第16讲 等腰三角形（复习讲义，4考点9题型3重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦等腰三角形专题，覆盖等腰三角形性质判定、分类讨论、轴对称结合及等边三角形等中考核心考点，以“定义-性质-判定-应用”逻辑构建知识网络，通过考点解析、易错点提示、真题训练等环节帮助学生突破分类讨论、三线合一应用等难点。 亮点在于命题预测精准与分层突破设计，如结合北京卷考情聚焦三线合一与角平分线综合题，通过“旋转构造等边三角形”等重难突破案例培养几何直观与推理意识。分层练习涵盖基础巩固到全国新趋势题，配合5分钟微专题训练，助力学生高效提升应考能力，为教师提供精准复习节奏把控依据。

第四章 三角形 第16讲 等腰三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 18 命题点一 等腰三角形的基本概念与性质 题型01等腰三角形的定义 题型02等边对等角 题型03三线合一 命题点二 等腰三角形的判定定理 题型01根据等角对等边证明等腰三角形 题型02根据等角对等边证明边相等 题型03根据等角对等边求边长 题型04直线上与已知两点组成等腰三角形的点 命题点三 等边三角形 题型01等边三角形的性质 题型02等边三角形的判定 05·重难突破·思维进阶难 57 突破一 等腰三角形的性质和判定 突破二 旋转与等边对等角 突破三 等边三角形的判定和性质 06·优题精选·练能提分 77 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一） 北京卷T7（等腰三角形的性质） 北京卷T27（等腰三角形的性质） 北京卷T15,T27（等腰三角形的性质） 1. 掌握等腰三角形“等边对等角”的性质；2. 理解并应用“三线合一”（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）的性质； 3. 能利用性质进行角度、线段的计算与证明。 等腰三角形的判定（等角对等边） 北京卷T7（等腰三角形的判定） 北京卷T27（等腰三角形的判定） 北京卷T15,T27（等腰三角形的判定） 1. 掌握等腰三角形“等角对等边”的判定方法； 2. 能结合角平分线、平行线等知识判定等腰三角形； 3. 能在图形变换（平移、旋转、折叠）中识别等腰三角形。 等腰三角形的分类讨论（边长、角度） / / / 1. 理解等腰三角形中边长、角度的不确定性； 2. 掌握分类讨论的思想方法，解决等腰三角形的周长、角度计算问题； 3. 能结合平面直角坐标系分析等腰三角形的存在性。 等腰三角形与轴对称的结合 / / / 1. 理解等腰三角形是轴对称图形，掌握其对称轴的特征； 2. 能利用轴对称的性质解决等腰三角形的折叠问题； 3. 能通过轴对称构造等腰三角形，解决线段和差最值问题。 命题预测 1. 等腰三角形“三线合一”的性质应用，尤其是与角平分线、垂直平分线的结合； 2. 分类讨论思想的考查，腰与底、顶角与底角的不确定情况是高频易错点； 3. 等腰三角形与轴对称的结合，折叠问题和线段最值问题仍是考查热点； 4. 网格背景下的等腰三角形判定与构造，强调几何直观能力。 考点一 等腰三角形的基本概念与性质 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边称为腰，另一边称为底边；两腰的夹角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角。 2. 核心性质（中考必考） 性质内容 具体说明 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（即 ） 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（关键性质，证明线段/角相等、垂直的核心依据） 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在直线） 3. 特殊性质补充 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等； 等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高（面积法可证）。 易错点提示 混淆“三线合一”的适用条件：仅针对底边上的中线、高和顶角平分线，腰上的中线/高与顶角平分线不重合； 应用“等边对等角”时，忽略前提是“在同一个等腰三角形中”。 1．（2025·北京·模拟预测）两个直角三角板如图放置，其中，，，若点在边上，的中点恰好落在边上，则下列三角形是等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判断和性质，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用． 利用等腰直角三角形的性质，等边三角形的判断和性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理逐项判定即可． 【详解】解：∵，且点为的中点， ， ∴为等腰三角形，B选项符合题意； ， 是等边三角形，， ，， ，， 在中，没有相等的角，所以该三角形不是等腰三角形，A选项不符合题意； 在中，没有相等的角，所以该三角形不是等腰三角形，D选项不符合题意； ， 在中，没有相等的角，所以该三角形不是等腰三角形，C选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·北京·模拟预测）如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接； （2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（    ） A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B． C． D．是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的不等关系，等腰三角形的判定．根据题干中的作图步骤即可判断各选项． 【详解】解：A．由作法知：， ∴，故A不正确； B．由作法知：， 由三角形三边关系得，故B不正确； C．不能证明，故C不正确； D．由作法知，点在圆O上，则， ∴是等腰三角形，故D正确． 故选：D． 3．（2025·北京通州·一模）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作交的延长线于点，连接，那么的度数（    ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．不变 D．随着的增大，先增大后减小 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是定值，不变 故选：C． 考点二 等腰三角形的判定定理 判定等腰三角形的核心是证明两边相等或两角相等，中考常结合全等三角形、角平分线性质考查。 定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形（即 ，中考高频判定方法）； 拓展判定：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（可间接判定等腰三角形）。 易错点提示 用“等角对等边”判定时，需明确角与边的对应关系，避免张冠李戴； 忽略三角形内角和限制，如已知两角为100°和40°，误判为等腰三角形（100°只能为顶角）。 1．（2025·北京海淀）如图，中，平分，交于点，若，，则长度为（    ） A．4.5 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边是解答的关键． 先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，然后进行线段的和与差即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 2．（2025·北京延庆）在几何的学习中，我们常常在学习了图形的性质后，通过研究其逆命题得到图形的判定方法．在学习完等腰三角形的判定之后，小明根据“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合”这个性质定理，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？ 小明画出图形，经过分析找到了两种解决问题的方法． 如图，在中，平分，且点是的中点．求证：． 方法一 方法二 证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． 证明：延长到，使得，连接． 请你从两种方法中任选一个，完成证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键： 方法一：角平分线的性质，得到，中线得到，证明，得到，进而得到，即可得证； 方法二：证明，得到，，进而求出，进而得到，进而得到，即可． 【详解】方法一：证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． ∴， ∵平分， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：证明：延长到，使得，连接． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·北京通州）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点O，且，分别交于点M、N，则的周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质．根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得：的周长，即可解答． 【详解】解：、分别是、的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：7． 考点三 等边三角形 等边三角形是中考的高频考点，常以计算、证明题形式出现，需掌握其特殊性质与判定。 1. 定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 2. 性质（兼具等腰三角形性质，且更特殊） 三边相等，三角都相等，且每个角都等于 60°； 每条边上的中线、高和所对角的平分线都互相重合（三线合一）； 是轴对称图形，有 3条 对称轴（每条边的垂直平分线）。 3. 判定方法（中考必考） 判定类型 具体条件 定义判定 三边都相等的三角形是等边三角形 角度判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 特殊判定 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形（北京中考高频考点） 1．（2025·北京·模拟预测）在中，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接并延长交的平分线于点E，连接． (1)如图1，若，得______； (2)如图2，若， ①判断形状，并证明； ②过点C作平行线，过点D作平行线，两条平行线相交于点F，过点F作于点H． 依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①是等边三角形，证明见解析；②见解析，，证明见解析 【分析】（1）设，则，，证明得到，再由三角形外角的性质即可得到答案； （2）①同理可得，再证明，得到，则，即可证明是等边三角形；②先根据题意作图，连接，证明四边形是平行四边形，得到，证明是等边三角形，得到；进一步证明，得到，则可证明，进而可证明 【详解】（1）解：由旋转的性质可得， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①是等边三角形，证明如下： 由旋转的性质可得， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②补全图形如下，，证明如下： 如图所示，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定和三角形外角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2025·北京石景山·一模）如图，等边中，于点D，点E在上，的垂直平分线交于点P，连接．若，，则四边形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，先利用等边三角形的性质可得，，从而可得，，然后在中，利用含30度角的直角三角形可得，再利用线段垂直平分线的性质可得：，最后利用四边形的周长公式进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， 四边形的周长 ， 故答案为：． 3．（2025·北京密云·一模）如图，等边三角形的边长为a，分别以A，B，C为圆心，以长为半径作弧，得到三段相等的弧，，，将，，组成的图形称为“洛尔三角形”．设的中心为O．下列说法中： ①“洛尔三角形”上任意一点到O的距离相等； ②将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合； ③“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，长为半径的半圆的周长； ④若P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点，则的最大值是a． 所有正确说法的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了求弧长，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质求解，解题关键是理解“洛尔三角形”的定义． 根据的圆心与的中心不同，可判断①；根据各条弧绕点O按逆时针方向旋转后，找到旋转后的弧即可判断②；分别求出“洛尔三角形”的周长和长为半径的半圆的周长，就可判断③；根据“洛尔三角形”任一边的圆心到这一边的最远距离可判断④． 【详解】解：∵是以点C为圆心，的中心为O， ∴点O为的垂直平分线上的点与点C为不同的点， ∴上的点到点O的距离不相等，故①错误； ∵绕点O按逆时针方向旋转后与重合， 绕点O按逆时针方向旋转后与重合， ∴将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合，故②正确； ∵“洛尔三角形”的周长等于，长为半径的半圆的周长为， ∴“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，AB长为半径的半圆的周长，故③正确； ∵，，都是以a为半径的圆弧，P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点， ∴“洛尔三角形”任一边的圆心到这一边的最远距离为a， ∴的最大值是a，故④正确． 综上所述，正确说法的序号是②③④． 故选： C． 考点四 等腰三角形的常见计算与解题方法 1. 角度计算（分类讨论是关键） 已知一个角求另外两个角 若已知角为顶角：底角 = 顶角； 若已知角为底角：顶角 = 底角； 注意：已知角若大于等于90°，则该角必为顶角（底角不能大于90°）。 结合外角、平行线性质计算：利用等腰三角形底角相等、三角形外角等于不相邻两内角和解题。 2. 边长计算与周长求解（需结合三边关系） 已知两边求周长：分两种情况（腰或底边），再根据三角形三边关系验证是否成立； 例：已知等腰三角形两边长为3和5，周长为 或 ； 结合勾股定理计算：等腰三角形底边上的高将三角形分成两个全等的直角三角形，用勾股定理求高或边长。 3. 证明线段/角相等的核心思路 利用“三线合一”直接证明线段相等或垂直； 证明三角形全等，结合等腰三角形性质推导； 利用线段垂直平分线、角平分线的性质转化线段关系。 1．（2025·北京西城）如图，在中，于平分，则 ，若点是线段的中点，则 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等角对等边、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据平行四边形的性质可得、、，则；根据角平分线的定义以及等角对等边可得，则；再运用勾股定理可得、，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴． 故答案为：3，． 2．（2023·北京顺义·二模）如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为 ．    【答案】10 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，进一步可得，，可得，，进一步可得的长． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键． 3．（2024·北京海淀）如图，ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，根据角分线与垂线，三角形全等判定与性质，三角形中位线定理和矩形的判定和性质解答即可． 【详解】解：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H， ∵AE平分∠GAC， BD⊥AE， ∴∠BAD=∠HAD，∠ADB=∠ADH=90° 在△ADB和△ADH中， ∴△ADB≌△ADH（ASA） ∴BD=HD， ∵F为BC的中点， ∴BF＝CF，BD＝HD，， ∴DF∥CH，即DF∥AC，故①正确， ∵AE平分∠GAC， CE⊥AE， ∴∠GAE=∠CAE，∠AEG=∠AEC=90° 在△AGE和△ACE中， ∴△AGE≌△ACE（ASA） ∴GE=CE， ∴DF＝CH， ∵GE＝CE，BF＝CF， ∴EF＝BG， ∵GB＝AB﹣AG＝AH﹣AC＝CH，即GB＝CH， ∴GB＝CH，即EF＝DF， 故②正确， ∴AB﹣AC＝AB﹣AG＝BG， 过G作GI⊥BH于I， ∵∠GED＝∠EDI＝∠GID＝90°， ∴四边形GIDE是矩形， ∴GI＝ED， ∴BG＞GI＝ED， ∴AB﹣AC＞DE，故③错误； ∵EF∥BG，DF∥HC， ∴∠FED＝∠BAD，∠FDE＝∠HAD， ∴∠FED+∠FDE＝∠BAD+∠HAD＝∠BAC， ∵∠FED+∠FDE+∠EFD＝180°， ∴∠BAC+∠EFD＝180°， 故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线，垂线，三角形全等判定与性质，三角形中位线，矩形判定，直角三角形中斜边大于直角边，三角形内角和，掌握角平分线，垂线，三角形全等判定与性质，三角形中位线，矩形判定，直角三角形中斜边大于直角边，三角形内角和是解题关键． 命题点一 等腰三角形的基本概念与性质 ►题型01 等腰三角形的定义 1.概念混淆：误将等边三角形排除在等腰三角形范畴外，忽略等边三角形是特殊的等腰三角形（等腰定义为“有两条边相等”，等边三条边都相等，满足定义）。 2.定义与判定倒置：把“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的判定定理，当作等腰三角形的定义（定义核心是两条边相等，角相等是性质/判定，非定义）。 3.边的界定错误：混淆“腰”与“底边”的概念，或漏记定义的核心条件“两条边相等”，表述成“有相等边的三角形”（未明确数量，易误解）。 4.前提疏漏：忽略定义的“三角形”前提，误将非三角形图形（如四边形）中相等的边当作等腰判定依据。 【典例】（2025·北京门头沟）学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手讲：“另两条边长为3、6或4.5、4.5”，你认为小明回答是否正确： ，理由是 ． 【答案】 不正确 3，3，6不能组成三角形 【分析】本题分成两种情况，当3为底边时或当3为腰时，分情况讨论即可． 【详解】解：当3为底边时，另两边为4.5、4.5， 当3为腰时，另两边为3、6，但是3+3=6，所以不能组成三角形，所以另两边只能为4.5、4.5， 故小明回答不正确，理由是3，3，6不能组成三角形， 故答案为：不正确；3，3，6不能组成三角形． 【点睛】本题考查，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，能够熟练应用等腰三角形的性质是解决本题的关键． 【变式1】（2023·北京丰台）如图所示的网格是正方形网格，则 （点A，B，C，D，E是网格线交点）． 【答案】 【分析】连接AD，计算证明△ADC是等腰直角三角形，证明∠BAC+∠CDE=∠ACD，即可求解． 【详解】连接AD，如图： ∵，，， 即， ∴△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC， ∴∠ACD， ∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF， ∴∠BAC+∠CDE=∠ACF +∠DCF=∠ACD， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（2024·北京一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60°，则顶角的度数是（    ） A．30° B．30°或150° C．60°或150° D．60°或120° 【答案】B 【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC， ∴∠A=90°-60°=30°， ∴三角形的顶角为30°； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC， ∴∠BAD=90°-60°=30°， ∵∠BAD+∠BAC=180°， ∴∠BAC=150° ∴三角形的顶角为150°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键． 题型02 等边对等角 1.适用范围误用：将“等边对等角”套用在非等腰三角形上，忽略该性质仅适用于等腰三角形的前提。 2.边角对应错位：在等腰三角形中，找错相等边对应的角，混淆腰与底、底角与顶角的对应关系。 3.性质判定倒置：把“等边对等角”（边相等→角相等，性质）与“等角对等边”（角相等→边相等，判定）的因果逻辑搞反。 4.多等腰图形混淆：复杂图形中存在多个等腰三角形时，交叉套用性质，张冠李戴对应边角。 5.等边三角形疏漏：忽略等边三角形是特殊等腰三角形，误用“等边对等角”推导时，漏记三角均为60°的结论。 【典例】（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，点P为平面内一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，使得，连接，，． (1)如图1，当点P在内部时，求证：； (2)如图2，当点P在所在直线上方时，与交于点F，若，F是的中点，求证∶． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）通过“”证明即可得证； （2）取的中点M，连接，先证明，得到，再由，得到，进而证明，得到，由得到，即可证明，得到，因此，得到，最后由即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵由旋转有， 又， ∴， ∴ （2）证明：取的中点M，连接， 由旋转可得， ∵， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】（2025·北京海淀）如图，在中，，，过点做，点在点的左侧，是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，过点作交于点，平分交于点，交于点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由题意得，再利用证明即可得结论； （2）过点作垂直于延长线于，连接，由（1）可知，根据勾股定理可得，由（1）可知，则，即为的中点，可得，可知，，，得，再证，结合，可证，进而证得，得，由，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴； （2），证明如下： 过点作垂直于延长线于，连接， 由（1）可知， ∵，， ∴，则， ∵，则， ∴， 在中，， ∴， 由（1）可知，则，即为的中点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解决问题的关键． 【变式2】（2025·北京·模拟预测）如图，在中，．D为边上一点，，连接，过点A作的垂线，交于点E，交于点F，点E关于直线的对称点为点G，连接并延长交于点H． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）按照题目补图即可； （2）连接，根据轴对称的性质和全等三角形的判定与性质可得出，，根据三角形内角和定理和对顶角的性质可求出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，然后根据三角形外角的性质即可求解； （3）过C作交于M，根据证明，得出，根据（2）中，得出，结合对顶角的性质可得出，根据证明，得出，根据线段的和差关系可求出，根据勾股定理求出，即可得证． 【详解】（1）解∶补全图形如图所示： ； （2）解：连接， ∵E、G关于对称， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：， 理由：过C作交延长线于M， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，数形结合，构造全等三角形是解题的关键． ►题型03 三线合一 1.适用范围误判：将“三线合一”套用在腰上的中线、高或角平分线，忽略其仅适用于等腰三角形底边上的三条线。 2.前提条件缺失：忘记“等腰三角形”的核心前提，对普通三角形错误使用该性质。 3.概念理解偏差：误认为“三线”是三条独立的线，忽略其本质是同一条线同时具备中线、高、角平分线的三重属性。 4.逻辑因果倒置：看到某条线是高就直接判定为中线或角平分线，未先确认三角形为等腰三角形。 5.等边三角形疏漏：忽略等边三角形作为特殊等腰三角形，每条边上的三线都合一，或混淆其三线数量与等腰三角形的区别。 【典例】（2024·北京西城）如图，等腰三角形的顶角平分线交于，，，则底边长为 ． 【答案】6． 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质利用勾股定理求得BD的长，再根据BD的长为BC的一半即可求得结果． 【详解】解：∵等腰三角形中，，是的平分线， ，， ∵，， 在中，, ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 【变式1】（2024·北京昌平）如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，，如果F是边的中点，连接，那么的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及三角形中位线的性质，根据勾股定理求得，进而可得，再证得是的中位线，从而可求解，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键． 【详解】解：，，，， ， ，，， ，点是的中点， ， 又F是边的中点， 是的中位线， ， 故选A． 【变式2】（2025·北京朝阳）已知线段与点，，，点，在直线的同则，点为的中点，连接，． (1)如图，若点在上，，则______； (2)如图，若点在下方，．写出一个的度数（用含的式子表示），使得对于任意的点总有，并证明． 【答案】(1)； (2)，见解析 【分析】（）延长，交于点，证明得，，再根据，，得，进而得，由此可得的度数； （）当时，使得对于任意的点总有，延长到，使，连接，，先证明，得，，再证明，进而证明，则，进而得，则，据此可得； 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，多边形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：延长，交于点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，使得对于任意的点总有，证明如下： 延长到，使，连接，，如图所示， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在五边形中，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 命题点二 等腰三角形的判定定理 ►题型01 根据等角对等边证明等腰三角形 1.适用范围误判：在两个不同三角形中套用“等角对等边”，忽略性质仅适用于同一三角形的前提。 2.边角对应错位：找错相等角所对的边，混淆“角对边”的对应关系，误将非对应边判定相等。 3.判定性质混淆：将“等角对等边”（判定）与“等边对等角”（性质）因果倒置，用边相等反推角相等来凑判定条件。 4.隐含条件漏用：忽略公共角、角平分线、平行线性质等能证角相等的隐含条件，无法凑齐“等角”前提。 5.复杂图形套用失误：多三角形嵌套时，交叉使用不同三角形的等角，张冠李戴判定等腰。 6.逻辑不严谨：未明确证出两角相等，就直接依据“等角对等边”判定等腰，缺少核心推理步骤。 【典例】（2025·北京）下列说法：①有一个角是的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形，其中正确的结论是（    ） A．①④ B．①②④ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的判定定理，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的定义，熟练掌握各个概念是解题的关键；因此此题可根据等边三角形的判定定理，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的定义进行排除选项即可． 【详解】解：①有一个角是的等腰三角形是等边三角形，说法正确； ②如果三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形，说法正确；理由如下：如图，是的一个外角，平分，且，求证：是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等，根据“线段垂直平分线的性质”可知该说法正确； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形，题中并未说明这两个角是两个底角还是一个顶角和底角，所以不一定是等边三角形，故说法错误； 故选：D． 【变式1】（2024·北京西城）在中，，，P是线段上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段．    (1)如图1，当，且点D在线段上时，求证； (2)如图2，点D在内部，过点D作的垂线，与直线交于点Q． ①请根据题意，将图形补充完整； ②判断与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识． （1）先根据三角形外角的性质得出，再由等角对等边可得结论； （2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论 【详解】（1），， . . （2）①如图所示.    ②. 证明：连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD. ∵，， . 又，， . ， ， ∴ ， . 【变式2】（2025·北京）请阅读下面材料，填空，并解决后续问题． 学习了等腰三角形，我们知道，等边对等角，即在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角对等边．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠（即），使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，即作的平分线，交于E，在边上截，连结，则可通过证明全等得到： ① ． 再由外角可以得到： ② ，∴． 这样，我们证明了，在一个三角形中，大边所对的角也较大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究角的问题与研究边的问题互相转化，利用这样的想法，请解决以下问题： 已知：如图2，中，，平分，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】①，②；，理由见解析 【分析】根据角平分线的定义可得，证得，可得，再根据三角形外角的性质和等量代换即可求解；在上取点F，使，根据角平分线的定义可得，证得，可得，，再根据三角形外角的性质可等量代换可得，由等腰三角形的判定可得，即可得证． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：①，②； ，理由如下： 在上取点F，使， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形外角的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型02 根据等角对等边证明边相等 1.适用范围越界：在两个不同三角形中套用定理，忽略“等角对等边”仅适用于同一三角形的核心前提。 2.边角对应错位：找错相等角所对的边，误将非对应边角关联，导致判定的“相等边”错误。 3.判定性质混淆：将“等角对等边”（角相等→边相等，判定）与“等边对等角”（边相等→角相等，性质）因果倒置，用边相等反推角相等来凑条件。 4. 角相等证明不严谨：未通过对顶角、角平分线、平行线等条件严格证出两角相等，仅凭直观判断就套用定理，缺乏核心依据。 5.复杂图形张冠李戴：多三角形嵌套时，混淆角所属的三角形，把甲三角形的等角套用到乙三角形中判定边相等。 【典例】（2025·北京石景山）如图，在矩形中，，点，分别在，边上，将四边形沿直线翻折，点恰好落在点处，点的对应点为点． (1)求证：         (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、等角对等边等知识，熟练掌握折叠的性质是关键． （1）证明，根据等角对等边即可得到结论； （2）设，则．得到，．在中，由勾股定理，得，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵四边形沿直线翻折得到四边形， ∴． ∴． ∴． （2）解：设，则． ∵四边形沿直线翻折得到四边形， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得．即． 【变式】（2025·北京）如图，中，点D是的中点，点E是上一点，与的延长线交于点F，． (1)__________； (2)判断并证明和的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． （1）可证明，利用等角对等边即可得出； （2）延长至H，使，连接，由可证，可得，结合，可证，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：， 证明如下：如图，延长至H，使，连接， ∵点D是的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式】（2025·北京海淀）如图，菱形的边，． （1）菱形的高的长度是 ； （2）P是上一点，，Q是边上一动点，将点A沿直线作对称，A的对应点为，当的长度最小时，的长为 ． 【答案】 7 【分析】（1）作于，根据菱形的性质可判断为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出的长即可； （2）勾股定理求出的长，根据，得到在线段上时，的值最小，推出即可． 【详解】解：（1）作于，如图， 菱形的边，， ∴，， 为等边三角形， ∴， ； 即：菱形的高的长度是； 故答案为：； （2）由（1）知：，， ， ， 在中， ． 将点A沿直线作对称，A的对应点为， ∴， ∴， 当点在上时，的值最小，此时， ∵， ， ， ； 故答案为7． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是确定点在上时，的值最小． 题型03 根据等角对等边求边长 1.跨三角形套用定理：忽略“等角对等边”仅适用于同一三角形的前提，在两个不同三角形中用等角直接判定边相等。 2.边角对应错位：找错相等角所对的边，如等腰三角形中误将底角对应底边、顶角对应腰，导致边长对应关系错误。 3.角相等证明不严谨：未通过角平分线、平行线、对顶角等条件严格证出角相等，仅凭直观判断就套用定理，边长推导的核心前提缺失。 4.忽略三边关系验证：算出边长后未检验是否满足“三角形两边之和大于第三边”，出现无效解。 5.等腰多解情况漏算：已知角求边长时，忽略角可能是顶角或底角的情况，导致漏解；或未排除底角为钝角的矛盾情形。 6.性质混用逻辑混乱：结合三线合一、全等性质时，因果倒置（如先用边长相等反推角相等），导致边长计算错误。 【典例】如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，，，求． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，根据中点的定义可得AE=CE，最后利用AAS即可证出； （2）根据等角对等边即可求出AB=AC=10，然后根据（1）中全等可得AD=CF=7，即可求出． 【详解】（1）证明：∵ ∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F ∵是边的中点 ∴AE=CE 在△ADE和△CFE中 ∴ （2）解：∵，，， ∴AB=AC=CE＋AE=2CE=10 ∵ ∴AD=CF=7 ∴DB=AB－AD=3 【点睛】此题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定及性质和等腰三角形的判定，掌握平行线的性质、全等三角形的判定及性质和等角对等边是解决此题的关键． 【变式1】（2025·北京昌平）如图，平行四边形中，，平分交边于点，则等于 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，证明，得到是解题的关键．先根据平行四边形的性质得到，进一步证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·北京）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质得，由折叠的性质得，，由平行线的性质得，，所以，再根据等角对等边得，所以，即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠得：，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 题型04 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 1.漏解情况频发：忽略等腰三角形的三种构成情况（已知两点为腰的两个顶点、已知两点为底边的顶点），只算其中1-2种，导致点的数量少算。 2.忽略直线限制：求出的点未检验是否在给定直线上，纳入非直线上的点，出现无效解。 3.距离关系混淆：混淆腰长与底边长的对应关系，误将“已知两点间线段为腰”和“为底边”的情况搞混，计算点的位置错误。 4.未排除共线无效解：未验证三点是否共线，若三点共线则无法构成三角形，需剔除这类错误解。 5.重复点未剔除：三种情况计算出的点可能重合，未合并重复点，导致解的数量虚增。 【典例】（2024·北京昌平）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 【详解】解：如图， ①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， ③作的垂直平分线，与与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 【变式1】（2024·北京朝阳）已知：如图，线段直线l．（设到直线l的距离为d，满足） 求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形（保留作图痕迹，不必写出作法）． (1)满足条件的点共有_________个； (2)在图中用尺规作图作出满足条件的点P； （保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：） (3)其中，使得的周长最小的点是_________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图，熟悉基本几何图形的性质是解题的关键． （1），（2）以点为圆心，为半径画弧交直线于点和点，再以为圆心，为半径画弧交直线于点和点，然后再作的垂直平分线交直线于点； （3）个等腰三角形中的周长最小． 【详解】（1）解：满足条件的点一共是个； （2）解：以点为圆心，为半径画弧交直线于点和点，再以为圆心，为半径画弧交直线于点和点，然后再作的垂直平分线交直线于点． ； （3）解：由图可知，的周长最小， 故使得的周长最小的点是． 【变式2】（2023·北京海淀）如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时， ∴直线m上存在4个点C，使为等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义． 命题点三 等边三角形 题型01 等边三角形的性质 1.从属关系混淆：误将等边三角形排除在等腰三角形范畴外，忽略等边是特殊等腰三角形的属性。 2.三线合一误用：忘记等边三角形每条边的中线、高、角平分线都三线合一，仍按等腰三角形仅底边三线合一的思路套用。 3.角度认知偏差：计算时忽略内角均为60°；外角计算错误，未掌握外角恒为120°的结论。 4.性质判定倒置：用“三线合一”直接判定三角形为等边，忽略需结合其他条件（如一角为60°的等腰三角形才是等边）。 5.对称轴数量记错：混淆等边（3条对称轴）与等腰三角形（1条对称轴）的对称轴数量。 【典例】（2025·北京海淀）如图，等边三角形纸片的边长为8，D为边上的点，过点D作交于点G，于点E，过点G作于点F，把三角形纸片分别沿按图所示方式折叠，点A、B、C分别落在点、、处，若点、、在长方形内，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．设的长为m，若重叠三角形存在，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得，求出当点与点重合时，点与点F重合，m的值，即可求m的范围． 本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，直角三角形的性质，理解题意是解决本题的关键． 【详解】解：∵等边三角形纸片的边长为8， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， 当点与点重合时，不存在， 此时， ∴， ∴当时，存在，此时， ∴， ∴， ∵点、、在长方形内， ∴点最远落在矩形的边上，即点与点F重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 故选：A 【变式1】（2025·北京）如图，点M在等边三角形的边上，，垂足为是射线上一点，N是线段上一动点．当最小时，，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，轴对称图形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识，合理作图是关键． 根据题意，延长，作点关于的对称点，当点三点共线，且时，的值最小，结合含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 如图所示，延长，作点关于的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线，且时，的值最小， ∴在中，，， ∴， ∵对称， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025·北京）如图，在等边和等边中，，，三点共线，与，与与分别交于点，点，点，下列四个结论中：①；②平分；③；④．所有正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形的面积等知识，本题综合性较强，难度较大． 根据等边三角形的性质，利用可证明，可判断①；过点C作于点G，于点H，根据全等三角形的性质可得，即可判断②；证明，得出，证明为等边三角形，得出，得出，可判断③；在上截取，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，可判断④． 【详解】解：在等边中，，， 在等边中，，， ∵B、C、D共线， ∴，， 即， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； 过点C作于点N，于点M，如图所示： ∵， ∴，， 即， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，B、C、D共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，故③正确； 在上截取，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D． 题型02 等边三角形的判定 1.遗漏前提条件：误将“有一个角为60°的三角形”判定为等边，忽略需先证等腰三角形的前提。 2.判定条件残缺：仅证两边相等或两角相等，未补充60°角或第三条边/角相等的条件。 3.角度逻辑疏漏：误以为“两角为60°”不足以判定，或错算内角和导致角度推导错误。 4.等腰等边混淆：用等腰三角形的判定条件（两边/两角相等）直接当作等边的判定依据。 5.复杂图形对应错位：多三角形嵌套时，找错边、角所属三角形，交叉套用判定条件。 【典例】如图，已知为边的中点，于点．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中，将绕点顺时针旋转； (2)若为的中点，在图2中，将绕点顺时针旋转． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点G，连接并延长交于点F，则即为绕点顺时针旋转得到的线段，根据等腰三角形三线合一和全等三角形的性质证明即可； （2）同（1）作出点G，连接交于点M，连接并延长交于点H，则即为所求． 【详解】（1）如图所示，    ∵，D为边的中点 ∴，即垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴绕点顺时针旋转得到； （2）如图所示，    ∵为的中点 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵点M在上，点E和点G关于对称 ∴和关于对称 ∴点F和点H关于对称 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴将绕点顺时针旋转得到． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式】（2024·北京西城·模拟预测）已知四边形是的角平分线，交射线于E，线段的延长线上取一点F使，直线交于点G．    (1)补全图形； (2)猜想的形状，并证明你的猜想； (3)求与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识． （1）根据要求画出图形即可； （2）结论：是等边三角形．想办法证明，推出，可得结论； （3）结论：．过点A作交于点T．证明四边形是平行四边形，推出，再利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示：    （2）结论：是等边三角形． 理由：∵平分， ∴垂直平分线段， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：结论：． 理由：过点A作交于点T．    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，在中，平分，交于点，且，连接，延长与交于点，连接、．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义可得，进而可得，然后结合已知条件可得，于是可判断②；根据等边三角形的性质可得，然后根据即可证明，从而可判断①；由与等底（）等高（与间的距离相等）可得，进而可判断④；若=，则根据等腰三角形的性质和平行线的性质得，但题中未限定这一条件，从而可判断③不一定正确；于是可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形；故②正确； ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵与等底（）等高（与间的距离相等）， ∴，故④正确． ∵ ∴ 若，则， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 但题中未限定这一条件， ∴③不一定正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 突破一 等腰三角形的性质和判定 【典例】（2025·北京石景山·二模）如图，在中，，，是边上一点（不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数． (2)如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（）在上取点，使得，可证，可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而即可求解； （）延长与交于点，连接，，，由等腰直角三角形的性质可得，，，再证明，可证，可得，，即得，即可证明，得到，，即得到为等腰直角三角形，进而即可求证． 【详解】（1）解：在上取点，使得， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：． 证明：延长与交于点，连接，，， ∵，，是中点， ∴，，， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1】（2025·北京专题）如图，在中，，，于，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作的垂线交于点，交射线于点，连接． (1)依题意补全图形，并求的大小（用含的式子表示）； (2)在上取点，使，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据要求画出图形，证明，再证明，即可得到结论； （2）过点作于，连接DH，证明．则，，在以为圆心，BD为半径的圆上．得到．证明．得到．求出．即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示： 如图，∵射线绕点顺时针旋转得到射线， ∴ ． ，于． ∴． ∵于， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）线段和的数量关系为． 证明：过点作于，连接，如图所示． ∵于， ∴． ∵， ∴． ∵由（1），， ∴． ，，在以为圆心，为半径的圆上． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、解直角三角形、圆周角定理直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 【变式】（2025·北京石景山·模拟预测）如图，在中，，（）．将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； (2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系． （1）当点与点重合时，是等腰三角形，等边对等角，，，可求的度数，，可求的度数． （2）在的延长线上截取，连接，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，，证明可得，即可得到和的等量关系． 【详解】（1）解：补全图形见图： ∵点与点重合，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：补全图形如图： ，理由如下： 如图，在的延长线上截取，连接，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在等腰中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 突破二 旋转与等边对等角 【典例】（2024·北京大兴·一模）在中，，，点D是线段上一个动点（不与点A，B重合），，以D为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）由等边对等角及三角形的内角和定理可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据角的和差关系即可解答； （3）过点D作，交于点F，交的延长线于点M，先证明，可得，再证明，可得，进而证明，则，于是可得，然后由勾股定理可得，再根据线段的和差关系及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意补全图形如下： （2）解：∵，， ∴， ∴， 将线段顺时针旋转得到线段， ， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，过点D作，交于点F，交的延长线于点M，则， ∴， 即：， ∵， ， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（2025·北京海淀·模拟预测）现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系，场地圆心的坐标为．机器人在该场地中（含边界），根据指令完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离，再在原地逆时针旋转角度，执行任务．机器人位于坐标原点处，且面对轴正方向． （1）若给机器人下达指令，则机器人至少重复执行 次该指令能回到坐标原点处； （2）若机器人重复执行2次相同指令后位于圆心处，则应给机器人下达的指令是 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形外角的性质等知识点，根据题意正确画出图形是解题的关键． （1）根据题意以及旋转的定义画出图形即可解答； （2）如图，先解直角三角形得到，再根据题意以及等边对等角、三角形外角的性质得到，再解直角三角形求得即可解答． 【详解】解：（1）如图，给机器人下达指令，第一次到达的位置，第二次到达的位置，第三次到达的位置，第四次到达的位置， ∴机器人至少重复执行4次该指令能回到坐标原点O处， 故答案为：4． （2）如图： ∵场地圆心的坐标为， ∴， ∴，即， ∵机器人重复执行2次相同指令后位于圆心处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴给机器人下达指令是． 故答案为：． 【变式2】（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，，为内一点，，其中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点． (1)求的度数； (2)用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）利用证明，即可求得； （2）过点作交于点，求得，再证明，求得，在和中，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， ． 即， 又， ， ； （2）解：用等式表示线段，，的数量关系为：， 证明：过点作交于点， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 在中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 突破三 等边三角形的判定和性质 【典例】在等边△ABC外侧作直线AM，点C关于AM的对称点为D，连接BD交AM于点E，连接CE，CD，AD. （1）依题意补全图1，并求∠BEC的度数； （2）如图2，当∠MAC＝30°时，判断线段BE与DE之间的数量关系，并加以证明； （3）若0°＜∠MAC＜120°，当线段DE＝2BE时，直接写出∠MAC的度数. 【答案】（1）补全图形如图1所示，见解析，∠BEC＝60°；（2）BE＝2DE，见解析；（3）∠MAC＝90°. 【分析】（1）根据轴对称作出图形，先判断出∠ABD＝∠ADB＝y，再利用三角形的内角和得出x+y即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出四边形ABCD是菱形，进而得出∠CBD＝30°，进而得出∠BCD＝90°，即可得出结论； （3）先作出EF＝2BE，进而判断出EF＝CE，再判断出∠CBE＝90°，进而得出∠BCE＝30°，得出∠AEC＝60°，即可得出结论. 【详解】（1）补全图形如图1所示， 根据轴对称得，AD＝AC，∠DAE＝∠CAE＝x，∠DEM＝∠CEM. ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°. ∴AB＝AD. ∴∠ABD＝∠ADB＝y. 在△ABD中，2x+2y+60°＝180°， ∴x+y＝60°. ∴∠DEM＝∠CEM＝x+y＝60°. ∴∠BEC＝60°； （2）BE＝2DE， 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， 由对称知，AD＝AC，∠CAD＝2∠CAM＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴CD＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝2∠CAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°， 由（1）知，∠BEC＝60°， ∴∠ECB＝90°. ∴BE＝2CE. ∵CE＝DE， ∴BE＝2DE. （3）如图3，（本身点C，A，D在同一条直线上，为了说明∠CBD＝90°，画图时，没画在一条直线上） 延长EB至F使BE＝BF， ∴EF＝2BE， 由轴对称得，DE＝CE， ∵DE＝2BE， ∴CE＝2BE， ∴EF＝CE， 连接CF，同（1）的方法得，∠BEC＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∵BE＝BF， ∴∠CBE＝90°， ∴∠BCE＝30°， ∴∠ACE＝30°， ∵∠AED＝∠AEC，∠BEC＝60°， ∴∠AEC＝60°， ∴∠MAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝90°. 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，作出图形是解本题的关键. 【变式1】（2024·北京东城·一模）已知：在中，，．    (1)如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，的平分线交于点，连接． 求证：； 求证：； (2)在图中，若将线段绕点顺时针旋转得到，连结、，连结，请补全图形，若，求． 【答案】(1)见解析；见解析； (2)图见解析，． 【分析】（）线段绕点逆时针旋转得到， 得，，故，且，知，而，，平分，有，，从而，可得，，即知，， 又，得； 过点作于点，由知：，由，，得，即可得，故； （）以为顶点，为一边作，设交于，可得，根据将线段绕点顺时针旋转得到得，， 可求出，，证明，即得，知是的垂直平分线，可得 ，，而是等边三角形，有 ，再证，得，即可得． 【详解】（1）证明：如图：    ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，且， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 过点作于点，如图：    由知：， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）补全图形如下：    以为顶点，为一边作，设交于， ∵，， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【变式2】（2024·北京海淀·一模）在中．，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．点D关于直线的对称点为E．连接，． (1)如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)连接，依题意补全图2．若，求的大小． 【答案】(1)，证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质与直角三角形的性质得，再根据正切三角函数定义求解即可得出结论． （2）方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2，先证明，再证明，得．从而得出．即可求解． 方法二：如图3，取中点，连接，，，，设．先证明，再证明．得．即可求解． 【详解】（1）解：线段与的数量关系：． 证明：连接，如图1． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ． ． ． 是等边三角形． ，． 中，，， ． 依题意，得，点在上． ． ． ． ． ． 在中，． ． ． （2）解：依题意补全图2，如图． 方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2． ， ． ， 是等边三角形． ，． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ，． ． ， ． ， ． ． ， ． ，， ． ． ． ． 方法二：如图3，取中点，连接，，，，设． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ，． ． ． ， ． ． ，， ． ． ． 由（1）可得． 为中点， ． ． ，，， ． ． ． ，， ． ． ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正切三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质．掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正切三角函数等知识是解题的关键． 1．（2024·北京丰台·一模）如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，先利用等腰三角形的性质可得，然后再利用平行线的性质可得． 【详解】解：，， ， ， ， 故选C． 2．（2025·北京丰台·一模）如图，是等边三角形且边长为1，点，，分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．利用证明，推出，证明是等边三角形；利用三角形的外角性质求得，可证明；利用勾股定理求得，求得；利用等边三角形的外心和内心的性质据此即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形且边长为1， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 设的外心为， ∵是等边三角形， ∴点也是的内心，作于点，于点， ∴，， ∴， ∴， ∴，同理，则， ∴的外心与的外心重合，故④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：B． 3．（2025·北京西城·一模）如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点，，的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】连接、、，根据旋转和等边三角形的性质可证明，得到，，进而证明，得到，即可判断①，根据三角形外接圆的性质可判断②，连接，当时，、、共线，、、共线，，求出，，根据等腰三角形的性质可得，推出，根据勾股定理求出，，即可判断③． 【详解】解：如图，连接、、， 是等边三角形， ，， 由旋转可得：，，，， ，，即， ， ，， ，即， ， ， ， 对任意都有是等边三角形，故①正确； 不在同一直线上的三个点确定一个圆，的外接圆的圆心到点，，的距离相等，且外接圆的圆心是唯一的， 存在唯一一点（的外接圆的圆心）到点，，的距离相等，故②正确； 如下图，连接，当时，、、共线，、、共线，， ，， ， ， ， ， ， 的周长是，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 4．（2025·北京·二模）中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1）．它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的有（   ） （1）勒洛三角形是轴对称图形； （2）图1中，点到上任意一点的距离都相等； （3）图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等； （4）图2中，等宽的勒洛三角形和圆，它们的周长相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质判断即可． 本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】解：（1）勒洛三角形是轴对称图形，正确； （2）图1中，点A到上任意一点的距离都是半径，故相等； （3）图2中，连接，连接并延长交弧于G， 设等边三角形的边长为a， 则， ∵， ∴， ∴勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离不相等，故错误； （4）设等边三角形的边长为a， ∴勒洛三角形的周长， 圆的周长， ∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故正确． 所以错误的只有1个； 故选：B． 5．（2025·北京顺义·二模）如图，在四边形中，，，，平分，．设，，，给出下面三个结论： ①分别以为直径的圆的面积比为； ②； ③与的面积和为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】结论①在中，由，根据勾股定理得出与的长度关系，再依据圆面积公式计算以、为直径的圆面积比．结论②在中，先利用勾股定理得到三边关系，再根据三角形三边关系判断与的大小，通过对和作差比较，得出与的大小关系． 结论③延长交于，证明，得出相关线段和面积关系，结合的面积，推导出与的面积和． 【详解】在中， ∵， ∴ ， 设直径为，直径为 ， ∴ ∴以为直径的圆面积 ， 以为直径的圆面积 ， ∴， ∴分别以，为直径的圆的面积比为，结论①正确． 在中，，，， ∴即， ，即 ． ∵， ， ， ∴ ，即 ， ∴，结论②正确． 延长交于点 ． ∵平分，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴结论③正确． 综上，①②③都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、圆的面积公式以及三角形面积的计算；解题关键是利用图形性质和相关定理建立边与边、面积与面积之间的联系来判断结论 ． 6．（2025·北京东城·二模）如图，将正五边形纸片沿着虚线剪开，记阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，． 给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰三角形； ②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形； ③； ④Ⅰ中最大内角的度数是最小内角度数的3倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键；依题意得阴影Ⅰ，Ⅲ是两个全等的等腰三角形，Ⅱ是等腰三角形，利用边角关系可判定①②④；在上取，连接，则可判断③； 【详解】解：如图， 在正五边形中，， ， ∴； 同理：， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即； ∵， ∴， 即是等腰三角形； 而此三角形是由Ⅰ和Ⅱ合在一起的三角形； 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形； 故②正确； ∵， ∴； 故④正确； 在上取，连接， 则， ∴， ∴， 显然，故③不正确； 综上，正确的有①②④； 故选：D． 7．（2025·北京·模拟预测）已知锐角．如图， （1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接； （2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： ①；②；③；④若，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查作图复杂作图，等边三角形的判定及性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系．根据弦、弧、圆心角的关系判断①；连接，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，再根据圆周角定理得到，即可求出，得到判断②，根据两点间线段最短判断③；连接，然后根据三角形的内角和求出，即可得到是等边三角形，判断④解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 又∵， ∴，即，故③正确； 连接，设，则，， 在中，， 解得， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 8．（2025·北京·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，连接．给出下面四个结论： ；②；③； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由即可判断②；然后证明，根据对应角相等以及等腰直角三角形锐角为即可证明③；对等腰直角运用勾股定理即可判断①；对运用勾股定理判断④． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即：，故②正确； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确， ∵在等腰直角中，，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴在中，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∴正确结论的序号①②③④， 故选：A． 9．已知，点在边上，点是边上一动点，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，再将线段绕点顺时针旋转，得到线段，作于点． (1)如图1，． ①依题意补全图形： ②连接，求的度数； (2)如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据题干描述作图即可； ②由旋转可得且，进而证明是等边三角形，推出，再结合可得答案； （2）如图，连接，，同（1）可证是等边三角形，再证，推出，，进而证明，最后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①补全图形如下； ②如图，连接， 线段绕点A逆时针旋转， 且， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图，连接，， 由（1）②知是等边三角形， ，， 线段绕点O顺时针旋转，得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10．（2025·北京专题）如图，在中，，，是边上一点．为的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，连接． (1)依题意补全图形； (2)若点N是的中点，连接和，猜想线段与的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，证明见解析 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，，根据中位线定理可得，，，，可得、和都是等腰直角三角形，继而得到、和都是等腰直角三角形，证明，可得，，，从而得到，延长，，相交于点，证得，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由旋转得，． 如图所示，延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，， 、、分别是、、的中点， ，， ，， ，，， 且， 和都是等腰直角三角形， ∴， ，， ，，是的中点， ，， ， ， 、和都是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ，，， ， 延长，，相交于点， 在中，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， ，， ， 线段与的数量关系是，位置关系是． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，需要通过构造辅助线，利用以上知识来证明线段与的数量关系和位置关系． 11．（2025·北京朝阳·二模）如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、解直角三角形、三线合一、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行线的性质得到，，结合推出，得到，再利用平行四边形的判定即可证明； （2）在中利用正切的定义得到，利用平行四边形的性质得到，由得到，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ，． 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：，， 在中，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 又， ， ， ． 12．（2025·北京丰台·二模）在中，，，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求证：； (2)如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)的大小为，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据旋转的性质和等边对等角的性质，得到，进而得出，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）延长至点G，使得，连接、，．证明，从而得到，再根据四边形内角和和邻补角的定义，得到进而证明，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可； 【详解】（1）证明：由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：的大小为．证明如下： 如图，延长至点G，使得，连接、，． ∵是中点， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴， ∵，， ∴在四边形中，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 1．（2025·北京东城）如图1，在中，，，在中，，，，点C，B，E在一条直线上．若在图1的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图2），则旋转角 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 在中，运用已知条件以及勾股定理可得；在依据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，如图：过C作于F，运用等面积法可求得，由勾股定理可得，即是等腰直角三角形，易得，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴，解得：， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴ 如图：过C作于F， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2025·北京朝阳）如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点G，H，连接．若，，，．则下列结论中正确的有 （填序号） ①； ②是等边三角形； ③与互相垂直平分； ④． 【答案】①② 【分析】根据三角形的角平分线交于一点可得为的平分线，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，通过计算即可得出即可判断①正确；通过证明即可判断②正确；，为的角平分线，得到垂直平分，可证明，则不垂直平分，据此可判断③；根据角平分线的性质得到到的距离相等，设到的距离为，可求出，根据可判断④． 【详解】解：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵三角形的三条角平分线相交于一点， ∴为的角平分线， ∴， ∵以为边向两侧作等边和等边， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故②正确； ∵，为的角平分线， ∴垂直平分， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴点G不在线段的垂直平分线上， ∴不垂直平分，故③错误； ∵，，，为的角平分线， ∴到的距离相等， 设到的距离为， ∵ ∴， ∴ ，故④错误； ∴正确的有①② 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式．利用相关定义、性质与公式对每个选项进行判定是解题的关键． 3．（2025·北京大兴）如图，是等边三角形，是边上的一个动点（点与点，不重合），且，．给出下面四个结论： ①； ②是等边三角形； ③点，，三点可能在同一条直线上； ④存在点，使得是等腰三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及等腰三角形的判定，证得是解题的关键，再逐项判断即可． 【详解】对于①，是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， （内错角相等，两直线平行），故①正确； 对于②，由①知， ， ， ， 则是等边三角形，故②正确； 对于③，， ， ， ， 所以点，，三点不可能在同一条直线上，故③错误； 对于④，， ， 若是等腰三角形，则， ， ， 故存在，当为中点时，是等腰三角形，故④正确； 故答案为：①②④． 4．（2025·北京海淀）如图，是等边三角形，为边的中点，则 度；当cm，为中线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】①解：如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ， 故答案为：； ②， ， ，， 根据面积可得， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 5．（2025·北京东城）如图，在中，，，为的中线，E是上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到，过点F作交的延长线于点G． (1)求证：； (2)连接，取的中点H，连接，．依题意补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，证明见解析 【分析】（1）斜边上的中线得到，证明，得到，即可得证； （2）根据题意，补全图形，作交的延长线于点，连接，易得为等腰直角三角形，得到，证明，得到，三线合一，得到垂直平分，进而推出，再根据三角形的中位线定理，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，，为的中线， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意补全图形如图：，证明如下： 作交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴为的中线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，旋转的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键． 6．（2025·北京）如图，在中，，，，分别为上两动点，．过点作交于，以为斜边，在的下方作等腰，连接． (1)如图，当点与点重合时，点、、重合，连接，若，求的长； (2)如图，点与点不重合，且时，用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据勾股定理易得的长，由等腰直角三角形的性质可得的长，，进而再次根据勾股定理求解即可； （2）过点作交延长线于点，过点作交于点，连接，先证，再证，可得，，所以为等腰直角三角形，最后证，即可得解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ，为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 在中， ， 即； 解得（负值已舍去）， 在中，； （2）解：． 证明：如图，过点作交延长线于点，过点作交于点，连接， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ，，， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 7．（2025·北京西城）如图，在中，，，点在边上，点为中点，点为中点，连接交于点，过点作的垂线交于点． (1)补全图形； (2)写出和的数量关系，并证明你的结论； (3)直接用等式表示线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，中位线的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意补充图形，即可求解； （2）连接，过点作交于点，证明，即可求解； （3）连接并延长交于点，证明得出是等腰直角三角形，则，设，由（2）得出，在中，，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：，证明如下： 如图所示，连接，过点作交于点， ∵点为中点，点为中点， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵     ∴ ∴ ∵点为中点，，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ （3）如图，连接并延长交于点， ∵，点为中点， ∴ ∴是的中点，则 ∵点为中点，点为中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，则是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， 由（2） ∴ 在中， ∴ ∴ 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 5．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：，） 【答案】 【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D，首先得到线段的长与其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可． 【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D 由图可得，线段的长与其他的都不相等， ∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， ∴ ∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴． ∴这条线段的长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）由四边形 是正方形， 得，由 是等边三角形，得，得，进而即可得证； （2）先由等边三角形的性质，三角形的内角和及等角对等边证得，，再由，平分证得，得出，，，证得，进而即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴，， ∵ 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：与线段相等的线段有，，，，理由如下， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形 是正方形， 为对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角和，内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 7．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 【答案】(1)； (2)10； (3)． 【分析】（1）先确定反比例函数解析式，得到坐标，再求直线解析式，进而确定点坐标，算出 ． （2）设出直线、解析式，求出、表达式，化简计算得结果 ． （3）利用已知条件求出、，确定、直线等相关点和解析式，结合对称性质求解 ． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为， ∴， ∴．同理，． ∴； （3）解：∵， ∴ 由（2）得， ∴ ∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴的解析式为，的解析式为． ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵点关于直线对称的点， ∴线段的中点为， ∴点关于直线对称的点的坐标为即． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数解析式求解、点坐标计算、对称性质等，熟练掌握反比例函数性质、一次函数解析式求法及对称点坐标特征是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第16讲 等腰三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 等腰三角形的基本概念与性质 题型01等腰三角形的定义 题型02等边对等角 题型03三线合一 命题点二 等腰三角形的判定定理 题型01根据等角对等边证明等腰三角形 题型02根据等角对等边证明边相等 题型03根据等角对等边求边长 题型04直线上与已知两点组成等腰三角形的点 命题点三 等边三角形 题型01等边三角形的性质 题型02等边三角形的判定 05·重难突破·思维进阶难 22 突破一 等腰三角形的性质和判定 突破二 旋转与等边对等角 突破三 等边三角形的判定和性质 06·优题精选·练能提分 26 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一） 北京卷T7（等腰三角形的性质） 北京卷T27（等腰三角形的性质） 北京卷T15,T27（等腰三角形的性质） 1. 掌握等腰三角形“等边对等角”的性质；2. 理解并应用“三线合一”（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）的性质； 3. 能利用性质进行角度、线段的计算与证明。 等腰三角形的判定（等角对等边） 北京卷T7（等腰三角形的判定） 北京卷T27（等腰三角形的判定） 北京卷T15,T27（等腰三角形的判定） 1. 掌握等腰三角形“等角对等边”的判定方法； 2. 能结合角平分线、平行线等知识判定等腰三角形； 3. 能在图形变换（平移、旋转、折叠）中识别等腰三角形。 等腰三角形的分类讨论（边长、角度） / / / 1. 理解等腰三角形中边长、角度的不确定性； 2. 掌握分类讨论的思想方法，解决等腰三角形的周长、角度计算问题； 3. 能结合平面直角坐标系分析等腰三角形的存在性。 等腰三角形与轴对称的结合 / / / 1. 理解等腰三角形是轴对称图形，掌握其对称轴的特征； 2. 能利用轴对称的性质解决等腰三角形的折叠问题； 3. 能通过轴对称构造等腰三角形，解决线段和差最值问题。 命题预测 1. 等腰三角形“三线合一”的性质应用，尤其是与角平分线、垂直平分线的结合； 2. 分类讨论思想的考查，腰与底、顶角与底角的不确定情况是高频易错点； 3. 等腰三角形与轴对称的结合，折叠问题和线段最值问题仍是考查热点； 4. 网格背景下的等腰三角形判定与构造，强调几何直观能力。 考点一 等腰三角形的基本概念与性质 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边称为腰，另一边称为底边；两腰的夹角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角。 2. 核心性质（中考必考） 性质内容 具体说明 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（即 ） 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（关键性质，证明线段/角相等、垂直的核心依据） 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在直线） 3. 特殊性质补充 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等； 等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高（面积法可证）。 易错点提示 混淆“三线合一”的适用条件：仅针对底边上的中线、高和顶角平分线，腰上的中线/高与顶角平分线不重合； 应用“等边对等角”时，忽略前提是“在同一个等腰三角形中”。 1．（2025·北京·模拟预测）两个直角三角板如图放置，其中，，，若点在边上，的中点恰好落在边上，则下列三角形是等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·模拟预测）如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接； （2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（    ） A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B． C． D．是等腰三角形 3．（2025·北京通州·一模）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作交的延长线于点，连接，那么的度数（    ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．不变 D．随着的增大，先增大后减小 考点二 等腰三角形的判定定理 判定等腰三角形的核心是证明两边相等或两角相等，中考常结合全等三角形、角平分线性质考查。 定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形（即 ，中考高频判定方法）； 拓展判定：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（可间接判定等腰三角形）。 易错点提示 用“等角对等边”判定时，需明确角与边的对应关系，避免张冠李戴； 忽略三角形内角和限制，如已知两角为100°和40°，误判为等腰三角形（100°只能为顶角）。 1．（2025·北京海淀）如图，中，平分，交于点，若，，则长度为（    ） A．4.5 B．3 C．4 D．5 2．（2025·北京延庆）在几何的学习中，我们常常在学习了图形的性质后，通过研究其逆命题得到图形的判定方法．在学习完等腰三角形的判定之后，小明根据“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合”这个性质定理，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？ 小明画出图形，经过分析找到了两种解决问题的方法． 如图，在中，平分，且点是的中点．求证：． 方法一 方法二 证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． 证明：延长到，使得，连接． 请你从两种方法中任选一个，完成证明． 3．（2025·北京通州）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点O，且，分别交于点M、N，则的周长是 ． 考点三 等边三角形 等边三角形是中考的高频考点，常以计算、证明题形式出现，需掌握其特殊性质与判定。 1. 定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 2. 性质（兼具等腰三角形性质，且更特殊） 三边相等，三角都相等，且每个角都等于 60°； 每条边上的中线、高和所对角的平分线都互相重合（三线合一）； 是轴对称图形，有 3条 对称轴（每条边的垂直平分线）。 3. 判定方法（中考必考） 判定类型 具体条件 定义判定 三边都相等的三角形是等边三角形 角度判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 特殊判定 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形（北京中考高频考点） 1．（2025·北京·模拟预测）在中，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接并延长交的平分线于点E，连接． (1)如图1，若，得______； (2)如图2，若， ①判断形状，并证明； ②过点C作平行线，过点D作平行线，两条平行线相交于点F，过点F作于点H． 依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2．（2025·北京石景山·一模）如图，等边中，于点D，点E在上，的垂直平分线交于点P，连接．若，，则四边形的周长为 ． 3．（2025·北京密云·一模）如图，等边三角形的边长为a，分别以A，B，C为圆心，以长为半径作弧，得到三段相等的弧，，，将，，组成的图形称为“洛尔三角形”．设的中心为O．下列说法中： ①“洛尔三角形”上任意一点到O的距离相等； ②将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转后与原“洛尔三角形”重合； ③“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，长为半径的半圆的周长； ④若P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点，则的最大值是a． 所有正确说法的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 考点四 等腰三角形的常见计算与解题方法 1. 角度计算（分类讨论是关键） 已知一个角求另外两个角 若已知角为顶角：底角 = 顶角； 若已知角为底角：顶角 = 底角； 注意：已知角若大于等于90°，则该角必为顶角（底角不能大于90°）。 结合外角、平行线性质计算：利用等腰三角形底角相等、三角形外角等于不相邻两内角和解题。 2. 边长计算与周长求解（需结合三边关系） 已知两边求周长：分两种情况（腰或底边），再根据三角形三边关系验证是否成立； 例：已知等腰三角形两边长为3和5，周长为 或 ； 结合勾股定理计算：等腰三角形底边上的高将三角形分成两个全等的直角三角形，用勾股定理求高或边长。 3. 证明线段/角相等的核心思路 利用“三线合一”直接证明线段相等或垂直； 证明三角形全等，结合等腰三角形性质推导； 利用线段垂直平分线、角平分线的性质转化线段关系。 1．（2025·北京西城）如图，在中，于平分，则 ，若点是线段的中点，则 ． 2．（2023·北京顺义·二模）如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为 ．    3．（2024·北京海淀）如图，ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 命题点一 等腰三角形的基本概念与性质 ►题型01 等腰三角形的定义 1.概念混淆：误将等边三角形排除在等腰三角形范畴外，忽略等边三角形是特殊的等腰三角形（等腰定义为“有两条边相等”，等边三条边都相等，满足定义）。 2.定义与判定倒置：把“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的判定定理，当作等腰三角形的定义（定义核心是两条边相等，角相等是性质/判定，非定义）。 3.边的界定错误：混淆“腰”与“底边”的概念，或漏记定义的核心条件“两条边相等”，表述成“有相等边的三角形”（未明确数量，易误解）。 4.前提疏漏：忽略定义的“三角形”前提，误将非三角形图形（如四边形）中相等的边当作等腰判定依据。 【典例】（2025·北京门头沟）学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手讲：“另两条边长为3、6或4.5、4.5”，你认为小明回答是否正确： ，理由是 ． 【变式1】（2023·北京丰台）如图所示的网格是正方形网格，则 （点A，B，C，D，E是网格线交点）． 【变式2】（2024·北京一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60°，则顶角的度数是（    ） A．30° B．30°或150° C．60°或150° D．60°或120° 题型02 等边对等角 1.适用范围误用：将“等边对等角”套用在非等腰三角形上，忽略该性质仅适用于等腰三角形的前提。 2.边角对应错位：在等腰三角形中，找错相等边对应的角，混淆腰与底、底角与顶角的对应关系。 3.性质判定倒置：把“等边对等角”（边相等→角相等，性质）与“等角对等边”（角相等→边相等，判定）的因果逻辑搞反。 4.多等腰图形混淆：复杂图形中存在多个等腰三角形时，交叉套用性质，张冠李戴对应边角。 5.等边三角形疏漏：忽略等边三角形是特殊等腰三角形，误用“等边对等角”推导时，漏记三角均为60°的结论。 【典例】（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，点P为平面内一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，使得，连接，，． (1)如图1，当点P在内部时，求证：； (2)如图2，当点P在所在直线上方时，与交于点F，若，F是的中点，求证∶． 【变式1】（2025·北京海淀）如图，在中，，，过点做，点在点的左侧，是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，过点作交于点，平分交于点，交于点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【变式2】（2025·北京·模拟预测）如图，在中，．D为边上一点，，连接，过点A作的垂线，交于点E，交于点F，点E关于直线的对称点为点G，连接并延长交于点H． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段，和的数量关系，并证明． ►题型03 三线合一 1.适用范围误判：将“三线合一”套用在腰上的中线、高或角平分线，忽略其仅适用于等腰三角形底边上的三条线。 2.前提条件缺失：忘记“等腰三角形”的核心前提，对普通三角形错误使用该性质。 3.概念理解偏差：误认为“三线”是三条独立的线，忽略其本质是同一条线同时具备中线、高、角平分线的三重属性。 4.逻辑因果倒置：看到某条线是高就直接判定为中线或角平分线，未先确认三角形为等腰三角形。 5.等边三角形疏漏：忽略等边三角形作为特殊等腰三角形，每条边上的三线都合一，或混淆其三线数量与等腰三角形的区别。 【典例】（2024·北京西城）如图，等腰三角形的顶角平分线交于，，，则底边长为 ． 【变式1】（2024·北京昌平）如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，，如果F是边的中点，连接，那么的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式2】（2025·北京朝阳）已知线段与点，，，点，在直线的同则，点为的中点，连接，． (1)如图，若点在上，，则______； (2)如图，若点在下方，．写出一个的度数（用含的式子表示），使得对于任意的点总有，并证明． 命题点二 等腰三角形的判定定理 ►题型01 根据等角对等边证明等腰三角形 1.适用范围误判：在两个不同三角形中套用“等角对等边”，忽略性质仅适用于同一三角形的前提。 2.边角对应错位：找错相等角所对的边，混淆“角对边”的对应关系，误将非对应边判定相等。 3.判定性质混淆：将“等角对等边”（判定）与“等边对等角”（性质）因果倒置，用边相等反推角相等来凑判定条件。 4.隐含条件漏用：忽略公共角、角平分线、平行线性质等能证角相等的隐含条件，无法凑齐“等角”前提。 5.复杂图形套用失误：多三角形嵌套时，交叉使用不同三角形的等角，张冠李戴判定等腰。 6.逻辑不严谨：未明确证出两角相等，就直接依据“等角对等边”判定等腰，缺少核心推理步骤。 【典例】（2025·北京）下列说法：①有一个角是的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形，其中正确的结论是（    ） A．①④ B．①②④ C．②③ D．①②③ 【变式1】（2024·北京西城）在中，，，P是线段上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段．    (1)如图1，当，且点D在线段上时，求证； (2)如图2，点D在内部，过点D作的垂线，与直线交于点Q． ①请根据题意，将图形补充完整； ②判断与的数量关系，并证明． 【变式2】（2025·北京）请阅读下面材料，填空，并解决后续问题． 学习了等腰三角形，我们知道，等边对等角，即在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角对等边．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠（即），使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，即作的平分线，交于E，在边上截，连结，则可通过证明全等得到： ① ． 再由外角可以得到： ② ，∴． 这样，我们证明了，在一个三角形中，大边所对的角也较大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究角的问题与研究边的问题互相转化，利用这样的想法，请解决以下问题： 已知：如图2，中，，平分，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 题型02 根据等角对等边证明边相等 1.适用范围越界：在两个不同三角形中套用定理，忽略“等角对等边”仅适用于同一三角形的核心前提。 2.边角对应错位：找错相等角所对的边，误将非对应边角关联，导致判定的“相等边”错误。 3.判定性质混淆：将“等角对等边”（角相等→边相等，判定）与“等边对等角”（边相等→角相等，性质）因果倒置，用边相等反推角相等来凑条件。 4. 角相等证明不严谨：未通过对顶角、角平分线、平行线等条件严格证出两角相等，仅凭直观判断就套用定理，缺乏核心依据。 5.复杂图形张冠李戴：多三角形嵌套时，混淆角所属的三角形，把甲三角形的等角套用到乙三角形中判定边相等。 【典例】（2025·北京石景山）如图，在矩形中，，点，分别在，边上，将四边形沿直线翻折，点恰好落在点处，点的对应点为点． (1)求证：         (2)若，，求的长． 【变式】（2025·北京）如图，中，点D是的中点，点E是上一点，与的延长线交于点F，． (1)__________； (2)判断并证明和的数量关系． 【变式】（2025·北京海淀）如图，菱形的边，． （1）菱形的高的长度是 ； （2）P是上一点，，Q是边上一动点，将点A沿直线作对称，A的对应点为，当的长度最小时，的长为 ． 题型03 根据等角对等边求边长 1.跨三角形套用定理：忽略“等角对等边”仅适用于同一三角形的前提，在两个不同三角形中用等角直接判定边相等。 2.边角对应错位：找错相等角所对的边，如等腰三角形中误将底角对应底边、顶角对应腰，导致边长对应关系错误。 3.角相等证明不严谨：未通过角平分线、平行线、对顶角等条件严格证出角相等，仅凭直观判断就套用定理，边长推导的核心前提缺失。 4.忽略三边关系验证：算出边长后未检验是否满足“三角形两边之和大于第三边”，出现无效解。 5.等腰多解情况漏算：已知角求边长时，忽略角可能是顶角或底角的情况，导致漏解；或未排除底角为钝角的矛盾情形。 6.性质混用逻辑混乱：结合三线合一、全等性质时，因果倒置（如先用边长相等反推角相等），导致边长计算错误。 【典例】如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，，，求． 【变式1】（2025·北京昌平）如图，平行四边形中，，平分交边于点，则等于 ． 【变式2】（2025·北京）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为 ． 题型04 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 1.漏解情况频发：忽略等腰三角形的三种构成情况（已知两点为腰的两个顶点、已知两点为底边的顶点），只算其中1-2种，导致点的数量少算。 2.忽略直线限制：求出的点未检验是否在给定直线上，纳入非直线上的点，出现无效解。 3.距离关系混淆：混淆腰长与底边长的对应关系，误将“已知两点间线段为腰”和“为底边”的情况搞混，计算点的位置错误。 4.未排除共线无效解：未验证三点是否共线，若三点共线则无法构成三角形，需剔除这类错误解。 5.重复点未剔除：三种情况计算出的点可能重合，未合并重复点，导致解的数量虚增。 【典例】（2024·北京昌平）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 【变式1】（2024·北京朝阳）已知：如图，线段直线l．（设到直线l的距离为d，满足） 求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形（保留作图痕迹，不必写出作法）． (1)满足条件的点共有_________个； (2)在图中用尺规作图作出满足条件的点P； （保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：） (3)其中，使得的周长最小的点是_________． 【变式2】（2023·北京海淀）如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 命题点三 等边三角形 题型01 等边三角形的性质 1.从属关系混淆：误将等边三角形排除在等腰三角形范畴外，忽略等边是特殊等腰三角形的属性。 2.三线合一误用：忘记等边三角形每条边的中线、高、角平分线都三线合一，仍按等腰三角形仅底边三线合一的思路套用。 3.角度认知偏差：计算时忽略内角均为60°；外角计算错误，未掌握外角恒为120°的结论。 4.性质判定倒置：用“三线合一”直接判定三角形为等边，忽略需结合其他条件（如一角为60°的等腰三角形才是等边）。 5.对称轴数量记错：混淆等边（3条对称轴）与等腰三角形（1条对称轴）的对称轴数量。 【典例】（2025·北京海淀）如图，等边三角形纸片的边长为8，D为边上的点，过点D作交于点G，于点E，过点G作于点F，把三角形纸片分别沿按图所示方式折叠，点A、B、C分别落在点、、处，若点、、在长方形内，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．设的长为m，若重叠三角形存在，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·北京）如图，点M在等边三角形的边上，，垂足为是射线上一点，N是线段上一动点．当最小时，，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2】（2025·北京）如图，在等边和等边中，，，三点共线，与，与与分别交于点，点，点，下列四个结论中：①；②平分；③；④．所有正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型02 等边三角形的判定 1.遗漏前提条件：误将“有一个角为60°的三角形”判定为等边，忽略需先证等腰三角形的前提。 2.判定条件残缺：仅证两边相等或两角相等，未补充60°角或第三条边/角相等的条件。 3.角度逻辑疏漏：误以为“两角为60°”不足以判定，或错算内角和导致角度推导错误。 4.等腰等边混淆：用等腰三角形的判定条件（两边/两角相等）直接当作等边的判定依据。 5.复杂图形对应错位：多三角形嵌套时，找错边、角所属三角形，交叉套用判定条件。 【典例】如图，已知为边的中点，于点．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中，将绕点顺时针旋转； (2)若为的中点，在图2中，将绕点顺时针旋转． 【变式】（2024·北京西城·模拟预测）已知四边形是的角平分线，交射线于E，线段的延长线上取一点F使，直线交于点G．    (1)补全图形； (2)猜想的形状，并证明你的猜想； (3)求与的数量关系． 【变式2】如图，在中，平分，交于点，且，连接，延长与交于点，连接、．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 突破一 等腰三角形的性质和判定 【典例】（2025·北京石景山·二模）如图，在中，，，是边上一点（不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数． (2)如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式1】（2025·北京专题）如图，在中，，，于，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作的垂线交于点，交射线于点，连接． (1)依题意补全图形，并求的大小（用含的式子表示）； (2)在上取点，使，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式】（2025·北京石景山·模拟预测）如图，在中，，（）．将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； (2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系． 突破二 旋转与等边对等角 【典例】（2024·北京大兴·一模）在中，，，点D是线段上一个动点（不与点A，B重合），，以D为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式1】（2025·北京海淀·模拟预测）现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系，场地圆心的坐标为．机器人在该场地中（含边界），根据指令完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离，再在原地逆时针旋转角度，执行任务．机器人位于坐标原点处，且面对轴正方向． （1）若给机器人下达指令，则机器人至少重复执行 次该指令能回到坐标原点处； （2）若机器人重复执行2次相同指令后位于圆心处，则应给机器人下达的指令是 ． 【变式2】（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，，为内一点，，其中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点． (1)求的度数； (2)用等式表示，，的数量关系，并证明． 突破三 等边三角形的判定和性质 【典例】在等边△ABC外侧作直线AM，点C关于AM的对称点为D，连接BD交AM于点E，连接CE，CD，AD. （1）依题意补全图1，并求∠BEC的度数； （2）如图2，当∠MAC＝30°时，判断线段BE与DE之间的数量关系，并加以证明； （3）若0°＜∠MAC＜120°，当线段DE＝2BE时，直接写出∠MAC的度数. 【变式1】（2024·北京东城·一模）已知：在中，，．    (1)如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，的平分线交于点，连接． 求证：； 求证：； (2)在图中，若将线段绕点顺时针旋转得到，连结、，连结，请补全图形，若，求． 【变式2】（2024·北京海淀·一模）在中．，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．点D关于直线的对称点为E．连接，． (1)如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)连接，依题意补全图2．若，求的大小． 【点睛】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正切三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质．掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正切三角函数等知识是解题的关键． 1．（2024·北京丰台·一模）如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·北京丰台·一模）如图，是等边三角形且边长为1，点，，分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（2025·北京西城·一模）如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点，，的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2025·北京·二模）中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1）．它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的有（   ） （1）勒洛三角形是轴对称图形； （2）图1中，点到上任意一点的距离都相等； （3）图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等； （4）图2中，等宽的勒洛三角形和圆，它们的周长相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2025·北京顺义·二模）如图，在四边形中，，，，平分，．设，，，给出下面三个结论： ①分别以为直径的圆的面积比为； ②； ③与的面积和为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（2025·北京东城·二模）如图，将正五边形纸片沿着虚线剪开，记阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，． 给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰三角形； ②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形； ③； ④Ⅰ中最大内角的度数是最小内角度数的3倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 7．（2025·北京·模拟预测）已知锐角．如图， （1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接； （2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： ①；②；③；④若，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 8．（2025·北京·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，连接．给出下面四个结论： ；②；③； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 9．已知，点在边上，点是边上一动点，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，再将线段绕点顺时针旋转，得到线段，作于点． (1)如图1，． ①依题意补全图形： ②连接，求的度数； (2)如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 10．（2025·北京专题）如图，在中，，，是边上一点．为的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，连接． (1)依题意补全图形； (2)若点N是的中点，连接和，猜想线段与的数量关系和位置关系，并证明． 11．（2025·北京朝阳·二模）如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 12．（2025·北京丰台·二模）在中，，，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求证：； (2)如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明． 1．（2025·北京东城）如图1，在中，，，在中，，，，点C，B，E在一条直线上．若在图1的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图2），则旋转角 °． 2．（2025·北京朝阳）如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点G，H，连接．若，，，．则下列结论中正确的有 （填序号） ①； ②是等边三角形； ③与互相垂直平分； ④． 3．（2025·北京大兴）如图，是等边三角形，是边上的一个动点（点与点，不重合），且，．给出下面四个结论： ①； ②是等边三角形； ③点，，三点可能在同一条直线上； ④存在点，使得是等腰三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 4．（2025·北京海淀）如图，是等边三角形，为边的中点，则 度；当cm，为中线上的动点，则的最小值是 ． 5．（2025·北京东城）如图，在中，，，为的中线，E是上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到，过点F作交的延长线于点G． (1)求证：； (2)连接，取的中点H，连接，．依题意补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 6．（2025·北京）如图，在中，，，，分别为上两动点，．过点作交于，以为斜边，在的下方作等腰，连接． (1)如图，当点与点重合时，点、、重合，连接，若，求的长； (2)如图，点与点不重合，且时，用等式表示，，的数量关系，并证明． 7．（2025·北京西城）如图，在中，，，点在边上，点为中点，点为中点，连接交于点，过点作的垂线交于点． (1)补全图形； (2)写出和的数量关系，并证明你的结论； (3)直接用等式表示线段、、之间的数量关系． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是 ． 5．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：，） 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 7．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，． (1)若，求的长； (2)求代数式的值； (3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $