，由平行线的性质得到，再由平行线的判定与性质即可得到答案； （2）过点作，如图所示，由平行线的性质得到，再由平行线的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3-2】（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为 ． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ． 【答案】 或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，而，可得，证明，，再进一步解答即可； （2）分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得． 【详解】解：（1）过点作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）①当为锐角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ，即， ，， ，， ，即， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， ②当为钝角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， 综上所述或 故答案案为：或． 【变式3-3】直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴． 类型四、羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例4．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式4-1】（24-25七年级下·云南楚雄·期中）已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中． (1)如图1，若、，则___________； (2)如图2，若、，则___________（用含的式子表示）； (3)如图3，若、，那么与、之间有什么数量关系？请加以证明． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，解题的关键是由平行线性质得出角相等从而求出答案； （1）先过作，由平行线的性质得，，所以求得的度数． （2）首先过作，根据平行线的性质可得：，，，从而表示出． （3）由平行线的性质得，再根据三角形的外角性质，表示出与、之间的关系． 【详解】（1）解：过作，，， ， 故答案为：． （2）解：过作，，， ， ， ． 故答案为：． （3）证明： 证明：， 又， ． 类型五、蛇形模型（“5”字模型） 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例5．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答． 【详解】解：过点作．由题可知， ， ，． ． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图所示的样子． (1)如图，，，，求的度数； (2)聪明的小明在图的基础上，将图变为图，其中，，，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，则有，又因为，所以，则，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，过点作，所以，所以，，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， 因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：如图，过点作，过点作， 因为， 所以， 所以，，， 因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以． 【变式5-3】（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数． 【详解】解：由题意可知：，， 而，， ， ， ． 故选：D． 2．（23-24七年级下·广西南宁·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（25-26七年级上·全国·单元测试）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．学校将“抖空竹”引入阳光体育大课间．如图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把这一瞬间抽象成图②所示的数学问题：已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质的应用，平行公理的推论，过点E作，则，由两直线平行、同旁内角互补，可得，，由此可解． 【详解】解：如图，过点E作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选A． 二、填空题 4．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）如图，已知，，，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质，此类题目过拐点作平行线是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用． 过点E作，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点E，F分别作，．然后运用平行线的性质进行推导． 【详解】解：如图所示，过点E，F分别作，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． 三、解答题 7．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)C (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用平行线的性质，即可得到，，进而得出； （2）过D作，利用平行线的性质，即可得到，，进而得出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即， 故选：C； （2）解：，理由如下， 如图，过D作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 8．（25-26八年级上·广西贺州·期中）探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可解决问题； （2）根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据平行线的性质即可解决问题； （4）根据平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示， ∵， ∴．， ∵， ∴； （4），理由如下： 过点F作， 由（1）知，， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·广东揭阳·期中）如图，，点为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，试说明，； (3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点，判断与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①，理由见详解；② 【分析】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义．作辅助线来构造平行关系是解题的关键． （1）过点作，利用推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得到，，那么，代入角度值计算即可； （2）过点作，由得，根据“两直线平行，同旁内角互补”，分别得出，，将这两个等式相加，即可推出． （3）①由（1）可得，又因为平分，平分，所以，，再结合中，就能推出； ②根据前面的结论，结合已知的角的比例关系，，，推导出，然后代入到，通过等式变形求出的表达式． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． ②由①可知， ，，， ， ， ， ， ， ． 10．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，求证：； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含的代数式表示）； (3)如图3，，，．直线交、分别于点、，若，，则的值是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）过作，过作，易得，利用平行线的性质可求解； （2）由角平分线的定义可设，，延长交于点G，过点M作交于点H，又由（1）可得，，则，进而求解； （3）设，，则，， 分别过点M，N作，，则，由得，再由（1）的结论得，计算可求解n值． 【详解】（1）解：过作，过作， 又∵， ∴， 则，，，， ∴，， ∴， 即； （2）解：如图2， ∵平分，平分， ∴设，， 延长交于点G，过点M作交于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点M作， 则，， ∴， 又由（1）可得，， ∴， ∴， 即； （3）解：如图3，设，，则，， 分别过点M，N作，，则， ∴， ∴， 即， ∴， 又由（1）知， 得到， ∴． 11．（24-25七年级下·广东佛山·月考）数学活动：探究利用平行线构造等角“转化”． (1)阅读理解：如图1，已知三角形，求的度数．阅读并补充下列推理过程： 解：过点A作， （_______） _______， _______． (2)方法运用：如图2，已知，，，求的度数； (3)如图3，已知，，，，求的度数； (4)拓展探索：如图4，已知，点E、F是、上的点，N是、之间的一点，分别作的平分线，交于点M，若，直接写出的度数． 【答案】(1)两直线平行,内错角相等; ; (2) (3) (4) 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、平行线定理． （1）根据平行线的性质和平角的定义求解即可； （2）过点E作，根据平行线定理可得，再根据平行线的性质可得，，即可求解； （3）根据平行线定理可得，再根据平行线的性质可得，，即可求解； （4）过点M作，根据角平分线的定义可得，，，再根据平行线定理可得，，即，同理可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：过点A作， （两直线平行,内错角相等） ， ． 故答案为: 两直线平行,内错角相等; ；； （2）解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， 又，， ∴，， ∴； （4）解：过点M作， ∵、平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴同理得， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． 【类比应用】 （1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】 （3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点P作，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过P点作，则，由平行线的性质可得，，从而得出，即可得解； （3）过Q点作，则，由平行线的性质可得，，推出，，由角平分线的定义可得，，从而得出，由（2）知，，推出，即可得解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过P点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）由示例知，过Q点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴ ， 即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02平行线中的拐点模型的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、猪蹄模型(M型)与锯齿模型 类型二、铅笔头模型 类型三、牛角模型 类型四、羊角模型 类型五、蛇形模型（“5”字模型) 压轴专练 典例详解 类型一、猪蹄模型(M型)与锯齿模型 【模型解读】 M M P P >P2n+1 B 图1 图2 图3 如图1，①已知：AMBN,结论：∠APB=∠A+∠B;②己知：∠APB=∠A+∠B,结论：AMBN 如图2，已知：AMBN,结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2 如图3，已知：AMBN,结论：∠P1十∠P3+.+∠P2n+1F∠A+∠B+∠P2+.+∠P2m 【模型证明】 (1)∠APB=∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM, M ,PQ∥AM,AM∥BN,.PQ∥AM∥BN,∴∠A=∠APQ,∠B=∠BPQ, 1/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠A+∠B=∠APQ+∠BPQ=∠APB,即：∠APB=∠A+∠B. (2)根据(1)中结论可得，∠A+∠B+∠P2=∠P1+∠P3, 故答案为：∠A+∠B+∠P2=∠P1+∠P3, (3)由(2)的规律得，∠A+∠B+∠P2++P2n=∠P1+∠P3+∠P++∠P2m1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+P2n=∠P1+∠P3+∠Ps++∠P2H1 例1.(25-26八年级上·全国·单元测试)生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如图，从 光源点P照射到抛物线上的光线PA,PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若 ∠CAP=u,∠DBP=B,则∠APB的度数为 B D 【变式1-1】(2025八年级上·全国.专题练习)如图，己知AB∥CD,M,N是AB,CD之间的点，分别连接 AM,AN,CM,CN,若AM,CM分别平分∠BAN,∠DCN,∠AMC=50°，求LANC的度数. B M D 【变式1-2】(2026七年级下·全国专题练习)根据图象完成题目： A B 02 3△ 2n-1 2n F D D 图① 图② (I)如图①，AB∥CD,E,F分别是AB,CD上任意一点，EO和FO交于点O,则∠1，∠2，∠3的数量关 系是 (2)如图②，AB∥CD,则图中∠1，∠2，∠3，∠4，，∠2n-1,∠2n之间的数量关系是 【变式1-3】(24-25八年级上广东佛山期末)平面内∠A和∠B,存在一个常数k>0,使得 ∠A+k∠B=180°，则称∠B为∠A的k倍补角，例如，∠A=120°，∠B=30°，则∠B为∠A的2倍补角， 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图1 备用图2 (1)∠M是∠N的5倍补角，∠N=3LM,则∠M=-; (2)如图1，在平面内，AB∥CD,点E在BD左侧，连接BE、DE. ①若∠CDE=20°，∠ABE是∠BED的3倍补角，求∠ABE: ②在①的条件下，点F在直线AB、CD之间，且在折线BED右侧，∠EBF为∠ABE的k倍补角，∠EDF为 ∠CDE的k倍补角，求∠F(用k表示). 类型二、铅笔头模型 01 Pn-a B 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN,结论：∠1+∠2++∠n=(n-1)180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ .AM∥BN,.PQ∥BN,∴.∠1+∠APQ=180°，∠3+∠BPQ=180°，.∠1+∠2+∠3=360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C,过点P2作AM的平行线PD, ,AM∥BN,∴.AM∥PC∥PD∥BN, .∠1+∠AP1C=180°，∠P2P1C+∠P1P2D=180°，∠BPD+∠4=180°，.∠1+∠2+∠3+∠4=540°： 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 3/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3++∠n=(n-1)180°· 例2.(2025七年级下，全国.专题练习)如图，AB‖CD,LB+∠C+∠D=( B E D A.180° B.360 C.540° D.270 【变式2-1】(25-26七年级下·全国单元测试)己知直线AB∥CD,点E为直线AB,CD之间的一点. A B A B C D ① ② (1)如图①所示，若∠B=15°，∠BED=90°，求∠D的度数 (2)如图②所示，若LB=a,LD=B,求∠BED的度数.（用a,B表示） 【变式2-2】(25-26八年级上山西晋中·期末)【基础模型】 (1)如图1，若AB∥CD,点E为拐点，则∠1、∠2、∠3的数量关系为 若将拐点E左移，如 图2，此时∠1、∠2、∠3的数量关系为 【深入探究】 (2)如图3，AB∥CD,BP平分∠ABE,DP平分∠CDE,猜想∠BPD与∠BED之间的数量关系，并说 明理由， 【拓展探究】 (3)如图4，AB∥CD,若点E在点B的左侧，∠CDE=,∠ABE=B,且a>B,BP平分∠ABE,DP平 分∠CDE,请你直接用含a、B的式子表示∠BPD. 2 图1 图2 图3 图4 【变式2-3】(1)如图1，AB∥CD,求∠A+∠AEC+∠C的度数， 解：过点E作EF∥AB. :EF∥AB(己作)， 4/16 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠A+∠AEF=180°(). 又：AB CD(已知)， (平行关系的传递性)， .∠CEF+∠=180°（两直线平行，同旁内角互补）， :LA+LAEF+LCEF+LC=360°（等式性质）， 即∠A+∠AEC+∠C=; (2)根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF,则LB+∠C+∠D+∠E= (3)根据(1)和(2)的规律，图3中AB川GF,猜想：∠B+∠C+∠D+E+∠F= (4)如图4，AB∥CD,在B,D两点的同一侧有M,M2,MMn共n个折点，则 ∠B+∠M,+∠M,+..+∠Mn+∠D的度数为（用含n的代数式表示）. B A B D M M E C M 图1 图2 图3 图4D 类型三、牛角模型 C 图1 图2 如图1，已知AB∥CD,结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD,结论：∠1+∠3-∠2=180° 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF,.∠1+∠FEB=180° 5/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E 3 D D 图1 图2 .AB∥CD,∴.EF∥CD,∴.∠3+∠FED=180°，即：∠3+∠2+∠FEB=180°，∴.∠1=∠2+∠3 在图2中，过E作AB的平行线EF,.∠1+∠FEB=180 .AB∥CD,∴.EF∥CD,.∠3=∠FEC,即：∠3-∠2=∠FEB,∴.∠1+∠3-∠2=180 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F,或延长EB交CD于点F等。 例3.(25-26八年级上·内蒙古包头期末)如图，已知AB∥DE,点C在AB上方，连接BC,CD ∠ABC=145°. B E D 图(1) 图(2) (1)如图(1)，若∠EDC=116°，求∠BCD的度数； (②)如图(2)，CB与DF互相垂直，垂足为F,求∠EDF的度数， 【变式3-1】(24-25七年级下陕西咸阳·期末)【知识背景】我们经常过某一点作己知直线的平行线，以便 利用平行线的性质来解决问题， B D 图1 图2 (1)如图1，己知AB∥CD,∠BFE=45°，∠EGD=32°，求∠FEG的度数； (2)如图2，已知AB∥CD,∠B=120°，∠CDE=62°，求∠BED的度数. 【变式3-2】(24-25七年级上河南新乡·期末)如图，∠AEC=80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向 同方向作射线AB和CD,且AB∥CD. (1)若∠A=60°，则∠DCE的度数为 (2)若∠EAB和∠ECD的平分线所在的直线交于点P(P与C不重合)，则∠APC的度数为 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 【变式3-3】直线AB∥CD,P为直线AB上方一点，连接PA、PD. 图1 图2 (1)如图1，若∠A=100,LD=130°，求∠APD的度数； (2)如图1，设∠PAB=a,∠CDP=B,求∠APD的度数（用含a、的式子表示)； B)如图2，V为∠PAB内部一点，∠BAN=3∠PAN,连接CN,若LDCN=3∠PCN,求∠4PC的值. ∠ANC 类型四、羊角模型 图1 图2 如图1，已知：ABIDE,结论：0=Y-B 如图2，已知：ABIDE,结论：0+阝+Y=180° 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF,.∠B=∠FCB 7/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 :ABIDE,∴CFDE,·∠y=∠FCD,∠O=∠FCD-∠FCB,.∠a=∠Y-∠B 在图2中，过C作AB的平行线CF,,∠B=∠FCB :ABIDE,CFDE,∠Y+∠FCD=l80°，：∠FCD=∠o+∠FCB,∠o+∠B+∠Y-∠=l80 例4.(24-25七年级上黑龙江绥化期中)已知，如图，AB∥EF,∠ABC=75°，∠CDF=135°，则 ∠BCD等于() A 7500B D E 135° A.45° B.40° C.35° D.30° 【变式4-1】(24-25七年级下，云南楚雄期中)己知AB∥CD,P为平面内一点（不在AB、CD上）， 探索∠APC,∠A,∠C之间的数量关系. B 图1 图2 图3 (①)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作PE∥AB, .∠APE=∠A( :AB∥CD,PE∥AB .PE∥CD( .∠CPE=∠C LAPE+LCPE=LA+∠C .LAPC=∠A+LC. 8/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若LA=150°，∠P=75°，则∠C的度数为_· (3)如图3，求∠APC,∠A,∠C之间的数量关系 【变式4-2】(25-26八年级上·黑龙江绥化开学考试)下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其 中AB∥CD. E B B 女30 A 50 D D C 图1 图2 图3 (1)如图1，若LA=30°、∠C=50°，则∠AEC= (2)如图2，若LA=x°、∠C=y°，则∠AEC= (用含x°、y°的式子表示)： (3)如图3，若LA=m°、∠C=n°，那么∠AEC与m°、n°之间有什么数量关系？请加以证明. 类型五、蛇形模型(“5”字模型) 基本模型：如图，AB∥CD,结论：∠1+∠3-∠2=180°. a)o 图1 图2 如图1，已知：ABDE,结论：u+Y=B+180 如图2，已知：ABDE,结论：+B=Y+180° 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF,.∠B=∠FCB. E :ABDE,CFDE,.∠y+∠FCD=180°，：∠o=∠FCD+∠FCB,·.∠+∠Y=∠B+180° 9/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在图2中，过C作AB的平行线CF,.∠B+∠FCB=180°， :ABIDE,CFDE,∠y=∠FCD,:∠o=∠FCD+∠FCB,.∠o+∠B=∠Y+180 例5.(2026七年级下·全国.专题练习)如图，AB∥CD. B E D (I)若LB=130°，∠C=30°，求∠BEC的度数 (2)探究∠B,∠C,∠BEC三者之间有怎样的数量关系，并说明理由 【变式5-1】(2425七年级下全国期末)劳动情境·公路修建]一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过， 第一次拐弯∠M的度数为α.第二次拐弯LN的度数为B,到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐 弯之前的道路平行，则∠P= 【变式5-2】(24-25七年级下·贵州黔东南月考)如图①，婉蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱 的山间起舞.数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图②所示的样子. C D 图① 图② 图③ (I)如图②，AB∥CD,LB=125°，∠C=25°，求∠BPC的度数： (2)聪明的小明在图②的基础上，将图②变为图③，其中AB∥CD,∠B=125°，∠PQC=65°， ∠C=145°，求∠BP2的度数. 【变式5-3】(24-25七年级下·广东汕头月考)如图1，已知∠ACB=90°，MA∥BN. 10/16