寒假作业11 由动点产生的三角形全等问题（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 由动点产生的三角形全等问题 一、 题型分类（按运动对象划分） 题型类型 核心特征 典型考法 单动点型 一个点在某条线段（或直线）上以固定速度运动，时间决定点的位置，进而改变某一个三角形的边长； 已知点的运动速度和路径，探究运动时间为何值时，动点构成的三角形与某固定三角形全等 双动点型 两个点分别在两条不同线段上同时运动，速度可相同或不同，两条动线段的长度均随变化； 探究为何值时，两个动点与定点构成的两个三角形全等；常伴随“运动方向”“是否同时出发”的条件 三动点型 三个点以固定的速度沿着各自的路线运动； 结合动点运动的距离（速度×时间），探究动点形成的三角形与已知三角形全等的值；多与平行线、直角三角形、等腰三角形结合 二、 核心考点知识 1. 全等三角形的判定与性质 · 必备判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专属），SSA、AAA不能判定全等，这是列方程的核心依据。 · 性质：全等三角形对应边相等、对应角相等，是建立“线段长度等式”的关键。 2. 动点线段的代数式表示 · 基本公式：。 · 两种常见情况： · 点在线段上运动：若线段总长为，点运动速度为，运动时间为，则剩余线段长度。 · 点在直线上运动（可超出线段）：需分“向线段端点方向运动”“向线段外方向运动”讨论，避免漏解。 3. 数学思想的应用 · 分类讨论思想：全等三角形的对应关系不唯一时，必须分情况讨论（如△ABC≌△DEF，可能是AB对应DE、AB对应DF两种情况）。 · 方程思想：根据“对应边相等”列含的一元一次方程，求解时间。 · 数形结合思想：通过画不同运动阶段的图形，直观确定对应边和对应角。 三、 解题技巧（五步解题法） 1. 设：设定变量，标注已知 · 设运动时间为，明确每个动点的运动速度、运动路径（线段/直线）。 · 标注题目中固定线段的长度、固定角的度数（如直角、等边三角形的60°角）。 2. 表：表示线段，写出长度 · 根据，用含的代数式表示所有动线段的长度。 · 若点运动到线段延长线上，需结合图形判断线段长度的表达式（如“总长+vt”或“vt-总长”）。 3. 分：分析对应，分类讨论 · 确定两个三角形的定点和动点，根据全等判定定理，列出所有可能的对应边组合。 · 例：Rt△ABC（∠C=90°）和Rt△DEF（∠F=90°）全等，可能的对应情况为： ① 且； ② 且。 · 关键原则：直角对直角、相等角对相等角，对应角所对的边为对应边。 4. 列：列方程，求解时间 · 针对每一种对应情况，根据“对应边相等”列方程，求解的值。 5. 验：验证结果，舍去无效解 · 把求出的代入线段长度表达式，验证线段长度是否为正数、点是否在运动范围内（如是否在线段上，是否符合题目“运动时间不超过XX秒”的限制）。 · 若某一情况的方程无解，或解出的不符合实际意义，则舍去该情况。 四、 高频易错点 1. 漏分全等的对应情况 · 错误表现：只考虑一种对应关系，忽略其他可能的情况，导致漏解。 · 避免方法：先找相等的角（如直角、已知角），再确定对应边，按“角定边”的原则列出所有组合；可标记对应顶点（如△ABC≌△DEF和△ABC≌△DFE是两种不同情况）。 2. 线段长度表达式错误 · 错误表现：未考虑动点运动方向，统一用“”表示，忽略“剩余长度=总长-vt”或“延长线长度=vt-总长”的情况。 · 避免方法：画动态图，分“点在线段上”“点在线段延长线上”两种状态，分别写表达式；运动前先确定线段的初始长度和动点的起点。 3. 忽略的取值范围 · 错误表现：解出后不验证，导致出现“负数时间”“超出运动路径的时间”。 · 避免方法：明确时间的取值边界，如点从A到B的运动时间，则的范围是；解出的必须在此范围内才有效。 4. 误用SSA判定全等 · 错误表现：在非直角三角形中，用“两边及其中一边的对角相等”列方程求解。 · 避免方法：牢记只有直角三角形的HL能替代SSA，普通三角形必须用SSS、SAS、ASA、AAS判定；列方程前先确认对应关系符合判定定理。 5. 忽略“同时运动”或“先后运动”的条件 · 错误表现：双动点问题中，默认两个点同时出发、同时停止，忽略题目“点A先运动2秒，点B再出发”的条件。 · 避免方法：读题时标记运动的起始时间，若不同时出发，需调整线段长度表达式（如点B的运动时间为）。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 单动点型产生的全等三角形问题 1．如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒． (1)_____________．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，？ (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 3．如图，在△ABC中，AD为高，AC=12．点E为AC上的一点，使CE=AE，连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC． 备用图 (1)求∠BEC的度数； (2)有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒8个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为24？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 题型二 双动点型产生的全等三角形问题 4．我们知道，若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等．如图，已知在中，，D为的中点．若点P在线段上以每秒2个单位长度的速度从点B出发，向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度从点C出发，向点A运动，当点P到达点C停止运动时，点Q也同时停止运动，设运动时间为t（秒）（）． (1) ___________（用含t的代数式表示）． (2)若P，Q两点的运动速度相等，则经过1秒后，与是否全等，请说明理由． (3)若P，Q两点的运动速度不相等，则当点Q的运动速度a为多少时，能够使某时刻与全等？ 5．如图，与相交于点，，，点从点出发，沿方向以的速度往返运动，点从点出发，沿方向以的速度单向运动，两点同时出发，当点返回到点时停止运动，点同时停止运动且正好停留在点，设点的运动时间为． (1)求证：； (2)请用含的式子表示线段； (3)连接，当线段经过点时，求的值． 6．在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，如图①，设点的运动时间为秒． (1)求的面积（用含的代数式表示）； (2)如图②，当点从点开始运动的同时，点从点出发， ①若以的速度沿向点运动（到达点即停），当时，求的值； ②若以的速度沿向点运动（到达点即停），是否存在这样的，使与P、Q、C三点围成的三角形全等?若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型三 三动点型产生的全等三角形问题 7．如图，已知中，，．点在线段以的速度由点向终点运动，同时，点在线段以的速度由点向终点运动，点在线段上以的速度由点向终点运动．当点D，P，Q任意一点到达终点时，三点同时停止运动．当的值为（    ）时，与全等． A．3 B．4 C．5 D．3或5 8．如图，在四边形中，且交于点． (1)证明：； (2)如图2，过点的直线分别交于点，若，求； (3)如图3，若，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向匀速移动，点从点出发，以每秒10个单位的速度沿，作匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为秒．在移动过程中，若与全等，请直接写出点的移动距离． 9．如图，在四边形中，，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿匀速移动，点G从点B出发沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． (1)试证明：． (2)在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有与全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，与全等． 1．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当以、、为顶点的三角形和全等时，的值为（　　） A．1 B．7 C．1或2 D．1或7 2．如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 3．如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动，连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为（    ） A．2或4 B．2或 C．2或 D．2或 4．如图，在中，厘米，，厘米，点D为的中点．点M在线段上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点N在线段上由点C向点A运动．当点M运动到点C或点N运动到点A时，另一个点也停止运动．若点N的运动速度为a厘米/秒，则： （1）运动2秒时， 厘米（用含a的式子表示）； （2）当与全等时，a的值为 ． 5．如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等． 6．已知，，，其中，点P以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动，它们的运动时间为t秒． ①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的有 7．如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 8．如图，在中，高线，，相交于点，，. (1)求的长； (2)是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值.使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 9．【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． 【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒． （1）求线段的长度； （2）线段的长度为 ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为 ；（用含t的代数式表示） （3）当与全等时，求出t的值． 10．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm，当时，________cm． (2)如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 1．如图，在四边形中，，，，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速移动，点G从点B出发，以每秒m个单位长度的速度沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当E点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒． (1)______；______；（用含有t、m的代数式表示） (2)探究与的位置关系，并证明； (3)当和全等时，求m的值． 2．如图①，在中，，，过点C作射线．点M从点B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连接、，设移动时间为． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为　　s； (2)当与全等时，求a的值； (3)如图②，当点M，N开始移动时，点P同时从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿返回．当点M到达点C时，点M，N，P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【问题背景】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3）． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，点C正好落在直线l上，分别作于点F，于点E，则线段之间的数量关系为_______，线段之间的数量关系为_______． （2）如图3，将（1）中的直线l绕点C转动到与相交，其余条件不变．请问之间的数量关系是否发生改变？并说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，当以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等时，直接写出此时t的值． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 由动点产生的三角形全等问题 一、 题型分类（按运动对象划分） 题型类型 核心特征 典型考法 单动点型 一个点在某条线段（或直线）上以固定速度运动，时间决定点的位置，进而改变某一个三角形的边长； 已知点的运动速度和路径，探究运动时间为何值时，动点构成的三角形与某固定三角形全等 双动点型 两个点分别在两条不同线段上同时运动，速度可相同或不同，两条动线段的长度均随变化； 探究为何值时，两个动点与定点构成的两个三角形全等；常伴随“运动方向”“是否同时出发”的条件 三动点型 三个点以固定的速度沿着各自的路线运动； 结合动点运动的距离（速度×时间），探究动点形成的三角形与已知三角形全等的值；多与平行线、直角三角形、等腰三角形结合 二、 核心考点知识 1. 全等三角形的判定与性质 · 必备判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专属），SSA、AAA不能判定全等，这是列方程的核心依据。 · 性质：全等三角形对应边相等、对应角相等，是建立“线段长度等式”的关键。 2. 动点线段的代数式表示 · 基本公式：。 · 两种常见情况： · 点在线段上运动：若线段总长为，点运动速度为，运动时间为，则剩余线段长度。 · 点在直线上运动（可超出线段）：需分“向线段端点方向运动”“向线段外方向运动”讨论，避免漏解。 3. 数学思想的应用 · 分类讨论思想：全等三角形的对应关系不唯一时，必须分情况讨论（如△ABC≌△DEF，可能是AB对应DE、AB对应DF两种情况）。 · 方程思想：根据“对应边相等”列含的一元一次方程，求解时间。 · 数形结合思想：通过画不同运动阶段的图形，直观确定对应边和对应角。 三、 解题技巧（五步解题法） 1. 设：设定变量，标注已知 · 设运动时间为，明确每个动点的运动速度、运动路径（线段/直线）。 · 标注题目中固定线段的长度、固定角的度数（如直角、等边三角形的60°角）。 2. 表：表示线段，写出长度 · 根据，用含的代数式表示所有动线段的长度。 · 若点运动到线段延长线上，需结合图形判断线段长度的表达式（如“总长+vt”或“vt-总长”）。 3. 分：分析对应，分类讨论 · 确定两个三角形的定点和动点，根据全等判定定理，列出所有可能的对应边组合。 · 例：Rt△ABC（∠C=90°）和Rt△DEF（∠F=90°）全等，可能的对应情况为： ① 且； ② 且。 · 关键原则：直角对直角、相等角对相等角，对应角所对的边为对应边。 4. 列：列方程，求解时间 · 针对每一种对应情况，根据“对应边相等”列方程，求解的值。 5. 验：验证结果，舍去无效解 · 把求出的代入线段长度表达式，验证线段长度是否为正数、点是否在运动范围内（如是否在线段上，是否符合题目“运动时间不超过XX秒”的限制）。 · 若某一情况的方程无解，或解出的不符合实际意义，则舍去该情况。 四、 高频易错点 1. 漏分全等的对应情况 · 错误表现：只考虑一种对应关系，忽略其他可能的情况，导致漏解。 · 避免方法：先找相等的角（如直角、已知角），再确定对应边，按“角定边”的原则列出所有组合；可标记对应顶点（如△ABC≌△DEF和△ABC≌△DFE是两种不同情况）。 2. 线段长度表达式错误 · 错误表现：未考虑动点运动方向，统一用“”表示，忽略“剩余长度=总长-vt”或“延长线长度=vt-总长”的情况。 · 避免方法：画动态图，分“点在线段上”“点在线段延长线上”两种状态，分别写表达式；运动前先确定线段的初始长度和动点的起点。 3. 忽略的取值范围 · 错误表现：解出后不验证，导致出现“负数时间”“超出运动路径的时间”。 · 避免方法：明确时间的取值边界，如点从A到B的运动时间，则的范围是；解出的必须在此范围内才有效。 4. 误用SSA判定全等 · 错误表现：在非直角三角形中，用“两边及其中一边的对角相等”列方程求解。 · 避免方法：牢记只有直角三角形的HL能替代SSA，普通三角形必须用SSS、SAS、ASA、AAS判定；列方程前先确认对应关系符合判定定理。 5. 忽略“同时运动”或“先后运动”的条件 · 错误表现：双动点问题中，默认两个点同时出发、同时停止，忽略题目“点A先运动2秒，点B再出发”的条件。 · 避免方法：读题时标记运动的起始时间，若不同时出发，需调整线段长度表达式（如点B的运动时间为）。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 单动点型产生的全等三角形问题 1．如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒． (1)_____________．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，？ (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时， (3)当或时，与全等 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 2．如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或8 (3)的值为2或6或10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，绝对值方程等知识点，解题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形全等的性质． （1）当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）①根据题意即可求解． ②当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出等式求解即可． （3）根据题意分为当点P在边上时和当点P在边上时，根据全等三角形的性质列出等式求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点，， ∴， ∵， ∴； （2）若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图1，当点P在边上时，， ； 故答案为：； ②如图2，当点P在边上时（点P不与点D重合）， 则， ∴， 若， 则，解得：或． （3）解：若点P以每秒个单位长度的速度运动，秒后， 当点P在边上时，与全等时， ∵， 则， ∴，解得：； 当点P在边上时，若与全等， ∵， 则， ∵， ∴，解得：或； 综上，或或． 3．如图，在△ABC中，AD为高，AC=12．点E为AC上的一点，使CE=AE，连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC． 备用图 (1)求∠BEC的度数； (2)有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒8个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为24？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 【答案】(1)90° (2)存在，t=或t= (3)或2 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠CAD，利用三角形内角和得到∠AEO=∠ODB=90°即可； （2）根据全等三角形的性质求出AE=8，CE=4，分两种情况：① 当0<t<1时，Q在线段AE上，② 当t>1时，Q在射线EC上，根据三角形的面积公式列方程求解； （3）由△BDO≌△ADC得到∠BOD＝∠ACD，①当点F在线段BC延长线上时，如图3，当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS），得到2t＝12﹣8t，求解即可；②当点F在线段BC上时，如图4，当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS），列得2t＝8t﹣12，计算即可． 【详解】（1）∵在△ABC中，AD为高， ∴∠ODB=90°， 又∵△BDO≌△ADC， ∴∠OBD=∠CAD， 在△AOE与△OBD中 ∵∠OBD=∠CAD，∠BOD=∠AOE， ∴∠AEO=∠ODB=90°， ∴ ∠BEC=180°-∠AEO= 90° ； （2）∵ △BDO≌△ADC，AC＝12， ∴BO=AC＝12， ∵ AC＝12，CE＝AE， ∴ AE=8，CE=4， ① 当0<t<1时，Q在线段AE上， ∴ S △BOQ =BO×QE= ×12 ×(8-8t) =24， 解得t=；   ② 当t>1时，Q在射线EC上， ∴ S △BOQ =BO×QE= ×12 ×(8t-8) =24， 解得t=；    ∴存在，t=或t=； （3）∵△BDO≌△ADC， ∴∠BOD＝∠ACD， ①当点F在线段BC延长线上时，如图3， ∵∠BOD＝∠ACD， ∴∠AOP＝∠ACF， ∵AO＝CF， ∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS）， 此时，2t＝12﹣8t， 解得：t＝；                                                                  ②当点F在线段BC上时，如图4， ∵∠BOD＝∠ACD， ∴∠AOP＝∠FCQ， ∵AO＝CF， ∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS）， 此时，2t＝8t﹣12， 解得：t＝2； 综上所述，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为或2． 题型二 双动点型产生的全等三角形问题 4．我们知道，若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等．如图，已知在中，，D为的中点．若点P在线段上以每秒2个单位长度的速度从点B出发，向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度从点C出发，向点A运动，当点P到达点C停止运动时，点Q也同时停止运动，设运动时间为t（秒）（）． (1) ___________（用含t的代数式表示）． (2)若P，Q两点的运动速度相等，则经过1秒后，与是否全等，请说明理由． (3)若P，Q两点的运动速度不相等，则当点Q的运动速度a为多少时，能够使某时刻与全等？ 【答案】(1) (2)和全等，理由见解析 (3)当点的运动速度为个单位长度秒时，能够使与全等 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先表示，再由即可求解； （2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等． （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度； 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：和全等，理由如下： ， ， ， ，点为的中点， ． ， 在和中， ； （3）解：点、的运动速度不相等， ， 又与全等，， ，， ∴点，点运动的时间为秒， ． 当点的运动速度为个单位长度秒时，能够使与全等． 5．如图，与相交于点，，，点从点出发，沿方向以的速度往返运动，点从点出发，沿方向以的速度单向运动，两点同时出发，当点返回到点时停止运动，点同时停止运动且正好停留在点，设点的运动时间为． (1)求证：； (2)请用含的式子表示线段； (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3)或． 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，一元一次方程的应用． （1）根据平行线的性质，可得，，根据运动过程可得，从而可证得结论； （2）根据运动过程，按照的取值范围进行分类讨论，分别表示出线段的长度即可； （3）由，可得，根据线段经过点，可得，证明，可得，结合运动过程列方程求解即可． 【详解】（1）证明：设长为， 根据题意可得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ，， 当时，， 当时，， ∴． （3）解：∵ ∴， 当线段经过点时，， 在与中， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴或． 6．在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，如图①，设点的运动时间为秒． (1)求的面积（用含的代数式表示）； (2)如图②，当点从点开始运动的同时，点从点出发， ①若以的速度沿向点运动（到达点即停），当时，求的值； ②若以的速度沿向点运动（到达点即停），是否存在这样的，使与P、Q、C三点围成的三角形全等?若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，的值为；②当或时，与全等 【分析】（1）由题意可得，，求出，再由三角形的面积公式计算即可得出结果； （2）①由题意可得，，，，，则，，由勾股定理可得，，连接，则，再结合，得出，计算即可得出结果；②由题意可得，，则，，分两种情况：当，时，；当，时，，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，如图①，设点的运动时间为秒， ∴，， ∴， ∴的面积； （2）解：①∵在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动（到达点即停），设点的运动时间为秒， ∴，，，，， ∴，， 由勾股定理可得：，， 如图，连接，则， ， ∵， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴当时，的值为； ②∵在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动（到达点即停），设点的运动时间为秒， ∴，， ∴，， 当，时，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∴， 解得：； 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当或时，与全等． 题型三 三动点型产生的全等三角形问题 7．如图，已知中，，．点在线段以的速度由点向终点运动，同时，点在线段以的速度由点向终点运动，点在线段上以的速度由点向终点运动．当点D，P，Q任意一点到达终点时，三点同时停止运动．当的值为（    ）时，与全等． A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是正确分情况讨论． 首先根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为，设运动时间为t，则，，，然后表示出，，，然后根据题意分两种情况讨论：和，然后分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为， 设运动时间为t，则，， ∴，， ∵ ∴ ∴当时 ∴， ∴， ∴， ∴当时 ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去）， 综上所述，当的值为5时，与全等． 故选：C． 8．如图，在四边形中，且交于点． (1)证明：； (2)如图2，过点的直线分别交于点，若，求； (3)如图3，若，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向匀速移动，点从点出发，以每秒10个单位的速度沿，作匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为秒．在移动过程中，若与全等，请直接写出点的移动距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 (3)14或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线等分面积，二元一次方程组的应用，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行得到，然后根据即可证明全等； （2）先得到的面积的面积的面积的面积=，证明，再证明，则的面积的面积，故； （3）设点移动的距离为，由（2）知，则，，故当与全等时，有或，然后分两种情况讨论，列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）证明：∵， .∴， 又∵， ∴； （2）解：由 (1) 得：， ∴的面积的面积，， ∴的面积的面积的面积的面积=， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∴； （3）解：设点移动的距离为， 由（2）知， ∴，， ∴当与全等时， 有或， ①，， ∴当点F由点C到点B，即， 则或 解得：或（舍）， ②当点F由点B到点C，即， 则或， 解得：或 综上所述：与全等的情况会出现3次，此时的移动时间分别是秒、秒、秒，G点的移动距离y分别是14、14、， ∴点的移动距离为14或． 9．如图，在四边形中，，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿匀速移动，点G从点B出发沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．    (1)试证明：． (2)在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有与全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，与全等． 【答案】(1)证明见解析 (2)当点G的运动速度为每秒3个单位长度或个单位长度或1个单位长度时，会有与全等． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，二元一次方程组的解法等，第（2）问解题的关键是利用好三角形全等以及分类讨论的思想． （1）由，，为公共边，所以可证得，所以可知，所以； （2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v， 当时， 若， 则 ， ∴，解得：， ∴； 若，则， ∴， ∴（舍去）； 当时，若， 则， ∴， ∴ ， ∴； 若， 则， ∴， ∴ ， ∴． 答：当点G的运动速度为每秒3个单位长度或个单位长度或1个单位长度时，会有与全等． 1．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当以、、为顶点的三角形和全等时，的值为（　　） A．1 B．7 C．1或2 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：因为，若，， 根据证得， 由题意得：， 所以， 因为，若，， 根据证得， 由题意得：， 解得． 所以，当的值为1或7秒时．和全等． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：，，，，． 2．如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或1.5， 故选：C． 3．如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动，连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为（    ）    A．2或4 B．2或 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】设t秒后，与全等，表示出相应边长，再分，两种情况，根据对应边相等列出方程，解之即可． 【详解】解：设t秒后，与全等， 由题意可得：，，，， ∵与全等，， ∴当时，，， ∴，， ∴，； 当时，，， ∴，， ∴，； ∴a的值为2或， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形综合问题，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解． 4．如图，在中，厘米，，厘米，点D为的中点．点M在线段上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点N在线段上由点C向点A运动．当点M运动到点C或点N运动到点A时，另一个点也停止运动．若点N的运动速度为a厘米/秒，则： （1）运动2秒时， 厘米（用含a的式子表示）； （2）当与全等时，a的值为 ． 【答案】 2a 或3 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间求解； （2）设运动的时间为t秒，根据题意得厘米，厘米，厘米，则厘米，根据全等三角形的判定方法，由于，则当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别解方程组得到a的值． 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：（1）运动2秒时，厘米； 故答案为：2a； （2）设运动的时间为t秒， 根据题意得厘米，厘米，厘米，则厘米， ， 当，时，， 即，， 解得，； 当，时，， 即，， 解得，， 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 5．如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等． 【答案】2或6或8 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， 这时在点未动，因此时间为0秒，不合题意，应舍去； ②当在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； ③当在上，时， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； ④当在上，时，，， ∴点的运动时间为（秒）， 故答案为：2或6或8． 6．已知，，，其中，点P以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动，它们的运动时间为t秒． ①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，； ③若，，时，与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的有 【答案】①②④ 【分析】此题考查了三角形动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置． ①根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断Q；首先求出P 到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据题意分两种情况: 和，然后根据全等三角形的性质列出方程求解即可证明④. 【详解】解：①∵点P 以每秒2 个单位长度的速度，运动时间为秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为t， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示，    当时, 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴和不全等 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴与不垂直，故③错误； ④点时， ∴，即， ，即， 解得，， 当时， ∴，即， ，即， 解得， ∴若与全等，则或， 故④正确， 综上所述，正确的选项为①②④， 故答案为①②④． 7．如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 【答案】1或或12 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论．与全等时，，当P在上，Q在上时，得到；当P、Q在上时，得到；当P在上，Q在上时，然后分类求解即可． 【详解】解：∵于E，于F，， ∴，， ∴， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，， ∴， 解得：； 当P、Q在上时（P、Q重合）， ∵，， ∴， 解得：； 当P在上，Q在上时，即A与Q重合时， ∴． ∴t的值为1或3.5或12； 故答案为1或3.5或12． 8．如图，在中，高线，，相交于点，，. (1)求的长； (2)是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值.使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当秒或4秒时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． （1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用即可证明，根据全等三角形的性质得，即可得； （2）由题意得，，，，分情况讨论：时，，得，进行计算即可得，时，，得，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：、是的高， ， ， ， 在和中，， ， ， ， . （2）解：存在. 理由：由题意得，，， ， ， ， 如图，当时，， ， 解得，； AI 如图，当时，， ， 解得，； 综上所述，当秒或4秒时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等. AI 9．【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． 【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒． （1）求线段的长度； （2）线段的长度为 ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为 ；（用含t的代数式表示） （3）当与全等时，求出t的值． 【答案】【模型学习】见解析；【模型应用】（1）；（2），；（3）1或3 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类思想讨论解决问题是解题的关键． 模型学习：由可证； 模型应用：（1）由勾股定理可求的长，即可求解； （2）由路程速度时间可求解； （3）分和两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． 【详解】模型学习，， ， ， ， ， ， ， ； 模型应用（1）， ， 在中，由勾股定理得：， ； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动， ， 动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向点运动， 当点在线段上运动时，线段的长度为， 故答案为：；； （3）当时，， ， 则， 解得； 当时，， ， 则， 解得， 综上所述：的值为或． 10．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm，当时，________cm． (2)如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 【答案】(1)； (2)或 (3)运动的速度为或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上；当时，，点在线段上，分别求解即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分两种情况进行分析，利用全等三角形的判定与性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当时，点在线段上， ∵点速度为， ∴． 当时，， 点在线段上， ∴． 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点在上时， ， ∴， ． ②当点在上时，    过点作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或； （3）解：①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点P在上，点Q在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或． 1．如图，在四边形中，，，，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速移动，点G从点B出发，以每秒m个单位长度的速度沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当E点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒． (1)______；______；（用含有t、m的代数式表示） (2)探究与的位置关系，并证明； (3)当和全等时，求m的值． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)或2 【分析】（1）根据路程时间速度进行求解即可； （2）只需要证明得到，即可证明； （3）根据（2）可得，则由全等三角形的性质可得或，据此分两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解；由题意得， ∴， 故答案为：，； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，即， ∵与全等， ∴，    或， ， ∴， ①时， ∴，， 解得，， ∴ ②时， ∴， 解得， 综上所述，m的值为或2． 2．如图①，在中，，，过点C作射线．点M从点B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连接、，设移动时间为． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为　　s； (2)当与全等时，求a的值； (3)如图②，当点M，N开始移动时，点P同时从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿返回．当点M到达点C时，点M，N，P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)a的值为4或 (3)存在，t的值为或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定； （1）根据时间＝路程÷速度计算即可； （2）分两种情况：①当，时，两个三角形全等；②当，时，两个三角形全等，分别计算即可； （3）分两种情况：①若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等；②若点M、N的移动速度相同，则，时两个三角形全等；分别计算即可． 【详解】（1）解：点M的运动时间为， 故答案为：5； （2）∵， ∴， ①当，时，两个三角形全等， 此时点M、N的移动速度相同， ∴； ②当点M、N的移动速度不同时， ∴， ∴当，时，两个三角形全等， ∴运动时间， ∴； 综上所述：a的值为4或； （3）①若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，此时； ②若点M、N的移动速度相同，则，时两个三角形全等， ∴或， 解得：（舍去）或， 综上所述，满足条件的t的值为或． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【问题背景】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3）． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，点C正好落在直线l上，分别作于点F，于点E，则线段之间的数量关系为_______，线段之间的数量关系为_______． （2）如图3，将（1）中的直线l绕点C转动到与相交，其余条件不变．请问之间的数量关系是否发生改变？并说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，当以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等时，直接写出此时t的值． 【答案】（1）；（2）发生改变，理由见解析；（3）或或 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质，一元一次方程与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2）发生改变，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时， ∵点E的速度为，点D的速度为， 则， ∵ 即， 则，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时， 则 即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时， 即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $