精品解析：湖北武汉市江岸区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知单位向量，的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 若，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在中，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台的母线长分别为，，则圆台甲体积与乙体积（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角分别为，其中，则此山的高度为（　　） A. B. C. D. 8. 若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，，分别是边，的中点，两条边，的长度分别为和，则以为直径的球的体积取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选题）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 用水量 9.0 9.6 14.9 5.9 4.0 7.7 小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中有变化的量是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 中位数 D. 标准差 10. 复数，，在复平面内对应的点分别为，，，其中为坐标原点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 11. 已知正方体的棱长为，，为体对角线上的点，且满足，动点在三角形内，且三角形的面积，则（ ） A. 点在三角形内 B. C. 直线，所成的角是定值且正切值是 D. 点轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的侧面积为__________． 13. 如图，在平面四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为__________． 14. 已知15个数，， ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，， ，的方差为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （1）若，设，，求向量与的夹角的余弦值； （2）若，设，，若，求实数的值． 16. 在三棱锥中，，底面，． （1）求到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 某学校为提升学生的体育健康素养，要求所有学生完成规定的体育锻炼任务，并获得相应过程性积分．现将某校100名学生的体育健康测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 体育健康测试成绩 体育过程性积分 人数 4 10 3 2 1 23 0 2 （1）估计该100名学生体育健康测试成绩的20%分位数（结果保留整数）； （2）从该校体育过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其体育健康测试成绩记为，上述100名学生体育健康测试成绩的平均值记为． （i）求的最小值，并用含的式子表示（的最小值为各分数段分别取最小值时所求得的平均分）； （ii）若根据表中信息能推断恒成立，求的最小值． 18. 在四棱锥中，，． （1）证明：二面角是直二面角； （2）若，，． （i）当时，求与平面所成角的正弦值； （ii）设，将二面角的正切值表示为关于的函数，并求的取值范围． 19. 在如图1所示平面四边形中，，，，，将沿翻折至（图2），其中为动点，连接，令，．点，，分别为，，的中点，点在上且满足，与交于，与交于，连接． （1）证明：平面； （2）当平面平面时，求的值； （3）求二面角的余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为平面向量，，且， 故，解得. 2. 已知单位向量，的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，，向量，的夹角为， 则在方向上的投影向量为 3. 若，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，由，过直线的平面与平面相交，令交线为，则， 由，得，而，因此，故A正确； 对于B，若，则，故B不正确； 对于C，若，则或互为异面直线，故C不正确； 对于D，若，当且仅当与平面的交线垂直时才会有，故D错误. 4. 在中，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理求出的值，再结合三角形大边对大角的性质，判断出正确选项. 【详解】在中，由正弦定理得，， 所以， 由于，所以，又，所以. 5. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台的母线长分别为，，则圆台甲体积与乙体积（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式求解. 【详解】由题意圆台甲的高为，圆台乙的高为， 所以， 所以. 6. 如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，垂足为，由平面平面可得平面，进而得到，结合直三棱柱的特征可得，进而得到平面，可得为直线与平面所成的角，进而求解即可. 【详解】过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，而平面， 则为直线与平面所成的角，且， 因为，且直三棱柱的体积为， 所以，解得， 而，则，即， 则与平面所成的角为. 故选：C. 7. 逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角分别为，其中，则此山的高度为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据锐角三角函数可得，进而根据余弦定理即可求解. 【详解】解：如图，设点在地面上的正投影为点， 则，, 设山高，则， 在中，， 由余弦定理可得：， 整理得， ∴． 故选：D． 8. 若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，，分别是边，的中点，两条边，的长度分别为和，则以为直径的球的体积取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出三棱锥的外接球半径，求出，进一步求出的范围，从而得出答案即可． 【详解】设三棱锥外接球的半径为， 则，所以球的半径为， 则球的两条弦的中点为， 则， 即弦分别是以为球心，半径为3和2的球的切线， 且弦在以为球心，半径为2的球的外部， 的最大距离为，最小距离为， 当三点共线时，分别取最大值与最小值， 故以为直径的球半径分别为， 半径为时，球的体积为， 当半径为时，球的体积． ∴以为直径的球的体积的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选题）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 用水量 9.0 9.6 14.9 5.9 4.0 7.7 小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中有变化的量是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 中位数 D. 标准差 【答案】ABD 【解析】 【分析】先将原始数据和录入错误的数据分别从小到大排序，再依次计算平均数、极差、中位数、结合标准差的含义判断各统计量是否发生变化，选出有变化的选项即可. 【详解】选项A，原始数据总和为，平均数为； 录错后总和变为，平均数为，平均数发生了变化，故A符合； 选项B，原始数据极差为；录错后极差为，极差发生了变化，故B符合； 选项C，原始数据排序为，中位数为； 录错后排序为，中位数为，未发生变化，故C不符合； 选项D，录入极端值后，数据的离散程度明显变大，因此标准差发生变化，故选项D符合. 10. 复数，，在复平面内对应的点分别为，，，其中为坐标原点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出对应复数，利用复数的几何意义求出复数所对应的向量的坐标，再代入运算判断A，举反例判断B，利用复数的乘法公式结合模长公式判断C，利用复数三角不等式判断D即可. 【详解】设，，， 对于A，由复数的几何意义得，， ，满足，故A正确； 对于B，令，，则，， 此时满足，但不满足，故B错误； 对于C，易得， 由模长公式得 ， 而， 可得，故C正确； 对于D，由复数三角不等式得， 当且仅当同向共线时取等，故D正确. 11. 已知正方体的棱长为，，为体对角线上的点，且满足，动点在三角形内，且三角形的面积，则（ ） A. 点在三角形内 B. C. 直线，所成的角是定值且正切值是 D. 点轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先确定，的位置，再求得,由线面垂直的判定定理可得平面,利用等体积法求得到平面的距离为,即可判断A；对于B，用反证法即可判断；对于C，结合A及，可得，且为直线，所成的角，在中，由正切函数的定义求解即可;对于D，由C可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在等边三角形内的部分，作出图形，先求出在等边三角形外的轨迹长，再用圆的周长减去外部的轨迹长，即可得答案． 【详解】对于A，由题意可知，为的三等分点，靠近于，靠近于， 又因为， 所以, 易知是边长为的等边三角形， 因为平面,, 所以平面, 平面, 所以, 同理可证明, 平面,, 所以平面, 设到平面的距离为, 则, 即, 所以， 即， 解得, 所以点在平面内，且为平面的垂足，故A正确； 对于B，因为动点在三角形内，为靠近于的的三等分点， 而平面, 如果成立，则有平面, 此结论显然不成立，故B错误； 对于C，由A可知平面于点，且, 又因为， 即, 所以直线，所成的角为, 在中，，故C正确； 对于D，由C可知， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在等边三角形内的部分， 因为，且平面于， 则为的外心，内心， 所以, 即的外接圆半径为， 所以的内切圆半径为， 又因为， 如图所示：设此圆与边交于两点， 在中，, 所以, 又因为， 所以，所以， 所以， 所以点的轨迹位于外的部分为， 所以点的轨迹位于内的部分为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由直观图得到平面图求出相应的线段得出旋转后的几何体，再根据几何体的侧面积求法求出结果. 【详解】由题可得则 ，因此绕所在直线旋转一周之后形成的几何体为底面半径，母线的圆锥， 则圆锥的侧面积为. 13. 如图，在平面四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据条件，利用倍角公式及三角变换得到，再由正弦函数的性质，即可求解. 【详解】设，因为，则， 又为等边三角形，则， 所以 ， 因为，则，所以当，即时，， 故面积的最大值为. 14. 已知15个数，， ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，， ，的方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数和方差的公式求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以，所以剩余的10个数的平均数为． 根据方差公式， 得，， 即，， 所以， 所以剩余的10个数的方差为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （1）若，设，，求向量与的夹角的余弦值； （2）若，设，，若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量夹角的坐标运算求解即可； （2）由题意得，，利用向量数量积的运算律可得，解方程即可. 【小问1详解】 若，又，， 所以. 【小问2详解】 若，又，， 所以，， 所以 ， 解得，所以实数的值为． 16. 在三棱锥中，，底面，． （1）求到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过作于，由已知可证平面，利用等面积法求得，进而可得到平面的距离； （2）过作于，连接，由题意可得为直线与平面所成的角，进而计算可求解. 【小问1详解】 过作于，因为底面，底面， 所以，又，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，则的长即到平面的距离. 又，所以，由勾股定理得， 由，可得，所以， 所以到平面的距离为； 【小问2详解】 过作于，连接， 因为底面，平面，所以平面底面， 因为平面底面，平面， 所以平面，所以即直线与平面所成的角， 因为，所以，又， 由，得，解得， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 某学校为提升学生的体育健康素养，要求所有学生完成规定的体育锻炼任务，并获得相应过程性积分．现将某校100名学生的体育健康测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 体育健康测试成绩 体育过程性积分 人数 4 10 3 2 1 23 0 2 （1）估计该100名学生体育健康测试成绩的20%分位数（结果保留整数）； （2）从该校体育过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其体育健康测试成绩记为，上述100名学生体育健康测试成绩的平均值记为． （i）求的最小值，并用含的式子表示（的最小值为各分数段分别取最小值时所求得的平均分）； （ii）若根据表中信息能推断恒成立，求的最小值． 【答案】（1）68 （2）（i）；（ii）7. 【解析】 【分析】（1）先判断 第20% 分位数落在区间，再计算求解；（2）（i）各分数段取最小值时，取得最小值，求出总和的最小值，从而得到的最小值；（ii）条件 “恒成立” 等价于：的最大值 的最小值，即求解不等式 . 【小问1详解】 依题意得，所以， 计算分位数位置：，取从小到大第 20 个观测值 ：2 人， ：23 人，累计； ， 故 20% 分位数落在区间，估计值是， 保留整数，估计100名学生体育健康测试成绩的20%分位数是68； 【小问2详解】 （i）各分数段取最小值时，取得最小值， 分数段最小值是90、80、70、60、0, 总分最小值是， 所以的最小值是； （ii）积分不高于 1 分的学生：区间，成绩最大可取 69； 条件 “恒成立” 等价于：的最大值 的最小值，即 解得， 因为 ，为整数，所以最小值是7. 18. 在四棱锥中，，． （1）证明：二面角是直二面角； （2）若，，． （i）当时，求与平面所成角的正弦值； （ii）设，将二面角的正切值表示为关于的函数，并求的取值范围． 【答案】（1）证明：在上取点，过作,交于, 过作,交于,连接, 则为二面角的平面角， 设， 因为， 所以， 所以，, 同理可得，, 在中，由余弦定理可得： ， 所以为直角三角形，且， 所以， 所以二面角是直二面角； （2）（i）; （ii）；. 【解析】 【分析】（1）在上取点，过作,交于, 过作,交于,连接,由二面角的定义可知为二面角的平面角，设，可得，, ，,在中，利用余弦定理可得，由勾股定理的逆定理可得，即可得证； （2）（i）结合（1）可得平面,则有，根据已知条件可得四边形为边长为1的正方形，进而可得平面,平面，设,连接,由线面角的定义可得是与平面所成角，在中，由正弦的定义求解即可； （ii）结合（i）可得，过作于，过作于，连接,由二面角的定义及线面垂直的判定和性质定理可得是二面角的平面角，从而得,再求出的值，代入即可得的解析式，再根据三角函数的性质求范围即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （i）由(1)可知平面平面， 又因为平面平面, 平面,， 所以平面,平面, 所以， 又因为，， 所以四边形为矩形， 又因为， 所以， 在中，由余弦定理可得 ， 所以且, 所以是直角三角形，, 从而得四边形为边长为1的正方形， 设,连接, 则， 因为,所以, 又因为,平面,, 所以平面, 又平面, 所以, 平面，, 所以平面， 所以是与平面所成角， 又因为,所以, 在中，; （ii）由（i）可知四边形中，, 且平面, 所以, 又因为平面,所以, 因为，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理同理可得： ， 又因为． 所以． 即， 所以， 又因为，所以， 过作于，过作于，连接, 因为平面,平面, 所以平面平面, 又因为平面平面, 平面, 所以平面, 又因为平面， 所以; 又因为，平面,, 所以平面， 又因为平面， 所以, 所以是二面角的平面角， 在中，, 在中，，， 在中，， 所以，， 在中，， 所以, 所以； 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 即. 19. 在如图1所示平面四边形中，，，，，将沿翻折至（图2），其中为动点，连接，令，．点，，分别为，，的中点，点在上且满足，与交于，与交于，连接． （1）证明：平面； （2）当平面平面时，求的值； （3）求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）证明：因为分别为边的中点，所以为的中线，且， 所以为的重心，则， 在中，，， 则，，即， 又因为，所以∽，则， 在中，， 则，故， 又因,则,即为的中点， 故为的中线，且，则为的重心，即， 则，所以在中，， 因为平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两个三角形的重心性质证明，再由对应边成比例推出，从而得到平面， （2）由面面垂直的性质推论将平面垂直关系转化为向量垂直方程，结合基向量分类求解t即可. （3）建立空间直角坐标系，用参数表示点P，求平面AEM的法向量，再将二面角余弦表示成单变量函数，通过单调性求最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当平面平面时，因， 则平面或平面， 设，，， 则，，， 因为，所以， 在中，，， 则由余弦定理，， 所以， 设，在中，，， 则， 又，， ，， 情况一： 若平面， 因为平面，则，即， 即， 即， 即，解得， 将其代入到，即， 解得(负值舍去)，满足， 情况二： 若平面， 因为平面，则，即， 即， 即， 即，解得， 将其代入到，即， 解得(负值舍去)，不满足， 综上所述，当平面平面时，. 【小问3详解】 依题意，以点为坐标原点，以所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设，则，， 两式相减得，代回原式得，则， 则，将代入得， 即，由于，则， 易得平面的法向量为， 因，则，， 设平面的法向量为， 则有，故可取， 设二面角的平面角为，由图可知该二面角为锐二面角， 则， 将代入得， 设，因为，则，此时恒为负数， 则，则， 因为在上单调递减，则在上 单调递减， 所以，则， 即二面角的余弦值的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $