数学一模突破卷04（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A B C C D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．257 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）， ， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的最小正周期为，单调递增区间为，.（5分） （2）已知，则， 即； 因为三角形是锐角三角形，所以，则， 在这个区间内，解得， 依据余弦定理，可得， 即，解得或； 当时，， 此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况； 当时，， 此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且， ∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件; 根据三角形面积公式，可得， 所以的面积为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）在矩形中，，，点，分别是，的中点， 所以四边形和是全等的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面；（4分） （2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，， 因为， 所以，， 则， ， 所以线段的长为；（9分） （3）因为，所以当时，线段最短， 此时，分别为线段，的中点，，， 则， 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知，为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由表得，，， 又因为， 所以， 由于的值接近1，所以可以推断年销售量和年投入额这两个变量正线性相关，且相关程度很强.（4分） （2）由（1）得两个变量的线性相关程度很强， 所以可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系， 设年销售量关于年投入额的经验回归方程为， 所以，， 所以年销售量关于年投入额的经验回归方程为.（9分） （3）由（2）得，可得如下数据： 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 3 5.5 1.1 2.3 3.5 4.7 所以的残差平方和为， 由于，故非线性经验回归方程拟合效果更好， 当时，(千件)， 故当年投入额为6百万元时，产品的销售量约为9.68千件.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题意知，则，由，， 解得，故椭圆C的方程为.（3分） （2）设. （i）由题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得，， 根据韦达定理得，. ，显然，， 即， 即， 化简得，则（舍去）， 此时，， 则. 设，， 当且仅当，即时取等号. 因为，所以， 当且仅当时取等号.故的最大值为.（10分） （ii）假设存在以为圆心的定圆N满足题意. 当的斜率存在时，显然， ， 得，此时，存在解集，即存在直线使得直线与的斜率之和为2， 则直线的方程为，直线的方程为. 由得，即， . 当时，为定值. 当直线的斜率不存在时，，解得， 此时，满足题意. 故存在定圆N:，使得点M在定圆N上. （17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，则， 则在上单调递增，，所以在上单调递增． 所以， 所以的最小值为.（4分） （2）由， 整理得，即， 当时，恒成立，符合题意； 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，符合题意； ②当时，，， 所以存在，使得， 当时，， 所以在上单调递减， 则当时，，不符合题意． 综上，实数的取值范围是.（10分） （3）由（1）知，当时， 取， 有， 故， 所以 ， 即.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 2．已知集合 ，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．32 3． “”是“函数的图象关于点对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．1 B． C． D．2 5．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 6．若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形是面积为的正方形，以为斜边作等腰直角三角形，再以为边分别作正方形，点是的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 8．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（    ） A． B．平面 C． D．平面 10．抛物线的焦点为F，准线为l，过F作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A（位于第一象限）和点B，交l于点R，，垂足为P，，下列说法正确的是（   ） A．直线m的斜率为 B． C． D． 11．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且的外接圆半径为1，的面积等于，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为 . 13．已知等差数列的前项和为，且．若，由和的公共项构成数列，则的第9项是的第 项． 14．已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 16．（15分）如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求线段的长（用表示）； (3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表. （百万） 1 2 3 4 5 （千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 (1)根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度； (2)根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由. (3)该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投入额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）. 参考公式及数据：，，，，，，. 18．（17分）已知椭圆:的离心率为，且过抛物线的焦点. (1)求椭圆的方程. (2)是椭圆上两点(异于点). （i）若，求的最大值. （ii）作，垂足为点.若直线与的斜率之和为2，是否存在圆心在x轴上的定圆，使得点在该定圆上?若存在，请写出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知函数． (1)求的最小值； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】，的虚部为， 故选：B. 2．已知集合 ，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．32 【答案】C 【分析】解一元二次不等式即可化简集合，根据集合交集的概念计算即可得，从而可得子集个数. 【详解】解不等式可得，所以， 因为，所以， 故的子集为，故子集个数为. 故选：C. 3． “”是“函数的图象关于点对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的性质判断即可. 【详解】正切函数的对称中心为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件. 故选：A． 4．已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据渐近线的性质可得：，因为为直角三角形，且，利用勾股定理得到，点N为垂足，且N为OF的中点，所以，即，再结合离心率的公式，即可得离心率的值. 【详解】 如图所示：双曲线的右焦点到渐近线的距离为，得， 又，在，，所以， 又且N为OF中点，所以， 即该双曲线为等轴双曲线， 所以离心率； 故选：B 5．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 6．若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，所以， 解得， 即r的取值范围是． 故选：C． 7．如图，四边形是面积为的正方形，以为斜边作等腰直角三角形，再以为边分别作正方形，点是的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，连接，则可得到，建立平面直角坐标系，求出的坐标，利用向量的数量积公式可求得，再结合余弦的倍角公式即可求得. 【详解】因为正方形的面积为，所以正方形的边长为； 如图，连接，则，建立如图平面直角坐标系，则；    所以； 所以，即； 所以. 故选：D. 8．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设，结合一次函数、对数函数的性质可得，进而得到，再结合基本不等式分，两种情况讨论求解即可. 【详解】由于函数在上单调递增，且零点为， 函数在上单调递减，且零点为， 要使不等式恒成立， 则，即， 所以， 当时，， 当且仅当，即时等号成立； 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 综上所述，的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BC 【分析】假设存在点使得，再根据点线面的位置关系得出矛盾可得A错误，利用面面平行的判定定理即可证明平面平面，再结合面面平行性质可得B正确，利用线面垂直判定定理及其性质可得C正确，假设平面，由线面垂直性质可得出平面与平面平行，与题意不符，可得D错误. 【详解】对于A，若存在点使得，则四点共面， 因为，所以平面，易得为平面与平面的公共点，所以三点共线，与题设矛盾，故A错误； 对于B，如图所示， 过点作，交劣弧于点，连接. 由于分别为的中点，所以， 由于平面平面，所以平面，平面， 又因为，所以平面平面，由于平面，所以平面，故B正确； 对于C，由为底面圆的直径，可知， 又，所以， 又易知，，平面， 因此平面，平面，可得，故C正确； 对于D，假设存在点使平面，则， 又因为平面，所以平面， 故平面与平面平行，与题意不符，故D错误， 故选：BC. 10．抛物线的焦点为F，准线为l，过F作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A（位于第一象限）和点B，交l于点R，，垂足为P，，下列说法正确的是（   ） A．直线m的斜率为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的定义及条件，可得为等边三角形，根据角度，求出斜率，可判断A的正误；设准线l交x轴于点C，根据条件，可得，可判断B的正误；求出直线m的方程，与抛物线联立，可得A点和B点横坐标，根据焦半径公式，求出、，可判断C的正误；由条件可得，代入条件，即可判断D的正误. 【详解】选项A：由抛物线的定义得，又， 所以，所以为等边三角形， 所以， 因为，所以，即直线m的倾斜角为， 所以直线m的斜率，故A正确； 选项B：设准线l交x轴于点C， 因为，所以， 又，， 所以，所以，故B正确； 选项C：因为直线m的斜率为，且过点， 所以直线m的方程为， 与抛物线联立，得，解得或， 因为点A位于第一象限，所以，则， 所以， 所以，故C错误； 选项D：在中，，， 所以，即， 由抛物线的定义得，点B到准线l的距离等于， 所以，故D正确. 故选：ABD 11．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且的外接圆半径为1，的面积等于，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据正弦定理边角互化得，整理即可判断；对于B，根据面积关系得判断；对于C，根据得，且，再根据求解判断；对于D，先求得，再结合诱导公式与和差角公式求解判断. 【详解】因为，外接圆半径为1， 所以，整理得：，故A选项正确； 因为的面积等于 所以，即，故B选项错误； 所以由得，且， 所以， 因为， 所以，故C选项正确； 因为，，所以 所以，即 因为，， 所以，故D选项正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，利用导数的几何意义建立方程计算即可. 【详解】易知，设， 所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意可知，解之得或， 当时，，此时切点在x轴上，不合题意；当时，； 所以. 故答案为： 13．已知等差数列的前项和为，且．若，由和的公共项构成数列，则的第9项是的第 项． 【答案】257 【分析】先设公差为，再结合已知代入求解得出，进而计算公共项的通项公式计算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意，当时，有，即， 所以，又， 所以， 设，得， 则，所以，则，得， 所以的第9项是的第257项． 故答案为：257. 14．已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是 . 【答案】 【分析】利用全概率公式求出第一次摸到红球的概率以及第一次和第二次都摸到红球的概率，再根据条件概率公式进行计算． 【详解】设事件A表示“第一次摸到红球”，事件B表示“第二次摸到红球”． 设事件表示“选择甲袋”，事件表示“选择乙袋”， 且，，， 根据全概率公式，得， 在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球， 所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球， 所以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 根据全概率公式，得， 所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为，. (2) 【分析】（1）用平方差公式和二倍角公式对函数进行化简，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间. （2）先求出角，再用余弦定理求出边长，最后用三角形面积公式求出面积即可. 【详解】（1）， ， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的最小正周期为，单调递增区间为，. （2）已知，则， 即； 因为三角形是锐角三角形，所以，则， 在这个区间内，解得， 依据余弦定理，可得， 即，解得或； 当时，， 此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况； 当时，， 此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且， ∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件; 根据三角形面积公式，可得， 所以的面积为. 16． （15分）如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求线段的长（用表示）； (3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得出平面，再利用线面垂直的性质定理即可； （2）以为原点建系，得出的坐标，再计算向量的模； （3）求出，再求出两个平面的法向量，再根据向量夹角和平面角之间的关系求出. 【详解】（1）在矩形中，，，点，分别是，的中点， 所以四边形和是全等的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面； （2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，， 因为， 所以，， 则， ， 所以线段的长为； （3）因为，所以当时，线段最短， 此时，分别为线段，的中点，，， 则， 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知，为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17． （15分）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表. （百万） 1 2 3 4 5 （千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 (1)根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度； (2)根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由. (3)该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投入额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）. 参考公式及数据：，，，，，，. 【答案】(1)，正线性相关，且相关程度很强. (2)可以， (3)非线性经验回归方程的拟合效果更好，9.68千件 【分析】（1）根据表中数据，代入相关系数的计算公式求出，再根据相关系数的概念判断求解即可； （2）根据相关系数的概念可知可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系，利用最小二乘法的计算公式求出即可得解； （3）计算线性经验回归方程残差和非线性经验回归方程残差比较可得非线性经验回归方程更好，再由所给方程求出预测值即可. 【详解】（1）由表得，，， 又因为， 所以， 由于的值接近1，所以可以推断年销售量和年投入额这两个变量正线性相关，且相关程度很强. （2）由（1）得两个变量的线性相关程度很强， 所以可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系， 设年销售量关于年投入额的经验回归方程为， 所以，， 所以年销售量关于年投入额的经验回归方程为. （3）由（2）得，可得如下数据： 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 3 5.5 1.1 2.3 3.5 4.7 所以的残差平方和为， 由于，故非线性经验回归方程拟合效果更好， 当时，(千件)， 故当年投入额为6百万元时，产品的销售量约为9.68千件. 18． （17分）已知椭圆:的离心率为，且过抛物线的焦点. (1)求椭圆的方程. (2)是椭圆上两点(异于点). （i）若，求的最大值. （ii）作，垂足为点.若直线与的斜率之和为2，是否存在圆心在x轴上的定圆，使得点在该定圆上?若存在，请写出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）由离心率和抛物线的焦点坐标可求出，进而得到椭圆的方程. （2）（i）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理，根据向量数量积为0列出等式并化简，可求得，然后求出的范围，根据和基本不等式的性质求出结果即可；（ii）先求出直线的方程为，直线的方程为y=-，然后联立两个直线的方程求出的定值. 【详解】（1）由题意知，则，由，， 解得，故椭圆C的方程为. （2）设. （i）由题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得，， 根据韦达定理得，. ，显然，， 即， 即， 化简得，则（舍去）， 此时，， 则. 设，， 当且仅当，即时取等号. 因为，所以， 当且仅当时取等号.故的最大值为. （ii）假设存在以为圆心的定圆N满足题意. 当的斜率存在时，显然， ， 得，此时，存在解集，即存在直线使得直线与的斜率之和为2， 则直线的方程为，直线的方程为. 由得，即， . 当时，为定值. 当直线的斜率不存在时，，解得， 此时，满足题意. 故存在定圆N:，使得点M在定圆N上. 19． （17分）已知函数． (1)求的最小值； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，进而求出函数的最小值； （2）原不等式可化为，当时，不等式恒成立，当时，先证明在上单调递增，求出，分和两种情况分别讨论，即可求出答案； （3）由（1）知，当时，，利用放缩得到，代入再通过不等式累加即可证明. 【详解】（1）由题得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，则， 则在上单调递增，，所以在上单调递增． 所以， 所以的最小值为. （2）由， 整理得，即， 当时，恒成立，符合题意； 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，符合题意； ②当时，，， 所以存在，使得， 当时，， 所以在上单调递减， 则当时，，不符合题意． 综上，实数的取值范围是. （3）由（1）知，当时， 取， 有， 故， 所以 ， 即. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][CI[D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 相 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) B D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 o 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.复数z=1+21-2i的虚部为（) A.2 B.-2 C.0 D.-2i 2.已知集合A={x∈Zx2-2x-3≤0}，B={x0<x<4),则AOB的子集个数为() : O A.4 B.7 C.8 D.32 3.“%=经-无ke2)是函数y=a(2+孕的图象关于点化.0对称的（） 26 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 : 4.已知0为坐标原点，过双曲线C:: =1(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足 为点M,过M作x轴的垂线，垂足为N,若N为OF的中点，则双曲线的离心率为() : A.1 B.√5 C.5 D.2 : 5.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且f(2x-1)为奇函数，则一定有() A.f(0)=0 B.f(2)=0 C.f(3)=0 D.f(4)=0 6.若圆心+(0y-1)2=2(>0)上到直线y=x+2的距离为5的点有且仅有2个，则半径r的取值范围是 21 : B. c. 357W5 5,5 D.(V5,+∞) : 试题第1页（共4页） .: ©学科网·学易金卷做概蕊：限是鲁普 7.如图，四边形ABCD是面积为4的正方形，以AB为斜边作等腰直角三角形AEB,再以AE,EB为边分别 作正方形AEFG,BMNE,点O是AB的中点，则cos2∠ANO的值为() A. B. c.5 D. 8.若关于x的不等式(2x-a)n1≤0(a.beR,b≠0)恒成立，则a+2的取值范围为() 2 x-b b A.(-0,-2] B.(-0,-2]U[6,+0) C.（-o,-2)U(6,+o) D.[6,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图所示，AB为圆锥SO的底面圆的直径，N为母线SA的中点，点C为底面圆上异于A,B的任一点， 则圆O上存在点M满足() A.MN//SC B.MN//平面SBCC.SM⊥AC D.AML平面SBC 10.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1，过F作斜率大于0的直线与抛物线交于点A(位于第一象限) 和点B,交I于点R,AP⊥I,垂足为P,PF=AF,下列说法正确的是() A.直线m的斜率为√ B.PF=RF C.AF=2 BF 163 D.S.= 3 11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2(sin2A-sim2B)=(V2a-b)simB,且△ABC 的外接圆半径为1，△ABC的面积等于(a-b 2 ,则下列结论正确的是（) A.a=√2b B.sinA=1-2 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做怒微：限餐是鲁普 B C.cos5-sin。 D.sin 4-B 2 2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知曲线y=(x-1)2e*在点A处的切线与x轴平行，则点A的坐标为 13.已知等差数列a,}的前n项和为8，且4=1，S-S=20n≥2).若b=2”+1,由a,}和包，}的公共 n n-l 项构成数列{cn},则{cn}的第9项是{a}的第项. 14.已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3 个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下， 第二次摸到的也是红球的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)己知函数f(x)=cos4x+2 sinxcosx-sinx. (1)求∫(x)的最小正周期及单调递增区间： @设锐角AM8C的内角4，，C所对的边分别为a,b,c,若a=而，b=5,f(径+日-1，求 △ABC的面积 16.(15分)如图，在矩形CDEF中，CD=1,DE=2,A,B分别是DE,CF的中点，点P,2分别是 对角线AC,BE上的动点（不包括端点），且CP=BQ=a(0<a<V2),将四边形ABCD沿AB翻折，使平 面ABCD⊥平面ABFE (1)求证：BDL平面AEC; (2)求线段PQ的长（用a表示）： (3)当线段Q的长最小时，求平面PQA与平面AEC夹角的余弦值. 17.(15分)当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认 为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是 近年来该公司对产品研发年投入额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计表. 试题第3页（共4页） x(百万) 1 2 3 5 y(千件) 0.5 1.5 5.5 (1)根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数”，推断两个变量的相关程度： Y=bx+a+e (2)根据(1)问的结果判断是否可以用一元线性回归模型 E(e)=0,D(e)=g来刻画年销售量和投入额之间 ☑ 的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程：如果不可以，请说明理由 (3)该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量y关于年投入额x的非线性 经验回归方程为少=e91”,并计算出少=e1”的残差平方和∑(y-)°=0122，请根据统计表的数 % 1=1 据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高 的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）· ∑(-)(y-) 数 ∑(：-)(y-列 参考公式及数据： b= a=y-b,∑2=42.75， 游 S 2y4656328,ea9.68ea978 0 18。（a7分)已知裤网C若+常-1a>6>0)的离率为 ,且过抛物线x2=4y的焦点A. 2 (1)求椭圆C的方程 (2)P,Q是椭圆C上两点（异于点A), (i)若APA0=0,求AF+A回的最大值. 世 (ii)作AM⊥PQ,垂足为点M.若直线AP与AQ的斜率之和为2，是否存在圆心在x轴上的定圆，使得点 O M在该定圆上？若存在，请写出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 19.(17分)己知函数f(x)=x2-2x+2sinr. 席 (1)求f(x)的最小值： (2)当x≥0时，f(x)≥x2-2e+2(a-1)x+2,求a的取值范围； 1 n (3)证明：】 试题第4页（共4页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 2．已知集合 ，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．32 3． “”是“函数的图象关于点对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．1 B． C． D．2 5．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 6．若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形是面积为的正方形，以为斜边作等腰直角三角形，再以为边分别作正方形，点是的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 8．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（    ） A． B．平面 C． D．平面 10．抛物线的焦点为F，准线为l，过F作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A（位于第一象限）和点B，交l于点R，，垂足为P，，下列说法正确的是（   ） A．直线m的斜率为 B． C． D． 11．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且的外接圆半径为1，的面积等于，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为 . 13．已知等差数列的前项和为，且．若，由和的公共项构成数列，则的第9项是的第 项． 14．已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 16．（15分）如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求线段的长（用表示）； (3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表. （百万） 1 2 3 4 5 （千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 (1)根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度； (2)根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由. (3)该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投入额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）. 参考公式及数据：，，，，，，. 18．（17分）已知椭圆:的离心率为，且过抛物线的焦点. (1)求椭圆的方程. (2)是椭圆上两点(异于点). （i）若，求的最大值. （ii）作，垂足为点.若直线与的斜率之和为2，是否存在圆心在x轴上的定圆，使得点在该定圆上?若存在，请写出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知函数． (1)求的最小值； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.复数z=1+21-2i的虚部为() A.2 B.-2 C.0 D.-2i 2.已知集合A={x∈Z2-2x-3≤0}，B={x0<x<4,则A⌒B的子集个数为() A.4 B.7 C.8 D.32 3.“号-专ke2)是函数y=am(2x+孕的图象关于点（6.0)对称的《） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知0为坐标原点，过双曲线C:于二=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足 a2-2 为点M,过M作x轴的垂线，垂足为N,若N为OF的中点，则双曲线的离心率为() A.1 B.√2 C.3 D.2 5.己知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且f(2x-1)为奇函数，则一定有() A.f(0)=0B.f(2)=0 C.f(3)=0 D.f(4)=0 6.若圆+y-少°-r>0)上到直线-+2的距离为5的点有且仅有2个，则半径？的取值范围是 () 116 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 c.{ D.(N5,+m) 7.如图，四边形ABCD是面积为4的正方形，以AB为斜边作等腰直角三角形AEB,再以AE,EB为边分 别作正方形AEFG,BNE,点O是AB的中点，则cos2∠ANO的值为() D 1 A. 5 R D. &.若关于x的不等式(2x-a)h≤0a,bcR,b≠0)恒成立，则a+2的取值范国为() x-b A.(-0,-2] B.(-,-2]U[6,+n) C.（-0,-2)U(6,+0) D.[6,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图所示，AB为圆锥SO的底面圆的直径，N为母线SA的中点，点C为底面圆上异于A,B的任一点， 则圆O上存在点M满足() B M A.MN//SC B.MN/平面SBCC.SM⊥AC D.AM⊥平面SBC 10.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1，过F作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A(位于第一象 限)和点B,交I于点R,AP⊥1，垂足为P,PF=AF,下列说法正确的是() A.直线m的斜率为√5 B.PF=RF 216 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C.AF =2 BF D.S.m=1 3 11.己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2(sim2A-sim2B)=(V2a-b)simB,且 △MBC的外接圆半径为1，△MBC的面积等于C(a-b), 则下列结论正确的是() A.a=√2b B.sin4=1- 2 C.cos 2-sin. B =2 2 D.m4:8+m=l 2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知曲线y=(x-1)e在点A处的切线与x轴平行，则点A的坐标为 13.已知等差数列{a,}的前n项和为3，且4=1，S=2(n≥2).若b,=2+1,由{a,}和}的公共 n n-l 项构成数列{cn},则{cn}的第9项是{a}的第项. 14.己知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3 个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下， 第二次摸到的也是红球的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知函数f(x)=cosx+2 sinxcosx--sin4x. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间： (②设锐角△ABC的内角A,,C所对的边分别为a,。,c,若a=而，b=5,(行)-1，求 △ABC的面积. 316 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)如图，在矩形CDEF中，CD=1,DE=2,A,B分别是DE,CF的中点，点P,Q分别是 对角线AC,BB上的动点（不包括端点），且CP=BQ=(0<a<√)，将四边形ABCD沿AB翻折，使平 面ABCD L平面ABFE. B D B E (I)求证：BDL平面AEC: (2)求线段P9的长（用a表示）： (3)当线段PQ的长最小时，求平面POA与平面AEC夹角的余弦值. 4/6 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(15分)当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被 认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段某公司在这个领域逐年加大投入，以下 是近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计表. x(百万) y(千件) 0.5 5.5 (I)根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数'，推断两个变量的相关程度； Y=bx+ate (2)根据（1)问的结果判断是否可以用一元线性回归模型 E(e)=0,D(e)=o2来刻画年销售量和投入额之 间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理 由 (3)该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量y关于年投入额x的非线 性经验回归方程为少=e9x2”,并计算出少=e91”的残差平方和(y-)°=01122，请根据统计表的 数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更 高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）. ∑(x-)(y-) 参考公式及数据： .6--列 2可矿V2w-列 a=少-，∑y=4275, y=465,6≈128，e2”≈968，e≈978. 516 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分)已知椭圆c:·+y 之+1(a>b>0的离心率为2，且过抛物线x4y的焦点A (1)求椭圆C的方程 (2)P,O是椭圆C上两点（异于点A) (i)若APA0=0,求A+A@的最大值， (ii)作AM⊥PQ,垂足为点M.若直线AP与AQ的斜率之和为2，是否存在圆心在x轴上的定圆，使得 点M在该定圆上？若存在，请写出该圆的方程；若不存在，请说明理由 19.(17分)已知函数f(x)=x2-2x+2sinx. (1)求(x)的最小值： (2)当x≥0时，f(x)≥x2-2e+2(a-1)x+2,求a的取值范围： 3)证明：】 sin 1 >n 台k22(n+1) 616