专题02 多项式乘多项式的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02多项式乘多项式的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、整式乘法混合运算 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 类型三、(+p)(+g)型多项式乘法 类型四、整式乘法与图形面积 类型五、多项式乘法中的规律性问题 类型六、整式运算中的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、整式乘法混合运算 整式乘法混合运算需有序进行： 1. 先乘方、再乘除、后加减，有括号优先算： 2. 逐项相乘：单项式乘多项式，用分配律逐项相乘，注意符号； 3.合并同类项：计算结束后，合并同类项化简结果； 4.注意细节：系数、字母及其指数分别运算，避免漏乘、符号错误。 关键：步步清晰，确保每一步运算准确。 例1.(25-26八年级上全国单元测试)计算： (1)(x2y2)+(-x)°.(2y4)3 (2)(a+3)(a-2)-(a3+a2)÷a 【变式1-1】(25-26八年级上全国期中)计算： (①)-3y)(4x2y-2xy): (2)ta+2)(a+3+2a6÷a: 【变式1-2】(25-26七年级上上海期中)计算： 0-2x2y°+(-x(-y)}2y (2)2a-5b)3a2-2ab+b2） 1/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)(x+2y)(y-2)+(2y-4x)(y+1) 【变式1-3】(2025八年级上·全国.专题练习)计算： (0(-x2-xy+y2)-xy): (2-2ab2）°(3a2b-2ab-4b2）: 3(4-+2y: (4)2mn-2mn2-3nmn+m2n+m2n2）」 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 不含某项，即该项系数为零。 技巧： 1.先按整式乘法法则展开，并合并同类项； 2.令指定项的系数为零，建立方程； 3.解方程求字母的值。 注意： 合并同类项务必准确； 系数包括符号，方程列对是关键； 最终结果需代入验证，确保该项确实被消去。 例2.(25-26七年级上·上海期中)已知关于x的整式x2-mx+m与x-2的乘积中不含x2项和x项，则 m= 【变式2-1】(25-26八年级上·天津蓟州月考)若代数式(x2+x)(x2-2x+m展开后不含xX2项，求m的值 是 【变式2-2】(25-26八年级上四川眉山期中)己知代数式A=x2+mx-3,B=2x+n. (I)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为-6，求m、n的值； (2)在(1)的条件下，求(m+n)(m2-mn+n2)的值 【变式23】(25-26八年级上四川资阳-期中)若x2+px+ 3 x2-3x+q的展开式中不含x2和x的项. (1)求卫、q的值： (2)求代数式(-2pq+6pg3+p202g025的值. 2/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、+p)r+q)型多项式乘法 对于(x+p)(x+q)型乘法，其结果是二次三项式。 核心公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 技巧： 直接套用公式，“首平方，尾积，和中间”。即： 1.首项为x2; 2.尾项为常数p×q 3.中间项系数为p+q。 注意事项： 确定卫，9的符号，这是计算中间项系数和常数项的关键，最容易出错。 最后按x的降幂排列写出结果。 例3.(25-26八年级上江西上饶期中)观察下列各式： ①(x+2)(x+3)=x2+5x+6; ②(x+2)(x-3)=x2-x-6; ③(x-2)(x+3)=x2+x-6; ④(x-2)(x-3)=x2-5x+6. 请回答下列问题： (1)总结公式：(x+a)x+b)=x2+_x+ab; (2)已知a,b,m均为整数，且(x+a)(x+b)=x2+mx+5,求m的值. 【变式3-1】(25-26七年级下·湖南张家界·期末)回答下列问题： (1)计算：①(x+2)(x+3)= ②(x-5(x-6)=: ③(x+2)x-5)=· (2)总结公式：(x+a)(x+b)= (3)由(2)的公式，直接写出下列计算的结果 ①(x+10(x+3)=；②(x-2)x-3)=; (4已知a,b,m均为整数，且(x+a)(x+b)=x2+mx+6,求m的所有可能值： 【变式3-2】(25-26八年级上海南海口·月考)(1)计算下列式子： 3/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①x+2)(x+3)= ②(x-2)(x-3)= ③(x+2)(x-3)= ④x-2)(x+3)= (2)从上面的计算中总结出规律：(x+a)(x+b)= (3)运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①x+4)(x+7= ②m-5)(m+2)= ③x-1)(x-3)= @》 【变式3-3】(2425八年级上广东湛江月考)根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一个整体，运用单项式 与多项式相乘的法则，得到：（a+b)(p+q)=ap+q+b(p+q).再利用单项式与多项式相乘的法则，得： (a+b(p+q)=ap+aq+bp+bq. 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： a 6 D ap bp 9 aq bq 【任务1】计算下列各式： (1)(x+2)x+3)= (2)(x-4(x+1)= (3)(y+4)(y-2)= (4)(y-5)(y-3= 【任务2】由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (x+p)(x+q)=()+()x+(】 【任务3】如果(x+p)川x+q=x2+mx+8其中m,p,q均为整数，求m的值. 类型四、整式乘法与图形面积 整式乘法与图形面积关联时，关键是用代数式正确表示图形的各部分长度。 技巧： 1.分割或填补图形，使其成为规则图形（如长方形）的组合。 2. 列出面积表达式，根据几何关系（和、差）用整式表示总面积。 3.进行整式乘法运算，展开并合并同类项，得到最简结果。 注意： 字母代表长度，取值需非负。 确保运算过程遵循整式乘法法则，展开时注意系数和符号。 例4.(25-26八年级上陕西榆林期末)书籍是人类进步的阶梯：为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹.现 有一本数学课本（如图1），其长为28cm、宽为20.5cm、厚为lcm.小军用一张长方形纸（如图2）包好了 这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长(xCm) 即为折叠进去的宽度.请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） 20.5cm 28cm 封面 封底 厚1cm 图1 图2 (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为cm,宽为cm; (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积， 【变式4-1】(25-26八年级上陕西延安·月考)如图，某小区有一块长(3a+2b)m,宽(2a+b)m的长方形空 地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为m的小路 (图中空白部分) 5/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3a+2b at 2a+b a (1)用含4，b的代数式表示花园的面积（化为最简）； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含Q,b的代数式表示铺设地砖的面积（化 为最简)： (3)若a=2,b=3,预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【变式4-2】(25-26八年级上·贵州黔西期末)如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙， 顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与 自然融为一体，如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m). a+3b a+2b b-2a -3a-b 2a+3b 2a+3b 图1 图2 图3 (1)请用含字母a,b的代数式表示图3的面积， (2)若a=-2,b=4,此时图3的面积是多少平方米？ 【变式4-3】(25-26八年级上吉林长春期末)【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值”， 通常的解题方法是：把x、y看作字母，α看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x 项的系数为0，即原式=(a+3)x-6y+5,所以，则a=-3. 【理解应用】 (1)若关于x的多项式(2m-3)x+2的值与x的取值无关，则m的值为： (2)己知A=(2x-I)(x+I)+x(1-2y),B=-2x2+y-1,且A+B的值与x无关，求y的值， 【能力提升】 (3)7张如图①的小长方形，长为α，宽为b,按照图②方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中 未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S,左下角的面积为S2,设AB=x,当AB的长 6/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变化时，2S,-3S,的值始终保持不变，直接写出α与b的数量关系. B S S2 D 图① 图② 类型五、多项式乘法中的规律性问题 规律性间题通常涉及连续整式（如(x+a)(x+b)..)的展开结果。 核心技巧： 1.先特例探规律：计算前几个简单情况（如令x=1,或写出n=1,2时的结果）。 2.观察与归纳：重点关注展开式各项的系数与指数的变化规律。 3.用符号概括：将发现的规律用含n的代数式（通项）表示出来。 关键注意： 确保初始特例计算绝对准确，否则规律全错。 归纳出的规律需符合所有特例，最好能进行简要验证。 例5.(25-26七年级上·河北保定·月考)我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在 《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”. .(a+b)=a+b .(a+b)2=a2+2ab+b2 ..(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 …(a+b)4=+4a3b+6a2b2+4ab3+b 此图揭示了（α+b)”(n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为 (2)(a+b)2”展开式中共有 项，第19项系数为 (3)根据上面的规律，写出(a+b)°的展开式： (4利用上面的规律计算：3-5×34+10×33-10×32+5×3-1； 【变式5-1】(25-26八年级上河南信阳·月考)观察下列各式. (x-1(x+1)=x2-1 7/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (x-1)x2+x+1=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1=x4-1 ①根据以上规律，则(x-(x6+x+x+x2+x+x+1= (2)你能否由此归纳出一般规律(x-1)(x”+x”+…+x+1= (3)根据以上规律求：52024+52023+5202+…+52+5的结果 【变式5-2】(25-26八年级上辽宁大连期末)观察下列等式： 152=225=100×1×2+25, 252=625=100×2×3+25, 352=1225=100×3×4+25, (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空：752=-； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m,个位上数字为5，m为整数，且0<m<10,用含m的等式表 示上述运算的一般规律为_： (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：36×34=1224,41×49=2009,52×58=3016， 67×63=4221,·他发现结果也存在类似的运算规律.若设其中一个两位数十位上的数字为a,个位上的 数字为b(其中a,b为小于10的正整数)，请你用含字母a,b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学 知识说明你的结论的正确性， 【变式5-3】(25-26八年级上广西南宁月考)阅读：在计算(x-1(x”+x"+x"-2+…+x+1的过程中，我 们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类 问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般.如下所示： 【观察】①x-1(x+1)=x2-1; ②(x-1x2+x+1=x3-1: ③(x-1x3+x2+x+1=x4-1; 。，。 【归纳】 (1)由此可得(x-1)(x”+x-1+x-2+…+x+1= 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： (2)计算22025+22024+22023+…+22+2+1的值. (3)若x3+x4+x3+x2+x+1=0,求x225的值 类型六、整式运算中的新定义型问题 新定义题的关键是理解并应用“新规则”。 核心技巧： 1.仔细读题：明确新运算的每一步法则（如符号“☆”的含义）。 2.模仿示例：严格按定义步骤操作，将新运算转化为常规整式运算。 3.化简求值：运用整式运算法则（去括号、合并同类项等）计算结果。 重要注意： ·定义中的运算顺序和规则不可主观更改。 最终结果通常要化为最简形式，并与定义中的变量取值范围保持一致。 例6.(25-26八年级上全国课后作业)定义：若A-B=1,则称A与B是关于1的单位数. (1)3与是关于1的单位数，x-3与 (填一个含x的式子)是关于1的单位数： 包若4=3xx+2小-2x-,8=2+3x-小，判断4与8是香是关于1的单位数，并说明理由. 【变式6-1】(24-25七年级下.全国期中)定义 12=1x4-2×3=-2.已知 =ad-be,a 4 |2x+11 x+1x-1 A= nx-1 2x (n为常数)，B= x-1x+1 (1)若B=4,则x的值为-： (2)若A的代数式中不含x的一次项，当x=1,求A+B的值： (3)若A中的n满足8×2+=24，且A=B+2时，求16x2-8x+9的值. 【变式6-2】(25-26八年级上·河北邯郸月考)定义：一个多项式A乘一个多项式B,运算结果化简后得到 多项式C,若C的项数比A的项数多1，则称B是A的友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B 是A的特别友好多项式” (I)若A=x+3,B=2x-1,请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由. (2)若A=x-3,B=x2+ax+9均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值， 【变式6-3】(25-26八年级上·北京期中)小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+"=0或 px+q=0时，多项式A=mx+n)(px+q=mpx2+mq+npx+ng的值为O,把此时x的值称为多项式A的 零点. 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 已知多项式3江+2x-3,则此多项式的零点为二和 (2)已知多项式B=(x-2)(x+m)=x2+(a-1)x-3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (③小聪继续所完：-4：-2小，：-)及--)停，发现在x辅上表示这些多项式等点的两个点 关于直线x=3对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”.若关于x的多项式M=(2x-b)(x-7)是“3-系多 项式”，则b= 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上河南许昌·月考)若(x+2)(x-3)=x2+mx+n,则m、n的值分别是() A.m=1n=6 B.m=-1,n=-6 C.m=5,n=-6 D.m=-5,n=6 2.(25-26八年级上四川南充期末)已知a2-5a-1=0,代数式(a-1(a-4)的值是() A.-5 B.3 C.5 D.7 3.(25-26八年级上海南省直辖县级单位期中)已知式子(2x2+x+3(ax-1)的结果中不含x2项，则a的值 为() A.0 B.-2 D.2 4.(25-26八年级上湖北武汉·月考)计算下列式子：（x-1)(x+1),(x-1x2+x+1, (x-1)x3+x2+x+1,…根据你发现的规律计算(310-1÷3°+38+…+3+1+2-20+2°+.+2+1的结果 为() A.3 B.4 C.5 D.6 5.(25-26七年级上·浙江温州·月考)五张如图所示的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片，按如图的方式 不重叠地放在长方形ABCD中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部 10/14 专题02 多项式乘多项式的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、整式乘法混合运算 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 类型三、(x+p)(x+q)型多项式乘法 类型四、整式乘法与图形面积 类型五、多项式乘法中的规律性问题 类型六、整式运算中的新定义型问题 压轴专练 类型一、整式乘法混合运算 整式乘法混合运算需有序进行： 1. 先乘方、再乘除、后加减，有括号优先算； 2. 逐项相乘：单项式乘多项式，用分配律逐项相乘，注意符号； 3. 合并同类项：计算结束后，合并同类项化简结果； 4. 注意细节：系数、字母及其指数分别运算，避免漏乘、符号错误。 关键：步步清晰，确保每一步运算准确。 例1．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式的运算法则求解，再合并同类项即可求解； （2）先利用多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则求解，再合并同类项求解即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，然后合并同类项（本题无同类项合并，但格式上需明确运算步骤）． （2）根据多项式乘多项式法则以及同底数幂的除法法则分别计算乘法与除法部分，再将所得结果相加． 本题主要考查了整式的乘法运算，包括单项式乘多项式、多项式乘多项式以及同底数幂的除法．熟练掌握乘法分配律以及同底数幂的除法法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 【变式1-3】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （3）先计算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）先计算乘方，再根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 不含某项，即该项系数为零。 技巧： 1. 先按整式乘法法则展开，并合并同类项； 2. 令指定项的系数为零，建立方程； 3. 解方程求字母的值。 注意： - 合并同类项务必准确； - 系数包括符号，方程列对是关键； - 最终结果需代入验证，确保该项确实被消去。 例2．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若代数式展开后不含项，求的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘多项式，将多项式展开后，合并同类项，令项的系数为零，解方程求． 【详解】解：： ， 展开后不含项， ， 解得， 故答案为：2． 【变式2-2】（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川资阳·期中）若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； （2）解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 类型三、(x+p)(x+q)型多项式乘法 对于(x+p)(x+q)型乘法，其结果是二次三项式。 核心公式： (x+p)(x+q) = x2+(p+q)x+ pq 技巧： 直接套用公式，“首平方，尾积，和中间”。即： 1. 首项为x2； 2. 尾项为常数p×q； 3. 中间项系数为 p+q。 注意事项： - 确定p, q的符号，这是计算中间项系数和常数项的关键，最容易出错。 - 最后按x的降幂排列写出结果。 例3．（25-26八年级上·江西上饶·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： (1)总结公式：； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为6或 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 对于（1），根据上述过程解答； 对于（2），根据（1）可得，再根据讨论a，b的取值可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， 由（1）得：， ∵a，b，m均为整数， ∴有以下四种情况： ①；②；③；④， ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 综上所述：m的值为6或． 【变式3-1】（25-26七年级下·湖南张家界·期末）回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【答案】(1)①；②； ③； (2)； (3)①；② (4)7或或5或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子； （2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式； （3）利用（2）总结的公式直接计算； （4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：① ； ② ； （4）解：因为， 所以，． 因为，均为整数，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 所以的所有可能值为7或或5或． 【变式3-2】（25-26八年级上·海南海口·月考）（1）计算下列式子： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． （2）从上面的计算中总结出规律：___________ （3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）①；②；③；④ 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘以多项式的法则求解即可； （2）由（1）中的运算总结出规律即可； （3）由（2）总结出的规律求解即可； 【详解】解：①； ②． ③； ④． （2）从上面的计算中总结出规律：； （3）①； ②． ③； ④． 【变式3-3】（24-25八年级上·广东湛江·月考）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到：．再利用单项式与多项式相乘的法则，得：． 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： （1）___________________； （2）___________________； （3）___________________； （4）___________________． 【任务2】由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释． 【任务3】如果其中，，均为整数，求的值． 【答案】任务1：（1）；（2）；（3）；（4）；任务2：，，；任务3：或 【分析】本题考查多项式相乘，解题关键在于利用长方形面积进行证明． 任务1∶直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式； 任务2∶画一个长为、宽为的长方形即可求解； （3）由（2）的结论可求解． 【详解】解∶任务1∶ （1）； （2）； （3）； （4） 故答案为∶（1）；（2）；（3）；（4）； 任务2：如图所示， ， 故答案为：，，； 任务3：由任务2知：， 又， ∴，， 又，，均为整数， ∴或或或或或或或， 综上，或． 类型四、整式乘法与图形面积 整式乘法与图形面积关联时，关键是用代数式正确表示图形的各部分长度。 技巧： 1. 分割或填补图形，使其成为规则图形（如长方形）的组合。 2. 列出面积表达式，根据几何关系（和、差）用整式表示总面积。 3. 进行整式乘法运算，展开并合并同类项，得到最简结果。 注意： - 字母代表长度，取值需非负。 - 确保运算过程遵循整式乘法法则，展开时注意系数和符号。 例4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 【变式4-1】（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积（化为最简）； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积（化为最简）； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题考查了整式混合运算的应用； （1）由图得，化简即可求解； （2）由图得，化简即可求解； （3）将，代入（2）中所求的面积，再求出费用，即可求解． 【详解】（1）解：花园的面积为 （）； （2）解：由题意得 （）； 故铺设地砖的面积为； （3）解：当，时， （）， （元）， 故购买所需地砖需要元． 【变式4-2】（25-26八年级上·贵州黔西·期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． (1)请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． (2)若，，此时图3的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用． （1）根据梯形的面积公式计算即可； （2）将，代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：面积为： ； （2）解：当，时，原式=， 故此时图3的面积是． 【变式4-3】（25-26八年级上·吉林长春·期末）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知 ，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式的值与x的取值无关 ∴ 解得： 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∵的值与x无关 ∴，即； （3）由图可知 ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴ ∴． 类型五、多项式乘法中的规律性问题 规律性问题通常涉及连续整式（如(x+a)(x+b)...）的展开结果。 核心技巧： 1. 先特例探规律：计算前几个简单情况（如令x=1，或写出n=1,2时的结果）。 2. 观察与归纳：重点关注展开式各项的系数与指数的变化规律。 3. 用符号概括：将发现的规律用含n的代数式（通项）表示出来。 关键注意： - 确保初始特例计算绝对准确，否则规律全错。 - 归纳出的规律需符合所有特例，最好能进行简要验证。 例5．（25-26七年级上·河北保定·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式中共有________项，第19项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1)6 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：6； （2）展开式有项， ，展开式有项，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为3，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为6，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第3项系数为，倒数第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，倒数第三项的系数， ∴展开式共有项，第项系数为， 故答案为：，； （3）根据图示，， 故答案为：； （4）∵， 当，时，， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级上·河南信阳·月考）观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 【变式5-2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】(1) (2) (3)运算规律为：，说明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：， ， ，…… ， 故答案为：； （2）解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； （3）解：，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 【变式5-3】（25-26八年级上·广西南宁·月考）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】 （1）由此可得________； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． （3）因为， 所以． 所以实数． 因为， 当时，， 所以，． 所以． 类型六、整式运算中的新定义型问题 新定义题的关键是理解并应用“新规则”。 核心技巧： 1. 仔细读题：明确新运算的每一步法则（如符号“☆”的含义）。 2. 模仿示例：严格按定义步骤操作，将新运算转化为常规整式运算。 3. 化简求值：运用整式运算法则（去括号、合并同类项等）计算结果。 重要注意： - 定义中的运算顺序和规则不可主观更改。 - 最终结果通常要化为最简形式，并与定义中的变量取值范围保持一致。 例6．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【答案】(1)4或2；或 (2)A与B是关于1的单位数．理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·期中）定义，如．已知（n为常数），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算. （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 【变式6-2】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”，求的值． 【答案】(1)是的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义； （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据是的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的“友好多项式” 理由如下： ，， ， ∴满足的项数比的项数多1， 是的“友好多项式”； （2） ， 是的“特别友好多项式”， 且， 解得． 【变式6-3】（25-26八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了整式乘法的应用； （1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：3 ； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， ∴多项式的另一个零点是； （3）解：， ∴的两个零点分别是和7， 根据“系多项式”的定义，有， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南许昌·月考）若，则m、n的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法：通过展开左边多项式并比较系数，求出m和n的值． 【详解】解：∵， 又∵， 比较系数得：． 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川南充·期末）已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，代数式求值，将所求代数式展开，利用已知方程变形代入求值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ . 故选：C． 3．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知式子的结果中不含项，则a的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，掌握知识点是解题的关键． 先将式子展开，再根据结果中不含项，令项的系数为零求解即可． 【详解】∵ ， ∵式子的结果中不含项， ∴， ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）计算下列式子：，，，…根据你发现的规律计算的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法的规律发现与应用，解题关键在于发现与多项式相乘时的消去规律． 先计算前三个式子结果分别为，，，得出规律，再根据规律计算即可． 【详解】解：； ； ； … ； 则， 即； ，则， 即， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26七年级上·浙江温州·月考）五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 用含，，的代数式表示左上角与右下角的阴影部分的面积，从而得到，因为当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，所以可推得前的系数值为0，则问题可解． 【详解】解：由题意有，，， ． 当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变， ， ． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据多项式乘法的运算法则，将两个多项式的每一项分别相乘，再合并同类项即可． 【详解】解：； 故答案为． 7．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)已知，则 ． (2)若，则 ． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，计算多项式乘多项式，型多项式乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先将待求式子展开，再整体代入求值； （2）先将已知式子中等号右边的式子展开，与左边比较后得出m，n的值，再代入待求式子求值． 【详解】（1）解：， 整理得①， 又②， 将①代入②可得， 故答案为∶． （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为∶． 8．（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 9．（25-26八年级上·陕西安康·月考）如图1，一个小长方形的长为，宽为a，把5个大小相同的小长方形放入图2的大长方形内，则下列说法：①大长方形的长为；②大长方形的面积为；③阴影部分的面积为；④若，大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则．正确的有 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何面积，先表示出大长方形的长为，大长方形的宽为，再表示出大长方形的面积，最后逐个判断即可． 【详解】解：大长方形的长为，故①错误；大长方形的宽为， ∴大长方形的面积为，故②正确； ∵5个小长方形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：，故③错误； ∵， ∴，， ∴，故④正确． 故答案为：②④． 10．（25-26八年级上·四川乐山·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有 ． 【答案】①②③ 【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，根据表中等式的项数和系数的和，找出规律可判断①；利用“杨辉三角”的规律解答可判断②③④，综上即可求解，找出规律是解题的关键． 【详解】解：①∵，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为:， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ， ∴展开式有项，系数的和为，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 当代数式的值是时，， 解得，故③正确； ④∵， ∴展开式中除最后一项，均含有因数，都能被整除，展开式的最后一项为， ∴的余数与的余数相同， ∵， ∴的余数为， ∴的余数为， ∴如果今天是星期一，那么天后是星期日，故④错误； 综上，正确的序号有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 12．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，这是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式、代数式求值，列出代数式是正确解答的关键． （1）由于阴影部分不规则，所以可考虑用长方形的面积减去两个三角形的面积； （2）把代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：由题可得：； ∴阴影部分的面积为：； （2）解：将代入得：； 故阴影部分的面积为. 13．（25-26八年级上·陕西安康·月考）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． (1)求a，b的值； (2)请计算出这道题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法． （1）根据题意可知，，分别计算，，得到，，相减求出，进而可求出； （2）由（1）知，，即，计算即可． 【详解】（1）解：∵小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为， ∴ ， 即， ∴①，， ∵小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为， ∴ ， 即， ∴②，即， ，得， 解得， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴ ． 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，掌握多项式乘多项式的运算法则，合并同类项法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则进行，然后再合并同类项，然后再根据化简后不含的项和常数项，得出项的系数为0，常数项为0，即可求出、的值； （2）把（1）求出的，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含的项和常数项， ∴， 解得：，； （2）解：把，代入，得： ． 15．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的出行便利，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖宽度均为b米的通道． (1)求剩余草坪的面积是多少平方米（用含a，b的算式表示）？ (2)若修两竖一横宽度均为b米的通道（如图2），草坪面积减少了，已知，则图2中草地的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，平移的性质，把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形是解题的关键． （1）先把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个长方形，再根据长方形的面积公式计算即可． （2）根据图2比图1中草坪面积减少了，可得，将代入图2中草地的面积的代数式即可． 【详解】（1）解： ， 即剩余草坪的面积是平方米； （2）解：由题意知，图2比图1中草坪面积少：（平方米）， ， ， （平方米）， 即图2中草地的面积为平方米． 16．（25-26八年级上·山东济宁·周测）探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 【答案】(1)；；； (2)， (3)； 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）①根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；②根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；③根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （2）根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （3）①利用规律求解；②利用规律求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：；；； （2）解：若，则，； 故答案为：，； （3）解：①； ②． 故答案为：；． 17．（25-26八年级上·山西临汾·期中）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)①；②，理由见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断； （2）①根据“特别友好多项式”的定义解答； ②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可； 【详解】（1）解：是的“友好多项式”，理由如下： ， ∵的项数比多不超过项， ∴是的“友好多项式”； （2）解：①， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”， 故答案为：； ②， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”． 18．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $