寒假作业02 全等三角形（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 全等三角形 知识点1：全等三角形的概念和性质 1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。完全重合即形状相同，大小相等。 2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等， 面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 知识点2：全等三角形的判定方法： 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 知识点3：全等三角形的主要模型 图示 已知条件 重要结论 倍长中线模型 是的中线，延长至点,使. 一线三等角模型 上，. 半角全等模型 等腰中，, 点在边上，且,将绕着点逆时针旋转，得到,连接. 手拉手全等模型 等腰,，AB=AC,AD=AE,, 对角互补模型 如图，与互补，是的平分线，过作. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 利用全等的性质计算角的度数 1．如图，，点E在线段上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，若，，则的度数为 度 题型二 利用全等的性质求线段的长 4．如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（   ） A．7 B．5 C．12 D．6 5．如图，在与中，．若，，则的长为 ． 6．如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，． (1)求线段的长． (2)求的度数． 题型三 利用全等证明线段相等 7．如图，点是的边上的一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 8．如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 9．如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 题型四 利用全等证明角相等 10．如图，在中，，D是上一点，连接，以为边作，交的延长线于点H，过点E作，且． (1)若，则______； (2)若，求证：． 11．如图，在中，E是边上一点，平分交的延长线于点P，且，求证：． 12．如图，点、在的边上，点、在的边上，且，，连接，交于点，连接，求证：平分． 题型五 利用“倍长中线”解决问题 13．如图，已知为的中线，，的周长为，则 (1)的周长为多少？ (2)的取值范围是多少？（直接写出答案） 14．【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A．           B．            C．            D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 15．如图，在中，是边上的中线． (1)如图①，延长到点E，使，连接． ①求证：； ②若，则的取值范围是______． (2)如图②，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． 题型六 利用“一线三等角”解决问题 16．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 17．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，∴称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在中，，过点C作直线于点于点E，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，则的长为______． 【深入探究】 （3）如图3，，连接，且于点与直线交于点G．求证：． 18．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图，中，，，直线MN过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到①的位置时，请直接写出、和的数量关系_____． （2）当直线绕点C旋转到②的位置时，请说明、和的数量关系，并证明； 【问题解决】 （3）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口． ，，米，米，求两个出口之间的水平距离． 题型七 添加条件证明全等问题 19．如图，在和中，，，下列条件中利用“”的办法判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 20．如图，点D，E 分别在线段， 上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 21．如图，已知点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，请添加一个你认为正确的条件并完成证明． 解：我添加的条件是________． 理由如下： 题型八 格点中的全等三角形问题 22．如图，网格中每个小正方形的边长都为1．的顶点、、均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： (1)在图1中的上取点，使与面积相等； (2)在图2中取格点，使得（不可与重合）． 23．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． (1)在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1） (2)是格点三角形． ①在图2中画出2个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出2个与全等且有一个公共点的格点三角形． 24．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线； (2)在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积； (3)在图③中画出，使，其中点F不与点A重合． 1．下列命题是真命题的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 2．已知，的周长为，，，则为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，，若，，则的长为（　　） A．13 B．6 C．7 D．20 6．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 7．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A，B的距离．证明的依据是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，若 ，则的长为 ． 9．如图，，若，，则的度数为 度 10．如图，已知线段，射线于点，是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点，则的长为 ． 11．如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 12．如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 13．数学活动实践课上，小辰所在的小组要测量出一栋教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼与旗杆之间选定一点E，测得旗杆顶C的视线与地面夹角，测得楼顶A的视线与地面夹角．已知，，B，E，D在同一条水平线上，且，均与地面垂直，求教学楼的高度． 14．如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 15．如图，，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)延长至点使得，连接交于点，若，求的长． 16．已知，在四边形中，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小李同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小李的解题思路：先证明______；再证明 ，即可得出之间的数量关系为 ． (2)请你借鉴小李的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 17．如图，这是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形． (1)画以为公共边且与全等的格点三角形，最多可以画__________个． (2)在网格中画出所有以为公共边和全等的格点三角形． 18．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游船，他想知道凉亭与这艘游船之间的距离，就制定了如下方案． 课题：测凉亭与游船之间的距离 测量工具：皮尺等 测量方案示意图： 测量步骤： ①小明沿堤岸走到电线杆C处 ②再往前走相同的距离，到达D点 ③他到达D点后向左转90度直行，当看到电线杆与游船在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处... 测量数据：米，米，米 (1)凉亭与游船之间的距离是 米； (2)请你说明小明做法的正确性． 1．回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 2．【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 3．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ， ， ， ，… (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，，连接，直接写出的面积． 4．小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． (1)请补全方案中的空白①_____；②____； (2)请分别说明小刚这两种方案测量的理由； (3)你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 全等三角形 知识点1：全等三角形的概念和性质 1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。完全重合即形状相同，大小相等。 2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等， 面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 知识点2：全等三角形的判定方法： 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 知识点3：全等三角形的主要模型 图示 已知条件 重要结论 倍长中线模型 是的中线，延长至点,使. 一线三等角模型 上，. 半角全等模型 等腰中，, 点在边上，且,将绕着点逆时针旋转，得到,连接. 手拉手全等模型 等腰,，AB=AC,AD=AE,, 对角互补模型 如图，与互补，是的平分线，过作. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 利用全等的性质计算角的度数 1．如图，，点E在线段上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，先由全等三角形的对应角相等得出，再根据角的和差得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 2．如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质．解题的关键在于找出角度的数量关系．根据：，可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，，若，，则的度数为 度 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的性质得到，因此，即可求出的度数． 【详解】解：≌， ， ， ， ． 故答案为：． 题型二 利用全等的性质求线段的长 4．如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（   ） A．7 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质、线段的和与差 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和与差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差得到即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 5．如图，在与中，．若，，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，． (1)求线段的长． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等即可求解； （2）由得到，，再结合三角形内角和求得，再根据角度和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 题型三 利用全等证明线段相等 7．如图，点是的边上的一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）由题意可知，由平行线的性质得出，即可利用证明 ，由全等三角形的性质即可得出． （2）由全等三角形的性质得出，由线段的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）证明：点为边的中点， ． ， ． 在和中， ， ． ． （2）解：由（1）知：， ， ， ． 8．如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 【答案】证明见详解 【知识点】根据三角形中线求长度、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了三角形中线性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质；解题的关键是通过中线倍长法构造全等三角形，利用等腰三角形和平行线的性质推导角与边的关系，从而证明线段倍分关系．先构造倍长中线，再证得；得到对应角相等，对应边相等，推导出，证得，转化线段关系，即可得到． 【详解】 延长至点，使得，连接 ∵是中线，是中线 ∴， ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴，， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（同旁内角互补） ∵， ∴（等边对等角） ∴ ∵ 点共线（是的中线）， ∴（平角定义） ∴ ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴ 9．如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先求得，再证明，即可得出结论； （2）根据，得到，求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 题型四 利用全等证明角相等 10．如图，在中，，D是上一点，连接，以为边作，交的延长线于点H，过点E作，且． (1)若，则______； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据三角形中线求面积． （1）证明，得到，即可得到； （2）证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∴． 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴． 11．如图，在中，E是边上一点，平分交的延长线于点P，且，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据角平分线定义得到，根据条件得到，进而根据全等性质得到，再根据对顶角，即可得证． 【详解】证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，点、在的边上，点、在的边上，且，，连接，交于点，连接，求证：平分． 【答案】证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的定义．连接，利用可得，则； 再利用线段的和差关系得到，结合证得，则； 然后利用得到，再利用全等三角形的性质，结合角平分线的定义可完成证明． 【详解】证明∵在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 题型五 利用“倍长中线”解决问题 13．如图，已知为的中线，，的周长为，则 (1)的周长为多少？ (2)的取值范围是多少？（直接写出答案） 【答案】(1) (2) 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据三角形中线求长度、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了根据三角形中线求长度、倍长中线模型以及三角形三边关系的应用，掌握相关结论即可； （1）由题意得，根据的周长，推出即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证明，得出，；根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴； ∵的周长； ∴； ∴的周长； （2）解：延长至点，使得，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，； 在中，， ∴， ∴； 14．【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A．           B．            C．            D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据中线的性质证得，再由对顶角相等的性质证得，结合，利用全等三角形的判定方法证得； （2）延长至点，使，连接，证得，根据全等三角形的性质证得，再根据三角形的三边关系证得，计算求解即可； （3）延长至，使，连接，根据中线的性质，可证得，进而证得，根据全等三角形的判定方法证得，由全等三角形的性质得到，进而证得即可． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图： 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 15．如图，在中，是边上的中线． (1)如图①，延长到点E，使，连接． ①求证：； ②若，则的取值范围是______． (2)如图②，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）①根据三角形全等的判定定理证明即可；②由全等得到，再由三角形三边关系得到，即可求解； （2）延长到点E，使，连接，根据三角形全等的判定定理，可证得，据此即可解答． 【详解】（1）①证明：是BC边上的中线， ， 在与中 ， ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下 证明：延长到点E，使，连接， 同（1）可证明， ，， ， 在和中， ， ． 题型六 利用“一线三等角”解决问题 16．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】[模型呈现]；[模型应用]；[深入探究]见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K字”模型全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】[模型呈现]解：， ． 故答案为：． [模型应用]解：如图2中， 由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：50． [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 17．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，∴称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在中，，过点C作直线于点于点E，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，则的长为______． 【深入探究】 （3）如图3，，连接，且于点与直线交于点G．求证：． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质： （1）证出，由此可得，故可得； （2）证出，可得，再结合几何关系即可求出； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，同（1）证出，可得，再证出即可． 【详解】解：（1）与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在中，， ∵于点于点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即； （2）如图2所示： 在中，， ， 于点点E， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：6； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，如图3所示： 同（1）证明：， ， ， ∵直线直线于点， 在和中，， ， 18．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图，中，，，直线MN过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到①的位置时，请直接写出、和的数量关系_____． （2）当直线绕点C旋转到②的位置时，请说明、和的数量关系，并证明； 【问题解决】 （3）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口． ，，米，米，求两个出口之间的水平距离． 【答案】（1）；（2）；（3）500米 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形应用等知识，解题的关键是： （1）由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1） 理由：∵， ∴， ∵于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）， 理由：∵于D，于E，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴（米）． 答：两个排污口之间的水平距离为500米． 题型七 添加条件证明全等问题 19．如图，在和中，，，下列条件中利用“”的办法判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；根据题意，找出对应边的夹角，即可求解． 【详解】解：在与中， ， ∴． 故选：C． 20．如图，点D，E 分别在线段， 上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，添加时，利用“”判定即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ，， ∴添加时，可由“”判定， 故答案为：（答案不唯一）． 21．如图，已知点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，请添加一个你认为正确的条件并完成证明． 解：我添加的条件是________． 理由如下： 【答案】或或（答案不唯一）；证明见解析 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．要判定，已知，，具备了两组边对应相等，故添加，利用可证全等．（也可添加其它条件）． 【详解】解：若添加条件：， ∵，， ∴； 若添加条件：， ∵，， ∴； 若添加条件：， 则， 即， ∵，， ∴． 题型八 格点中的全等三角形问题 22．如图，网格中每个小正方形的边长都为1．的顶点、、均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： (1)在图1中的上取点，使与面积相等； (2)在图2中取格点，使得（不可与重合）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质、三角形的中线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取的中点即为点E，根据三角形的中线等分面积即可得与面积相等； （2）可通过网格和勾股定理得，，，再由即可得． 【详解】（1）解：如图1，取的中点，则点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． 23．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． (1)在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1） (2)是格点三角形． ①在图2中画出2个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出2个与全等且有一个公共点的格点三角形． 【答案】(1)6 (2)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、全等三角形综合问题 【分析】（1）利用割补法求解面积即可． （2）①根据三角形全等的判定，②画出图形即可．利用旋转和对称画出图形即可． 【详解】（1）解：如图1中，， 故答案为：6． （2）①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）． ②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线； (2)在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积； (3)在图③中画出，使，其中点F不与点A重合． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、根据三角形中线求面积、画三角形的高 【分析】此题重点考查三角形的高、中线及性质，三角形的面积，全等三角形的判定，利用网格作图等知识与方法，正确地在网格中找到点D、E、F的位置是解题的关键． （1）根据三角形的高的定义作出图形； （2）找到的中点E，连接，则平分的面积； （3）找到点A关于的垂直平分线的对称点F，再连接、即可． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，点F即为所求． 1．下列命题是真命题的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 【答案】C 【知识点】全等三角形的概念、判断命题真假 【分析】本题考查了三角形全等的定义，熟练掌握三角形全等的定义是解题的关键．全等三角形是指能够完全重合的三角形，因此选项C正确，其他选项均不能保证三角形全等． 【详解】解：对于A，形状相同的三角形的对应角相等，但对应边不一定相等，故不一定全等，不符合题意； 对于B，面积相等的三角形底和高可能不同，故不一定全等，不符合题意； 对于C，因为两个三角形全等的定义是它们能够完全重合，所以选项C是真命题，符合题意； 对于D，周长相等的三角形三边组合可能不同，故不一定全等，不符合题意． 故选：C． 2．已知，的周长为，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等，根据全等三角形对应边相等可得：，结合已知周长和边长，直接计算． 【详解】解：， ，， 的周长为，，， ， ， 即， ． 故选：A． 3．如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质．解题的关键在于找出角度的数量关系．根据：，可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题的关键．根据全等三角形的性质，三角形内角和定理可得，再根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：B． 5．如图，，若，，则的长为（　　） A．13 B．6 C．7 D．20 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，先根据全等三角形的对应边相等得出，，再由，将数值代入计算即可求解． 【详解】解：，，， ，， ∴． 故选：D． 6．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 7．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A，B的距离．证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可知两个三角形有两边对应相等，且这两边的夹角也相等，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，已知，若 ，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 故答案为：3． 9．如图，，若，，则的度数为 度 【答案】 【知识点】全等三角形的性质、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的性质得到，因此，即可求出的度数． 【详解】解：≌， ， ， ， ． 故答案为：． 10．如图，已知线段，射线于点，是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 过点作于点，证得，根据等腰直角三角形的性质证得、和，进而证得和，根据全等三角形的性质求得的长即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 、 和都是直角三角形 、、 在和中 ， ， 在和中 故答案为：． 11．如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 12．如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质与平行线的判定，解题的关键是利用全等三角形的对应角相等、对应边相等进行推理计算． （1）利用全等三角形的对应角相等，结合内错角相等判定两直线平行； （2）利用全等三角形的对应边相等，结合线段和的关系求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解： ，， ， ， ， ， ． 13．数学活动实践课上，小辰所在的小组要测量出一栋教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼与旗杆之间选定一点E，测得旗杆顶C的视线与地面夹角，测得楼顶A的视线与地面夹角．已知，，B，E，D在同一条水平线上，且，均与地面垂直，求教学楼的高度． 【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出是解题的关键． 根据题意易得出，进而可求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴教学楼的高度为． 14．如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由得，进而由即可求证； （）根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明平分； （3）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：， ， ， ， 平分； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 15．如图，，，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)延长至点使得，连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，然后根据证明即可； （2）由（1）得，那么，进而得出，证明，则，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， 在和中， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 16．已知，在四边形中，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小李同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小李的解题思路：先证明______；再证明 ，即可得出之间的数量关系为 ． (2)请你借鉴小李的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长至M，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明， 即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：上述结论依然成立． 证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∴． 17．如图，这是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形． (1)画以为公共边且与全等的格点三角形，最多可以画__________个． (2)在网格中画出所有以为公共边和全等的格点三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的性质，三条对应边分别相等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． （1）根据网格的特点画出以为公共边且与全等的格点三角形，即可求解； （2）根据网格的特点画出以为公共边且与全等的格点三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示，即为所求 18．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游船，他想知道凉亭与这艘游船之间的距离，就制定了如下方案． 课题：测凉亭与游船之间的距离 测量工具：皮尺等 测量方案示意图： 测量步骤： ①小明沿堤岸走到电线杆C处 ②再往前走相同的距离，到达D点 ③他到达D点后向左转90度直行，当看到电线杆与游船在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处... 测量数据：米，米，米 (1)凉亭与游船之间的距离是 米； (2)请你说明小明做法的正确性． 【答案】(1) (2)小明的做法正确，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形． （1）根据题意可直接得出凉亭与游船之间的距离等于的长度，即可得解； （2）利用证明即可得出答案． 【详解】（1）解：凉亭与游船之间的距离等于的长度，即为米， 故答案为：； （2）解：小明的做法正确，理由如下： 由题意可知，，，， 在和中， ， ． 米， 即测得的长就是凉亭与游船之间的距离． 因此，小明的做法是正确的． 1．回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】(1) (2)仍成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； （2）解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3）解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 2．【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 3．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ， ， ， ，… (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，，连接，直接写出的面积． 【答案】(1)，补全过程见详解 (2)，理由见详解 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及互余两角的关系、平行线的判定与性质等知识，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ， ， ； （2）解：． 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：的面积为24． 理由如下： 延长，过点作于，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， 延长，过点作于，如图4所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 4．小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． (1)请补全方案中的空白①_____；②____； (2)请分别说明小刚这两种方案测量的理由； (3)你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)方案二 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用，读懂题意，找出全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到答案． （2）证明和全等，即可完成证明． （3）长度测量比角度测量更容易，故方案二更容易操作、测量的结果更准确． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：理由如下， 方案一，在和中， ， ∴， ∴． 方案二，在和中， ， ∴， ∴． （3）解：方案二更容易操作、测量的结果更准确． 2 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $