专题01 平行线的判定与性质的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题01 平行线的判定与性质的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 压轴专练 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 方法总结（2点） 1.判定用“角”定“平行”：看同位角、内错角相等或同旁内角互补，由此判定两直线平行，是从角的关系推线的关系。 2.性质用“平行”推“角”：已知两直线平行，可直接得同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，是从线的关系推角的关系。 解题技巧（2点） 1.先辨类型再下手：读题先判断是判定（证平行）还是性质（求角），避免混淆推导方向。 2.标记图形找关系：在图中圈出已知角、对顶角或邻补角，快速关联判定或性质所需的角。 例1．（2026七年级下·全国·专题练习）如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作． (1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行解答即可； （2）先根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，根据平行线的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：（2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用补角的性质求，即可由平行线的判定定理得出结论； （2）先由得，再结合，得，则，由平行线的性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 【变式1-3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点E在上，点H、F在上，点H在点F的左侧，点G在与之间． 【探究】如图①，，，．试判断与是否平行，并说明理由． 【迁移】如图②，，，的角平分线交的延长线于点M． （1）若，则的大小为________度； （2）若，则的大小为________度． 【答案】【探究】判断与平行，理由见解析；【迁移】（1）20 ；（2）30 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的相关计算，掌握平行线性质及角平分线性质是解题关键． 【探究】根据平行线性质即可求证； 【迁移】（1）根据平行可得，，利用平分，即可求解； （2）根据平行可得，则，根据等式可得，求解即可． 【详解】解：【探究】判断与平行，理由如下： ， ， 又， ， ， ， ； 解：【迁移】（1）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 故答案为：20； （2）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：30. 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 方法总结（2点） 1.判定角度定平行：通过找同位角、内错角相等或同旁内角互补，先确定角的关系，再推导两直线平行。 2.性质平行推角度：已知直线平行，直接利用性质得出同位角、内错角相等或同旁内角互补，从线推角。 解题技巧（2点） 1.抓关键角建联系：识别对顶角、邻补角等，将已知角转化为判定或性质所需的“关键角”。 2.逆顺结合破题：证平行用“角→线”的顺向思维，求角用“线→角”的逆向思维，按需切换。 例2．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用平行线的性质得出的度数，再结合角平分线的定义求出； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析与的关系； （3）通过角的等量关系和已知条件，求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． 平分，平分， ， ， ． （2）不变，． 证明：， ， 平分， ， ． （3）解：， ， 当时，， ， ． 由（1）可知，， ． 【变式2-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【详解】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 【变式2-3】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，已知，，连接． 【问题提出】 （1）如图1，点E、F在线段上，连接，，平分，平分，若，求 的度数； 【问题初探】 （2）如图2，点E在线段上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由； 【类比探究】 （3）如图3，点E在的延长线上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义，可得，，从而可求得答案； （2）设，根据可得，，再根据平行线的性质，求得，，即可得到答案； （3）设，可求得，，再根据平行线的性质，求得，，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分∠DAE， ，， ； （2）与之间的数量关系是：；理由如下： 设， ， ， ， ， ，， ； （3）与之间的数量关系是：．理由如下： 设， ， ， ， ， ，， ． 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 方法总结（2点） 1. 性质推导定值：已知平行线，用“平行→角相等/互补”，结合对顶角、邻补角等量代换，推导角度定值。 2. 判定辅助定角：未知平行时，先证平行（找角相等/互补），再用性质关联已知角，确定角度不变值。 解题技巧（2点） 1. 锁定不变条件：圈出题目中“始终平行”“固定点”等不变量，以此为核心推导角度。 2. 排除干扰角：忽略无关角，聚焦与平行线、已知固定角直接相关的角，简化计算。 例3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正确．证明过程如下： 如图：延长到点，过点作， ∵， ∴_______，_______， ∵， ∴． （1）补全小安证明过程中所缺的内容； 【问题解决】 （2）如图，直线，点，分别在，上，是上点右侧的动点，点在射线上，连接为的平分线，作的平分线，交的延长线于，过点作． 若，求的度数； 如图，平分交于点，且．在点的运动过程中，是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（），；（），是定值，． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）延长到点，过点作，由平行线的性质即可求解； （）由，，则，，，然后通过角平分线定义可得，，再代入求值即可； 由可得，则，又平分，故有，然后代入即可求解． 【详解】解：（）延长到点，过点作， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 即，， ∴， ∵， ∴， ∴； 是定值，且这个定值为，理由如下： 由可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即是定值，且这个定值为． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． (1)当时，求的度数； (2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)当时，的度数为 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）根据提议设，则，由此即可求解； （3）设，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵分别平分和， ； （2）解：为定值， ∵平分， ∴设， ， ， ， 为定值，这个定值为2； （3）解：∵平分， ∴设， 由（2）知：， ， ，， ， ， ， ， 又， ． ∴当时，的度数为． 【变式3-2】（25-26七年级下·河南商丘·期末）已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)15° (2)是定值， (3)是， 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）过点P作，过点Q作，由平行线性质得，，从而得，同理可得，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：（1）如图，当点在线段，之间时，过点作．    ∵，， ∴． ， ， ． ． （2）解：是定值， 如图，    由（1）知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作，过点Q作，    ∵， ∴    ， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分与， ∴，， ∴， ∴． 【变式3-3】（2024七年级下·全国·专题练习）已知是截线上的一点，与分别交于E、F． (1)若，求∠的度数； (2)如图1，当点P在线段上运动时，与的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)①如图2，当点P在线段的延长线上运动时，与的平分线交于Q，则的值为 　　； ②当点P在直线上运动时，与的n等分线交于Q，其中，，设，求的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）． 【答案】(1)或 (2)是， (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题， （1）过点P作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求 的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）分三种情况分别画图，结合（1），（2）的结论探索∠Q的度数的规律； 正确作出辅助线，进行分类讨论是本题的难点． 【详解】（1）如图，当点P在线段之间时，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当点P在的上方时，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ 综上所述，为或； （2）是，，理由如下： 由（1）可知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵分别平分与的角平分线， ∴， ， ∴， ∴， （3）①，理由如下： 如图，过点P作,过点Q作, ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵分别平分与的角平分线， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为： ②， 分三种情况讨论： （Ⅰ）当点P在线段的延长线上运动时，如图， 可得，， ∵，, ∴， ∴， （Ⅱ）当点P在线段上运动时，如图， 可得，． ∵，． ∴， ∴， （Ⅲ）当点P在线段的延长线上运动时，如图， 可得，， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，． 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 方法总结（2点） 1.借三角尺定已知角：利用三角尺固定角度（30°、45°、60°、90°），结合平行线判定，通过角的关系证两直线平行。 2.用平行推未知角：已知平行线时，依据性质，结合三角尺的已知角，通过等量代换或互补关系求未知角。 解题技巧（2点） 1.动态问题抓静态角：三角尺平移/旋转时，紧盯其不变的内角，以此为桥梁关联平行线相关角。 2.标注角名建等式：在图中给关键角标序号，将角度关系转化为等式，避免混淆。 例4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中．    (1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______； (2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数； (3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算； （1）先求解，，即可得结论； （2）由平行线的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； （3）如图，当点在直线的上方时，证明，如图，当点在直线的下方时，证明，再进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，当点在直线的上方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在直线的下方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上：为或. 【变式4-1】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 【答案】(1)3秒 (2)当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； (3)15或24或27或33 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图，，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是3秒； （2）解：当旋转至的内部时， 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 综上，当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； （3）解：分四种情况： ①当时，如图，， ； ②当时，如图，则， ， ； ③当时，如图，则，此时，， ， ； ④当时，如图，则， ， ； 综上，的值是15秒或24秒或27秒或33秒． 故答案为：15或24或27或33． 【变式4-2】（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，当，且点在直线的上方时，解决下列问题：（友情提示，，）． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，请说明理由； (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况?若存在，请直接写出的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3)存在，或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）根据且点在直线的上方，分两种情况进行讨论． 【详解】（1）①∵，， ∴， ∴． ②∵，， ∴， ∴． 故答案为：①；②． （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）存在一组边互相平行， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：存在，或． 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 方法总结（2点） 1.定旋转中的不变角：抓住旋转图形（如三角尺、射线）的固定内角，结合平行线判定，通过不变角与其他角的关系证平行。 2.用平行锁定变量角：已知平行线时，依据性质，结合旋转角的变化规律，推导变量角的等量或互补关系，求解问题。 解题技巧（2点） 1.画旋转前后对比图：标注旋转前后的对应角，清晰区分不变角和变化角，避免混淆角度关系。 2.设旋转角为参数：用字母表示旋转角，通过平行线性质列等式，将几何问题转化为代数计算，简化推导。 例5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况）， ． 【答案】5秒或15秒或35秒或45秒或50秒 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度计算，掌握平行线的性质是解题的关键． 分①当，②当，③当，④当，⑤当时，分别画出图形即可求解． 【详解】①当时， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时， ∵，， ∴ ∵， ∴A，D，C共线， ∵， ∴（秒）； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； ④当时，，； ∵ ∴， ∴（秒）； ⑤当时， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或15秒或35秒或45秒或50秒， 故答案为：5秒或15秒或35秒或45秒或50秒． 【变式5-1】（2025·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转时间为 秒时，．（G、H为C、B对应点） 【答案】3或28/28或3 【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用．根据题意可得，，然后分两种情况：当未到达时，当到达返回时，根据平行线的性质，列出方程，即可求解． 【详解】解：停止旋转的时间为秒， 设光线旋转时间为t秒，则， 根据题意得：，， 如图，当未到达时，设射线交于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 如图，当到达返回时，设射线交于点P，此时此时，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，光线旋转时间为3或28秒时，． 故答案为：3或28 【变式5-2】（24-25七年级下·江西宜春·月考）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时， ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意画出满足条件的三种情况①、②、③，即可求解． 【详解】解：①时，如图所示： ∴； ②时，如图所示： ∴ ∴； ③时，如图所示： ∴ ∴； 综上所述：或或 故答案为：或或 【变式5-3】（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，直线，一副三角板（，，，）．按图（1）所示方式放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图（2），将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点B旋转的同时，绕点E以每秒的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．当边与的一边平行时，请写出对应的t值． 【答案】(1)； (2)①秒；② 【分析】本题主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解； （2）①根据题意得出，再由平行线的性质得出，即可求解； ②分三种情况：当时，当时，当时，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒， ②当时，分别延长和交于点I，交于点，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得：； 延长，交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当， 同理可得， 解得：； 当， 同理可得：， 解得：； 同理可得：， 解得：． 综上可得：t的值为． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·福建福州·模拟预测）在同一平面内，将直尺和一副直角三角尺按如图方式摆放，若含角的直角三角尺的顶点D放在含角的直角三角尺的斜边上，且，则的大小为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质得出，由角的和差即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，连接，平分，点E为延长线上一点，连接，的平分线交的延长线于点G，交于点F，且．则与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算.根据平行线的性质，结合角平分线平分角，得到，，根据平角的定义结合垂直和角平分线，推出，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，的平分线交的延长线于点G， ∴，， 由条件可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即. 故选：C． 二、填空题 4．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在的位置上．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查折叠的性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，属于常考题型． 根据平行线的性质可得，利用折叠的性质可得，再利用平角的定义即可解决问题． 【详解】解：∵由题意可知：， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）将三角板如图所示放置，，，，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，且时，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由得，由，得，所以，由得，且，由角平分线的定义得，最后根据即可得解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ，且， 平分， ， ， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·河南周口·期末）一副直角三角尺如图1所示叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点按箭头方向转动至图2位置（点在的延长线上）的过程中，当与三角形的边所在直线平行时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质和判定、角的运算，根据与三角尺的一直角边平行，分以下两种情况讨论，①时，②当时，根据这两种情况，分别利用平行线的性质求解，即可解题． 【详解】解：①时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 有， ， ， ， 故答案为：或． 三、解答题 7．（25-26七年级下·陕西安康·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)若于点H，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质． （1）根据同位角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得，再等量代换可得，进而证出结论； （2）结合（1）根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·四川雅安·阶段练习）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，，． (1)若，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，请说明理由； (3)若按住三角板不动，绕顶点C转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)或，理由见详解． 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键． （1）根据直角可求解的度数，再由即可求解； （2）根据直角表示，再由即可求解； （3）分情况讨论，根据平行线的判定定理，即“同旁内角互补，两直线平行”和“内错角相等，两直线平行”，由此求解即可 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴， ∵ ∴， 即； （3）解：当为或时，， 由“同旁内角互补，两直线平行”，如图， 即， ∵， ∴； 由“内错角相等，两直线平行”，如图， 即， ∵， ∴； ∴当为或时，． 9．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】(1)否 (2)图见解析，，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）根据角的定义即可解答； （2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明； （3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧， ∴点P与点Q不共点， ∴和没有公共顶点， ∴和不可能为对顶角， 故答案为：否； （2）解：补全图形，如图， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：分以下四种情况： 当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 综上，α与β之间的数量关系为或或． 10．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图1、图2，直线，被射线所截，且，P是射线上的定点，点Q在射线上，连接，过点Q作，与直线交于点E，且． (1)如图1，当点Q与点N重合时，求的度数； (2)若点Q在线段上（点Q不与点M，N重合）． ①依题意，在图2中补全图形； ②猜想与之间的数量关系，并证明； (3)当点Q在线段的延长线上，且时，求的度数． 【答案】(1) (2)①答案见解答过程；②，证明见解答过程 (3)或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，垂直定义，角的计算，熟练掌握平行线的性质，垂直定义，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）根据得，再根据，得，然后根据可得出答案； （2）①依题意补全图形即可； ②过点作，想证明，则，，进而得，由此可得与之间的数量关系； （3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况：①当在点的右侧时，过点作，先求出，再证得，，然后根据可得出答案；②当点在点的左侧时，过点作，先求出，同理，，然后根据可得出答案，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， ， ； （2）解：①依题意补全图形如图2所示： ②与之间的数量关系是：． 证明如下：过点作，如图3所示： ， ， ，， ， ，， ， ， ； （3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况： ①当在点的右侧时，过点作，如图4所示： ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； ②当点在点的左侧时，过点作，如图5所示： ， ， ， ， 同理：，， ， ． 综上所述：的度数为或． 12．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【答案】(1)105 (2) (3)20或50或80 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解； （2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：105； （2）解：如图②，过点作， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①当且在上方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，， 由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平行线的判定与性质的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 压轴专练 典例详解 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 方法总结(2点) 1.判定用“角”定“平行”：看同位角、内错角相等或同旁内角互补，由此判定两直线平行，是从角的关 系推线的关系。 2.性质用“平行”推“角”：已知两直线平行，可直接得同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，是从 线的关系推角的关系。 解题技巧(2点) 1.先辨类型再下手：读题先判断是判定（证平行）还是性质（求角），避免混淆推导方向。 2.标记图形找关系：在图中圈出已知角、对顶角或邻补角，快速关联判定或性质所需的角。 例1.(2026七年级下·全国.专题练习)如下图，在三角形ABC中，CD⊥AB,点E在BC上，过点E作 EF⊥AB. (I)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由， (2)若LCDG=∠BEF,且∠AGD=115°，求∠ACB的度数 【变式1-1】(25-26八年级上山西运城期末)如图，已知∠1=∠C,∠2+∠3=180°. 1/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D以 E 2 3 B (I)求证：DF∥AC; (2)若∠ABC=43°，求∠ADE的度数， 【变式1-2(24-25七年级下·河南洛阳·期中)如图1，M为射线BA上一点，∠ABC=a,∠AMN=B(a>B) 根据以上条件解答下列问题： M B 图1 图2 ()若a=120°，阝=45°，∠CBD=75°.求证：BD∥MN. (2)如图2，点E在BC上，过点E作PQ∥MN,求∠BEQ的度数.（用含a和B的代数式表示） (3)在(2)的条件下，过点E作射线EF⊥BC,若a=105°，B=45°，直接写出∠FEP的度数. 【变式1-3】(25-26七年级上吉林长春期末)己知AB∥CD,点E在AB上，点H、F在CD上，点H在 点F的左侧，点G在AB与CD之间. A B A M G H FD H 方D 图① 图② 【探究】如图①，EG⊥AB,∠G=140°，∠EFH=50°.试判断EF与GH是否平行，并说明理由. 【迁移】如图②，LEGH=90°，GH∥EF,∠AEG的角平分线交HG的延长线于点M. (1)若∠EFH=50°，则∠AEM的大小为 度 (2)若∠AEG=2LEFH,则∠EFH的大小为 度 2/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 方法总结(2点) 1.判定角度定平行：通过找同位角、内错角相等或同旁内角互补，先确定角的关系，再推导两直线平行。 2.性质平行推角度：已知直线平行，直接利用性质得出同位角、内错角相等或同旁内角互补，从线推角。 解题技巧(2点) 1.抓关键角建联系：识别对顶角、邻补角等，将已知角转化为判定或性质所需的“关键角”。 2.逆顺结合破题：证平行用“角一→线”的顺向思维，求角用“线→角”的逆向思维，按需切换。 例2.（2026七年级下·全国专题练习)如图，AB∥CD. A C D (1)若∠B=130°，∠C=30°，求∠BEC的度数 (2)探究∠B,∠C,∠BEC三者之间有怎样的数量关系，并说明理由 【变式2-1】(25-26八年级上全国·课后作业)如图，已知AM∥BN,∠A=60°，P是射线AM上一动点（不 与点A重合)，BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,交射线AM于点C,D. D B (1I)求∠CBD的度数， (②)当点P运动时，∠APB与∠ADB的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出 变化规律 (3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD的位置时，求∠ABC的度数， 【变式2-2】(24-25七年级下·河南郑州期末)如图，点D在三角形ABC的边AC上（点D不与点A,C重合）， DE∥AB交BC于点E,DF∥BC交AB于点F. F B 备用图 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)若点M是线段BF上任意一点（点M不与点B,F重合），连接DM,EM,补全图形解答下列问题： ①∠B=45°，则∠EDF= ②用等式表示∠FDM、∠DME、∠BEM之间的数量关系，并证明， (2)若点M在线段AF上（点M不与点A,F重合），直接写出∠FDM、∠DME、∠BEM之间的数量关系， 【变式2-3】(24-25七年级下陕西榆林期末)如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC,AB∥CD,连接 AC. 【问题提出】 (1)如图1，点E、F在线段CD上，连接AE,AF,AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,若LB=120°，求 ∠FAC的度数； 【问题初探】 (2)如图2，点E在线段CD上，连接AB,且∠EAC=∠BAC,请探究∠ACD与∠AED之间的数量关系， 并说明理由； 【类比探究】 (3)如图3，点E在DC的延长线上，连接AE,且∠B4C=)BAC,请探究∠ACD与∠4ED之间的数量 关系，并说明理由 图1 图2 图3 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 方法总结(2点) 1.性质推导定值：已知平行线，用“平行→角相等/互补”，结合对顶角、邻补角等量代换，推导角度定 值。 2.判定辅助定角：未知平行时，先证平行（找角相等/互补），再用性质关联已知角，确定角度不变值。 解题技巧(2点) 1.锁定不变条件：圈出题目中“始终平行”“固定点”等不变量，以此为核心推导角度。 2.排除干扰角：忽略无关角，聚焦与平行线、已知固定角直接相关的角，简化计算。 例3.(24-25七年级下.陕西渭南·期中)【问题情境】 小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于180°”，学了“平行线”后，小安通过平行线的性质证明该结论正 4/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 确.证明过程如下： H A D B M D 图1 图2 图3 如图1：延长BC到点D,过点C作CE∥AB, :CE∥AB, ① =LACE,② =∠DCE, ∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°， .∠ACB+∠A+LB=180°. (1)补全小安证明过程中①②所缺的内容； 【问题解决】 (2)如图2，直线l∥12，点A,B分别在I,2上，C是1上点A右侧的动点，点G在射线BA上，连接 CG、CF为LACG的平分线，作∠ABD的平分线BE,交FC的延长线于E,过点E作EH∥I. ①若∠G=20°，求∠BEC的度数； ②如图3，GM平分∠AGC交于点M,且∠ABD=70°.在点C的运动过程中，∠GMB-∠BEC是否为定 值？若是定值，请求出这个定值：若不是定值，请说明理由 【变式3-1】(24-25七年级下·广东广州期中)如图，已知射线AM∥BN,连接AB,点P是射线AM上的 一个动点（与点A不重合），BC,BD分别平分∠ABP和LPBN,分别交射线AM于点C,D. N M D P C (1)当∠A=50°时，求∠CBD的度数； (2)判断<AP ∠ADB 是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由： (③)当LACB=∠ABD时，求∠ADB+∠A的度数. 4 【变式3-2】(25-26七年级下·河南商丘·期末)已知AB∥CD,P是截线MN上的一点，MN与CD,AB分 别交于E,F 5/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M E M D B A B N/ N/ 图(1) 图(2) (I)如图(1)，P在AB、CD之间，若LEFB=50°，∠EDP=35°，求∠MPD的度数： (2)如图(1)，当点P在线段EF上运动时，LCDP与∠ABP的平分线交于Q,则0。是否为定值？若是 ∠DPB 定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图(2)，当点P在线段FE的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q, ∠Q 的值是否为 ∠DPB 定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由 【变式3-3】(2024七年级下·全国.专题练习)已知AB II CD,P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别 交于E、F. M M 个D C D E F F B N 图1 图2 备用图 (I)若LEFB=50°，∠EDP=35°，求∠MPD的度数； (2)如图1，当点P在线段EF上运动时，LCDP与∠ABP的平分线交于Q,问： 0是否为定值？若是定 ∠DPB 值，请求出定值；若不是，说明其范围； ③X①如图2，当点P在线段产的延长线上运，LCDP与乙ABP的平分线交于Q,则名的值为一 ②当点P在直线EF上运动时，LCDP与∠ABP的n等分线交于Q,其中LCDQ=I∠CDP, 1 ∠ABQ=1∠ABP,设LDPB=Q,求∠Q的度数（直接用含n,a的代数式表示，不需说明理由）. 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 方法总结(2点) 1.借三角尺定已知角：利用三角尺固定角度(30°、45°、60°、90°)，结合平行线判定，通过角的关 系证两直线平行。 2.用平行推未知角：已知平行线时，依据性质，结合三角尺的己知角，通过等量代换或互补关系求未知 角。 解题技巧(2点) 1.动态问题抓静态角：三角尺平移/旋转时，紧盯其不变的内角，以此为桥梁关联平行线相关角。 2.标注角名建等式：在图中给关键角标序号，将角度关系转化为等式，避免混淆。 例4.(24-25七年级上江苏宿迁·期末)如图，将一副三角板的两个直角顶点C叠放在一起，其中 ∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45° E 图① 图② 备用图 (1)如图①，点E在直线BC的上方，若∠BCD=25°，则∠ACD=°，∠ACE=一°； (2)如图②，点E在直线BC的下方，若CE∥AB,求∠BCD的度数； (3)若保持三角板ABC不动，三角板DCE绕直角顶点C顺时针旋转一周，当CE∥AB时，直接写出∠BCD的 度数 【变式4-1】(24-25九年级上辽宁铁岭期中)将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板 ABC和直角三角板EDC,∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°)，保持三角板EDC不动， 将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转. B A M E M E D 图1 图2 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值； (2)当AC旋转至∠DCE的外部时，求LDCA与∠ECB的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于一（直接写 出答案即可) 【变式4-2】(24-25七年级上·黑龙江绥化阶段练习)三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两 块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0°<∠ACE<90°，且点E在直线AC的上方 时，解决下列问题：（友情提示∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°）. (1)①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为-： ②若∠ACB=140°，则∠DCE的度数为-： (2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由； (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不 存在，请说明理由。 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 方法总结(2点) 1.定旋转中的不变角：抓住旋转图形（如三角尺、射线）的固定内角，结合平行线判定，通过不变角与 其他角的关系证平行。 2.用平行锁定变量角：已知平行线时，依据性质，结合旋转角的变化规律，推导变量角的等量或互补关 系，求解问题。 解题技巧(2点) 1.画旋转前后对比图：标注旋转前后的对应角，清晰区分不变角和变化角，避免混淆角度关系。 2.设旋转角为参数：用字母表示旋转角，通过平行线性质列等式，将几何问题转化为代数计算，简化推 导。 例5.(24-25七年级下·江苏无锡期中)如图，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB=30°， ∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，当点E落 在射线AC的反向延长线上时停止旋转.设ADE的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t,若它的一边与ABC 8/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的某一边平行（不含重合情况），t= D B 【变式5-1】(2025·四川达州·二模)主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道AB,CD上 放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线FB按顺时针方向以每秒8°的速度旋转至FA便立即回转，并不 断往返旋转；光线EC按顺时针方向每秒4°的速度旋转至ED边就停止旋转，若光线EC先转6秒，光线FB 才开始转动，当光线FB旋转时间为」 秒时，FH∥EG.(G、H为C、B对应点) F B G H C 一D 【变式5-2】(24-25七年级下江西宜春·月考)将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（∠EDC=90°， LDEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°)，保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度， 顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转.在旋转过程中，当三角板ABC的其 中一边与ED平行时，t= D D M EA ME 图1 图2 【变式5-3】(24-25七年级下·浙江金华·月考)如图，直线P9∥MN,一副三角板（∠ABC=∠CDE=90°， ∠ACB=∠A=45°，∠DEC=60°，∠DCE=30°).按图(1)所示方式放置，其中点E在直线P9上，点B, C均在直线MN上，且CE平分∠ACN. 4 图(1) 图(2) (1)求LDE0的度数. 9/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)如图(2)，将ABC绕点B以每秒3°的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为F,G),设旋转 时间为s(0≤1≤60). ①在旋转过程中，若边BG∥CD,求t的值. ②若在ABC绕点B旋转的同时，△CDE绕点E以每秒2°的速度按顺时针方向旋转(C,D的对应点为H, K).当边FG与aHKE的一边平行时，请写出对应的t值. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上·广东中山期中)如图，在ABC中，∠C=60°，直线DE经过点A,且DE∥BC.若 ∠DAB=20°，则∠BAC的度数为() D AE B A.70° B.809 C.90° D.100° 2.(2025·福建福州模拟预测)在同一平面内，将直尺和一副直角三角尺按如图方式摆放，若含30°角的直 角三角尺的顶点D放在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且BC∥DF,则∠BDE的大小为() A.10 B.15 C.20° D.25° 3.(24-25七年级下陕西榆林·期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,连接BD,DB平分∠ADC, 点E为CB延长线上一点，连接AE,∠ABE的平分线BG交DA的延长线于点G,交AE于点F,且 GB⊥BD.则∠C与∠G之间的数量关系为() G 10/14