培优05 平行线中的拐点模型（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

培优05 平行线中的拐点模型 题型1 猪蹄模型 模型 猪蹄模型 猪蹄模型的扩展 图例 结论 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． 过作，过作，再由平行线的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】过作，过作， ，，，， ，， ， ， ，即， ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查两直线平行的判定与性质，直线平行的传递性，作合适的辅助线是解题的关键． 过作，由平行的性质可得，进而得到，即，再由平行的传递性可得． 【详解】解：过作， （两直线平行，内错角相等）， ，， ， （内错角相等，两直线平行）， ， ． 故选：C． 3．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为_______． 【答案】65 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． 根据题意得到，进而得到，，再根据得到，进而计算即可． 【详解】解：∵从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即 ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知，和分别平分和，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义及方程思想，过点E作，过点F作，根据平行公理的推论得出，再利用平行线的性质，推导出内错角相等，结合角平分线定义，设未知数表示角度，表达和，结合已知条件列出方程，最后化简方程求解β，进而求． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 则，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．（25-26七年级下·上海·月考）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）如图②中，过点E作，利用平行线的性质求出，，根据证明即可； （2）如图③中，过点B作交的延长线于G，利用平行线的性质求出，，，根据证明即可； （3）设，，则，求出，，根据，构建方程求出可得结论． 【详解】（1）证明：如图②，过点E作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即， （2）如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·广东汕头·月考）【阅读·领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段比如要证明直线a、b是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 【实践·体悟】如图2，已知，．求证：． (1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你延续他的思路，完成证明过程：证明：如图，连接． (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质证明，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，由已知条件可得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出． （2）：延长交直线于点M，再利用平行线的判定与性质进行证明即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等式性质）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）证明：延长交直线于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型2 铅笔头模型 模型 铅笔头模型 铅笔模型的扩展 图例 结论 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）年月日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，．若，于点，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由已知可得，过点作，过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，已知五边形中，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的度数为． 【点睛】该题为“铅笔头”模型，添加平行线是解答的关键． 3．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线的平分线交于点P． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，角度的和差关系计算． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）知，，根据得，然后根据得，由此解出α即可得出的度数； （3）由平分，，得到，从而推出，再由已知条件结合角平分线的性质证得，最终利用角度的和差关系可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：设， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的度数为． （3）解：∵平分，， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）直线，点在直线上，点B在直线之间，，点在直线上，记（）． (1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示） (2)过点作交直线于点（在的右侧）使得．点为平面内一点且满足，直线与直线交于点． （i）如图2，若点在直线上方，求与的数量关系； （ii）如图3，若点在直线下方，是线段延长线的动点，是线段上的动点，且满足，连接，试说明三角形中必有某两个三角形的面积相等． 【答案】(1) (2)（i）（ii）见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的计算，三角形面积的理解，掌握两直线平行，同位角相等、同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． （1）过点作，根据两直线平行，内错角相等即可求解； （2）（i）法一：先可求，，过点作，由平行线的性质可得，过B作，得到，进而可得；法二：先求得，继而得到，再在中，利用三角形内角和为进行求解即可； （ii）法一：通过证明，得到，再根据两直线平行，直线上任意一点到直线的距离相等即可求解；法二：通过证明，得到，再同法一即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）（i）法一：∵且， ∴，， 过点作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 过B作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； 法二：∵且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∴， （ii）法一：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 设三角形的面积为，三角形BFG的面积为，三角形的面积为， 三角形的面积为， ， 点到的距离相等，则， ∴，（或，∴）， 即三角形的面积与三角形的面积相等． 法二：∵，， ∴，， ∵， ∴设，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设三角形的面积为，三角形的面积为，三角形的面积为， 三角形的面积为， ， 点到的距离相等，则， ∴，（或，∴） 即三角形的面积与三角形的面积相等． 5．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为_； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则_ ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 6．（25-26七年级上·河南南阳·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证； （2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解； （3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力． 题型3 靴子模型 模型 靴子模型 鹰嘴模型 图例 结论 1．（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（_） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 3．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点B作，则，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①如图所示，过点B作，则，由平行线的性质可推出；再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可得答案；②仿照（2）①求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为_； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 6．（25-26七年级上·四川乐山·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 【答案】（1）134；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平角得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求解； （2）如图所示，过点作，则，可得，，由，即可求解； （3）如图，作，，可得，，，，再利用角度的加减即可解答． 【详解】解：（1）如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 证明：如图，过点作，则直线， ，， ， ， ， ； （3）如图，作，， ， ，，，， ． 题型4 骨折模型 模型 骨折模型 骨折模型的扩展① 骨折模型的扩展② 图例 结论 1．（25-26九年级上·四川广元·月考）如图，直线，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过的顶点作直线平行于直线，借助平行线的传递性得到平行于，再利用平行线的性质得到相等的角，将转化为与的和，进而通过角的差求出的度数． 【详解】解：如图，过的顶点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（_） ∵．（已知） ∴．（_） ∴．（_） ∵．（角的和差定义） ∴_．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则_； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则_． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 3．（25-26七年级上·广东·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念是解题的关键． 如图：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，依题意得，则，由此得，进而得，据此可得的度数． 【详解】解：如图所示：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H， 依题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （2）过点G作直线，先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （3）先由平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，由（2）的结论可知，，据此可得答案． 【详解】（1）证明：过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （2）解：，理由如下： 过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）的结论可知，， ∵， ∴． 5．（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）．理由见解析 【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，，可求出的度数； （2）由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 故答案为：． （2）．理由如下： 如图． 由（1）可知． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则_． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系_．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变，，理由见解析 （4），证明见解析 【分析】本题综合考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，利用平行线的性质导角是解题的关键． （1）考查平行线的“同位角相等”性质，结合已知和三角尺的角()，利用平角列等式计算角度； （2）考查平行线的“内错角相等”性质，通过作辅助线(过作平行线)，可证明角度和为； （3）考查平行线性质及角度等量代换，通过设未知数表示相关角度，推导的固定值，进而得出的固定值； （4）考查平行线的“同位角相等”、三角形内角和定理，通过设未知数表示，逐步推导与的表达式，最终确定数量关系． 【详解】解：（1）∵， ∴(两直线平行，同位角相等)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （3）不变，，理由如下： ∵、分别平分、， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得， 即； （4）设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴，,， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴x． ∵， ∴． ∴x． ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优05平行线中的拐点模型 划重点·冲高分 猪蹄模型 铅笔头模型 平行线中的拐点模型 靴子模型 骨折模型 题型1猪蹄模型 解 大招 模型 猪蹄模型 猪蹄模型的扩展 B E 图例 G D 结论 ∠A+∠C=∠E ∠A+∠F+∠C=∠E+∠G 1.(25-26七年级上·福建泉州期末)机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机 器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，AB∥CD, AB⊥BE,∠BEF=130°，∠DCF=120°，则∠EFC的度数为() B D 图1 图2 A.100° B.110° C.120° D.135° 1/14 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25七年级下·全国课后作业)如图所示，已知∠BED=∠B+∠D,则AB与CD的位置关系是() A B E A.相交 B.垂直 C.平行 D.无法确定 3.(25-26七年级上·四川乐山期末)如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束 光线OA、OC经灯碗反射以后沿着与PO平行的方向射出，已知∠OAB=25°，OA1OC,则∠OCD的 度数为°. 250 产刀 4.(25-26八年级上·福建漳州期末)如图，己知AB∥CD,BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE,若 2∠E-∠F-54°，则∠CDE=· 5.(25-26七年级下·上海·月考)问题探究： 如图①，已知AB∥CD,我们发现∠E=∠B+∠D.我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作EF∥AB,把∠BED分成LBEF与∠DEF的和，然后分别证明 ∠BEF-∠B,∠DEF-∠D 李思同学：如图③，过点B作BF∥DE,则∠E=∠EBF,再证明∠ABF=∠D. 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F B B D 图① 图② 图③ 图④ 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程， 证明：过点E作EF∥AB ∴.∠B=∠ ,EF∥AB,AB∥CD ∴.EF∥CD(), .∠ =∠DEF( ∴.∠BEF+∠DEF=∠B+∠D, 即∠BED=∠B+∠D, (2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作BF∥DE交CD的延长线于点G.. 问题迁移： (3)如图④，已知AB∥CD,EF平分∠AEC,FD平分∠EDC.若∠CED=3∠F,请直接写出∠F 的度数. 6.(24-25七年级下·广东汕头·月考)【阅读·领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的 基础上添加直线或线段比如要证明直线α、b是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线C), 把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系.我们称直线℃为“辅助线”. 【实践体悟】如图2，已知∠ABE=∠DCF,∠E=∠F.求证：AB∥CD B D 图1 图2 图3 备用图 (I)小明同学想到通过连接BC，作出平行线的截线，请你延续他的思路，完成证明过程：证明：如图， 连接BC (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程， 3/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2铅笔头模型 解题大 棋型 铅笔头模型 铅笔模型的扩展 A B A B 图例 E D 结论 ∠A+∠C+∠E=360° ∠A+∠E+∠F+∠G+∠C=720 1. (25-26八年级上·福建漳州期未)2025年4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比 赛意义重大.如图1，这是某款机器人跑步的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中 ∠ABC=160°，∠ABD=3∠CBD,∠BDF=120°.若AB∥HG,FG⊥HG于点G,则∠DFG= 度 B G 图1 图2 2.(24-25七年级下·江苏泰州月考)如图，已知五边形ABCDE中，AB∥CD,求x的度数， D 140° Ex 140° 1109 A B 3.(25-26八年级上·河北保定·期末)如图，直线AB∥CD,EF∥GH,∠AEF的平分线EP交CD于点P. E D (I)求证：∠EPF=∠PEF. 4/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠FHG=3∠EPF,求∠EPF的度数. G)若∠EFH的平分线P交GH EO 于点Q,连接2.若 ∠PEQ-∠EQF=50°∠EQF ,求 的度数. MN∥P PO 4.(25-26七年级上·福建泉州期末)直线 2,点4在直线9上，点B在直 MN、P 之间， ∠BAP=45°，点C在直线MW上，记∠MCB=a(0°<<22.5°). C N E A A D O D O 图1 图2 图3 (1)如图1，求∠ABC的度数；（用含Q的代数式表示） 2过点B作∠A0交直线P阳于点D〈D在A的右侧)使得∠ABD-写ABC.点D为平面内一点且满 是∠AMCE=∠BCE,直线CE与直线BD交于点F (Gi)如图2，若点E在直线MN上方，求∠BFC与∠MCB的数量关系： (ii)如图3，若点E在直线MN下方，G是线段CB延长线的动点，H是线段BD上的动点，且满足 ∠GFB+∠HCF=150°，连接GH,试说明三角形BCP,BFG,BGH,BCH中必有某两个三角形的面积 相等 5.(25-26七年级上·海南海口期末)综合与探究 AB∥CD 0°<∠PNQ<180° 如图， ,点P,Q为直线CD,B 两定点， D C D M -B B 图1 图2 P D 1 M26·M<M 图3 图4 5/14 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①如图1，当N点在左侧时，A,2,3 PO 满足数量关系为： (②若PM平分∠CPN,M ∠AQW∠PNQ=-110° 平分 PO ∠PMQ ①如图2，点N在左侧时，求 的角度： ②如图3，点N在P2右侧，求∠PM0 的角度： e图.M平分.0T分20.0-12，点N在P,老Cw与0w PO 平分 的角平分线交于点M,∠CPM与∠A0M的角平分线交于点M,依次类推，则∠P42.(直 接写出结果) 6.(25-26七年级上河南南阳·期末)在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制. 如图所示，有两条平行的机械轨道AB与CD,即AB∥CD,将机械臂与轨道AB的接触点记为M,机 械臂与轨道CD的接触点记为N,为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂 PM PO ON 和 的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机城臂PM、P和八 和 不共线 B B D 图1 图2 备用图 PM∥QN (1)如图1所示，当机械臂 时，∠AP∠QND 与 的数量关系是 (2)如图2所示，当∠AP=30,∠QND=45°∠MP0=a .∠PQN 时，求 的度数.（用含“的代数式 表示) B)当∠1MP=10°<B<90,∠0ND=80°<8<180)时，直接写出∠MP0与∠PON的数量关系. 《用含B,日的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果，) 6/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3靴子模型 D 招 模型 靴子模型 鹰嘴模型 图例 D 结论 ∠E=∠A-∠C ∠E=∠C-∠A 1.(25-26八年级上·江西宜春·期末)为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家 级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象 成图2的数学问题：已知AB∥CD,∠BAE=75°，∠DCE=120°，则∠E= 图1 图2 2.(25-26七年级上河北邯郸期末)(1)如图①，AB∥CD,如果∠BAE=60°，∠ECD=45°，求 ∠AEC的度数.请将下面的求解过程填写完整。 解：过点E作直线EF,使EF∥AB. 因为EF∥AB,所以∠BAE=∠I.() 又因为<BAE=60 所以1= 因为EF∥AB,且AB∥CD, 所以·（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.） 所以∠ECD==45°， 所以∠AEC=°. (2)如图②，AB∥CD,如果∠BAE=120°，∠ECD=140°，请问∠AEC等于多少度？写出求解过程. (3)填空：如图③，AB∥CD,请用一个等式表示∠BAE、∠AEC与∠ECD三个角之间的关系： 7/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图① 图② 图③ MN PO 3.(24-25七年级下·四川德阳期中)如图1所示， MN∥PO,∠B的两边与 分别交于A,C 两点. A M M B E >B P C 图1 图2 ∠MAB=30°∠QCB=20° (1)若 求<B的度数： (2)如图2所示，直线AE,CD相交于点D,且满足∠BAM=n∠MAE,∠BCP=n∠DCP: ①当n=2时，若∠ABC=90°，求∠CDA的度数： ②试探究∠CDA与∠B的数量关系. 4.(25-26八年级上·山东青岛期末)(1)基础问题：如图(1)，若AB∥CD,∠BEP=140°， ∠PFC=50°，则∠EPF的度数为 (2)问题迁移：如图(2)，若AB∥CD,点P在AB的上方，问：∠PEA、∠PFC、∠EPF之间有什 么数量关系？请说明理由. (3)联想拓展：如图(3)，在(2)的条件下，已知∠BPF=Q°，∠PFC=,∠PEA 的角平分线和 ∠PFC的平分线交于点G则∠G= ○（用含有“、B的代数式表示）. 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图(1)》 图(2) 图(3) 5.(25-26八年级上·甘肃兰州期末)如图1，已知AB∥CD,直线AB与CD之间有一点P(点P在直线 AC的右侧)，连接AP,CP 图1 图2 图3 ∠A=40°，∠C=29° (1)若 ，则<APC 的度数为； (2)探究∠A,∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由； P,P 3)已知AB/CD,点M,N分别在直线4B,CD上，点P,R均在直线M的右侧，连接 MP,NP,MR,P,且M平分∠BMP. ,且 ①如图2，若点PB均在直线AB和CD之间，N9平分∠DNP,且∠PN=I0,求 P.P MPN 的度数： ②如图3，若点在直线4B和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分P”. ·设 BMR=a,且 0°<a<90°，请直接写出 MPN+∠MPN 的度数（用含a的代数式表示）. 6.(25-26七年级上四川乐山期末)在综合与实践课上，同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行 线”为背景开展数学活动.如图，已知两直线m∥n,三角形ABC是直角三角形，点C在直线n上， ∠BCA=90°，∠ABC=60°，∠BAC=30°」 -7 图1 图2 图3 9/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 操作发现： (1)如图1，若∠1=44°，则∠2=°： 实践探究： (2)如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2-∠I是一个定值.在 说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化.”请你写出这个定值，并说明 理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）： 拓展延伸： (3)如图3，镇密小组在图2的基础上作射线DG、CG,相交于点G,且∠EDG=∠EDB, FG=古FCB,求∠DcC的度数 一一 题型4骨折模型 1D 模型 骨折模型 骨折模型的扩展① 骨折模型的扩展② B A 图例 B A D 结论 ∠E=∠C-∠A ∠E=∠A+∠C-180° ∠E=∠A+∠C-180° 1. (25-26九年级上四川广元月考)如图，直线Q∥b,若=75°，∠2=30°则∠3的度数是（·) A.41° B.51 C.35° D.45 2.(25-26七年级上江苏南京·期末)【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的 几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关 系 10/14