寒假作业12 等腰三角形的存在性问题（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 等腰三角形存在性问题专题 一、 核心必备知识（解题的基础前提） 1.等腰三角形的核心定义与判定 · 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形（相等的两条边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角）。 · 判定定理（重点）： · 边判定：有两条边相等（直接判定，核心用于计算边长后判断）； · 角判定：有两个角相等（等角对等边），常用于动态问题中，通过角度关系推导边长相等。 2.等腰三角形的性质（解题的关键工具） · 边性质：两腰相等，两底角相等（等边对等角）； · 三线合一（核心性质）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（常用于求线段长度、角度，或构造直角三角形解题）； · 特殊性质：等腰直角三角形的两底角均为45°，斜边是直角边的√2倍；等边三角形（特殊等腰三角形）三边相等、三角均为60°。 3.存在性问题的核心背景（常见考法载体） · 动点背景：点在直线、线段上运动，探究该点与两个定点构成等腰三角形的情况； · 坐标系背景：结合一次函数，利用坐标计算边长（勾股定理），探究等腰三角形的顶点坐标； 4.辅助知识 · 勾股定理：用于计算平面内两点间距离、线段长度（核心工具）； · 方程思想：设未知数（如动点坐标、运动时间t），通过“两边相等”列方程求解； · 分类讨论思想：等腰三角形的“腰和底边”不明确时，必须分情况讨论（核心思想）。 二、 解题方法技巧（分步骤拆解，适配所有题型） 等腰三角形存在性问题的核心解题思路：定定点→分情况→算边长→验合理性，具体步骤如下，结合典型场景说明： 第一步：确定“定点”和“动点”，明确探究对象 先区分题目中的固定点（不再运动的点）和动点（位置随时间、坐标变化的点），明确“哪三个点构成等腰三角形”。 例：已知定点A(1,0)、B(3,0)，动点P在直线y=x上，探究△PAB为等腰三角形时P点的坐标——此处A、B为定点，P为动点，探究△PAB的等腰情况。 关键提醒：若三个点均为动点，先固定其中一个动点的位置，再按“两定一动”分析。 第二步：分类讨论，不重不漏（核心步骤） 等腰三角形的存在性，本质是“有两条边相等”，需按“哪两条边为腰”分三种情况讨论（注意：若有两点固定，部分情况可能重合，需简化）： 设三个点为A、B、P（A、B为定点，P为动点），分三种情况： 1.情况1：AB为腰，且AB=AP（以A为顶角顶点，AB、AP为腰）； 2.情况2：AB为腰，且AB=BP（以B为顶角顶点，AB、BP为腰）； 3.情况3：AB为底边，且AP=BP（以P为顶角顶点，AP、BP为腰，此时P点在AB的垂直平分线上）。 技巧：当AB为定线段时，情况3可优先利用“垂直平分线”性质简化计算（AB的垂直平分线上的所有点，到A、B两点的距离相等）。 第三步：计算边长/坐标，求解动点位置 根据不同情况，结合工具计算动点坐标、运动时间等，常用两种方法： 方法1：坐标法（坐标系背景常用） · 用勾股定理表示边长：若两点坐标为M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，则MN=√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²]； · 列方程：根据“两边相等”，将边长表达式代入，列方程求解动点坐标（注意平方消去根号，简化计算）； · 例：情况1中AB=AP，先计算AB的长度，再表示出AP的长度，令两者相等，解方程求P点坐标。 方法2：几何法（动点在直线/线段上常用） · 构造直角三角形：过动点作底边的垂线，利用“三线合一”性质，将等腰三角形分成两个全等的直角三角形； · 结合已知条件（如角度、固定边长），用三角函数、勾股定理计算动点到定点的距离，进而求动点位置或运动时间t（t=路程÷速度）。 第四步：验证合理性，舍去无效解 求出结果后，必须验证以下2点，避免出现错误解： 1.三点能否构成三角形：确保三个点不共线（若三点共线，无法构成三角形，需舍去该情况）； 2.是否符合题目限制条件：如动点是否在线段上（而非直线上）、运动时间t是否为非负数、边长是否为正数。 三、 高频易错点（重中之重，避免丢分） 1.分类讨论不全面（最核心易错点） · 错误表现：只考虑“某两条边为腰”的一种或两种情况，忽略第三种情况（如只考虑AB=AP，忘记AB=BP和AP=BP）； · 避免方法：牢记“等腰三角形存在性必分三种情况”，哪怕某一种情况无解，也要写出“情况X：XXX，无解”，确保不遗漏；可结合“定顶点”分类（以A、B、P分别为顶角顶点）。 2.忽略“三点共线”的情况 · 错误表现：求出动点坐标后，未验证三点是否共线，导致出现“虚假等腰三角形”（三点共线无法构成三角形）； · 避免方法：求出结果后，简单验证三点是否共线（如坐标系中，三点的斜率是否相等；几何中，是否有两点连线经过第三个点），共线则舍去。 3.边长计算错误（勾股定理应用失误） · 错误表现：坐标系中计算两点间距离时，混淆横纵坐标的差（如误将x₁+x₂当作x₁-x₂）；或忽略根号，直接用平方后的长度相等代替边长相等，导致计算偏差； · 避免方法：牢记两点间距离公式，计算时先写平方形式（避免根号干扰），解方程后再验证边长是否为正；计算完成后，代入原式检验。 4.混淆“腰和底边”，误用等腰三角形性质 · 错误表现：“三线合一”性质误用（如将腰上的中线当作顶角平分线）；或等腰直角三角形中，混淆直角边和斜边（如误将斜边当作直角边计算）； · 避免方法：应用“三线合一”前，先明确“哪条边是底边”（只有底边上的中线、高、顶角平分线才重合）；等腰直角三角形解题时，先标记直角顶点，再区分直角边和斜边。 5.忽略动点的取值范围 · 错误表现：动点在线段上运动时，求出的动点坐标/运动时间t超出线段范围（如线段AB长为5，动点运动速度为1，t=6超出最大运动时间5）； · 避免方法：解题前先确定动点的取值边界（如线段AB的两个端点坐标、最大运动时间t_max=线段长度÷速度），求出结果后，验证是否在边界范围内。 6.未简化重复情况 · 错误表现：当两个定点对称时，部分情况的动点坐标重复（如A、B关于y轴对称，AB=AP和AB=BP的动点坐标可能重复），未舍去重复解； · 避免方法：求出所有解后，对比动点坐标/位置，舍去完全相同的重复解，确保答案唯一。 总结：等腰三角形存在性问题的核心是“分类讨论不遗漏、计算精准不失误、验证合理不丢分”，掌握“定定点→分情况→算边长→验合理性”四步解题法，结合高频模型，可快速突破此类题型。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一次函数与等腰三角形的存在性问题 1．如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D．直线与x轴交于点A，且经过点，直线与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)设点P在上， ①若，求点P的坐标； ②若是以为底边的等腰三角形，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)①或；② 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）代入中，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）①分点在轴上方和轴下方，两种情况进行求解即可；②根据是以为底边的等腰三角形，得到点在的中垂线上，进而得到点的横坐标，代入解析式求出纵坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把，，代入，得： ，解得：， ∴； （2）当时，；当时，； ∴， ∴， ∵， ∴的面积； （3）①当点P在x轴上方时： 则：， ∴， ∴当时，则：， ∴； 当点P在x轴下方时：则：， ∴， ∴当时，则：， ∴； 综上：或； ②当是以为底边的等腰三角形，则：点在的中垂线上， ∵， ∴点的横坐标为：， ∴当时，， ∴ 2．如图1，点的坐标是，垂直于轴于点，是直线在第一象限上的动点，交轴于点． (1)求当点的坐标为时， ①求直线的解析式； ②求的面积； ③为坐标轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标． (2)如图2，是线段上一点，且，取的中点，求的面积． 【答案】(1)①；②9；③， (2) 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式和三角形面积公式： （1）①运用待定系数法求出直线的解析式即可；②联立方程组，求出点的坐标，运用三角形面积公式即可求出的面积；③分点P在x轴上和y轴上两种情况，根据列式求解即可； （2）由中点坐标公式得出，得轴，，由三角形面积公式求出． 【详解】（1）解：①设的解析式为， 把,代入得， ， 解得，， ∴的解析式为； ②联立方程组， 解得， ∴， ∴； ③当点P在x轴上时， 设，则， ∵是等腰三角形底边， ∴则 ∴， 解得， ∴； 当点P在y轴上时，如图， 设，则， ∵是等腰三角形底边， ∴则 ∴， 解得， ∴； 综上，点P的坐标为或； （2）解：∵, ∴， ∵， ∴轴， ∴， ∴． 3．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点一次函数图象经过点，与y轴交于点C，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在y轴上存在一点Q，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为 (2)存在，P点的坐标或 (3)点Q的坐标为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）由得：，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴可有， 解得， ∴A点的坐标； ∵一次函数的图象过点和点 则有， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：存在，理由如下： 设点，对于一次函数，令， 则有， 解得， ∴点， 根据题意可知：， 解得， 当时，， 当时，， ∴P点的坐标或； （3）解：设点， 则， 即， 解得：， 即点Q的坐标为：． 题型二 由动点产生的等腰三角形存在性问题 4．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)_____________，_____________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 【答案】(1)， ； (2)①秒，②见解析 (3)为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形 【分析】（1）设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，即可求解；         （2）① 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ，联立方程即可求解；②根据题意得，联立方程即可； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解. 【详解】（1）解：∵设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为1cm/s，点从点开始沿的方向运动，且速度为2cm/s，，两点同时出发， ∴   故答案为：， ； （2）①当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ∴ 解得：； ∴出发秒后； ②能，当点在上时， ∵，， ∴ 即    解得：秒   ∴当运动的时间为8秒时，能否把的周长平分 （3）当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形   则 ∴ ∴ 解得： ②若是以为底边的等腰三角形 则 解得： 综上所述：为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键. 5．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M、N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M、N两点重合？ (2)当点M、N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M、N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点M与点N重合 (2)存在，此时M，N运动的时间为 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及动点问题的分类讨论与时间范围分析． （1）先确定运动时间的范围，再分析“重合”时的路程关系，最后确定重合位置； （2）先明确“M，N在上”的时间范围，再分析“以为底边的等腰”的条件，最后用“路程”表示和，列出方程求解． 【详解】（1）解：点N运动到点B用时为， 当时，点M在上，点N在上，M与N不可能重合， 当时，点M，N均在上，令， 解得，此时M，N两点重合，且与点C重合， 当时，点M，N在上，且点N始终在点M的前面，不可能重合， 综上，当时，点M与点N重合． （2）解：如图，点M，N在上，连接，， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当点M，N在边上运动时，，． ∵， ∴，解得， ∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰，此时M，N运动的时间为． 6．如图，中，，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达B点时，点M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)当点M、N在上运动时，连接、，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时点M、N运动的时间． 【答案】(1)点M、N运动12秒后重合 (2)当点M、N运动4秒时，是等边三角形 (3)存在，当点M、N运动16秒时，是等腰三角形 【分析】本题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． （1）首先设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于等于，所以只要三角形就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）设点M、N运动t秒后重合， 则， 解得， ∴点M、N运动12秒后重合； （2）设点M、N运动t秒后，是等边三角形， 如图1，，， 当时，是等边三角形， 即， 解得， ∴当点M、N运动4秒时，是等边三角形； （3）能得到以为底边的等腰三角形；理由如下： 如图2， 设点M、N运动t秒， 则，， 假设是等腰三角形， 则，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴当点M、N运动16秒时，是等腰三角形． 1．如图，在中，，，点P从点A出发以的速度向点B运动，点Q从点C同时出发以的速度向点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（   ） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4.2秒 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用；设运动的时间为秒，则有，，由，列方程即可求解；根据等腰三角形的定义得到方程是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为秒，则有，， 是以为底的等腰三角形， ， ， 解得：； 故选：B． 2．如图，在长方形中，，动点P从点A出发，沿运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，t的值为（   ） A．3或5或7 B．4或 C．4或或7 D．4或7 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形，解题关键是熟练掌握利用分类讨论的数学思想解答问题． 当点的运动时间为秒时，分两种情况讨论：①，②，然后根据勾股定理求出长，由此即可解题． 【详解】解：当点的运动时间为秒时，分两种情况讨论： ①当点在上时，， ， ； ， 时，， ②当点在上时，， 同理可得：， ， 时，， 综上可知：当或时，是以为腰的等腰三角形． 故选D． 3．如图，在中，．动点从点出发，沿边，向点运动．在整个运动过程中，点存在（   ）位置，使为等腰三角形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义．分三种情况：，，，分别画出图形，得出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 以点A为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，如图所示：    则， ∴当点P运动到点、位置时，为等腰三角形； 以点C为圆心，为半径画弧，交于点，如图所示：    则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴点与重合； 作线段的垂直平分线，交于点，如图所示：    则此时， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴点与重合； 综上分析可知：点P存在2个位置，使为等腰三角形． 故选：C． 4．如图，O是射线上一点，，动点P从点C出发沿射线以的速度运动，动点Q从点O出发沿射线以的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，t的值为（    ） A．2 B．2或6 C．4或6 D．2或4或6 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质与判定，分两种情况：（1）当点P在线段上时；（2）当点P在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分两种情况：（1）当点P在线段上时， 设t时后是等腰三角形， ∵ ∴ ∴， 即， 解得； （2）当点P在的延长线上时，此时经过时的时间已用， 当是等腰三角形时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即， 解得，， 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为2或6． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键． 5．如图，在中，，．点在的三边上运动，当为等腰三角形时，其顶角的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：如图所示，点P在上时，，顶点为， ，， ， 如图所示，点P在上时，若，顶点为， 如图所示，点P在上时，若，则顶点为， 如图所示，点P在上时，若，则顶点为， 综上所述，顶点为或或， 故选：B． 6．如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（  ） A．5 B．5或8 C． D．4或 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，等边对等角，解题的关键是分情况讨论． 根据题意分情况讨论，分别根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， 根据题意得，， ①当时，， ②当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③若时，点P在延长线上，不符合题意． 综上所述，t的值是5或8． 故选：B． 7．如图，在中，已知：，，，动点从点出发．沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当以为腰的等腰三角形时，的值为（    ） A．5 B．8 C．5或8 D．无解 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出，再分两种情况：当时，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ， 为的腰， 当时，如图，   ， 此时， ， 当时，如图，   ， 此时， ， ， 综上所述：的值为：5或8， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质，采用分类讨论的思想解题，是解决此题的关键． 8．如图，在中，，，，P，Q是边上的两个动点，其中，点P从点A出发，沿的方向运动，速度为每秒，点Q从点B出发，沿的方向运动，速度为每秒，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求的长． (2)出发几秒后，是等腰三角形？ (3)若点Q沿的方向运动，求为等腰三角形时，点Q的运动时间． 【答案】(1) (2)出发后，是等腰三角形 (3)当为或或时，为等腰三角形． 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． （1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）由题意得出，即，解方程即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时，则，易求得；②当时（图3），过点作于点，则求出，，即可得出；③当时，证，得，即可得出． 【详解】（1）解：当时，，， ， ∴； （2）解：根据题意得：， 即， 解得：； 即出发时间为秒时，是等腰三角形； （3）解：分两种情况： 当时，如图2所示： 则， 秒． 当时，如图3所示： 过点作于点， 则 ， ， ， 秒． 当时，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴秒 由上可知，当为或或时，为等腰三角形． 9．如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且． (1)猜想度数，并写出证明过程． (2)如图，点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点在边上从点向点运动，速度为每秒个单位长度（当一点停止运动时，另一点也随之停止），运动时间为秒，在运动过程中：①已知是直角三角形，求的值； ②当为何值时，是等腰三角形． (3)点为坐标轴上一点，当是等腰三角形时，请直接写出这样的点有______个． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①或；② (3) 【分析】（）取点，连接，可证，即得，得到是等边三角形，即可求解； （）①由题意可得，，即得，再分和两种情况，根据直角三角形的性质列出方程解答即可求解；②分点在线段上运动或线段的延长线上运动两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可； （）根据等腰三角形的定义画出点即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，取点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）①∵、， ∴， 由题意得，，， ∴， 当时，∵， ∴， ∴， 即， 解得； 当时，如图，则， ∴， 即， 解得； 综上，当是直角三角形时，的值为或； ②当点在线段上运动时， ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形， ∴，， 解得； 当点在线段的延长线上运动时，如图， ∵， ∴， 当是等腰三角形时，则， 即， 解得， 当时，,不合题意，舍去； 综上，当为时，是等腰三角形； （3）解：如图，当点为顶点时，符合条件的点有个：，；当点为顶点时，符合条件的点有个：，；当点为顶点时，符合条件的点有个：， ∴符合条件的点共有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 10．如图，在中，，，，，点在的延长线上，，作射线（点在点的下方），点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． (1)当时，若是等腰三角形，求的值； (2)求为何值时，是以为腰的等腰三角形； (3)在运动过程中，是否存在的值，使得与全等，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或或时，为等腰三角形 (3)或1或6或 【分析】（1）先求出，再结合是等腰三角形，，得出，进而得出，求解即可； （2）分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可； （3）分两种情况：当时，，；当时，，；分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ∴； （2）解：当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， 当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴； 当时，为等腰三角形， ∵， ∴，即， 解得：； 综上所述，或或时，为等腰三角形； （3）解：∵与全等， ∴当时，，， ∵， ∴当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 当时，，， 当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 综上所述，当与全等时，或1或6或． 1．如图1，在中，于D，且 (1)试说明是等腰三角形． (2)如图2，动点M从点B出发以每秒1 cm的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M运动的时间为t（秒）． ①若的边与平行，求t的值． ②若点E是的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①5或6；②9或10或 【分析】此题是三角综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想． （1）根据题意可得，由勾股定理求出，即可得出结论； （2）①当时，；当时，；得出方程，解方程即可； ②根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：证明：， 则， 在中，， ， 是等腰三角形； （2）①当时，， 即， ， 当时，， 得：， 若的边与平行时，值为5或6． ②点是边的中点，， ， 当点在上，即时，为钝角三角形，但； 当时，点运动到点，不构成三角形， 当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能． 如果，则， ； 如果，则点运动到点， ； 如果， 过点作于，如图所示： ， ， 在中，； ，， 则在中，， ． 综上所述，能成为等腰三角形，值为9或10或． 2．（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值． 【答案】（1）①4②8（2）①5或8②2或 【分析】（1）①由平行线的性质，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可；②根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出等量关系，列方程求解即可； （2）①分三种情况讨论，即可求解，②分两种情况进行讨论，列出关系式，即可求解， 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 【详解】解：（1）①是等边三角形，， ， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：， 解得：， ∴当的值为4时，； ②当点在边上时，    此时不可能为等边三角形； 当点Q在边上时，    若为等边三角形，则， 由题意可知，， ∴， 即：，解得：， ∴当时，为等边三角形； （2）①当时，   ， 为等腰三角形， 当时，，    ∴， ∴， ∴，，为等腰三角形， 当时，   上不存在点P使为等腰三角形， ∴当或8时，为等腰三角形， ②    由题意可知：，， ∴， 若， 则 ∴，， 解得：， 若， 则， ，， 解得：， 综上所述：当全等时，a的值为2或． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． (1)求和的值； (2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；过作于，分点P在上和点P在延长线上两种情况讨论，由三角形面积S与t之间的函数关系式； （3）过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； 当点P在上时， ∵，则，过作于，如图1所示： 则， ∴； 当点P在延长线上时， ∵，则，过作于，如图1所示： 则， ∴； 综上，； （3）解：存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 当时，， ， ； 当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 4．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线以每秒1个单位长度的速度向上平移，平移时交线段于点，交线段于点，当点与点重合时结束运动，设运动时间为． (1)求出直线的关系式； (2)当时，是直线上一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标； (3)如图2，在直线运动过程中，过点作轴交于点，连接，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或2 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的图象与性质，用待定系数法求一次函数的解析式，用面积等式列方程求值，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）把，代入计算即可求解析式； （2）由三角形的面积关系可求点的坐标； （3）先求出直线的解析式为，，即可得到，，，再求出，，，最后由为等腰三角形分情况讨论分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ； （2）解：当时，直线的函数关系式为， 点，点，设点， 点，与轴交于点， ，，， ∴，，， 的面积等于的面积， 当在轴左边时，，则，解得，此时； 当在轴右边时，，则，解得，此时； 综上所述， 或； （3）解：∵直线以每秒1个单位长度的速度向上平移，平移时交线段于点，交线段于点，当点与点重合时结束运动，设运动时间为 ∴直线的解析式为，， ∴，， ∵过点作轴交于点， ∴令，解得， ∴， ∴，，， ∵为等腰三角形 ∴当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得或（舍去）； 综上所述，或或2． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求和的值： (2)若直线与轴相交于点，动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． ①若点在线段上，且的面积为6，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在；t的值为3或或或6 【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可； （2）①根据的面积公式列等式可得t的值； ②存在，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，求t的值即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得： ， 将点代入直线得： ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， 当时，， ， ， 把代入得：，把代入得：， ∴，， ，， ； ①∵动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动， ∴， ∴， 过C作于E，如图1所示： ， ， 的面积为6， ∴， 解得：； ②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下： 过C作于E，如图1所示： ， ，， ∴， ∴， a．当时，， ， ； b．当时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当时，如图3所示： ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴P与E重合， ，， ； 综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为3或或或6． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①7秒；②存在，或或8 【分析】（1）把点代入直线中得：，则点，直线过点C，，； （2）①由题意得：，中，当时，，，，即可求解； ②分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入直线中得：， ∴点， ∵直线过点C， ， 解得； （2）①由题意得：， 中，当时，， 解得， ∴， 中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， 解得， 则t的值7秒； ②设点，点A、C的坐标为：， 当时，则点C在AP的中垂线上，即， 解得：； 当时，则点P在点C的正下方，故， 解得：； 当时， 同理可得：或（舍去） 故：当或或8时，为等腰三角形． 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 等腰三角形存在性问题专题 一、 核心必备知识（解题的基础前提） 1.等腰三角形的核心定义与判定 · 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形（相等的两条边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角）。 · 判定定理（重点）： · 边判定：有两条边相等（直接判定，核心用于计算边长后判断）； · 角判定：有两个角相等（等角对等边），常用于动态问题中，通过角度关系推导边长相等。 2.等腰三角形的性质（解题的关键工具） · 边性质：两腰相等，两底角相等（等边对等角）； · 三线合一（核心性质）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（常用于求线段长度、角度，或构造直角三角形解题）； · 特殊性质：等腰直角三角形的两底角均为45°，斜边是直角边的√2倍；等边三角形（特殊等腰三角形）三边相等、三角均为60°。 3.存在性问题的核心背景（常见考法载体） · 动点背景：点在直线、线段上运动，探究该点与两个定点构成等腰三角形的情况； · 坐标系背景：结合一次函数，利用坐标计算边长（勾股定理），探究等腰三角形的顶点坐标； 4.辅助知识 · 勾股定理：用于计算平面内两点间距离、线段长度（核心工具）； · 方程思想：设未知数（如动点坐标、运动时间t），通过“两边相等”列方程求解； · 分类讨论思想：等腰三角形的“腰和底边”不明确时，必须分情况讨论（核心思想）。 二、 解题方法技巧（分步骤拆解，适配所有题型） 等腰三角形存在性问题的核心解题思路：定定点→分情况→算边长→验合理性，具体步骤如下，结合典型场景说明： 第一步：确定“定点”和“动点”，明确探究对象 先区分题目中的固定点（不再运动的点）和动点（位置随时间、坐标变化的点），明确“哪三个点构成等腰三角形”。 例：已知定点A(1,0)、B(3,0)，动点P在直线y=x上，探究△PAB为等腰三角形时P点的坐标——此处A、B为定点，P为动点，探究△PAB的等腰情况。 关键提醒：若三个点均为动点，先固定其中一个动点的位置，再按“两定一动”分析。 第二步：分类讨论，不重不漏（核心步骤） 等腰三角形的存在性，本质是“有两条边相等”，需按“哪两条边为腰”分三种情况讨论（注意：若有两点固定，部分情况可能重合，需简化）： 设三个点为A、B、P（A、B为定点，P为动点），分三种情况： 1.情况1：AB为腰，且AB=AP（以A为顶角顶点，AB、AP为腰）； 2.情况2：AB为腰，且AB=BP（以B为顶角顶点，AB、BP为腰）； 3.情况3：AB为底边，且AP=BP（以P为顶角顶点，AP、BP为腰，此时P点在AB的垂直平分线上）。 技巧：当AB为定线段时，情况3可优先利用“垂直平分线”性质简化计算（AB的垂直平分线上的所有点，到A、B两点的距离相等）。 第三步：计算边长/坐标，求解动点位置 根据不同情况，结合工具计算动点坐标、运动时间等，常用两种方法： 方法1：坐标法（坐标系背景常用） · 用勾股定理表示边长：若两点坐标为M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，则MN=√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²]； · 列方程：根据“两边相等”，将边长表达式代入，列方程求解动点坐标（注意平方消去根号，简化计算）； · 例：情况1中AB=AP，先计算AB的长度，再表示出AP的长度，令两者相等，解方程求P点坐标。 方法2：几何法（动点在直线/线段上常用） · 构造直角三角形：过动点作底边的垂线，利用“三线合一”性质，将等腰三角形分成两个全等的直角三角形； · 结合已知条件（如角度、固定边长），用三角函数、勾股定理计算动点到定点的距离，进而求动点位置或运动时间t（t=路程÷速度）。 第四步：验证合理性，舍去无效解 求出结果后，必须验证以下2点，避免出现错误解： 1.三点能否构成三角形：确保三个点不共线（若三点共线，无法构成三角形，需舍去该情况）； 2.是否符合题目限制条件：如动点是否在线段上（而非直线上）、运动时间t是否为非负数、边长是否为正数。 三、 高频易错点（重中之重，避免丢分） 1.分类讨论不全面（最核心易错点） · 错误表现：只考虑“某两条边为腰”的一种或两种情况，忽略第三种情况（如只考虑AB=AP，忘记AB=BP和AP=BP）； · 避免方法：牢记“等腰三角形存在性必分三种情况”，哪怕某一种情况无解，也要写出“情况X：XXX，无解”，确保不遗漏；可结合“定顶点”分类（以A、B、P分别为顶角顶点）。 2.忽略“三点共线”的情况 · 错误表现：求出动点坐标后，未验证三点是否共线，导致出现“虚假等腰三角形”（三点共线无法构成三角形）； · 避免方法：求出结果后，简单验证三点是否共线（如坐标系中，三点的斜率是否相等；几何中，是否有两点连线经过第三个点），共线则舍去。 3.边长计算错误（勾股定理应用失误） · 错误表现：坐标系中计算两点间距离时，混淆横纵坐标的差（如误将x₁+x₂当作x₁-x₂）；或忽略根号，直接用平方后的长度相等代替边长相等，导致计算偏差； · 避免方法：牢记两点间距离公式，计算时先写平方形式（避免根号干扰），解方程后再验证边长是否为正；计算完成后，代入原式检验。 4.混淆“腰和底边”，误用等腰三角形性质 · 错误表现：“三线合一”性质误用（如将腰上的中线当作顶角平分线）；或等腰直角三角形中，混淆直角边和斜边（如误将斜边当作直角边计算）； · 避免方法：应用“三线合一”前，先明确“哪条边是底边”（只有底边上的中线、高、顶角平分线才重合）；等腰直角三角形解题时，先标记直角顶点，再区分直角边和斜边。 5.忽略动点的取值范围 · 错误表现：动点在线段上运动时，求出的动点坐标/运动时间t超出线段范围（如线段AB长为5，动点运动速度为1，t=6超出最大运动时间5）； · 避免方法：解题前先确定动点的取值边界（如线段AB的两个端点坐标、最大运动时间t_max=线段长度÷速度），求出结果后，验证是否在边界范围内。 6.未简化重复情况 · 错误表现：当两个定点对称时，部分情况的动点坐标重复（如A、B关于y轴对称，AB=AP和AB=BP的动点坐标可能重复），未舍去重复解； · 避免方法：求出所有解后，对比动点坐标/位置，舍去完全相同的重复解，确保答案唯一。 总结：等腰三角形存在性问题的核心是“分类讨论不遗漏、计算精准不失误、验证合理不丢分”，掌握“定定点→分情况→算边长→验合理性”四步解题法，结合高频模型，可快速突破此类题型。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一次函数与等腰三角形的存在性问题 1．如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D．直线与x轴交于点A，且经过点，直线与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)设点P在上， ①若，求点P的坐标； ②若是以为底边的等腰三角形，请求出点P的坐标． 2．如图1，点的坐标是，垂直于轴于点，是直线在第一象限上的动点，交轴于点． (1)求当点的坐标为时， ①求直线的解析式； ②求的面积； ③为坐标轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标． (2)如图2，是线段上一点，且，取的中点，求的面积． 3．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点一次函数图象经过点，与y轴交于点C，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在y轴上存在一点Q，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 题型二 由动点产生的等腰三角形存在性问题 4．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)_____________，_____________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 5．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M、N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M、N两点重合？ (2)当点M、N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M、N运动的时间；若不存在，请说明理由． 6．如图，中，，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达B点时，点M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)当点M、N在上运动时，连接、，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时点M、N运动的时间． 1．如图，在中，，，点P从点A出发以的速度向点B运动，点Q从点C同时出发以的速度向点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（   ） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4.2秒 2．如图，在长方形中，，动点P从点A出发，沿运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，t的值为（   ） A．3或5或7 B．4或 C．4或或7 D．4或7 3．如图，在中，．动点从点出发，沿边，向点运动．在整个运动过程中，点存在（   ）位置，使为等腰三角形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，O是射线上一点，，动点P从点C出发沿射线以的速度运动，动点Q从点O出发沿射线以的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，t的值为（    ） A．2 B．2或6 C．4或6 D．2或4或6 5．如图，在中，，．点在的三边上运动，当为等腰三角形时，其顶角的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，已知，，，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动．在运动过程中，当为等腰三角形时，点出发的时刻可能的值为（  ） A．5 B．5或8 C． D．4或 7．如图，在中，已知：，，，动点从点出发．沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当以为腰的等腰三角形时，的值为（    ） A．5 B．8 C．5或8 D．无解 8．如图，在中，，，，P，Q是边上的两个动点，其中，点P从点A出发，沿的方向运动，速度为每秒，点Q从点B出发，沿的方向运动，速度为每秒，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求的长． (2)出发几秒后，是等腰三角形？ (3)若点Q沿的方向运动，求为等腰三角形时，点Q的运动时间． 9．如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且． (1)猜想度数，并写出证明过程． (2)如图，点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点在边上从点向点运动，速度为每秒个单位长度（当一点停止运动时，另一点也随之停止），运动时间为秒，在运动过程中：①已知是直角三角形，求的值； ②当为何值时，是等腰三角形． (3)点为坐标轴上一点，当是等腰三角形时，请直接写出这样的点有______个． 10．如图，在中，，，，，点在的延长线上，，作射线（点在点的下方），点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． (1)当时，若是等腰三角形，求的值； (2)求为何值时，是以为腰的等腰三角形； (3)在运动过程中，是否存在的值，使得与全等，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 1．如图1，在中，于D，且 (1)试说明是等腰三角形． (2)如图2，动点M从点B出发以每秒1 cm的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M运动的时间为t（秒）． ①若的边与平行，求t的值． ②若点E是的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 2．（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． (1)求和的值； (2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 4．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线以每秒1个单位长度的速度向上平移，平移时交线段于点，交线段于点，当点与点重合时结束运动，设运动时间为． (1)求出直线的关系式； (2)当时，是直线上一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标； (3)如图2，在直线运动过程中，过点作轴交于点，连接，当为等腰三角形时，求的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求和的值： (2)若直线与轴相交于点，动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． ①若点在线段上，且的面积为6，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $