专题1.5 等腰三角形【导图+知识卡片+知识梳理+17个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦等腰三角形核心知识点，系统梳理等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，以及含30°角直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，构建从基础定义到特殊应用的完整学习支架。 资料含思维导图辅助知识建构，17个题型讲练结合典例与变式，如格点图中画等腰三角形培养几何直观，证明题强化推理意识。中考真题与分层训练设计，课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题1.5 等腰三角形『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+17个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 等腰三角形的性质 2 知识点二 等腰三角形的判定 3 知识点三 等边三角形及其性质 3 知识点四 等边三角形的判定 3 知识点五 含30°角的直角三角形的性质 3 知识点六 直角三角形斜边上的中线 4 题型讲练 4 题型一 等腰三角形的定义 4 题型二 等边对等角 5 题型三 三线合一 6 题型四 格点图中画等腰三角形 8 题型五 找出图中的等腰三角形 9 题型六 根据等角对等边证明等腰三角形 10 题型七 根据等角对等边证明边相等 12 题型八 根据等角对等边求边长 14 题型九 等腰三角形的性质和判定 15 题型十 等边三角形的性质 18 题型十一 等边三角形的判定 20 题型十二 等边三角形的判定和性质 23 题型十三 含30度角的直角三角形 27 题型十四 斜边的中线等于斜边的一半 30 题型十五 直角三角形的两个锐角互余 31 题型十六 锐角互余的三角形是直角三角形 32 题型十七 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 35 中考真题演练 41 难度分层训练 47 【基础夯实】 47 【培优拔高】 58 知识点一 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点二 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点三 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点四 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点五 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 知识点六 直角三角形斜边上的中线 1. 性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 拓展：一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形就是以这条边为斜边的直角三角形．使用该定理可以确定直角三角形． 题型一 等腰三角形的定义 【典例精讲】（24-25八年级上·江西吉安·期中）已知等腰三角形的一边长为2，一边长为5，则该等腰三角形的周长为 _______． 【答案】12 【分析】由等腰三角形有一边长为5，一边长为2，即可分别从若5为腰长，2为底边长与若2为腰长，5为底边长去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①若5为腰长，2为底边长， ∵5，5，2能组成三角形， ∴此时周长为：； ②若2为腰长，5为底边长， ∵， ∴不能组成三角形，故舍去； ∴周长为12． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰三角形两边的长分别为5和7，则此等腰三角形的周长为_____ 【答案】17或19 【分析】分情况进行讨论，同时利用三角形的三边关系进行判断是否可以构成三角形，进行计算即可． 【详解】解：当三角形三边为时， ，可以构成三角形， 则此等腰三角形的周长为； 当三角形三边为时， ，可以构成三角形， 则此等腰三角形的周长为． 题型二 等边对等角 【典例精讲】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在等腰中，，，过点作，过点作于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，两直线平行内错角相等，求出，结合直角三角形，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 题型三 三线合一 【典例精讲】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，，为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， 中，，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最小值， 【变式训练】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线； 又∵， ∴． 题型四 格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 【答案】C 【分析】本题考查网格中的等腰三角形，与三角形有关的计算，根据等腰三角形的定义，结合网格特点，画出，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 由图可知：的面积为或； 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·周测）如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有5个； 当为腰时，分别以、点为圆心，以为半径作弧，可找出格点的个数有3个； ∴这样的点有8个． 故答案为：8． 题型五 找出图中的等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)5，， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图中三角形有，，，，，共5个， 以点 C为顶点的三角形是，． （2）解：∵， ∴，是等腰三角形． 题型六 根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，是的高，请你再添加一个条件使得，这个条件可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．根据等腰三角形的判定与性质得到，，添加，证明为等边三角形得到，进而可得结论． 【详解】解：，是的高， 我，， 添加，可得为等边三角形， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 【分析】本题考查了补角的定义，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质． （1）根据已知条件利用补角的定义得到，再利用等边对等角得出，证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论得到，再由等角对等边可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：是等腰三角形， 理由：由（1）知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型七 根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边等知识，证明是关键． （1）根据平行线的性质得到，再根据已知即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明，则，由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）已知：如图，在中，，，，、交于点． (1)求证：； (2)请判断与的大小关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中，， ； （2）解：， 证明如下：， ， ， ， ， ． 题型八 根据等角对等边求边长 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边， （1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由（1），得，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M和点N，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点D．若，则长为________． 【答案】6 【分析】本题考查基本作图—作角平分线，含30度角的直角三角形，等角对等边． 根据题意，得到平分，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得：平分， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：6． 题型九 等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，在四边形中，平分，，点E在边上，且满足． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是判定． （1）过C作于H，由角平分线的性质推出，判定，推出； （2）由直角三角形的性质求出，由等腰三角形的性质得到，求出，得到，求出，即可得到的度数．． 【详解】（1）证明：过C作于H， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，中，，为的中点，绕点旋转，分别与边交于两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的长为，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由证明即可解决问题． （2）由全等三角形的性质得到，得，即可推出结论． （3）得出即可解决问题． 【详解】（1）证明：中，，点为中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ； （2）证明：， ， ． （3）解：， ， 由（1）知，， 四边形的面积. 题型十 等边三角形的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 【答案】4 【分析】先利用等边三角形的性质可得：，，再根据垂直定义可得：，从而可得，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在等边中，点P，Q在边上，并且满足，作关于直线的对称图形，连接，线段交于点N． (1)当时， ； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明，得到，对称，得到，即可得出结果； （2）证明为等边三角形，即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵对称， ∴； （2）证明：∵为等边三角形， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∵对称， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 题型十一 等边三角形的判定 【典例精讲】（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（    ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据证明即可； ②证明，得出，即可证明； ③根据，得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形； ④根据，得出，，说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴不可能是等边三角形，故③错误；    ④∵， ∴，， ∴点M、B在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故④正确；    综上分析可知，正确的有3个． 【变式训练】（25-26八年级上·四川广元·期末）如图， 在四边形中，，，平分 ，连接． (1)求证：； (2)若，判断的形状， 并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再由三线合一即可证明； （2）先由直角三角形的性质得到，而，再由即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点E为的中点，即； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵，， ∴，， ∵由（1）得，即， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． 题型十二 等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由线段垂直平分线的定义，可得，，可得，利用“”即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，可得，由全等三角形的性质，可得，结合已知可得是等边三角形，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）是等边三角形，是边（端点除外）上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长； (2)如图2，是延长线上的点，，为的中点，连接，．求证：． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)证明见解析 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，，，通过等量代换可得，进而可证明，命题得证； ②作于点，由全等的性质可得，结合含角的直角三角形的性质和勾股定理可计算得，．根据垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，此时，则，最后利用求出； （2）过点作的平行线，交的延长线于点，连接、，容易证明，则，．结合平行与等边三角形的性质可证明，容易判断是等边三角形，由三线合一可证明． 【详解】（1）解：①证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：如图，作于点， 由①可得， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴当点与点重合时，取得最小值，此时， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作的平行线，交的延长线于点，连接、， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 题型十三 含30度角的直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　） A．4米 B．8米 C．12米 D．15米 【答案】C 【分析】给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 即这棵竹子在折断前的高度是米． 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点P在射线上运动，点Q在线段上运动，连接，以为边向右作等边，连接． (1)如图1，当点Q与点C重合，点P在点B右侧时， ①求证：； ②过点M作于H，且，求线段的长； (2)如图2，当点Q与点C不重合，点P在点B左侧，且时，求线段的最小值． 【答案】(1)①见解析②2 (2)3 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余、垂线段最短等知识，通过作辅助线构造全等三角形、确定点的运动路径是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． （1）①可证得，从而得出结果； ②根据题意证明，求出，根据三角函数计算出，即可得到答案； （2）作于D，作射线，作于E，，从而得出，从而得出，故点M在与成的定直线上运动，进一步得出结果． 【详解】（1）①证明：是等边三角形， ， 是等边三角形，点Q与点C重合， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； ②解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， 作于D，作射线，作于E， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点M在与成的定直线上运动， 当点M在E处时，最小， ， 最小值为3． 题型十四 斜边的中线等于斜边的一半 【典例精讲】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 【答案】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，． 在中，，是斜边上的中线， ． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，中，，，D是的中点，则____． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解答即可． 【详解】解：中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴． 题型十五 直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知：中，于A，点F在上，连接，交于点D，， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据“斜边直角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）根据，再结合可得，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，于E，于D．，，______ 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 证明，根据全等三角形的对应边相等即可证得，，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 题型十六 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知：在中，，点是边的中点，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接、． (1)求证：是直角三角形； (2)延长、交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）由点是边的中点和翻折得，则，，结合三角形内角和可证，从而可证是直角三角形； （2）由定理可证，从而得，由翻折得，则，是等边三角形，，由直角三角形的两锐角互余得； 本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵在中，，点是边的中点， ∴， ∵沿直线翻折得， ∴， ∴， ∴，， 在中， ∴， 即， ∴， 即， ∴是直角三角形． （2）如图延长、交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵沿直线翻折得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论； (3)若平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）由题意可知，再利用证明，即可证得结论； （2）由可得，由得，即，可知，证得； （3）由平分得，结合得，由对顶角相等得，通过结合余角定理得，由得，则，可证． 【详解】（1）证明：在与中， ， ， ； （2）解：，证明如下： ， ． ， ， ， ； （3）证明：平分， ， 又， ， ，， ． ， ， ， ． 题型十七 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，，交于点． (1)当点在上，点在上方时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上，点在上方时，如图②；当点在上，点在下方时，如图③，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)图②结论：；图③结论： 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）过点作交于，先判断出，再判断出，进而判断出，得出，，再判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）如图2，同（1）的方法得出，，即可得出结论；如图3，同（1）的方法得出，，即可得出结论； 【详解】（1）证明：如图①，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图②，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图③，过点作交的延长线于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：图②结论：；图③结论：． 【变式训练】（25-26八年级上·四川南充·期末）【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是 ． 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．与交于点，请你在（1）的启发下猜想并验证：判断的大小是否随着的度数变化而变化？如果要变化；请你说理；如果不变化，请求出它的度数． 【拓展运用】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，四边形面积的最大值为18，求的长． 【答案】（1）；（2）固定不变；（3） 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四边形面积的最值问题，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明得到； （2）设与交于点，过作于，于，先证明得到，，再由，，得到，接着证明，得到，则平分，，即固定不变． （3）如图2，在（2）的条件下，，，，根据，得到当最大时，四边形面积最大，由三边关系可知，，即当时，四边形面积最大，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图1，∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴ ∴， 故答案为：； （2）如图2，设与交于点，过作于，于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 即， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∴ ∴的大小不随着的度数变化而变化，固定不变． （3）如图2，在（2）的条件下，，，， ∴，， ∴， ∴当最大时，四边形面积最大，由三边关系可知，， 即当时，四边形面积最大， ∵四边形面积的最大值为18， ∴，解得（负值舍去）， ∵， ∴． 【真题演练1】（2025·安徽六安·中考真题）如图，在中，，，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点且始终有，则线段长的最小值是（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】连接，，设、交于点H，斜边上的中线得到，易得垂直平分线段，三线合一，得到，进而得到点G在射线上，过B作交射线于，垂线段最短，得到当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长，证明，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，，设、交于点H， ∵，G为的中点， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴点G在射线上， 过B作交射线于， 则当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长， ∵，，， ∴， ∴， 即的最小值为6． 【真题演练2】（2025·吉林白山·中考真题）如图，在中，，，过点的直线，与的平分线分别交于点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴． 【真题演练3】（2025·河南周口·中考真题）如图，已知是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作，交于点，交于点，连接，且，则的周长为________． 【答案】 【分析】延长至，使，连接，通过证明、，从而得出，的周长等于的长． 【详解】解：延长至，使，连接，如图所示： 是等腰三角形，且， ， 是边长为的等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【真题演练4】（2025·重庆大足·中考真题）如图，在和中，，，，，连接、，延长交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤．正确的结论序号是______． 【答案】①②③⑤ 【分析】证明即可得正确，由可得，则可得，可得正确，过点作于点，过点作于点，由角平分线的判定可得正确，假设平分，由，则，由条件无法判断，故不正确，先证明，再由，可得，则，可得正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故正确； 由可知，， ∴， 如图，设与交于点， ∵，，， ∴，即，故正确； 如图，过点作于点，过点作于点， 由可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上，即平分，故正确； 假设平分， ∵， ∴， 根据已知条件无法判断，因此假设错误，故不正确； ∵，， ∴， 由可知， ∴， 由可知平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 由可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确的结论序号是． 【真题演练5】（2025·湖南邵阳·中考真题）已知，如图，四边形中，，，在对角线上取点P，使，连接并延长交延长线于点E，过点A作交延长线于点F；求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，再利用即可证明； （2）在上截取，连接，证明，得到，，推出，据此证明即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【基础夯实】 1．如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，列方程求解即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 解得． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，可知；根据角平分线的性质可知，根据等角对等边可知，根据含角的直角三角形的性质，可知，等量代换可知；可知，根据，可得：，所以可得：；由等腰三角形的三线合一可得，所以可知垂直平分线段，进而可得答案． 【详解】解：连接，， 由作法得，， 垂直平分， ，故①正确； ，， ， 由作法得平分， ， ， ， 在中，， ， ，故②正确； 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； ，    ， ， 垂直平分线段，故④正确． 故正确的个数有3个． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中） 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③的周长等于16；④是等边三角形． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】通过旋转可知，，，得，，所以，故①正确，由，，可知是等边三角形，故④正确，因为的周长等于，所以的周长等于16，故③正确，点是边上的一点，位置不确定，所以，角度不确定，故②不正确． 【详解】解：∵在等边三角形中， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴， ∴，故①正确， 又∵，， ∴是等边三角形，故④正确， ∴，， ∴的周长等于， ∴的周长等于16，故③正确， ∵， ∴， ∵点是边上的一点，位置不确定， ∴，角度不确定，故②不正确， 综上：①③④正确． 4．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可． 【详解】∵是等边三角形，是中线， ∴平分；；故①②正确； ∵， 又， ∴， ∴， ∴ ∴，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④． 5．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】由直角三角形的性质可得，由垂直的定义及平角的定义可得，再结合等腰三角形的性质可得，即可证明，再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为： ． 6．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 7．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接， 是等边三角形， ，， ， 平分，， 点是的中点，垂直平分， 点是的中点， ，平分， ， 当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长， ， 垂直平分， ， ， 即． 8．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得，因为，，所以，则，而，可根据“”证明，得，即可解答； （2）由全等三角形的性质得，由，得，而，可根据“”证明，得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的长是6． 9．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】连接，证明，再证明，得到，即可得到结论； 【详解】证明：连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分． 10．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）感知：如图1，平分，，，易知：． (1)探究：如图2，平分，，，求证：． (2)应用：如图3，在四边形中，，，，写出线段，和的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）过点D作于，交的延长线于，证明，即可得到； （2）先证明，再证明，然后得到，即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，过点D作于，交的延长线于， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接、作于，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定证明①正确；再证明，得到，证明，故②错误；设与交于点，证明，得到③正确；根据证明④正确． 【详解】解：，为的角平分线， ， ，故①正确； ， ，故②错误； 设与交于点，如图， ，故③正确； ，故④正确． 2．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】结合等边三角形和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；连接，过分别作于，于，由可知，利用角平分线的判定可证平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等易得，故④正确． 【详解】解：∵，，，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在与中，， ∴， ∴， 故①正确； 又∵，，， ∴， ∴， 故②正确； 连接，过分别作于，于，如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分， 所以③正确； 如图2，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点与交于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④，⑤为等边三角形；⑥若，则，其中正确的结论个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出①正确，全等三角形对应角相等可得，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，判断出②正确，根据全等三角形对应角相等可得，再求出，从而得到，判断出④正确；判断出为等边三角形，判断出⑤正确，根据等边三角形的性质可得，得到，再根据内错角相等，两直线平行可得，判断出③正确；求出，即为，再根据计算即可得解，从而判断出⑥正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴，（故①正确）； ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，（故②正确）； ， ∵， ∴， ∴， ∴，（故④正确）； ∵，， ∴为等边三角形，（故⑤正确）； ∴， ∴， ∴，（故③正确）； ∵， ∴， ∴， ∴，（故⑥正确）； 综上所述，结论正确的是①②③④⑤⑥共6个．故选：D． 4．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．，则的值为_____________． 【答案】 【分析】由角平分线的性质得到，再证，得，然后由等腰三角形的性质以及含30度的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：是的角平分线，，，垂足分别是E、F， ，， 在和中， ， ， ， 又是的角平分线， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在等边中，是上中线且，点D在线段上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 【答案】4 【分析】连接，先证出点在射线上运动（此时满足），再作点关于直线的对称点，连接，得出的最小值为，最后根据三角形全等的判定与性质证出． 【详解】解：如图，连接， ∵在等边中，是上的中线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在射线上运动（此时满足）， 如图，作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∴，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，即的最小值为， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即的最小值为4． 6．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则的值是__________． 【答案】/ 【分析】先通过在上截取构造等边，结合已知的等边和，利用等边三角形的边与角的性质，证明与全等，得到，再结合是中点的条件，推导出，从而确定和的值并计算． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， ∴ ∵为定值， ∴，， ∴． 7．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在中，，是的平分线，M为的中点，交的延长线于E，交于F，则________． 【答案】5.5 【分析】根据平行线的性质，利用“”证明，再根据全等三角形的性质结合等腰三角形的判定与性质进行等量代换求解． 【详解】如图，过点作交的延长线于， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 又，平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 即． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知和是等腰直角三角形，． (1)如图1，若，在的内部，连接，若，求证：是等边三角形； (2)如图2，连接，，若是的中点，求证：； (3)若，将绕点转动，射线与射线相交于点，过点作于点，在和都是锐角的情况下，探究线段，，之间的数量关系 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由得，再计算得，即可证明结论； （2）延长至点，使得，证明得，得，再证明，则； （3）设交于点，证明，再证明，可得．作于点，得，．再证明，可得，，最后进行线段等量替换可得． 【详解】（1）证明： ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）证明：延长至点，使得，如图所示， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：设交于点，如图所示， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ，， ， ， ，即， ． 作于点， 、为、的垂线段， ，同理． ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即． 9．（25-26八年级上·山西运城·期末）图1、图2和图3均是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为．线段的两个端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图： (1)在图1中找一个格点，连接，使得； (2)在图2中找一个格点，连接，，使得是等腰直角三角形；（找到一个点即可） (3)如图3，在线段上找一点，使得（保留适当的画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移的性质画图即可； （2）根据全等三角形的判定及性质可得； （3）根据平行线的性质画图即可. 【详解】（1）解：∵点平移得到， ∴点经过同样的平移得到， ∴， 如图所示：点即为所求； （2）解：如图，∵由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 如图所示：即为所求； （3）解：如图所示，连接，交于点， 则， ∵由上题可知是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 则点即为所求. 10．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，线段上有两点B，E，且，分别以为直角边在线段同侧作，与相交于点G，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据证明，进而利用全等三角形的性质及等腰三角形的判定解答即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 等腰三角形『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+17个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 等腰三角形的性质 2 知识点二 等腰三角形的判定 3 知识点三 等边三角形及其性质 3 知识点四 等边三角形的判定 3 知识点五 含30°角的直角三角形的性质 3 知识点六 直角三角形斜边上的中线 4 题型讲练 4 题型一 等腰三角形的定义 4 题型二 等边对等角 4 题型三 三线合一 5 题型四 格点图中画等腰三角形 5 题型五 找出图中的等腰三角形 6 题型六 根据等角对等边证明等腰三角形 7 题型七 根据等角对等边证明边相等 7 题型八 根据等角对等边求边长 8 题型九 等腰三角形的性质和判定 9 题型十 等边三角形的性质 10 题型十一 等边三角形的判定 10 题型十二 等边三角形的判定和性质 11 题型十三 含30度角的直角三角形 12 题型十四 斜边的中线等于斜边的一半 13 题型十五 直角三角形的两个锐角互余 14 题型十六 锐角互余的三角形是直角三角形 14 题型十七 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 16 中考真题演练 17 难度分层训练 19 【基础夯实】 19 【培优拔高】 22 知识点一 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点二 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点三 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点四 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点五 含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 知识点六 直角三角形斜边上的中线 1. 性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 拓展：一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形就是以这条边为斜边的直角三角形．使用该定理可以确定直角三角形． 题型一 等腰三角形的定义 【典例精讲】（24-25八年级上·江西吉安·期中）已知等腰三角形的一边长为2，一边长为5，则该等腰三角形的周长为 _______． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰三角形两边的长分别为5和7，则此等腰三角形的周长为_____ 题型二 等边对等角 【典例精讲】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在等腰中，，，过点作，过点作于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 题型三 三线合一 【典例精讲】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，，为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 【变式训练】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型四 格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·周测）如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 题型五 找出图中的等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 题型六 根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，是的高，请你再添加一个条件使得，这个条件可以是___________． 【变式训练】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 题型七 根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）已知：如图，在中，，，，、交于点． (1)求证：； (2)请判断与的大小关系并证明． 题型八 根据等角对等边求边长 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【变式训练】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M和点N，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点D．若，则长为________． 题型九 等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，在四边形中，平分，，点E在边上，且满足． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【变式训练】（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，中，，为的中点，绕点旋转，分别与边交于两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的长为，求四边形的面积． 题型十 等边三角形的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在等边中，点P，Q在边上，并且满足，作关于直线的对称图形，连接，线段交于点N． (1)当时， ； (2)求证：． 题型十一 等边三角形的判定 【典例精讲】（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（    ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（25-26八年级上·四川广元·期末）如图， 在四边形中，，，平分 ，连接． (1)求证：； (2)若，判断的形状， 并说明理由． 题型十二 等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）是等边三角形，是边（端点除外）上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长； (2)如图2，是延长线上的点，，为的中点，连接，．求证：． 题型十三 含30度角的直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　） A．4米 B．8米 C．12米 D．15米 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点P在射线上运动，点Q在线段上运动，连接，以为边向右作等边，连接． (1)如图1，当点Q与点C重合，点P在点B右侧时， ①求证：； ②过点M作于H，且，求线段的长； (2)如图2，当点Q与点C不重合，点P在点B左侧，且时，求线段的最小值． 题型十四 斜边的中线等于斜边的一半 【典例精讲】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，中，，，D是的中点，则____． 题型十五 直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知：中，于A，点F在上，连接，交于点D，， (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，于E，于D．，，______ 题型十六 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知：在中，，点是边的中点，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接、． (1)求证：是直角三角形； (2)延长、交于点，当时，求的度数． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论； (3)若平分，求证：． 题型十七 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，，交于点． (1)当点在上，点在上方时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上，点在上方时，如图②；当点在上，点在下方时，如图③，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 【变式训练】（25-26八年级上·四川南充·期末）【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是 ． 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．与交于点，请你在（1）的启发下猜想并验证：判断的大小是否随着的度数变化而变化？如果要变化；请你说理；如果不变化，请求出它的度数． 【拓展运用】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，四边形面积的最大值为18，求的长． 【真题演练1】（2025·安徽六安·中考真题）如图，在中，，，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点且始终有，则线段长的最小值是（   ） A． B．6 C． D．9 【真题演练2】（2025·吉林白山·中考真题）如图，在中，，，过点的直线，与的平分线分别交于点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·河南周口·中考真题）如图，已知是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作，交于点，交于点，连接，且，则的周长为________． 【真题演练4】（2025·重庆大足·中考真题）如图，在和中，，，，，连接、，延长交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤．正确的结论序号是______． 【真题演练5】（2025·湖南邵阳·中考真题）已知，如图，四边形中，，，在对角线上取点P，使，连接并延长交延长线于点E，过点A作交延长线于点F；求证： (1)； (2)． 【基础夯实】 1．如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·四川成都·期中） 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③的周长等于16；④是等边三角形． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 5．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 6．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 7．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 8．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 9．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，，，求证：平分． 10．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）感知：如图1，平分，，，易知：． (1)探究：如图2，平分，，，求证：． (2)应用：如图3，在四边形中，，，，写出线段，和的数量关系．并说明理由． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 3．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点与交于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④，⑤为等边三角形；⑥若，则，其中正确的结论个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．，则的值为_____________． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在等边中，是上中线且，点D在线段上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 6．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则的值是__________． 7．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在中，，是的平分线，M为的中点，交的延长线于E，交于F，则________． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知和是等腰直角三角形，． (1)如图1，若，在的内部，连接，若，求证：是等边三角形； (2)如图2，连接，，若是的中点，求证：； (3)若，将绕点转动，射线与射线相交于点，过点作于点，在和都是锐角的情况下，探究线段，，之间的数量关系 9．（25-26八年级上·山西运城·期末）图1、图2和图3均是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为．线段的两个端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图： (1)在图1中找一个格点，连接，使得； (2)在图2中找一个格点，连接，，使得是等腰直角三角形；（找到一个点即可） (3)如图3，在线段上找一点，使得（保留适当的画图痕迹，不写画法）． 10．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，线段上有两点B，E，且，分别以为直角边在线段同侧作，与相交于点G，且． 求证：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull